新高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)講義之方法技巧專題15三角形中的范圍與最值問題(原卷版+解析)

專題15三角形中的范圍與最值問題【方法技巧與總結(jié)】1.在解三角形專題中，求其“范圍與最值”的問題，一直都是這部分內(nèi)容的重點(diǎn)、難點(diǎn)。解決這類問題，通常有下列五種解題技巧:(1)利用基本不等式求范圍或最值；(2)利用三角函數(shù)求范圍或最值；(3)利用三角形中的不等關(guān)系求范圍或最值；(4)根據(jù)三角形解的個(gè)數(shù)求范圍或最值；(5)利用二次函數(shù)求范圍或最值.要建立所求量(式子)與已知角或邊的關(guān)系，然后把角或邊作為自變量，所求量(式子)的值作為函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系，將原問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題.這里要利用條件中的范圍限制，以及三角形自身范圍限制，要盡量把角或邊的范圍(也就是函數(shù)的定義域)找完善，避免結(jié)果的范圍過大.2.解三角形中的范圍與最值問題常見題型：(1)求角的最值；(2)求邊和周長(zhǎng)的最值及范圍；(3)求面積的最值和范圍.【題型歸納目錄】題型一：周長(zhǎng)問題題型二：面積問題題型三：長(zhǎng)度問題題型四：轉(zhuǎn)化為角范圍問題題型五：倍角問題題型六：角平分線問題題型七：中線問題題型八：四心問題題型九：坐標(biāo)法題型十：隱圓問題題型十一：兩邊夾問題題型十二：與正切有關(guān)的最值問題題型十三：最大角問題題型十四：費(fèi)馬點(diǎn)、布洛卡點(diǎn)、拿破侖三角形問題題型十五：托勒密定理及旋轉(zhuǎn)相似題型十六：三角形中的平方問題題型十七：等面積法、張角定理【典例例題】題型一：周長(zhǎng)問題例1．（2023·云南·昆明市第三中學(xué)高一期中）設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，設(shè)．(1)求A；(2)從三個(gè)條件：①的面積為；②；③中任選一個(gè)作為已知條件，求周長(zhǎng)的取值范圍．例2．（2023·重慶·高一階段練習(xí)）已知向量，，函數(shù)．(1)求函數(shù)在上的值域；(2)若的內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別為、、，且，，求的周長(zhǎng)的取值范圍．例3．（2023·浙江·高三專題練習(xí)）銳角的內(nèi)切圓的圓心為，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，.若，且的外接圓半徑為1，則周長(zhǎng)的取值范圍為___________.例4．（2023·浙江省新昌中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，其中，若實(shí)數(shù)滿足時(shí)，的最小值為．(1)求的值及的對(duì)稱中心；(2)在中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，若，求周長(zhǎng)的取值范圍．題型二：面積問題例5．（2023·貴州黔東南·高一期中）在面積為S的△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且.(1)求C的值；(2)若ABC為銳角三角形，記，求m的取值范圍.例6．（2023·浙江·高二階段練習(xí)）在中，角的對(duì)邊分別為．(1)求角；(2)若點(diǎn)滿足，且，求面積的取值范圍．例7．（2023·浙江·杭師大附中模擬預(yù)測(cè)）在中，D的邊的中點(diǎn)，．(1)求角C；(2)求面積的取值范圍．例8．（2023·江蘇省天一中學(xué)高一期中）在中，角A?B?C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a?b?c，若.是銳角三角形，則面積的取值范圍是___________.題型三：長(zhǎng)度問題例9．（2023·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．(1)求角C的大小；(2)設(shè)，若的外接圓半徑為4，且有最大值，求m的取值范圍．例10．（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)（文））在中，角，，的對(duì)邊分別為，，．，，．(1)求；(2)求的取值范圍．例11．（2023·江蘇·高三專題練習(xí)）已知內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，的面積.(1)求邊c；(2)若為銳角三角形，求a的取值范圍.例12．（2023·陜西·寶雞中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））已知，，(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)設(shè)的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若，且，求的取值范圍.例13．（2023·江蘇南京·模擬預(yù)測(cè)）請(qǐng)?jiān)冖傧蛄浚?