2024年高考數(shù)學 尺規(guī)作圖在壓軸題中的應用（7種題型歸類）（含答案）

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重難點題型突破N

題型01作線段

1.（2024?江蘇常州?統(tǒng)考中考真題）（現(xiàn)有若干張相同的半圓形紙片，點。是圓心，直徑的長是12cm,C

是半圓弧上的一點（點C與點2、B不重合），連接力C、BC.

AOBAOB

備用圖

（1）沿AC、BC剪下△ABC,則△ABC是三角形（填“銳角”、“直角”或“鈍角”）；

（2）分別取半圓弧上的點E、F和直徑力B上的點G、H.已知剪下的由這四個點順次連接構成的四邊形是一個

邊長為6cm的菱形.請用直尺和圓規(guī)在圖中作出一個符合條件的菱形（保留作圖痕跡，不要求寫作法）；

（3）經(jīng)過數(shù)次探索，小明猜想，對于半圓弧上的任意一點C,一定存在線段4C上的點M、線段BC上的點N和直

徑上的點P、Q,使得由這四個點順次連接構成的四邊形是一個邊長為4cm的菱形.小明的猜想是否正確？

請說明理由.

【答案】（1）直角

（2）見詳解

（3）小明的猜想正確，理由見詳解

【分析】（1）N8是圓的直徑，根據(jù)圓周角定理可知乙4c5=90。，即可作答；

（2）以N為圓心，/。為半徑畫弧交0。于點￡,再以E為圓心，EO為半徑畫弧交于。。點尸連接EF、

FO、EA,G、〃點分別與/、。點重合，即可；

（3）當點C靠近點N時，設CN=￡B,可證MN||4B,推出MN==4cm,分別以N為圓

心，MN為半徑作弧交NB于點尸，Q,可得MN=MP=NQ=4cm,進而可證四邊形尸是菱形；當點C

靠近點8時，同理可證.

【詳解】（1）解：如圖，

AOB

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???48是。。的直徑，

.■■^ACB=90°,

:.乙4cB是直角，

即MBC是直角三角形，

故答案為：直角；

(2)解：以/為圓心，40為半徑畫弧交O。于點E,再以￡為圓心，EO為半徑畫弧交于O。點廠連接

EF、FO、EA,G、，點分別與4、。點重合，即可，

作圖如下：

A一；0B

-1

由作圖可知AE=EF=FH=HG=OA=^AB=6,

即四邊形EFHG是邊長為6cm的菱形；

(3)解：小明的猜想正確，理由如下：

如圖，當點C靠近點N時，設CN=*B,

CM_CN_1

~CA~~CB~V

MN\\AB,

.MN_CM_1

一"AB~~CA~39

：.MN=^AB=[x12=4cm.

分別以M,N為圓心，MN為半徑作弧交NB于點尸，。，作MD14B于點。，NE14B于點E,

MN=MP=NQ=4cm.

???MN\\AB,MDLABfNELAB,

.?.MD=NE,

在RtAMOP和RtANEQ中,

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=NQ

C=NE'

RtAMDP^RtANEQ（HL）,

.?.乙MPD=LNQE,

??.MP//NQ,

又?.?MP=NQ,

四邊形MNQP是平行四邊形，

又?：MN=MP,

四邊形尸是菱形；

同理，如圖，當點C靠近點5時，采樣相同方法可以得到四邊形MN0P是菱形,

故小明的猜想正確.

【點睛】本題考查了圓周角定理、尺規(guī)作圖、菱形的性質(zhì)與判定等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運

用上述知識解決問題.

2.（2024?江蘇鎮(zhèn)江?統(tǒng)考中考真題）【算一算】

如圖①，點/、B、C在數(shù)軸上，8為/C的中點，點/表示-3,點8表示1,則點C表示的數(shù)為,

/C長等于；

【找一找】

如圖②，點M、N、P、0中的一點是數(shù)軸的原點，點/、8分別表示實數(shù)孝-1、乎+1,0是的中點，

則點—是這個數(shù)軸的原點；

【畫一畫】

如圖③，點/、8分別表示實數(shù)c-"、c+n,在這個數(shù)軸上作出表示實數(shù)〃的點E（要求：尺規(guī)作圖，不寫

作法，保留作圖痕跡）；

【用一用】

學校設置了若干個測溫通道，學生進校都應測量體溫，已知每個測溫通道每分鐘可檢測。個學生.凌老師

提出了這樣的問題：假設現(xiàn)在校門口有俏個學生，每分鐘又有6個學生到達校門口.如果開放3個通道，

那么用4分鐘可使校門口的學生全部進校；如果開放4個通道，那么用2分鐘可使校門口的學生全部進

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校.在這些條件下，。、m、6會有怎樣的數(shù)量關系呢？

愛思考的小華想到了數(shù)軸，如圖④，他將4分鐘內(nèi)需要進校的人數(shù)%+46記作+(加+46),用點/表示；將2

分鐘內(nèi)由4個開放通道檢測后進校的人數(shù)，即校門口減少的人數(shù)8a記作-8a,用點3表示.

