2024年高考數(shù)學(xué)模擬卷（七省新高考）（解析版）

備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)模擬卷(七省新高考專用)

(考試時間：120分鐘試卷滿分：150分)

第I卷(選擇題)

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要

求的。

1.已知集合人=卜|尤42},集合3={x|y=In(x-l)},則等于()

A.{x|l<x<2}B.1%|l<x<2}C.{尤［l<x<2}D.{x|xN2}

【答案】A

【分析】根據(jù)題意先解出集合民進(jìn)而求出交集即可.

【詳解】由題意，3={x|x>l},則AB={x|l<x<2}.

故選：A.

2.若復(fù)數(shù)z=L(i是虛數(shù)單位)，則|z|=()

1-1

A.-B.巫C.1D.J2

22

【答案】B

【解析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡后利用模的公式計(jì)算.

Z(l+z)-1+i11

【詳解】z=--------=——+—

(f)222

所以叫―/+(/=￥?

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算及模的求法，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.

3.非零向量〃、6滿足：(Q-2Z?)_LQ,(Q-2A)_LZ?,忖=1,則愀=()

A.B.C.1D.2

22

【答案】B

=0

在方程組中消去a),可得出口和%的等量關(guān)系，即可得出”的

【分析】根據(jù)題意得出

(a-2b}b=0

值.

(Q-2b).q=0

2。2=0①cZH.2,2

【詳解】由題意可得/\，即a-b-2b、嗨'①+②*2得”-4b=0,

(a-2b\b=0

11

即忖—4慟=0,因此，忖-a=-

22

故選：B.

4.某校2023年秋季入學(xué)考試，某班數(shù)學(xué)平均分為125分，方差為成績分析時發(fā)現(xiàn)有三名同學(xué)的成績

錄入有誤，A同學(xué)實(shí)際成績137分，被錯錄為H8分；B同學(xué)實(shí)際成績115分，被錯錄為103分；C同學(xué)

實(shí)際成績98分，被錯錄為129分，更正后重新統(tǒng)計(jì)，得到方差為只，則s；與學(xué)的大小關(guān)系為（）

A.s；二B.Si>4C.D.不能確定

【答案】C

【分析】分析前后的平均分，再根據(jù)方差公式判斷即可.

【詳解】設(shè)班級人數(shù)為"（”>0）,因?yàn)?18+103+129=137+115+98,所以更正前后平均分不變,

且(118—125)2+(103—125)2+(129—125)2=549<(137—125)2+(115—125)2+(98—125)2=973,所以父

故選：C

5.已知實(shí)數(shù)a>Z?>0,meR,則下列不等式中成立的是（）

b+mb

A.------->-B.<

a+ma

mm

C.—>—D.a2>b-2

ab

【答案】B

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、塞函數(shù)的單調(diào)性，及特殊值，逐一分析選項(xiàng)即可.

【詳解】對于A：當(dāng)機(jī)=。時，不成立，所以A錯誤;

對于B：由指數(shù)函數(shù)y=（：）'圖象與性質(zhì)得，其在R是減函數(shù),

a>b>0,所以B正確;

對于C：當(dāng)m=0時，不成立，所以C錯誤;

對于D：幕函數(shù)y=H在（0,+功單調(diào)遞減，而。>b>0,

所以4所以口錯誤.

故選：B.

已知：17

6.tan[<9+)=—tan,貝Icos20=()

44

A.B.c.D.

2~27

【答案】c

【分析】利用兩角和的正切公式可得出關(guān)于tan。的方程，解出tan。的值，再利用二倍角的余弦公式以及弦

化切可求得cos29的值.

八兀

tan〃+tan一

tan^+l

【詳解】因?yàn)閠an,十；4=—tan8——,

人兀I-tan622

1l-tan6^tan—

4

整理可得tan?9—6tan6+9=0,解得tan。=3,

由a“cos2<9-sin26I-tan20l-94

所以,cos26=-y-------=------------——=——?

cos26>+sin26>l+tan26>l+95

故選：C.