，且；②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)填入橫線上并解答．在銳角三角形中，已知角，，的對(duì)邊分別為，，c，．(1)求角；(2)若的面積為，求的取值范圍．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．例14．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且．(1)求角；(2)若為銳角三角形，求的取值范圍．例15．（2023·遼寧·撫順市第二中學(xué)三模）在①，②，③這三個(gè)條件中，任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，問題：在中，a，b，c分別為角A，B，C所對(duì)的邊，，_______．(1)求角B﹔(2)求的范圍．例16．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）在△中，角所對(duì)的邊分別是，若，，則的最小值為________．例17．（2023·安徽黃山·二模（文））在△中，角，，的對(duì)邊分別為，，，，，若有最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____．例18．（2023·浙江·高三專題練習(xí)）已知的三邊長(zhǎng)分別為，，，角是鈍角，則的取值范圍是________.例19．（2023·黑龍江·哈爾濱三中模擬預(yù)測(cè)（文））在中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．題型四：轉(zhuǎn)化為角范圍問題例20．（2023·河北秦皇島·二模）在銳角中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且.(1)求；(2)求的取值范圍.例21．（2023·廣東茂名·模擬預(yù)測(cè)）已知的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，且．(1)判斷的形狀并給出證明；(2)若，求的取值范圍．例22．（2023·浙江溫州·三模）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c.已知.(1)若，求角A的大?。?2)求的取值范圍.例23．（2023·河北·滄縣中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的最大值；(2)已知在銳角△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且滿足，求的取值范圍．例24．（2023·山西·模擬預(yù)測(cè)（理））已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且.(1)求；(2)若為銳角三角形，求的取值范圍.例25．（2023·安徽省舒城中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））銳角的內(nèi)角所對(duì)的邊是，且，若變化時(shí)，存在最大值，則正數(shù)的取值范圍是______例26．（2023·江西·南昌十中模擬預(yù)測(cè)（理））銳角中，，角A的角平分線交于點(diǎn)，,則的取值范圍為_________.例27．（2023·遼寧·高一期中）在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知，且為鈍角，則______，的取值范圍是______．例28．（2023·云南師大附中高三階段練習(xí)（理））如圖所示，有一塊三角形的空地，已知千米，AB＝4千米，則∠ACB＝________；現(xiàn)要在空地中修建一個(gè)三角形的綠化區(qū)域，其三個(gè)頂點(diǎn)為B，D，E，其中D，E為AC邊上的點(diǎn)，若使，則BD＋BE最小值為________平方千米．例29．（2023·浙江·舟山中學(xué)高三階段練習(xí)）如圖，在中，，，是內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，，則的外接圓半徑=______，的最小值為____________．例30．（2023·湖北·武漢二中模擬預(yù)測(cè)）在銳角中，，則角的范圍是________，的取值范圍為__________.例31．（2023·新疆喀什·一模）已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，．若，且為銳角，則的最小值為（