①用圓規(guī)在小華畫的數(shù)軸上分別畫出表示+(m+2b)、-12。的點足G,并寫出+(加+26)的實際意義；

②寫出人〃，的數(shù)量關系：.

ABC

--i1?------------------------------?---------?

-3---------0---1

圖①

--M?---Ai--N-?_____P?---Q?------------B*_?

孚+1

圖②

---------------------------3__,---------------------------------U

c-n0----c+n

圖③

_________2.________________a_____>

-8a0m+4b

圖④

【答案】(1)5,8；(2)N；(3)圖見解析；(4)①+(加+26)的實際意義：2分鐘后，校門口需要進入學校

的學生人數(shù)，圖見解析；②加=4服

【分析】(1)根據(jù)數(shù)軸上點/對應-3,點8對應1,求得N8的長，進而根據(jù)45=8?？汕蟮肗C的長以

及點C表示的數(shù)；

(2)可設原點為0,根據(jù)條件可求得N2中點表示的數(shù)以及線段的長度，根據(jù)/3=2,可得/0=80=

1,結合的長度即可確定N為數(shù)軸的原點；

(3)設的中點為先求得N3的長度，得到"，根據(jù)線段垂直平分線的作法作圖即可；

(4)①根據(jù)每分鐘進校人數(shù)為6,每個通道每分鐘進入人數(shù)為a,列方程組］黨\根據(jù)m+26=

OF,加+46=12a,即可畫出RG點，其中心+26表示兩分鐘后，校門口需要進入學校的學生人數(shù)；

②解①中的方程組，即可得到加=4a.

【詳解】解：(1)【算一算】：記原點為。，

-：AB=1-(-3)=4,

；.AB=BC=4,

：.OC=OB+BC=5,AC=2AB=8.

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所以點C表示的數(shù)為5,4C長等于8.

故答案為：5,8；

(2)【找一找工記原點為。，

???/3=爭4-(孝-1)=2,

■■.AQ^BQ=1,

■.OQ=OB-BQ=^+\-1=^,

??.N為原點.

故答案為：N.

(3)【畫一畫】：記原點為O,

由/3=c+〃-(c-?)=2n,

作4B的中點M,

得/A/=8M=〃，

以點。為圓心，

AM^n長為半徑作弧交數(shù)軸的正半軸于點E,

則點￡即為所求；

__________________4，，加：，產(chǎn)B丫

c-n0；；；'nc+n

圖③?::

\\I.II

y\：./I

、、*./,

、、1/

、I，/

Y

(4)【用一用】：在數(shù)軸上畫出點凡G；2分鐘后，校門口需要進入學校的學生人數(shù)為：m=4a.

???4分鐘內(nèi)開放3個通道可使學生全部進校，

.,.加+46=3xax4,即m+46=12a(I)；

?--2分鐘內(nèi)開放4個通道可使學生全部進校，

.,."+26=4x0x2,即a+26=8a(II)；

①以O為圓心，0B長為半徑作弧交數(shù)軸的正半軸于點F,則點F即為所求.

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作0B的中點E,則0E=BE=4a,在數(shù)軸負半軸上用圓規(guī)截取OG=3OE=12a,

則點G即為所求.

-12a3-4a0m+2bm+^b

圖④

+(機+26)的實際意義：2分鐘后，校門口需要進入學校的學生人數(shù)；

②方程(II)x2-方程⑴得：心=4°.

故答案為：m=4a.

【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，實數(shù)與數(shù)軸，作圖.解決本題的關鍵是根據(jù)題意找到等量關

系.

3.(2024?浙江金華?校聯(lián)考二模)如圖，在7x7的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1,△/BC的頂點均在格

點上.僅用無刻度的直尺，試按要求作圖.畫圖過程用虛線表示，畫圖結果用實線表示.

圖3

(1)如圖1,在2c作一點。，使得BD=：BC；

(2)如圖2,E為A42C內(nèi)一格點，M,N為48,3c邊上的點，使四邊形EA/BN為平行四邊形;

(3)如圖3,8c交網(wǎng)格線于點尸，過點尸作的平行線交NC于P.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

(3)見解析

【分析】(1)在點3右側第一條豎格線畫線，即可得到；

(2)過點E,在格點上畫出與線段//8C相等的線，即可得到；

(3)點尸是2C的三等分點，在/C上畫出NC的三等分點，即可得到.

【詳解】(1)解：如圖：在點2右側第一條豎格線畫線，與2c的交點。即為所求的點

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【點睛】本題考查了利用無刻度的直尺作圖，找到關鍵點是解決本題的關鍵.

4.（2024?山西太原?山西大附中?？寄M預測）已知線段a、b、c.

.a,

b

（1）用直尺和圓規(guī)作出一條線段AB,使它等于a+c-氏（保留作圖痕跡，檢查無誤后用水筆描黑，包括痕跡）

（2）若a=6,b=4,c=7,點C是線段4B的中點，求力C的長.