7.己知五］、F?分別為雙曲線與一1=1（°>0,。>0）的左、右焦點(diǎn)，且國凡|=生，點(diǎn)尸為雙曲線右支一點(diǎn),

aba

/為笆的內(nèi)心，若S△啊=S△叱+1S△殂F2成立，給出下列結(jié)論：

①當(dāng)尸"_Lx軸時，N尸耳招=30。

②離心率6=土叵

2

③八旦

2

④點(diǎn)/的橫坐標(biāo)為定值。

上述結(jié)論正確的是（）

A.①②B.②③C.①③④D.②③④

【答案】D

【解析】當(dāng)尸無軸時，求出tanN尸片區(qū)=；,判定①不正確；通過求解離心率，可判定②正確；設(shè)△尸￡鳥

的內(nèi)切圓半徑為,，利用面積公式求得X,可判定③正確；設(shè)內(nèi)切圓與尸耳,尸&,尸田的切點(diǎn)分別為M,N,T,

結(jié)合雙曲線的定義，求得/的橫坐標(biāo)，可判定④正確.

A211

【詳解】當(dāng)尸工，無軸時，可得|尸閭=幺=。=白耳段，此時tan/PT笆=3,所以①不正確;

因?yàn)樯觸=空，所以2。=宜=生二豆，整理得/一℃一片=0,

aaa

可得/_-1=0（其中e為雙曲線的離心率，e>l）,所以e=W所以②正確；

2

設(shè)△期工的內(nèi)切圓半徑為r,

由雙曲線的定義可得|尸耳|-|「盟=2°,寓閶=2c,

其中S呼=J尸團(tuán)/，S續(xù)g=：2m,

因?yàn)?5堤%+/S△巧&,所以2儼制,r=/I尸居卜廠+彳。r,

解得a=四上明=@=J.=，1二1,所以③正確；

2cce2

設(shè)內(nèi)切圓與尸耳,尸鳥,耳居的切點(diǎn)分別為M，N,T,

可得1PM=|PN|，寓M=|甲j,叵N卜㈣刀,

因?yàn)閨WH尸司=閨間—因M=|耳刀―怩T|=2a,閨司=出刀+內(nèi)刀=2c,

可得優(yōu)T|=c-a,則點(diǎn)T的坐標(biāo)為（a,0）,

所以/點(diǎn)橫坐標(biāo)為。，所以④正確.

則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

,+00

7

【答案】C

二一，求得

【分析】求得（（同=工-acosx,由題意轉(zhuǎn)化為aW」一在上恒成立，設(shè)//（》）=

XXCOSX%cos%

"(x)=c；：；fnx,令g(x)=-cos尤+xsinx,利用導(dǎo)數(shù)求得g(x)單調(diào)遞增'結(jié)合g(?<0,得到/?(“

JT7T71

在上單調(diào)遞減，利用"W/7,即可求解.

o4

【詳解】由函數(shù)/(九)=lnx-〃sinx,可得/'(%)='-acos%,

x

因?yàn)楹瘮?shù)“X)在區(qū)間上單調(diào)遞增，可得尸(x)NO在上恒成立，

040464

即^―!—.7171rt一、、

在67上恒成立,

XCOSX

…、1_、，…，/、-cosx+xsinx

設(shè)〃(尤)=而蒜,可得"…

☆g(x)=-cosx+xsin_r,可得g'(x)=2sinx+xcosx

當(dāng)xe屋時，g，(x)>0,所以g(x)單調(diào)遞增,

V7/兀、兀兀.兀A/27iA/2_

乂因?yàn)閄㈠=-cos—+—sm—=-----F—x——<0,

4444242

所以〃(x)<0,所以碎)在屋上單調(diào)遞減,

c

71逑，即實(shí)數(shù)”的取值范圍是

所以〃4力—8,

71

故選：C.

二'多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的

要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.“塹堵”“陽馬”和“鱉席”是我國古代對一些特殊幾何體的稱謂.《九章算術(shù)?商功》有如下敘述：“斜解立方，

得兩塹堵，斜解塹堵.其一為陽馬，其一為鱉腌”.意思是說：將一個長方體沿對角面斜截(圖1),得到

一模一樣的兩個塹堵(圖2),再沿一個塹堵的一個頂點(diǎn)和相對的棱斜截(圖2),得一個四棱錐稱為陽馬

(圖3),一個三棱錐稱為鱉腌(圖4).

圖1圖2圖3圖4

若長方體的體積為匕由該長方體斜截所得到的塹堵、陽馬和鱉腌的體積分別為則下列選項(xiàng)不正

頌的是()

A.匕+匕+K=VB.K=2/C.匕=2%D.匕=工V

6

【答案】ACD

【分析】根據(jù)題意確定塹堵、陽馬和鱉麻的體積與長方體的體積V的數(shù)量關(guān)系，即可得答案.

