2024年高考數(shù)學一模試題分類匯編：計數(shù)原理、隨機變量及其分布（原卷版）（廣東專用）

專題n計數(shù)原理'隨機變量及分布列

題型01組排、列合

1.（2024下?廣東?茂名市一模）從6名女生3名男生中選出2名女生1名男生，則不同的選取方

法種數(shù)為（）

A.33B.45C.84D.90

2.（2024下?廣東?深圳市一模）由0,2,4組成可重復數(shù)字的自然數(shù)，按從小到大的順序排成的

數(shù)列記為{4},即％=0,出=2,%=4,…，若％=2024,則〃=（）

A34B.33C.32D.30

3.已知集合N=g,—5|＞；,2,3卜若凡上ceN且互不相等，則使得指數(shù)函數(shù)y=對數(shù)函

c

數(shù)3；=loghx,幕函數(shù)y=x中至少有兩個函數(shù)在（0,+s）上單調(diào)遞增的有序數(shù)對伍,仇c）的個數(shù)是

（）

A.16B.24C.32D.48

4.（2024下?廣東?百校聯(lián)考）某班元旦晚會準備了8個節(jié)目，其中歌曲節(jié)目有3個，舞蹈節(jié)目有2

個，小品、相聲、魘術節(jié)目各1個，要求小品、相聲、魔術這3個節(jié)目不安排在第一個表演，這3

個節(jié)目中最多有2個節(jié)目連續(xù)表演，且魔術在小品后面表演，則該班元旦晚會的節(jié)目表演不同的安

排方式有種.（用數(shù)字作答）

5.（2024下?廣東?佛山禪城一模）甲、乙、丙3人在公交總站上了同一輛公交車，已知3人都將在

第4站至第8站的某一公交站點下車，且在每一個公交站點最多只有兩人同時下車，從同一公交站

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點下車的兩人不區(qū)分下車的順序，則甲、乙、丙3人下車的不同方法總數(shù)是.

題型02二項式定理

1.（2024下?廣東大灣區(qū)?校聯(lián)考模擬預測）若

2020191824-----1920（）

（a-2/?）=x0a+x1a/7+x2a/7FX19^/?+x20/7,則%=

A.-20B.-20x219C.-219D.20x219

2.（2024下?廣東,大聯(lián)考）若（a—26）2°=/4。++%2〃1組2+…+%9abi9+%2062°,則％19=

（）

A.-20B.-20x219c.-219D.20x219

3.（2024下?廣東?江門一模）已知

（1+x）+（l+x）+…+（l+x）=a。+q（2+x）+&（2+x）+…+%］（2+1），貝!）

4+出+^^---1■可。的值是（）

A.680B.-680C.1360D.-1360

4.（2024下?廣東梅州市一模）［1+1］（1+X）7展開式中V項的系數(shù)為（）

A.42B.35C.7D.1

5.（2024下?廣東?番禺）2x）4的展開式中，常數(shù)項為

題型03條件概率、相互獨立

1.（2024下?廣東湛江?高三一模）在一次考試中有一道4個選項的雙選題，其中B和C是正確

選項，A和D是錯誤選項，甲、乙兩名同學都完全不會這道題目，只能在4個選項中隨機選取兩個

選項.設事件”甲、乙兩人所選選項恰有一個相同"，事件N="甲、乙兩人所選選項完全

不同"，事件X="甲、乙兩人所選選項完全相同"，事件丫="甲、乙兩人均未選擇B選項”，

則（）

A.事件M與事件N相互獨立B.事件X與事件丫相互獨立

c.事件“與事件y相互獨立D.事件N與事件y相互獨立

2.（2024下?廣東大灣區(qū)?校聯(lián)考模擬預測）在某電路上有C,。兩個獨立工作的元件，每次通電

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后，需要更換。元件的概率為0.2,需要更換。元件的概率為0.1,則在某次通電后C,。有且只有