【答案】（1）作圖見解析

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（2）4.5

【分析】（1）作射線4M,在射線4M上順次截取4E=a,EF=c,在線段凡4上截取FB=6,則線段力B即為所

求；

（2）由（1）中結論及已知條件，求得力B的長，再利用線段中點的性質(zhì)即可解得力C的長.

【詳解】（1）解：如圖，線段4B即為所求：

A~/￡JFM

（2）如圖，

ACB\~*M

???a=6,b=4,c=7,

AB=a+c—b=6+7—4=9

???點C是線段ZB的中點，

11

AC=-AB=-x9=4.5

22

即24c的長4.5.

【點睛】本題考查基本作圖、線段的和差、線段的中點等知識，是基礎考點，掌握相關知識是解題關鍵.

題型02作角

5.（2024?江蘇鎮(zhèn)江?統(tǒng)考中考真題）操作探究題

（1）已知力C是半圓。的直徑，N40B=（詈）。（門是正整數(shù)，且n不是3的倍數(shù)）是半圓。的一個圓心角.

操作：如圖1,分別將半圓。的圓心角42。8=（陶。（n取1、4、5、10）所對的弧三等分（要求：僅用圓

規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）;

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n=10

圖I

從上面的操作我發(fā)現(xiàn)，就是利用60°、〔喘T所對的弧去找圈f的三分

之一即罄T所對的孤.

交流：當n=ll時，可以僅用圓規(guī)將半圓。的圓心角乙40B=（詈）。所對的弧三等分嗎？

我發(fā)現(xiàn)了它們之間的數(shù)量關系是4X，普y-碩。=昭:

我再試試：當＞1=28時,僵］°、MF、寓|°之間存在數(shù)量關系

因此可以僅用圓規(guī)將半圓。的圓心角乙4。8=，要了所對的弧三等分.

探究：你認為當幾滿足什么條件時，就可以僅用圓規(guī)將半圓。的圓心角N40B=（一）。所對的弧三等分？說說

你的理由.

（2）如圖2,。。的圓周角NPMQ=（竿）。.為了將這個圓的圓周14等分，請作出它的一條14等分弧而（要

求：僅用圓規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）.

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【答案】（1）作圖見解析；交流：60°-9x（嘿）。=償）°，或19x（嘿）?！?x60°=（|?。；

探究：正整數(shù)n（n不是3的倍數(shù)），理由見解析

（2）作圖見解析

【分析】（1）由操作可知，如果（岑）°可以用60。與（岑）。的線性表示，那么該圓弧就可以被三等分

（2）將圓周14等分就是把NPMQ=（券）。所對的圓周角NQOP所對弧三等分即可,給出一種算法：180。-當

【詳解】（1）

操作：

交流：60。-9x（嘿）。=（勖。，或19x（嘿）。-2x60。=鬻）。；

探究：設60°—從￥）°=（今°,解得n=3k+l（k為非負整數(shù)）.

或設”一60。=俘）。，解得"=3I（k為正整數(shù)）.

所以對于正整數(shù)幾5不是3的倍數(shù)），都可以僅用圓規(guī)將半圓。的圓心角乙4。8=（嚕）。所對的弧三等分;

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(2)

【點睛】本題考查了用圓規(guī)作圖的基本技能，需要準確理解題意，對于復雜圖形的作圖要學會將其轉化成

基本圖形去作，本題第二問利用轉化思想，轉化為第一問的思路從而得以解決，這也是本題求解的關鍵.

6.(2024?廣東廣州?統(tǒng)考一模)如圖，。。是△ABC的外接圓，AB=AC,4。是O。的切線.

(1)尺規(guī)作圖：過點8作2C的平行線交4。于點E,交。。于點尸，連接2F(保留作圖痕跡，不寫作法)；

(2)證明：AF=BC；

(3)若。。的半徑長為|,BC=4,求EF和BF的長.

【答案】(1)見解析；

(2)見解析；

⑶EF=等，8/=等

【分析】(1)根據(jù)題意進行尺規(guī)作圖即可；

(2)由BEII4C可得448尸=4"4。，從而得出赤=而，最后證得結果；

(3)連接4。并延長交BC于點連接。C,先通過勾股定理求得CM及2C的長，再證四邊形4EBC是平行四

邊形，再證然后列比例式即可求得結果.

【詳解】(1)作圖如下圖所示：

DEA

B

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(2)vBE||AC,

：.Z-ABF=Z.BAC,

.-.AF=BC,

：.AF=BC；

(3)如圖，連接4。并延長交BC于點河，連接0C,

DEA

'：AB=AC,4M過圓心O,

.,.AM工BC,

.?.BM=MC=Sc=2,

?.?在Rt^OMC中，OC=|,MC=2

■-OM=VOC2-MC2=J(|)-22=I，

53

.-.AM=0A+0M=^+-=4,

■-AB=AC=7AN2+MC2=V42+22=2炳,

???an是。。的切線，

：.AMLAD,

.-.AD\\BCf

???BE||AC,

四邊形4EBC是平行四邊形，

■.BE=AC=2V5,AE=BC=4,zAEB=^ACB,

.,.AB=BE,

：.Z.BAE=Z-BEA,

,??四邊形AFBC是圓內(nèi)接四邊形，

：.Z.AFE=乙AEB,

：.Z-AFE=Z-BAE,

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EF_AE

：'~AE~'EB"

EF4

,??丁=運

.-.EF=竿，

：.BF=2遙一等=等，

【點睛】此題是圓的綜合題，主要考查了切線的性質(zhì)、圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，平行四邊

形的判定及性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，判斷出是解本題的關鍵.