【詳解】解：由題意，塹堵的體積匕==,陽馬的體積匕=！，鱉麻的體積匕=:乂=1,

2336

所以匕+匕+匕=丫，2乂=3%,6%=3%=v,即匕=2匕，

V

所以％-匕=匕=7，

6

所以，ACD選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)錯誤.

故選：ACD

10.已知數(shù)列｛4｝中，％=3,且。向=一一二,則能使4=3的"可以是()

凡+1

A.4B.14C.21D.28

【答案】AD

【分析】由已知條件計(jì)算可得數(shù)列｛%｝是以3為周期的周期數(shù)列，從而可求得答案

【詳解】因?yàn)椋?3,且。用=一一二,

4+1

11°=_J_=__]_=_1

所以L…，-一3，

3

所以數(shù)列｛4｝是以3為周期的周期數(shù)列，

所以%w=3,%eN,

所以n可以是1,4,7,10,13,16,19,22,25,28,31,……

故選：AD

11.已知函數(shù)/0)=/-彳+1,貝！]()

A./⑺有兩個極值點(diǎn)B./⑺有三個零點(diǎn)

C?點(diǎn)(0,1)是曲線y=的對稱中心D.直線y=2x是曲線y=/(x)的切線

【答案】AC

【分析】利用極值點(diǎn)的定義可判斷A,結(jié)合/(x)的單調(diào)性、極值可判斷B,利用平移可判斷C；利用導(dǎo)數(shù)

的幾何意義判斷D.

【詳解】由題，/'")=3/一1,令yqx)>o得x>#或尤〈一堂，

令廣(x)<0得一旦尤<烏

33

所以/(X)在(_oo,_曰),(4,+00)上單調(diào)遞增，(_*,#)上單調(diào)遞減，所以x=±￥是極值點(diǎn)，故A正

確；

因了(-％=1+手>0,"g)=l-子>0，/(-2)=-5<0,

所以，函數(shù)〃可在『心-亭)上有一個零點(diǎn)，

當(dāng)盜無時，〃尤>0,即函數(shù)“X)在上無零點(diǎn)，

3I3JI3J

綜上所述，函數(shù)/(x)有一個零點(diǎn)，故B錯誤；

令/J(X)=X3-X,該函數(shù)的定義域?yàn)镽,//(-%)=(-%)3-(-%)=-x3+x=-h[x),

則〃(x)是奇函數(shù)，(0,。)是〃。)的對稱中心，

將領(lǐng)x)的圖象向上移動一個單位得到/(x)的圖象，

所以點(diǎn)(0,1)是曲線y=/(元)的對稱中心，故C正確；

令〃x)=3尤J1=2,可得x=±l,又/⑴=

當(dāng)切點(diǎn)為(U)時，切線方程為y=2x-l,當(dāng)切點(diǎn)為(-1,1)時，切線方程為，=2x+3,故D錯誤.

故選：AC.

12.已知拋物線C:/=2px(p>0)的焦點(diǎn)為￡4a,另),3(孫％)是C上相異兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是(

A.若AF=FB，則網(wǎng)=2pB.若AF=3FB，則|A同=2p

C.若臉=1,則|AB|=3pD.若％=6p，則|AB|=3p

【答案】AB

【分析】利用拋物線的性質(zhì)結(jié)合平面向量的坐標(biāo)表示計(jì)算一一判定即可.

【詳解】由題意可知尸已0)所以”=(勺.-yj,q=

對于A項(xiàng)，AF=FB=&-%=X,-y=>X]+X,=p,

故|AB|=|AF]+怛口二百+吃+2=？。，即A正確；

卜一

■|_%_3再+3%=2p

對于B項(xiàng)，若=IL

.%+3%=0

-%=3為

又［江嬴*=%解得釬|一故用=g=2p,即B正確;

對于C、D項(xiàng)，當(dāng)％=1,直線AB位置不固定，故弦長不定，即C錯誤；

同樣當(dāng)%=60,點(diǎn)8位置不固定，故弦長不定，即D錯誤.