一個需要更換的條件下，C需要更換的概率是（）

3193

A.—B.—C.—D.-

1050134

3.（2024下?廣東?廣州市二中模擬）質(zhì)數(shù)（primenumber）又稱素數(shù)，一個大于1的自然數(shù)，除了1

和它本身外，不能被其他自然數(shù)整除，則這個數(shù)為質(zhì)數(shù)，數(shù)學上把相差為2的兩個素數(shù)叫做"攣生素

數(shù)”.如：3和5,5和7......,在1900年的國際數(shù)學大會上，著名數(shù)學家希爾伯特提出了23個問題，

其中第8個就是大名鼎鼎的攣生素數(shù)猜想：即存在無窮多對攣生素數(shù).我國著名數(shù)學家張益唐2013

年在《數(shù)學年刊》上發(fā)表論文《素數(shù)間的有界距離》，破解了困擾數(shù)學界長達一個半世紀的難題，證

明了攣生素數(shù)猜想的弱化形式.那么，如果我們在不超過30的自然數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，

記事件4這兩個數(shù)都是素數(shù)；事件這兩個數(shù)不是李生素數(shù)，貝!JP（B|4）=（）

11?37-13-41

AA.—B.—C.—D.—

15451545

4.（2024下?廣東?番禺）（多選）已知方分別為隨機事件A,3的對立事件，尸（Z）〉0,P（5）＞0,

則（）

A.P（B\A）+P（B\A^=\B.尸仍⑷+P,M）=P（Z）

C.若A,B獨立，則P（4|B）=P（5）D.若A,5互斥，則尸（山町=尸（8⑷

5.（2024下?廣東?廣州市一模）（多選）甲箱中有3個紅球和2個白球，乙箱中有2個紅球和2個白

球（兩箱中的球除顏色外，沒有其他區(qū)別）.先從甲箱中隨機取出一球放入乙箱，分別用事件4和H

表示從甲箱中取出的球是紅球和白球；再從乙箱中隨機取出兩球，用事件8表示從乙箱中取出的兩

球都是紅球，則（）

A?/⑷1B.P⑻吟

o2

CP（?4）=HD.P（^|B）=-

6.（2024下?廣東?江門一模）在數(shù)字通信中，信號是由數(shù)字0和1組成的序列，且傳輸相互獨立.由

于隨機因素的干擾，發(fā)送的信號0或1有可能被錯誤地接收為1或。.已知發(fā)送0時，收到1的概率

為a（O＜a＜/）,收到0的概率為發(fā)送1時，收到0的概率為尸（0＜尸＜1）,收到1.的概

率為1-夕.假設發(fā)送信號0和1是等可能的.

（1）已知接收的信號為1,且a=0.1,尸=0.05,求發(fā)送的信號是0的概率;

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（2）現(xiàn)有兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸.單次傳輸是指每個信號只發(fā)送1次；三次傳輸是指

每個信號重復發(fā)送3次.收到的信號需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼；

三次傳輸時，收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0,1,則譯碼為1）.已知發(fā)

送1,若采用三次傳輸方案譯碼為1的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為1的概率，求￡的取值范圍.

7.（2024下?廣東?佛山禪城一模）聯(lián)合國將每年的4月20日定為“聯(lián)合國中文日”，以紀念“中華

文字始祖”倉頡[ji旬造字的貢獻，促進聯(lián)合國六種官方語言平等使用，為宣傳“聯(lián)合國中文日”，某

大學面向在校留學生舉辦中文知識競賽，競賽分為“個人賽”和“對抗賽”，競賽規(guī)則如下：

①個人賽規(guī)則：每位留學生需要從“拼音類”、“成語類”、“文化類”三類問題中隨機選1道試題作

答，其中“拼音類”有4道，“成語類”有6道，“文化類”有8道，若答對將獲得一份獎品.

②對抗賽規(guī)則：兩位留學生進行答題比賽，每輪只有1道題目，比賽時兩位參賽者同時回答這一個

問題，若一人答對且另一人答錯，則答對者獲得1分，答錯者得T分；若兩人都答對或都答錯，則

兩人均得0分，對抗賽共設3輪，累計得分為正者將獲得一份獎品，且兩位參賽者答對與否互不影

響，每次答題的結(jié)果也互不影響.