7.（2024?福建廈門?福建省廈門第六中學?？家荒＃┤鐖D1,△4BC中，〃CB=90。，”的大小保持不變,

點。在斜邊4B上，DELAC,垂足為點￡如圖2,把△4DE繞著點4順時針旋轉，旋轉角為a

（0。＜戊＜90。），點E的對應點為點P.

（1）求作點。的對應點Q（要求尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；

（2）連接PQ,CP,BQ,直線CP,BQ相交于點尸，試探究在整個旋轉過程中，直線CP,BQ所相交成的銳角是

否保持不變？若不變，請證明：若有變化，說明理由.

【答案】（1）見解析

（2）不變，理由見解析

【分析】（1）作NP4Q=NB4C,AQ=AD,則點Q即為所求；

（2）根據(jù)題意得出DEIIBC,則*=條，進而根據(jù)旋轉的性質(zhì)得出4P=4E/Q=4D,證明△SP-aBAQ

ADAC

得出N4BQ=NaCP=4aCF,根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可得出=進而得出結論.

【詳解】（1）解：如圖所示，點Q即為所求；

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（2）解：如圖所示，設CFM8交于點G,

-DELAC,乙4cB=90。，

：.DE\\BC,

AD_AE

?,布一就‘

???把△40E繞著點4順時針旋轉，旋轉角為曲0。<a<90。），點后的對應點為點「，點。的對應點Q,

：,AP=AEtAQ=AD,

AP_AQ

?,就一病

又"4P=乙DAQ=a,

???4CAPFBAQ,

：,Z.ABQ=AACP=乙ACF,

MBGC=乙ABF+乙BFC=Z-ACF+LBAC,

;/BFC=Z-BAC,

的大小保持不變，

.?2B尸C是定值.

【點睛】本題考查了旋轉的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，三角形的外角的性質(zhì)，掌握以上知識是解題

的關鍵.

題型03作角平分線

8.（2024?江蘇揚州?統(tǒng)考中考真題）【問題提出】如何用圓規(guī)和無刻度的直尺作一條直線或圓弧平分已知扇

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形的面積？

【初步嘗試】如圖1,已知扇形。48,請你用圓規(guī)和無刻度的直尺過圓心0作一條直線，使扇形的面積被這

條直線平分；

【問題聯(lián)想】如圖2,已知線段MN,請你用圓規(guī)和無刻度的直尺作一個以MN為斜邊的等腰直角三角形

MNP；

【問題再解】如圖3,已知扇形。請你用圓規(guī)和無刻度的直尺作一條以點。為圓心的圓弧，使扇形的面

積被這條圓弧平分.

（友情提醒：以上作圖均不寫作法，但需保留作圖痕跡）

【答案】見解析

【分析】【初步嘗試】如圖1,作乙的角平分線所在直線即為所求；

【問題聯(lián)想】如圖2,先作的線段垂直平分線交于點。再以O為圓心為半徑作圓，與垂直

平分線的交點即為等腰直角三角形的頂點；

【問題再解】如圖3先作0B的線段垂直平分線交0B于點N,再以N為圓心NO為半徑作圓，與垂直平分

線的交點為然后以。為圓心，為半徑作圓與扇形所交的圓弧即為所求.

【詳解】【初步嘗試】如圖所示，作乙4。的角平分線所在直線OP即為所求；

【問題聯(lián)想】如圖，先作的線段垂直平分線交于點。，再以。為圓心為半徑作圓，與垂直平

分線的交點即為等腰直角三角形的頂點；

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【問題再解】如圖，先作的線段垂直平分線交03于點N,再以N為圓心M9為半徑作圓，與垂直平分

線的交點為“，然后以。為圓心，（W為半徑作圓與扇形。48所交的圓弧C。即為所求.

【點睛】本題考查了尺規(guī)作圖，角平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，扇形的面積等知識，解決此類

題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，掌握基本作圖方法.

9.（2024?甘肅蘭州?統(tǒng)考中考真題）綜合與實踐

問題探究：（1）如圖1是古希臘數(shù)學家歐幾里得所著的《幾何原本》第1卷命題9：“平分一個已知角.”即:

作一個已知角的平分線，如圖2是歐幾里得在《幾何原本》中給出的角平分線作圖法：在04和0B上分別取

點C和。，使得。C=。。，連接CD,以CD為邊作等邊三角形CDE,貝IJ0E就是乙40B的平分線.