故選：AB

第口卷(非選擇題)

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分，其中第16題第一空2分，第二空3分。

13.某學(xué)校組織1200名學(xué)生進(jìn)行“防疫知識測試”.測試后統(tǒng)計(jì)分析如下：學(xué)生的平均成績?yōu)樵?80,方差為

S2=25.學(xué)校要對成績不低于90分的學(xué)生進(jìn)行表彰.假設(shè)學(xué)生的測試成績X近似服從正態(tài)分布(其

中〃近似為平均數(shù)元，/近似為方差$2,則估計(jì)獲表彰的學(xué)生人數(shù)為.(四舍五入，保留整數(shù))

參考數(shù)據(jù)：隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布貝九尸(4-b<X<〃+b)=0.6827,

尸(M—2cr<X<M+2cr)=0.9545,尸(〃一3b<X<〃+3CT)=0.9973.

【答案】27

［分析］根據(jù)題意得到〃=80,b=5,〃+2b=90,結(jié)合3b原則和正態(tài)分布的對稱性求出尸(X>90)=0.02275,

求出獲得表彰的學(xué)生人數(shù).

【詳解】由題意得：〃=80,。=5,〃+2b=9。，

故P(X>90)=P(X>〃+2b)=；-；x0.9545=0.02275,

所以1200x0.02275。27.

故答案為：27.

14.已知直線%-切+2=。與(O：Y+y2=4交于人，8兩點(diǎn)，寫出滿足“三角形ABO面積為2”的根的一

個值______.

【答案】1(或-1)

【分析】由直線所過定點(diǎn)(-2,0)也在。上，則人(-2,0),由面積可知點(diǎn)8在到x軸的距離為2,可求坐標(biāo)，

代入直線方程求加的值.

【詳解】直線陽+2=0過定點(diǎn)(-2,0),點(diǎn)(-2,0)也在。上，故可設(shè)A(-2,0),

|Q4|=2,三角形ABO面積為2,則點(diǎn)8到x軸的距離為2,

點(diǎn)8在。上，則有3(0,2)或8(0,-2),代入直線方程解得m=1或機(jī)=T.

故答案為：1（或-1）

15.在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東45。方向，距A處（指-1）海里的8處有一艘走私船，在A處北偏西75。方向,

距A處2海里的C處的緝私船奉命以10G海里/小時的速度追截走私船，此時走私船正以10海里/小時的速

度從B處向北偏東30。的方向逃竄，緝私船要最快追上走私船，所需的時間約是分鐘.（注：V6?2.5）

【分析】由已知條件，先解一ABC,利用正余弦定理得3C=布及BC為東西走向，再解△BCD,利用利用

正弦定理得N3CD,進(jìn)而得到8。=指，利用路程與速度的比即可求時間.

【詳解】設(shè)緝私艇最快在。處追上走私船，追上走私船需t小時,

則B￡?=10f,CD=10s/3t,

.,.在ABC中，已知A8=有一1,AC=2,

ZBAC=45+75=120,

由余弦定理得，

BC-=AB2+AC2-2AB-AC-cosABAC

=(73-1)2+22-2X(^-1)X2XCOS120=6,即3C=痛,

ACBC

由正弦定理得

sinZABCsinZBAC

AC-sin/BAC_2sinl20—忘

貝(IsinZABC=

BC-—46—-V

:.ZABC=45°,

...BC為東西走向，\?CBD120°.

BDCD

在△BCD中，由正弦定理得

sinNBC。sinZCBD

BD-sinZCBD10/?sin120

貝！|sinNBCD=且NBC。為銳角,

CD10后

ZBCD=30",.-.ZBDC=30°

，BD=BC=j6,

即10""，??"=如。至=，小時，即15分鐘.

10104

故答案為：15.

x2,x<0

16.已知函數(shù)/(力=x八，若屋外=〃力-。恰有2個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)〃的值為____,若關(guān)于％的方

--,x>0

lex-1

程嚴(yán)(力-2”力+2〃2-1=0恰有4個不同實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為.