（1）留學生甲參加個人賽，根據(jù)以往答題經(jīng)驗，留學生甲答對“拼音類”、“成語類”“文化類”的

j_23

概率分別為5,5,求留學生甲答對了所選試題的概率.

（2）留學生乙和留學生內(nèi)參加對抗賽，根據(jù)以往答題經(jīng)驗，每道題留學生乙和留學生丙答對的概率

3]_

分別為2,求留學生乙獲得獎品的概率.

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8.（2024下?廣東?百校聯(lián)考）某校為慶祝元旦，舉辦了游園活動，活動中有一個填四字成語的游戲,

游戲規(guī)則如下：該游戲共兩關，第一關中四字成語給出其中三個字，參與游戲者需填對所缺的字，

才能進入第二關；第二關中四字成語給出其中兩個字，剩余兩個字全部填對得10分，只填一個且填

對得5分，只要填錯一個或兩個都不填得0分.

（1）已知小李知道該成語的概率是g,且小李在不知道該成語的情況下，填對所缺的字的概率是:，

在小李通過第一關的情況下，求他知道該成語的概率.

（2）在過第二關時，小李每個字填與不填是等可能的，且每個字填對與填不對也是等可能的.記X

表示小李在第二關中得到的分數(shù)，求X的分布列及數(shù)學期望.

題型04期望、方差

1.設10WX]＜工2＜項＜%＜毛＜50,隨機變量取值%15%2,%3,%4,x5的概率均為0.2,隨機變量5

取值土產(chǎn)，迤產(chǎn)，矢區(qū),三產(chǎn),苒色的概率也均為0.2,若記仁）分別為。合

乙〈

的方差，則（）

A.D侑）B.。侑）=。值）

C.。侑”。值）D.。信）與。催）的大小關系與否,》2，當，X4，%的取值有關

2.（2024下?廣東東莞?模擬預測）在一組樣本數(shù)據(jù)中，1,2,3,4出現(xiàn)的頻率分別為p”2M3,外，

4

且2。,=1，則下面四種情形中，對應樣本的標準差最小的一組是（）

i=l

A.Pi=0.1,/?2=0.2,/?3=0.3,/?4=0.4B.px=0.4,p2=0.3,23=0.2,24=0.1

C.Pi=夕4=0.1,夕2=03=04D.a=04=0.4,02=03=01

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3.（2024下?廣東廣州?模擬）（多選）袋子中有2個黑球，1個白球，現(xiàn)從袋子中有放回地隨機取球

4次，每次取一個球，取到白球記。分，黑球記1分，記4次取球的總分數(shù)為X,則（）

A.萬~44,?B.P（X=2）$

OO

c.X的期望E（x）=§D.X的方差。（x）=§

4.（2024下?廣東?深圳市一模）在某數(shù)字通信中，信號的傳輸包含發(fā)送與接收兩個環(huán)節(jié).每次信號

只發(fā)送0和1中的某個數(shù)字，由于隨機因素干擾，接收到的信號數(shù)字有可能出現(xiàn)錯誤，已知發(fā)送信

號0時，接收為0和1的概率分別為a（O<a<l）,1-tz；發(fā)送信號1時，接收為1和0的概率

分別為/（0<￡<1）,1-夕.假設每次信號的傳輸相互獨立.

（1）當連續(xù)三次發(fā)送信號均為0時,設其相應三次接收到的信號數(shù)字均相同的概率為/（c）,求/（a）

的最小值；

（2）當連續(xù)四次發(fā)送信號均為1時，設其相應四次接收到的信號數(shù)字依次為西,々,七,后，記其中

連續(xù)出現(xiàn)相同數(shù)字的次數(shù)的最大值為隨機變量X（芯,%,工,5中任意相鄰的數(shù)字均不相同時，令

2

X=l）,若乃=—,求X的分布列和數(shù)學期望.