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請寫出。E平分乙4。8的依據(jù)：；

類比遷移：

(2)小明根據(jù)以上信息研究發(fā)現(xiàn)：△CDE不一定必須是等邊三角形，只需CE=DE即可.他查閱資料：我

國古代已經(jīng)用角尺平分任意角.做法如下：如圖3,在乙40B的邊04。8上分別取。M=0N,移動角尺，

使角尺兩邊相同刻度分別與點"，N重合，則過角尺頂點C的射線。C是N40B的平分線，請說明此做法的

理由；

拓展實踐：

(3)小明將研究應用于實踐.如圖4,校園的兩條小路力B和4C,匯聚形成了一個岔路口/,現(xiàn)在學校要在

兩條小路之間安裝一盞路燈￡,使得路燈照亮兩條小路(兩條小路一樣亮)，并且路燈￡到岔路口/的距離

和休息椅。到岔路口/的距離相等.試問路燈應該安裝在哪個位置？請用不帶刻度的直尺和圓規(guī)在對應的

示意圖5中作出路燈￡的位置.(保留作圖痕跡，不寫作法)

A

圖3圖4圖5

【答案】(1)SSS；(2)證明見解析；(3)作圖見解析；

【分析】(1)先證明△0CE三△ODE(SSS),可得=從而可得答案；

(2)先證明△0CM三△OCN(SSS),可得N40C=NB0C,可得。C是乙40B的角平分線;

(3)先作NBAC的角平分線，再在角平分線上截取4E=40即可.

【詳解】解：(1)-：OC=OD,CE=DE,DE=DE,

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/.AOZ）E（SSS）,

.,.Z-AOE=Z-BOE,

.?.。后是乙4。8的角平分線；

故答案為：SSS

（2）YOM=0N,CM=CN,OC=OC,

AOCM=AOC/V（SSS）,

：.Z.AOC=乙BOC,

；.0C是乙408的角平分線；

（3）如圖，點E即為所求作的點；

【點睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義與角平分線的性質(zhì)，作已知角的角平分

線，理解題意，熟練的作角的平分線是解本題的關鍵.

10.（2024?江蘇無錫?統(tǒng)考中考真題）如圖，已知銳角△ABC中，AC=BC.

（1）請在圖1中用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖：作乙4cB的平分線CD；作△ABC的外接圓。0；（不寫作法,

保留作圖痕跡）

（2）在（1）的條件下，若。。的半徑為5,貝UsinB=.（如需畫草圖，請使用圖2）

【答案】（1）見詳解；（2）?

【分析】（1）根據(jù)尺規(guī)作角平分線的步驟，即可作N4CB的平分線CD,作出/C的中垂線交CD于點。，再

以點。為圓心，OC為半徑，畫圓，即可;

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（2）連接。4,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得CDVAB,利用勾股定理求出OD,BC,進而即可求

解.

【詳解】解：（1）如圖所示:

（2）連接CM,

■,-AC=BC,NACB的平分線CD,

114824

?-AD=BD=-AB=-x—=—,CDLAB,

???。。的半徑為5,

.?.OD=VQ42—力。2=卜_（穿=

CD=CO+OD=5+~,

:.BC=\BD2+=J償了+停了=8,

-,.s.innB=—CD=^—-=-4.

BCs5

故答案是：三.

【點睛】本題主要考查尺規(guī)基本作圖，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)的定義，理解三角形

外接圓的圓心是三角形各條邊中垂線的交點，是解題的關鍵.

11.（2024?浙江金華?統(tǒng)考中考真題）如圖，為制作角度尺，將長為10,寬為4的矩形。ABC分割成4X10的

小正方形網(wǎng)格.在該矩形邊上取點P,來表示乙尸。4的度數(shù).閱讀以下作圖過程，并回答下列問題：

高考復習材料

OA（答題卷用）

作法（如圖）結論

"1。。=455點

①在C8上取點Pi，使CPi=4.

Pi表示45。.

②以。為圓心，8為半徑作弧，與BC交于點Z-P2OA=30°,點

尸2.P2表示30。.

招出二4f

③分別以為圓心，大于。長度一半的

0/222、8/

長為半徑作弧，相交于點與乩連結EF與BCA

相交于點尸3.

④以P2為圓心，。02的長為半徑作弧，與

射線CB交于點。，連結OD交力B于點P4.

⑴分別求點P3F4表示的度數(shù).

（2）用直尺和圓規(guī)在該矩形的邊上作點P5,使該點表示37.5。（保留作圖痕跡，不寫作法）.

【答案】（1）點P3表示60。點P4表示15。

（2）見解析

【分析】Q）根據(jù)矩形的性質(zhì)可求出NOP2c度數(shù)，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)度數(shù)，即可求出

的度數(shù)，從而知道P3點表示度數(shù)；利用半徑相等即可求出4。2。。=4P2。。，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求出

NP2。。=4。。力以及對應的度數(shù)，從而知道「3點表示度數(shù).

（2）利用角平分線的性質(zhì)作圖即可求出答案.

【詳解】（1）解：①???四邊形0aBe是矩形，

：.BC\\OA.

???4。22。=血。/=30。

由作圖可知，EF是。尸2的中垂線，

高考復習材料

圖1

0P3=P3P2.