【答案】1;

【分析】先利用導(dǎo)數(shù)研x>0的的圖象，再作出的圖象,g⑺=/⑴-。恰有2個零點(diǎn)，則y=/(尤)

與丫=。有2個交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合即可得實(shí)數(shù)a的值;若關(guān)于x的方程產(chǎn)⑺一2〃X)+2祖-1=0恰有4個不同

實(shí)數(shù)根，令仁/⑺，通過分析可得〃(。=『-2/+2祖-1=0有2個不等根乙也,且r2e(O,l),再

數(shù)形結(jié)合即可建立加的不等式組，即可求解

【詳解】當(dāng)x>。時則((力=二，/⑴=1,

ee

令尸(x)=0,解得x=l,

所以當(dāng)xe(O,l)時，制x)>0"(無)單調(diào)遞增，xe(l,+?)時，/'(X)<0)(可單調(diào)遞減，

若g(x)=〃x)-。有2個零點(diǎn)，則y=/(x)與y有2個交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可知a=1;

若關(guān)于x的方程產(chǎn)(力-2〃彳)+2加-1=0恰有4個不同實(shí)數(shù)根，

令f=/(x),貝!|=——2/+2加一1=0有兩個不等實(shí)數(shù)根tl,t2,

故y=4，>=&與〃可都有2個交點(diǎn)或者〉=6與”可僅1個交點(diǎn)，>=4與〃尤)有3個交點(diǎn)；

當(dāng)y=4，y=&與都有2個交點(diǎn)，根據(jù)圖象可得4=芍=i,不滿足,產(chǎn)，2,舍去；

當(dāng)y=G與僅1個交點(diǎn)，，=/2與/(%)有3個交點(diǎn)，貝me{0}u(L+oo),?2e(O,l),

當(dāng)4=0時，2/71-1=0,解得加=；,故%⑺=/—2/=0,解得％=0或I?=2武0,1),舍去;

故/z⑺=/_2/+2相_1=?-1)2+2加一2=0兩個實(shí)數(shù)根的范圍為.e(L心)，?2e(0,l),

/7（1）=2/72-2<0解得3＜加＜1

所以

/z（0）=2m-1>0

所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為,停＜機(jī)＜1

故答案為：1;

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題求解的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合思想作出函數(shù)的圖象，再通過圖象得到了=4與/(x)

僅1個交點(diǎn)，丁=^與〃*)有3個交點(diǎn)，并通過分析得到％e(l,y),/2?。，1).

四、解答題：本題共6小題，共70分，其中第17題10分，18~22題12分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、

證明過程及驗(yàn)算步驟。

bcos5+1

17.在AABC中，邊a、b、c對應(yīng)角分別為A、B、C,且一=%.

a，3sinA

⑴求角8的大??；

(2)從條件①、條件②、條件③中任選一個作為已知條件，使得ZkABC存在且唯一，求AC邊上的高.

條件①：cosA=—,b—1；

3

條件②：6=2,c=2V3；

條件③：a—3,c—2.

注：若選多個條件分別作答，則按第一個解答給分.

【答案】(1號

(2)答案見解析

【分析】(1)利用正弦定理邊化角，然后整理計(jì)算可得答案；

(2)若選擇條件①：由三角形的三角一邊可得A43C唯一確定，再利用正弦定理計(jì)算求答案；若選擇條件

②：根據(jù)正弦定理計(jì)算得sinC＞l,得到AA8C不存在；若選擇條件③：由三角形的兩邊及其夾角確定可得

△43C存在且唯一，再利用正弦定理計(jì)算求答案.

【詳解】(1)由正弦定理邊化角得當(dāng)=爭一，

smAV3sinA

?.^3sinB=cosB+1,得sin]|,

八八71715K

0<B<71,/.——<B——<——,

666

⑵若選擇條件①…A=￥，b=LY

/.0<A<^,...sinA=，

23

則AABC中NAN仇NC均唯一確定，又b=l,則AABC存在且唯一,

ab12

-

由正弦定理sinA-sinC-sinBsin^

3

2一2V6272

-^=-sinA.=-T=-x—=------9

A/3>/333

12A/372

AC邊上的高為asinC=asin(A+B)=——x—+與~9~+^'

23

若選擇條件②：b=2,c=2百，5=y

b得sinC=X=2x3=。>1,

由正弦定理

sinCsinBb222

■■AABC不存在;

若選擇條件③：a=3,c=2,B=y,

jr___

由a=3,c=2,B=§可得AABC存在且唯一,

由余弦定理從=a2+c2-2accosB=9+4—2x3x2x；=7,貝!|b=布,

b得sinC=^"=3|半,

由正弦定理

sinCsinBb幣2幣

733721

AC邊上的高為osinC=3x

18.已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“=2,7,*為等差數(shù)列｛2｝的前幾項(xiàng)和,且滿足4=生，T5=1T2

⑴求數(shù)列｛4｝,｛2｝的通項(xiàng)公式;

(2)求數(shù)列｛4勿｝的前〃項(xiàng)和H”.