3

題型05二項分布

1.（2024下?廣東深圳?模擬）中國蹴鞠已有兩千三百多年的歷史，于2004年被國際足聯(lián)正式確認為

世界足球運動的起源.蹴鞠在2022年卡塔爾世界杯上再次成為文化交流的媒介，走到世界舞臺的

中央，訴說中國傳統(tǒng)非遺故事.為弘揚中華傳統(tǒng)文化，某市四所高中各自組建了蹴鞠隊（分別記為"甲

隊""乙隊""丙隊""丁隊"）進行單循環(huán)比賽（即每支球隊都要跟其他各支球隊進行一場比賽），最后按

各隊的積分排列名次（積分多者名次靠前，積分同者名次并列），積分規(guī)則為每隊勝一場得3分，平

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場得1分，負一場得。分.若每場比賽中兩隊勝、平、負的概率均為;，則在比賽結(jié)束時丙隊在輸

了第一場且其積分仍超過其余三支球隊的積分的概率為()

A.—B.—C.—D.

92781243

2.(2024下?廣東廣州?模擬)某學校共有1200人，其中高一年級、高二年級、高三年級的人數(shù)比為

3:4:5,為落實立德樹人根本任務，堅持五育并舉，全面推進素質(zhì)教育，擬舉行乒乓球比賽，從三

個年級中采用分層抽樣的方式選出參加乒乓球比賽的12名隊員.本次決賽的比賽賽制采取單循環(huán)

方式，每場比賽都采取5局3勝制，最后根據(jù)積分選出最后的冠軍，亞軍和季軍積分規(guī)則如下：每

場比賽5局中以3:0或3:1獲勝的隊員積3分，落敗的隊員積0分；而每場比賽5局中以3:2獲勝的

隊員積2分，落敗的隊員積1分.已知最后一場比賽兩位選手是甲和乙，如果甲每局比賽的獲勝概

率為3

⑴三個年級參賽人數(shù)各為多少？

(2)在最后一場比賽甲獲勝的條件下，求其前2局獲勝的概率

⑶記最后一場比賽中甲所得積分為X,求X的概率分布及數(shù)學期望E(X)

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3.（2024下?廣東?番禺）為研究某種農(nóng)產(chǎn)品價格變化的規(guī)律，收集得到了該農(nóng)產(chǎn)品連續(xù)40天的價格

變化數(shù)據(jù)，如下表所示.在描述價格變化時，用“+”表示“上漲”，即當天價格比前一天價格高；用

表示“下跌”，即當天價格比前一天價格低；用“0”表示“不變”，即當天價格與前一天價格相同.

時段價格變化

第1天到第20天-++0---++0+0--+-+00+

第21天到第40天0++0---++0+0+---+0-+

用頻率估計概率.

（1）試估計該農(nóng)產(chǎn)品價格“上漲”的概率；

（2）假設該農(nóng)產(chǎn)品每天的價格變化是相互獨立的.在未來的日子里任取4天，試估計該農(nóng)產(chǎn)品價格

在這4天中2天“上漲”、：1天“下跌”、：1天“不變”的概率；

（3）假設該農(nóng)產(chǎn)品每天的價格變化只受前一天價格變化的影響.判斷第41天該農(nóng)產(chǎn)品價格“上

漲”“下跌”和“不變”的概率估計值哪個最大.（結(jié)論不要求證明）

4.（2024下?廣東?梅州市一模）甲、乙兩人進行五局三勝制乒乓球比賽，已知每局比賽，甲勝的

21

概率為二，乙勝的概率為一.

33

（1）求甲贏得比賽的概率；

（2）求兩人比賽局數(shù)的數(shù)學期望.

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5.(2024下?廣東惠州?模擬)這個冬季，哈爾濱文旅持續(xù)火爆，喜迎大批游客，冬天里哈爾濱雪花

紛飛，成為無數(shù)南方人向往的旅游勝地，這里的美景，美食，文化和人情都讓人流連忘返，嚴寒冰

雪與熱情服務碰撞出火花，吸引海內(nèi)外游客紛至沓來.據(jù)統(tǒng)計，2024年元旦假期，哈爾濱市累計接

待游客304.79萬人次，實現(xiàn)旅游總收入59.14億元，游客接待量與旅游總收入達到歷史峰值.現(xiàn)對

某一時間段冰雪大世界的部分游客做問卷調(diào)查，其中75%的游客計劃只游覽冰雪大世界，另外25%

的游客計劃既游覽冰雪大世界又參觀群力音樂公園大雪人.每位游客若只游覽冰雪大世界，則得到

1份文旅紀念品；若既游覽冰雪大世界又參觀群力音樂公園大雪人，則獲得2份文旅紀念品.假設

每位來冰雪大世界景區(qū)游覽的游客與是否參觀群力音樂公園大雪人是相互獨立的，用頻率估計概率.