乙P30P2=4P3P2。=30°.

乙

???Z-P3OA=P30P2+〃2。4=60°.

：?點尸3表示60°.

②由作圖可知，P2D=P2O.

???Z-P2OD=Z-P2DO.

又??.CB||OA,

???Z-P2DO=Z.DOA.

1

???4尸2。0=^-DOA=54尸2。4=15°.

???點尸4表示15°.

故答案為：點P3表示60°,點P4表示15。.

(2)解：如圖所示，

作乙「3。24的角平分線等.如圖2,點P5即為所求作的點.

圖2

???點23表示60°,點表示15。.

^P5OA=QP3O4-NP4O4)+〃4。4=l^P3OA+出04)=|(60°+15°)=37.5°.

?孑5表示37.5。.

【點睛】本題考查的是尺規(guī)作圖的應用，涉及到的知識點有線段垂直平分線、角平分線性質(zhì)、圓的相關性

高考復習材料

質(zhì)，解題的關鍵需要正確理解題意，清楚知道用到的相關知識點.

12.(2024?廣東廣州?統(tǒng)考一模)已知O。為△48C的外接圓，。。的半徑為6.

(1)如圖，是。。的直徑，點C是通的中點.

①尺規(guī)作圖：作乙4cB的角平分線CD,交。。于點D,連接BD(保留作圖痕跡，不寫作法)：

②求BD的長度.

(2)如圖，AB是G)。的非直徑弦，點C在詬上運動，^ACD=乙BCD=60°,點C在運動的過程中，四邊形力DBC

的面積是否存在最大值，若存在，請求出這個最大值；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)①見解析；@672

(2)存在，最大值為36VJ

【分析】(1)①根據(jù)角平分線的作圖方法畫出C。，在連接BO即可；②由點C是通的中點，得出

AC=BC.根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出CD14B.結合4B是。。的直徑,即得出CD經(jīng)過圓心O,即NBOD=90°,

最后根據(jù)勾股定理求解即可.

(2)連接4B,過點。作DO148于點E,交。。于點過點C作CF14B.由題意易證△4DB為等邊三

角形.根據(jù)DO14B,即得出DO為。。直徑，。是通的中點.根據(jù)a/WB為等邊三角形，可得出AB和4B

邊上的iWi都為定值，再根據(jù)根據(jù)S四邊形ADBC=,(DE+CF),即得出當CF最大時，S四邊形ABCD最大，此

時點C與點。重合，即當點C為通中點時，S四邊形4DBC最大，此時OC為O。直徑，得出此時

乙4=NB=90。.易求出乙4。。=90。-447。=30。，結合勾股定理和含30度角的直角三角形的性質(zhì)得出

AC=|CZ)=6,AD=7CD2-AC2=673,進而可求出S。。。=/iC?AD=18V3,又易證△BCD三△ACD(SSS

),得出SABCD=SgcD=從而可求出S四邊形4BCD=S^BCD+S/V1CD=36V§\即點C在運動過程中,

四邊形4DBC的面積存在最大值，最大值為36g.

【詳解】(1)解：①如圖1,即為所作圖形；

高考復習材料

圖1

②;點C是通的中點，

.\AC=BC.

???CD是4CB的平分線，

.-.CDLAB.

MB是O。的直徑，

.,.CD經(jīng)過圓心O,

.-.Z.BOD=90°.

???。。的半徑為6,

■■.OB=OD=6,

：.BD=VOB2+OD2=6V2；

(2)點C在運動過程中，四邊形4DBC的面積存在最大值.

理由：如圖，連接4B,過點。作DCU42于點E,交O。于點C',過點C作CF14B.

CC

圖2

?:乙ACD=LBCD=6Q°,

.-.AD=BD,Z.ACB=2/.BCD=120°,

：.AD=BD.

???四邊形4DBC為。。內(nèi)接四邊形，

.'.Z.ADB=18O°-Z>1CB=60°,

高考復習材料

.?.△ZDB為等邊三角形.

■：DCLAB,

??.DC，為。。直徑，。是樂的中點.

：S四邊形40BC=S4ABD+S"BC，

?'?S四邊形4DBC—/B-DE+^AB-CF=-(DE+CF).

???△4DB為等邊三角形，

.?MB和AB邊上的高都為定值，

二當CF最大時，s四邊形ADBC最大，此時點c與點C'重合，

.??當點C為廂中點時，s四邊形4DBC最大，此時DC為O。直徑,

.?24=NB=90。，如圖3.

圖3

???。。的半徑為6,

.-.CD=12.

MADC=90°-4CD=30°,

■.AC=^CD=6,

■■AD='CD2—AC2=6V3,

',■^AACD=-AD6x6V3=18V3.

?：BD=AD,BC=AC,CD=CD,

???△BC0wZ\4C0(SSS),

:S^BCD=^AACD—18^3,

???S四邊形4BCD=S4BCD+^AACD=36遮，

??.點。在運動過程中，四邊形4DBC的面積存在最大值，最大值為36g.