）A． B． C． D．例32．（2023·北京·高三專題練習(xí)）在銳角中，，的對(duì)邊長(zhǎng)分別是，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．例33．（2023?石家莊模擬）如圖，平面四邊形的對(duì)角線的交點(diǎn)位于四邊形的內(nèi)部，，，，，當(dāng)變化時(shí)，對(duì)角線的最大值為．題型五：倍角問題例34．（2023·安徽·蕪湖一中高一期中）的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，若，則的取值范圍為______.例35．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若，則的取值范圍為______.例36．（2023·全國(guó)·高二單元測(cè)試）已知是銳角三角形，分別是的對(duì)邊.若，則的取值范圍是_________.例37．（2023·陜西·無高一階段練習(xí)）已知是銳角三角形，若，則的取值范圍是_____.例38．（2023·四川·成都外國(guó)語學(xué)校高二開學(xué)考試（文））已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，則的取值范圍為______例39．（2023·江西鷹潭·一模（理））已知的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，若，則的取值范圍為__________．例40．（2023?蕪湖模擬）已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若，則最小值是．例41．（2023?道里區(qū)校級(jí)一模）已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若，則的取值范圍為．題型六：角平分線問題例42．（2023·河北保定·高一階段練習(xí)）記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且.(1)求的大??；(2)若邊上的高為，且的角平分線交于點(diǎn)，求的最小值.例43．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.且滿足（a+2b）cosC+ccosA=0.(1)求角C的大小；(2)設(shè)AB邊上的角平分線CD長(zhǎng)為2，求△ABC的面積的最小值.題型七：中線問題例44．（2023·江蘇省天一中學(xué)高一期中）已知的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足.(1)求角A；(2)若是的中線，且，求的最大值.例45．（2023·山西運(yùn)城·高一階段練習(xí)）已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為.(1)若的面積為為邊的中點(diǎn)，求中線的長(zhǎng)度；(2)若為邊上一點(diǎn)，且，求的最小值.例46．（2023·湖南·長(zhǎng)郡中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）銳角中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且(1)求角C的大?。?2)若邊，邊AB的中點(diǎn)為D，求中線CD長(zhǎng)的取值范圍．例47．（2023·山東濱州·二模）銳角的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．(1)求A；(2)若，D為AB的中點(diǎn)，求CD的取值范圍．例48．（2023·安徽·合肥一中模擬預(yù)測(cè)（文））在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并解答問題．在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足________．(1)求C；(2)若的面積為，D為AC的中點(diǎn)，求BD的最小值．例49．（2023·山東師范大學(xué)附中模擬預(yù)測(cè)）在①，②兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并解答該問題.在中，內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別是、、，且________.(1)求角；(2)若，點(diǎn)是的中點(diǎn)，求線段的取值范圍.例50．（多選題）（2023·甘肅定西·高一階段練習(xí)）中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，BC邊上的中線，則下列說法正確的有：（

）A． B． C． D．∠BAD的最大值為60°題型八：四心問題例51．（2023·山東泰安·模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，點(diǎn)O是的外心，．(1)求角A；(2)若外接圓的周長(zhǎng)為，求周長(zhǎng)的取值范圍，例52．（2023·河南南陽·高三期末（理））在中，.(1)求A；(2)若的內(nèi)切圓半徑，求的最小值.例53．（2023·江西·高三階段練習(xí)（理））已知O是三角形ABC的外心，若，且，則實(shí)數(shù)m的最大值為（

）A． B． C． D．例54．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知是三角形的外心，若，且，則實(shí)數(shù)的最大值為（

）A．3 B． C． D．例55．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a=5sin（B），c=5且O為△ABC的外心，G為△ABC的重心，則OG的最小值為（）A．1 B． C．1 D．例56．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知的周長(zhǎng)為9，若，則的內(nèi)切圓半徑的最大值為（