⑴從冰雪大世界的游客中隨機抽取3人，記這3人獲得文旅紀念品的總個數(shù)為X,求X的分布列及

數(shù)學期望；

(2)記n個游客得到文旅紀念品的總個數(shù)恰為”+1個的概率為%,求｛%,｝的前〃項和S,；

⑶從冰雪大世界的游客中隨機抽取100人，這些游客得到紀念品的總個數(shù)恰為n個的概率為“，當

“取最大值時，求〃的值.

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題型06超幾何分布

1.(2024下?廣東?茂名市一模)已知某種業(yè)公司培育了新品種的軟籽石榴，從收獲的果實中隨機

抽取了50個軟籽石榴，按質(zhì)量(單位：g)將它們分成5組：[360,380),[380,400),[400,420),

[420,440),[440,460]得到如下頻率分布直方圖.

O360380400420440460質(zhì)成限

(1)用樣本估計總體，求該品種石榴的平均質(zhì)量；(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)

(2)按分層隨機抽樣,在樣本中，從質(zhì)量在區(qū)間[380,400),[400,420),[420,440)內(nèi)的石榴中

抽取7個石榴進行檢測，再從中抽取3個石榴作進一步檢測.

(i)已知抽取的3個石榴不完全來自同一區(qū)間，求這3個石榴恰好來自不同區(qū)間的概率；

(ii)記這3個石榴中質(zhì)量在區(qū)間[420,440)內(nèi)的個數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學期望.

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2.（2024下?廣東東莞?模擬）某校高三年級1000名學生的高考適應性演練數(shù)學成績頻率分布直方圖

如圖所示，其中成績分組區(qū)間是［30,50）、［50,70）、［70,90）、［90,110）、［110,130）、［130,150］.

頻率

\痂

0.0150-----------1~I~I

0.0075------------

0.0025

O“30507090110130150藪學成績/分

⑴求圖中。的值，并根據(jù)頻率分布直方圖，估計這1000名學生的這次考試數(shù)學成績的第85百分位數(shù);

（2）從這次數(shù)學成績位于［50,70）、［70,90）的學生中采用比例分配的分層隨機抽樣的方法抽取9人，

再從這9人中隨機抽取3人，該3人中成績在區(qū)間［70,90）的人數(shù)記為X,求X的分布列及數(shù)學期望.

3.（2024下■廣東珠海一模）一袋中有6個均勻硬幣，其中有〃（2<〃45,〃€］'4*）個普通硬幣，普通

硬幣的一面為面值，另一面為花朵圖案，如下圖，其余6-〃個硬幣的兩面均為面值.每次試驗從袋中

隨機摸出兩個硬幣各擲一次，用事件A表示"兩個硬幣均是面值朝上"，用事件3表示"兩個硬幣均是

花朵圖案朝上"，又把兩個硬幣放回袋中，如此重復6次試驗.

YI

YUAN

(1)若〃=3,

①求1次試驗中摸出普通硬幣個數(shù)X的分布列;

②求6次試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)Y的期望；

（2）設6次試驗中事件8恰好發(fā)生1次的概率為P,當〃取何值時，P最大?

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4.（2024下?廣東深圳?模擬預測）為不斷改進勞動教育，進一步深化勞動教育改革，現(xiàn)從某單位全

體員工中隨機抽取3人做問卷調(diào)查.已知某單位有N名員工，其中（2是男性，g3是女性.