【點睛】本題考查作圖一角平分線，勾股定理，圓周角定理的推論，垂徑定理，弧、弦、圓心角的關系,

高考復習材料

圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性

質(zhì)，綜合性強.正確作出輔助線，并利用數(shù)形結合的思想是解題關鍵.

13.(2024?山西晉中?統(tǒng)考一模)綜合與實踐

問題情境：

在綜合與實踐課上，老師組織同學們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學活動.

操作發(fā)現(xiàn)：

某數(shù)學小組對圖1的矩形紙片進行如下折疊操作：

第一步:如圖2,把矩形紙片/BCD對折，使/。與8c重合，得到折痕然后把紙片展開；

第二步:如圖3,將圖2中的矩形紙片沿過點2的直線折疊，使得點/落在上的點4處，折痕與交

于點E,然后展開紙片，連接24,BA',EA".

ADAD

M-----------N

BCBC

圖1圖2

圖3圖4

問題解決：

(1)請在圖2中利用尺規(guī)作圖，作出折痕3E；(保留作圖痕跡)

(2)請你判斷圖3中的形狀，并說明理由；

(3)如圖4,折痕與〃N交于點尸，54的延長線交直線CD于點尸，若“尸=1,BC=1,請你直接寫出

PD的長.

【答案】(1)見解析

(2)△4B4是等邊三角形，理由見解析

(3件

【分析】(1)以點8為圓心，加的長為半徑作弧交于點⑷，連接AT,作乙484的角平分線交4D于

點E；

高考復習材料

(2)由折疊可知MNIIBC,MNLAB,BM=^AB,AB=A'B,

可得=推出N84M=30。，進而可得A4B4是等邊三角形；

(3)由等邊三角形的性質(zhì)可求得板為aaBE的中位線，得到4E=2MF=2,進而求得48=2舊”BE=4

,再根據(jù)矩形的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)求得NEB4=乙EHB=30°,最后求得PD的長.

【詳解】(1)如圖，線段BE即為所求.

(2)△4B4是等邊三角形.

證明：由折疊可知MNllBC,MNLAB,BM=^AB,AB=A'B,

???sinzBXM=—=~,

：./LBA'M=30°.

在RtZ\B4M中，^A'BM=90°-/LBA'M=60°.

???44BM=60°,AB=A'B,

.??△4B4是等邊三角形.

(3)???△AB4是等邊三角形,

.-.AA'=A'B=AB,^ABA'=60"

■.■MNIIADIIBC,MNA.AB,

為48的中點，MF=\,

."/尸為△ABE的中位線，

：.AE=2MF=2,

???矩形紙片沿過點B的直線折疊，使得點A落在〃N上的點4處,

1

???/.ABE=4ABBE=-/.ABA,=30°,

RtAABE中，^ABE=30°,AE=2,

■■.AB=2V3.,BE=4,

高考復習材料

???四邊形43co為矩形，BC=1,

-.^ADC=AABC=90°,

???力。=2C=7.ADHBC,

???Z.HDP=90°,

:.乙PBC=30°,

■.■ADUBC,

：.4EHB=Z.PBC=30°,

?-?/.EBA'=乙EHB=30°,

???EB=EH=4,

???DH=7-4-2=1,

乙PHD=4EHB=30°,

.?.在RtAZZDP中，DH=l.PD-.DH=1：V3

:.PD普

【點睛】本題考查四邊形的綜合問題、動點問題及銳角三角函數(shù)的定義.解題的關鍵在與分析動點的運動

狀態(tài)，特別是要準確地判斷零界點發(fā)生的條件，并計算位置.

題型04作垂線

14.（2024?重慶?統(tǒng)考中考真題）我們知道，矩形的面積等于這個矩形的長乘寬，小明想用其驗證一個底為

a,高為/7的三角形的面積公式為S=》h.想法是：以BC為邊作矩形BCFE,點/在邊FE上，再過點/作BC

的垂線，將其轉化為證三角形全等，由全等圖形面積相等來得到驗證.按以上思路完成下面的作圖與填空:

證明：用直尺和圓規(guī)過點/作BC的垂線4D交BC于點。.（只保留作圖痕跡）

在△ADC和中,

,：AD1BC,

???44。。=90。.

高考復習材料

vZF=90°,

???①.

-：EF||BC,

???②.

又?:—③.

△ADC^△CFA(AAS).

同理可得：?.

1111

^AABC-S^ADC+S△ABD=5s矩形4DCF+5s矩形AEBD=5s矩形BCFE=5ah?

【答案】圖見解析，UDC=4F；41=42；AC=AC；/^ABD=ABAE

【分析】根據(jù)垂線的作圖方法作圖即可，利用垂直的定義得到乙4DC=N尸，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到41=42,

即可證明八4。。三△C4F,同理可得△A&D三ABNE,由此得到結論.

【詳解】解：如圖，即為所求，

在△4DC和△CE4中，

,：AD1BC,

??Z/OC=90。.

vZF=90°,

??2DC=LF.

-EF||BC,

?,.zl=z2.

又???/C=ZC.

AADC=ACFA(AAS).

同理可得：AABD=ABAE.