）A． B．1 C．2 D．例57．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在鈍角中，分別是的內(nèi)角所對(duì)的邊，點(diǎn)是的重心，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．例58．（2023·廣東深圳·高三階段練習(xí)）在中，，的內(nèi)切圓的面積為，則邊長(zhǎng)度的最小值為（

）A．16 B．24 C．25 D．36題型九：坐標(biāo)法例59．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（文））在中，，，點(diǎn)在內(nèi)部，，則的最小值為______．例60．（2023?南通一模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知，為圓上兩點(diǎn)，點(diǎn)，且，則線段的長(zhǎng)的取值范圍為．例61．為等邊內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為．例62．（2023?江蘇模擬）已知是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，點(diǎn)是以為圓心的單位圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則的最小值是．例63．（2023秋?新華區(qū)校級(jí)期末）“費(fèi)馬點(diǎn)”是指位于三角形內(nèi)且到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)，當(dāng)三角形三個(gè)內(nèi)角均小于時(shí)，“費(fèi)馬點(diǎn)”與三個(gè)頂點(diǎn)的連線正好三等分“費(fèi)馬點(diǎn)”所在的周角，即該點(diǎn)所對(duì)的三角形三邊的張角相等均為，根據(jù)以上性質(zhì)，函數(shù)的最小值為A．2 B． C． D．例64．（2023?唐山二模）在等邊中，為內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，，則的最小值是A．1 B． C． D．例65．（2023春?仁壽縣校級(jí)期末）銳角中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，則的取值范圍是A．， B．， C．， D．，例66．（2023春?博望區(qū)校級(jí)月考）在等腰中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，其中為鈍角，．點(diǎn)與點(diǎn)在直線的兩側(cè)，且，則的面積的最大值為A． B． C． D．3例67．（2023?淮安模擬）拿破侖定理是法國(guó)著名的軍事家拿破侖波拿馬最早提出的一個(gè)幾何定理：“以任意三角形的三條邊為邊，向外構(gòu)造三個(gè)等邊三角形，則這三個(gè)三角形的外接圓圓心恰為另一個(gè)等邊三個(gè)角形的頂點(diǎn)”．在中，，以，，為邊向外作三個(gè)等邊三角形，其外接圓圓心依次為，，，若△的面積為，則的周長(zhǎng)的取值范圍為．題型十：隱圓問題例68．（2023?鹽城二模）若點(diǎn)為的重心，且，則的最大值為．例69．（2023?江蘇三模）在平面四邊形中，，，，若，則的最小值為．例70．（2023?涪城區(qū)校級(jí)開學(xué)）若滿足條件，，則面積的最大值為．例71．已知，是圓上的動(dòng)點(diǎn)，，是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是．例72．（2023?合肥模擬）銳角中，，，為角，，所對(duì)的邊，點(diǎn)為的重心，若，則的取值范圍為A．， B．， C．， D．，例73．（2023?江漢區(qū)校級(jí)模擬）中，所在平面內(nèi)存在點(diǎn)使得，則面積最大值為A． B． C． D．例74．（2023?上城區(qū)校級(jí)模擬）設(shè)，為單位向量，向量滿足，則的最大值為A．2 B．1 C． D．例75．（2023春?瑤海區(qū)月考）在平面四邊形中，連接對(duì)角線，已知，，，，則對(duì)角線的最大值為A．27 B．16 C．10 D．25例76．已知圓，，為圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，為弦的中點(diǎn)，，，，．當(dāng)，在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，始終有為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A． B．，， C． D．，，題型十一：兩邊夾問題例77．（2023?合肥一模）設(shè)的內(nèi)角，，的對(duì)邊長(zhǎng)，，成等比數(shù)列，，延長(zhǎng)至，若，則面積的最大值為．例78．（2023?靜安區(qū)二模）設(shè)的內(nèi)角，，的對(duì)邊為，，．已知，，依次成等比數(shù)列，且，延長(zhǎng)邊到，若，則面積的最大值為．例79．（2023?常德一模）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知，且．