（1）當N=20時，求出3人中男性員工人數(shù)X的分布列和數(shù)學期望；

（2）我們知道，當總量N足夠大而抽出的個體足夠小時，超幾何分布近似為二項分布.現(xiàn)在全市范圍

內(nèi)考慮.從N名員工（男女比例不變）中隨機抽取3人，在超幾何分布中男性員工恰有2人的概率記

作耳；有二項分布中（即男性員工的人數(shù)X~8（3,|j）男性員工恰有2人的概率記作那么當N

至少為多少時，我們可以在誤差不超過0.001（即4-EW0.001）的前提下認為超幾何分布近似為

二項分布.（參考數(shù)據(jù)：V578~24.04）

題型07正態(tài)分布

1.（2024下?廣東?省一模）隨機變量,若尸（X270）=尸（X<90）且

尸（72VX<80）=0.3,則隨機變量X的第80百分位數(shù)是.

2.（2024下?廣東?江門一模）某市高三年級男生的身高X（單位：cm）近似服從正態(tài)分布”（IIS"）.

現(xiàn)隨機選擇一名本市高三年級男生，則該男生身高不高于170cm的概率是（）參考數(shù)據(jù)：

P（〃-+0.6827

A.0.6827B.0.34135C.0.3173D.0.15865

3.（2024下?廣東大灣區(qū)?校聯(lián)考模擬預測）某小區(qū)在2024年的元旦舉辦了聯(lián)歡會，現(xiàn)場來了1000

位居民.聯(lián)歡會臨近結(jié)束時，物業(yè)公司從現(xiàn)場隨機抽取了20位幸運居民進入摸獎環(huán)節(jié)，這20位幸

運居民的年齡用隨機變量X表示，且X?N（45,225）.

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（1）請你估計現(xiàn)場年齡不低于60歲的人數(shù)（四舍五入取整數(shù)）；

（2）獎品分為一等獎和二等獎，已知每個人摸到一等獎的概率為40%,摸到二等獎的概率為60%,

每個人摸獎相互獨立，設恰好有20）個人摸到一等獎的概率為P⑺，求當取得最

大值時〃的值.

附：若X?則尸｛|X—川<。｝=0.6827,尸｛|X—川<2cr｝=0.9545.

題型08隨機變量分布列與其他知識結(jié)合

1.（2024下?廣東?茂名市一模）（多選）從標有1,2,3,…，10的10張卡片中，有放回地抽取

兩張，依次得到數(shù)字。，b,記點5（1,-1）,0（0,0）,則（）

99

A.N/05是銳角的概率為一B./氏4。是銳角的概率為一

20100

99

C.”08是銳角三角形的概率為一D.”05的面積不大于5的概率為一

100

2.（2024下?廣東?省一模）某單位進行招聘面試，已知參加面試的N名學生全都來自A,B,C

三所學校，其中來自A校的學生人數(shù)為該單位要求所有面試人員面試前到場，并隨機給每

人安排一個面試號碼左（左=1,2,3,…,N）,按面試號碼上由小到大依次進行面試，每人面試時長5

分鐘，面試完成后自行離場.

（1）求面試號碼為2的學生來自A校的概率.

（2）若N=40,〃=10,且B,C兩所學校參加面試的學生人數(shù)比為1:2,求A校參加面試的學

生先于其他兩校學生完成面試（A校所有參加面試的學生完成面試后，B,C兩校都還有學生未完

成面試）的概率.

（3）記隨機變量X表示最后一名A校學生完成面試所用的時長（從第1名學生開始面試到最后一

名A校學生完成面試所用的時間），E（X）是X的數(shù)學期望，證明：E（X）=5〃（N+1）

〃+1

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3.（2024下?廣東湛江?高三一模）甲進行摸球跳格游戲.圖上標有第1格，第2格，…，第25格，

棋子開始在第1格.盒中有5個大小相同的小球，其中3個紅球，2個白球（5個球除顏色外其他都

相同）.每次甲在盒中隨機摸出兩球，記下顏色后放回盒中，若兩球顏色相同，棋子向前跳1格；若

兩球顏色不同，棋子向前跳2格，直到棋子跳到第24格或第25格時，游戲結(jié)束.記棋子跳到第"

格的概率為￡（"=1,2,3,…,2