1111

S^ABC—S^ADC+^AABD=5s矩形/女尸+5s矩形/EBD=5s矩形BCFE=-ah.

高考復習材料

故答案為：乙4DC=541=42；AC=AC；AABD=ABAE.

【點睛】此題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，垂線的作圖方法，矩形的性質(zhì)，熟練掌握三角形的判定定

理是解題的關鍵.

15.(2024?河南?統(tǒng)考中考真題)如圖，反比例函數(shù)y=§Q:>0)的圖像經(jīng)過點4(2,4)和點8,點B在點4的下

⑴求反比例函數(shù)的表達式.

(2)請用無刻度的直尺和圓規(guī)作出線段AC的垂直平分線.(要求：不寫作法，保留作圖痕跡，使用23鉛筆作

圖)

(3)線段。4與(2)中所作的垂直平分線相交于點。，連接CD.求證：CD||AB.

【答案】(i)y=g

(2)圖見解析部分

(3)證明見解析

【分析】(1)把點4的坐標代入反比例函數(shù)解析式，即可得出答案；

(2)利用基本作圖作線段ac的垂直平分線即可；

(3)根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)和角平分線的定義可得到ABAC=Z.DCA,然后利用平行線的判定即可得證.

【詳解】(1)解：；反比例函數(shù)丫=3%>0)的圖像經(jīng)過點4(2,4),

.?.當x=2時，5=4,

;.k=8,

???反比例函數(shù)的表達式為：y=p

(2)如圖，直線EF即為所作;

高考復習材料

???直線EF是線段ac的垂直平分線,

.\AD=CD,

：.Z-DAC=Z.DCA,

???/C平分

：.Z-DAC=乙BAC,

.,.Z.BAC=Z-DCA,

【點睛】本題考查了作圖一基本作圖，用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，垂直平分線的性質(zhì)，等腰三

角形的性質(zhì)，平行線的判定，角平分線的定義等知識.解題的關鍵是熟練掌握五種基本作圖（作一條線段

等于已知線段；作一個角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知直

線的垂線）.

16.（2024?甘肅蘭州?統(tǒng)考中考真題）綜合與實踐

問題情境：我國東周到漢代一些出土實物上反映出一些幾何作圖方法，如侯馬鑄銅遺址出土車害范、芯組

高考復習材料

成的(如圖1),它的端面是圓形，如圖2是用“矩”(帶直角的角尺)確定端面圓心的方法：將“矩”的直角

尖端/沿圓周移動，直到在圓上標記/,B,C三點；將“矩”向右旋轉，使它左側邊落在/,8點

上，“矩”的另一條邊與圓的交點標記為。點，這樣就用“矩”確定了圓上等距離的N,B,C,。四點，連接

AD,3c相交于點，這樣就用“矩”確定了圓上等距離的B,C,。四點，連接3c相交于點。，即。

為圓心.

圖3圖4圖5

(1)問題解決：請你根據(jù)“問題情境”中提供的方法，用三角板還原我國古代幾何作圖確定圓心。如圖3,

點B,C在。。上，AB1AC,且4B=4C,請作出圓心。(保留作圖痕跡，不寫作法)

(2)類比遷移：小梅受此問題的啟發(fā)，在研究了用“矩”(帶直角的角尺)確定端面圓心的方法后發(fā)現(xiàn)，如果

48和NC不相等，用三角板也可以確定圓心。如圖4,點/,B,C在。。上，ABLAC,請作出圓心

。.(保留作圖痕跡，不寫作法)

(3)拓展探究：小梅進一步研究，發(fā)現(xiàn)古代由“矩”度量確定圓上等距離點時存在誤差，用平時學的尺規(guī)作圖

的方法確定圓心可以減少誤差.如圖5,點N,B,C是。。上任意三點，請用不帶刻度的直尺和圓規(guī)作出

圓心0.(保留作圖痕跡，不寫作法)請寫出你確定圓心的理由：.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

(3)見解析

【分析】(1)作乙45ZA90。，3。與圓相交于。，連接BC、相交于點O,即可；

(2)作乙480=90。，AD與圓相交于。，連接3C、相交于點。，即可；

(3)作的垂直平分線OE,作/C的垂直平分線MN,DE交MN千O,即可，則垂徑定理得出確定圓心

的理由即可.

高考復習材料

【詳解】（1）解：如圖所示，點。就是圓的圓心.

圖3

作乙4AD=90。，2。與圓相交于。，連接2C、4D相交于點

“CAB=UBD=90°,

:.BC、/￡＞是圓的直徑，

.??點O是圓的圓心.

（2）解：如圖所示，點。就是圓的圓心.

圖4

作乙4AD=90。，AD與圓相交于。，連接3C、4D相交于點0,

?:乙CAB=UBC=9Q°,

:.BC、是圓的直徑，

.??點。是圓的圓心.

（3）解：如圖所示，點。就是圓的圓心.

高考復習材料

作48的垂直平分線作NC的垂直平分線MN,DE交MN于0,

??,DE垂直平分48,

???OE經(jīng)過圓心，即圓心必在