（Ⅰ）求角；（Ⅱ）延長(zhǎng)至，使得，求面積的最大值．例80．在中，若，且的周長(zhǎng)為12．（1）求證：為直角三角形；（2）求面積的最大值．題型十二：與正切有關(guān)的最值問題例81．（2023·湖南·長(zhǎng)郡中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．求：(1)；(2)的取值范圍．例82．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在銳角中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．例83．（2023·山西呂梁·二模（文））銳角是單位圓的內(nèi)接三角形，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．例84．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在銳角三角形中，角??的對(duì)邊分別為??，且滿足，則的取值范圍為___________.例85．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在銳角中，角所對(duì)的邊分別為，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．例86．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在銳角中，角，，的對(duì)邊分別為，，，為的面積，且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．題型十三：最大角問題例87．（2023春?海淀區(qū)校級(jí)期中）幾何學(xué)史上有一個(gè)著名的米勒問題：“設(shè)點(diǎn)，是銳角的一邊上的兩點(diǎn)，試在邊上找一點(diǎn)，使得最大”．如圖，其結(jié)論是：點(diǎn)為過，兩點(diǎn)且和射線相切的圓的切點(diǎn)．根據(jù)以上結(jié)論解決以下問題：在平面直角坐標(biāo)系中，給定兩點(diǎn)，，點(diǎn)在軸上移動(dòng)，當(dāng)取最大值時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)是A． B．1或 C．2或 D．1例88．（2023秋?青羊區(qū)校級(jí)期中）（理科）、是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是橢圓的一條準(zhǔn)線，點(diǎn)在上，的最大值是A． B． C． D．例89．（2023春?遼寧期末）設(shè)的內(nèi)角，，所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為，，，且，則的最大值為A． B． C． D．例90．（2023?濱州二模）最大視角問題是1471年德國(guó)數(shù)學(xué)家米勒提出的幾何極值問題，故最大視角問題一般稱為“米勒問題”．如圖，樹頂離地面米，樹上另一點(diǎn)離地面米，在離地面米的處看此樹，離此樹的水平距離為米時(shí)看，的視角最大．例91．如圖，足球門框的長(zhǎng)為，設(shè)足球?yàn)橐稽c(diǎn)，足球與，連線所成的角為．（1）若隊(duì)員射門訓(xùn)練時(shí)，射門角度，求足球所在弧線的方程；（2）已知點(diǎn)到直線的距離為，到直線的垂直平分線的距離為，若教練員要求隊(duì)員，當(dāng)足球運(yùn)至距離點(diǎn)為處的一點(diǎn)時(shí)射門，問射門角度最大可為多少？題型十四：費(fèi)馬點(diǎn)、布洛卡點(diǎn)、拿破侖三角形問題例92．（2023秋?安徽月考）17世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬曾提出這樣一個(gè)問題：怎樣在一個(gè)三角形中求一點(diǎn)，使它到每個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最?。楷F(xiàn)已證明：在中，若三個(gè)內(nèi)角均小于，當(dāng)點(diǎn)滿足時(shí)，則點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小，點(diǎn)被人們稱為費(fèi)馬點(diǎn)．根據(jù)以上性質(zhì)，已知為平面內(nèi)任意一個(gè)向量，和是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，則的最小值是A． B． C． D．例93．（2023?深圳模擬）著名的費(fèi)馬問題是法國(guó)數(shù)學(xué)家皮埃爾德費(fèi)馬于1643年提出的平面幾何極值問題：“已知一個(gè)三角形，求作一點(diǎn)，使其與此三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最?。辟M(fèi)馬問題中的所求點(diǎn)稱為費(fèi)馬點(diǎn)，已知對(duì)于每個(gè)給定的三角形，都存在唯一的費(fèi)馬點(diǎn)，當(dāng)?shù)娜齻€(gè)內(nèi)角均小于時(shí)，則使得的點(diǎn)即為費(fèi)馬點(diǎn)．