【答案】⑴4=2"T,bn=3n-2

⑵凡=(3"-5)2"+5

[S”〃=l

【分析】(1)由4=0'、。計(jì)算可得結(jié)果.

(2)求等差數(shù)列乘以等比數(shù)列的前n項(xiàng)和通過錯位相減法可得結(jié)果.

【詳解】(1)①當(dāng)〃=1時，q=S]=i；

②當(dāng)〃22時，%=S”一S,T=(2?-1)-(2"-1-1)=2"-1,

③將n=l代入?！?2"T中得：%=1符合.

/.??=2"-',

設(shè)等差數(shù)列也』的公差為d,

=a.fb+d=4(b,=1

則77n{SA.1r}w7/9A?9解得：|i

\T5=IT2[54+10d=7(24+d)[d=3

/.4=4+(〃-l)d=3n-2.

(2)由(1)知：他=(3〃-2)2f

VHn=a?i+02b2+++an_xbn_x+anbn

12n2n-1

/.Hn=lx2°+4x2+7x2++(3n-5)x2-+(3n-2)x2①

2H“=1x2】+4X22+7X23++(3n-5)x2n~l+(3M-2)x2n②

12

，①一②得：-//n=l+3x(2+2+.+2”-2+2〃T)—(3〃-2)X2〃

2—2〃

即：-H=l+3x-----(3”2)x2"=-(3n-5)2"-5,

n1—2

n

:.Hn=(3n-5)2+5.

19.為了研究學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與抽象能力(指標(biāo)》)、推理能力(指標(biāo)V)、建模能力(指標(biāo)z)的相關(guān)性，將

它們各自量化為1、2、3三個等級，再用綜合指標(biāo)w=x+y+z的值評定學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，若川27,則

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為一級；若5WwW6,則數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為二級；若3WwW4,則數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為三級，為了了

解某校學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，調(diào)查人員隨機(jī)訪問了某校10名學(xué)生，得到如下數(shù)據(jù)：

學(xué)生編A4A3AAA444Ao

號

（x,y,z）（2,2,3）（3,2,3）（3,3,3）（122）（2,3,2）（2,3,3）（2,2,2）（2,3,3）(2」」)（2,2,2）

(1)在這10名學(xué)生中任取兩人，求這兩人的建模能力指標(biāo)相同條件下綜合指標(biāo)值也相同的概率；

(2)在這10名學(xué)生中任取三人，其中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等級是一級的學(xué)生人數(shù)記為X,求隨機(jī)變量X的分布列

及其數(shù)學(xué)期望.

【答案】(1)T；(2)見解析

4

【分析】(1)根據(jù)條件，列出各項(xiàng)指標(biāo)的表格，根據(jù)條件概率列出各種情況，由古典概率求解.

(2)根據(jù)(1),列出X的分布列，根據(jù)數(shù)學(xué)期望的公式求得數(shù)學(xué)期望.

【詳解】

A4A34AA4A4Ao

X2331222222

y2232332312

z3332232312

w7895786846

(1)由題可知:建模能力一級的學(xué)生是4；建模能力二級的學(xué)生是AQA，4,4。；建模能力三級的學(xué)生是

A，A，4.

記“所取的兩人的建模能力指標(biāo)相同”為事件A,記“所取的兩人的綜合指標(biāo)值相同”為事件B.

則尸(例劃P(=A考B\=C；+C；41

C1+Cj-16-4

(2)由題可知，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)一級的學(xué)生為：非一級的學(xué)生為余下4人

.?.X的所有可能取值為0,1,2,3.

n1cxc2

尸（x=o）=警=5,尸（X=l）=*3

JoHo10

C2CX1￡

尸（X=2）=中=5，尸（x=3）=皆

C10乙C106

二隨機(jī)變量X的分布列為:

X0123

13J_

P

30W26

1311

?.EX=Ox—+lx—+2x-+3x-=1.8

301026

【點(diǎn)睛】本題考查了條件概率的求法，離散型隨機(jī)變量分布列及數(shù)學(xué)期望的求解，根據(jù)題意列出表格是關(guān)

鍵，屬于基礎(chǔ)題.

20.如圖，平面A5CD1平面8c^,AB=BC=CE=2CD=2.

⑴求證：平面ME_L平面ABE；

7T

(2)若ZBEC=§,求二面角A—OE—C的正弦值.

【答案】⑴證明見解析；

⑵典

4

【分析】(D利用面面垂直判定定理即可證得平面4把，平面4汨；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可求得二面角A-DE-C的正弦值.

【詳解】(1)分別取的中點(diǎn)P,。，連接

則尸。為一班的中位線，則PQ//AB,PQ=^AB,

又ABCD,-AB^CD,貝?。菔?。〃CO,尸。=8,

2''

則四邊形CDPQ為平行四邊形，則如//CQ,

平面ABCD1平面BCE,平面ABCDc平面BCE=BC,

ABu平面ABC。，AB1BC,可得AB工平面BCE,

又CQu平面3CE,則ABLC0,則PQ_LC。，

又.3CE中，BC=CE,QB=QE,則8ELCQ,

又尸。=。,2瓦尸。u平面ABE,貝！|CQJ■平面ME,

XPD//CQ,則尸D_L平面ABE,

又尸￡>u平面ADE,則平面ADE_L平面ABE.

TT

(2)當(dāng)NBEC=§時，由BC=CE,可得..BCE為等邊三角形，

在平面3CE內(nèi)，過點(diǎn)B作垂足為B,

又由(1)可得AB1平面3CE,則兩兩垂直，

以B為原點(diǎn)，分別以班A8C,8A所在直線為龍,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖:

則A(0,0,2),C(0,2,0),￡>(0,2,1),E(瓜1,0),

則AD=(0,2,-1),AE=(A1,-2),CD=(0,0,1),CE=(A-1,0)

設(shè)平面ADE的一個法向量為機(jī)=(菁,％,zj,

則『廠=0,

令為=1,則4=2,玉=百，則加=(6,1,2)；

設(shè)平面CDE的一個法向量為〃=(%2，%"2),

z2=0

^/3X2-y2=0

令%=有，則%2=1*2=0,,則九=(1,8,0)；

m-n6+6V6

貝(|cos(m,?

|m|-|n|J3+1+4?Jl+34

設(shè)二面角A-DE-C的大小為6,則|cos6|,

又夕E[0,兀I，貝(lsinJ=Ji-cos20-Vw

A

則二面角A-OE-C的正弦值為乎.

21.己知圓M：(x-l)2+y2=16,點(diǎn)N(-1,O),S是圓M上一動點(diǎn)，若線段SN的垂直平分線與交于點(diǎn)

Q-

⑴求點(diǎn)Q的軌跡方程C；

⑵對于曲線C上一動點(diǎn)P,且P不在x軸上，設(shè)△PMV內(nèi)切圓圓心為E,證明：直線與EN的斜率之積

為定值.

22

【答案】⑴二+匕=1;

43

(2)證明見解析.

【分析】(1)根據(jù)垂直平分線性質(zhì)可知I0N|=|QS|,可得|QN|+|QM|=4>|肱V|,滿足橢圓定義，由此可

求得點(diǎn)軌跡方程；

(2)根據(jù)條件求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，再利用斜率公式進(jìn)行解題即可.

【詳解】(1)圓M：(》一1)2+丫2=16的圓心”(1,0),半徑廠=4.

設(shè)SN中點(diǎn)為K,則KQ為線段SN的垂直平分線，貝!||0N|=|0S|,

所以|QN|+|QM|=|QS|+|QM|=r=4>|MZV|,

所以點(diǎn)Q的軌跡是以“(1,0),N(-l,0)為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓，

即a=2,c=l,則戶=/-c?=3,

22

所以點(diǎn)Q的軌跡方程為：3+]=1；

(2)證明：根據(jù)橢圓的對稱性，不妨設(shè)2(%,%),(如%>0),石(石,乂),(%,%>0),圓E的半徑為彳.

IPN\="Xo+lf+y；=+1)2+3-］；=J}%；+2/+4=+2,

同理|PM|=2—3/，所以|PN|—|尸河|=/，

又|PN||尸"|=(|尸H]+1fflVI)—(|ZV|+1I)=|fflV|||=|WIT1=(%+1)-(1-^)=2%,

所以王=^xo-

1

對于一PMN,S=~\MN\-\y\=-2cy=cy,

PMN20