已知點(diǎn)為的費(fèi)馬點(diǎn)，且，若，則實(shí)數(shù)的最小值為．例94．（2023秋?全國(guó)月考）費(fèi)馬點(diǎn)是指到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)，當(dāng)三角形三個(gè)內(nèi)角均小于時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)在三角形內(nèi)，且費(fèi)馬點(diǎn)與三個(gè)頂點(diǎn)連線正好三等分費(fèi)馬點(diǎn)所在的周角，即該點(diǎn)對(duì)三角形三邊的張角相等，均為．已知的三個(gè)內(nèi)角均小于，為的費(fèi)馬點(diǎn)，且，則面積的最大值為．例95．（2023春?湖北期末）拿破侖定理是法國(guó)著名軍事家拿破侖波拿巴最早提出的一個(gè)幾何定理：“以任意三角形的三條邊為邊，向外構(gòu)造三個(gè)等邊三角形，則這三個(gè)等邊三角形的外接圓圓心恰為另一個(gè)等邊三角形（此等邊三角形稱為拿破侖三角形）的頂點(diǎn)．”已知內(nèi)接于半徑為的圓，以，，為邊向外作三個(gè)等邊三角形，其外接圓圓心依次記為，，．若，則△的面積最大值為．例96．（2023春?潤(rùn)州區(qū)校級(jí)期中）拿破侖定理是法國(guó)著名軍事家拿破侖波拿巴最早提出的一個(gè)幾何定理：“以任意三角形的三條邊為邊，向外構(gòu)造三個(gè)等邊三角形，則這三個(gè)等邊三角形的外接圓圓心恰為另一個(gè)等邊三角形（此等邊三角形稱為拿破侖三角形）的頂點(diǎn)．”已知內(nèi)接于單位圓，以，，為邊向外作三個(gè)等邊三角形，其外接圓圓心依次記為，，．若，則△的面積最大值為．題型十五：托勒密定理及旋轉(zhuǎn)相似例97．（2023春?五華區(qū)月考）數(shù)學(xué)家托勒密從公元127年到151年在亞歷山大城從事天文觀測(cè)，在編制三角函數(shù)表過程中發(fā)現(xiàn)了很多重要的定理和結(jié)論，如圖便是托勒密推導(dǎo)倍角公式“”所用的幾何圖形．已知點(diǎn)，在以線段為直徑的圓上，為弧的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上且，點(diǎn)為的中點(diǎn)．設(shè)，，那么下列結(jié)論：①，②，③，④其中正確的是A．②③ B．②④ C．①③④ D．②③④例98．（2023春?揚(yáng)州期中）托勒密是古希臘天文學(xué)家、地理學(xué)家、數(shù)學(xué)家，托勒密定理就是由其名字命名，該定理原文：圓的內(nèi)接四邊形中，兩對(duì)角線所包矩形的面積等于一組對(duì)邊所包矩形的面積與另一組對(duì)邊所包矩形的面積之和．其意思為：圓的內(nèi)接凸四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積．從這個(gè)定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理實(shí)質(zhì)上是關(guān)于共圓性的基本性質(zhì)．已知四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓的圓周上，、是其兩條對(duì)角線，，且為正三角形，則四邊形的面積為A．8 B．16 C． D．例99．（2023秋?寶山區(qū)校級(jí)月考）凸四邊形就是沒有角度數(shù)大于的四邊形，把四邊形任何一邊向兩方延長(zhǎng)，其他各邊都在延長(zhǎng)所得直線的同一旁，這樣的四邊形叫做凸四邊形，如圖，在凸四邊形中，，，，，當(dāng)變化時(shí)，對(duì)角線的最大值為A．3 B．4 C． D．例100．（2023?冀州市校級(jí)模擬）在中，，，以為邊作等腰直角三角形為直角頂點(diǎn)，、兩點(diǎn)在直線的兩側(cè)）．當(dāng)變化時(shí)，線段長(zhǎng)的最大值為A．1 B．2 C．3 D．4例101．（2023?日照一模）如圖所示，在平面四邊形中，，，為正三角形，則面積的最大值為A． B． C． D．題型十六：三角形中的平方問題例102．（2023秋?河南期末）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，，，．若的平分線與交于點(diǎn)，則A． B． C． D．3例103．（2023?洛陽二模）已知的三邊分別為，，，若滿足，則面積的最大值為A． B． C． D．例104．（2023春?張家界期末）秦九韶是我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家，在他的著作《數(shù)書九章》中有已知三邊求三角形面積的方法：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實(shí)．一為從隅，開平方得積．”如果把以上這段文字寫成公式就是，其中，，是的內(nèi)角，，的對(duì)邊，若且，2，成等差數(shù)列，則面積的最大值為A． B． C．1 D．例105．（2023?晉城一模）在銳角中，角，，的對(duì)邊分別為，，，的面積為，若，則的最小值為A． B．2 C．1 D．例106．（2023?秦淮區(qū)模擬）在銳角三角形中，已知，則的最小值為．例107．（2023?浙江三模）在銳角三角形中，角，，的對(duì)邊分別為，，，若已知，則的最小值是．例108．（2023春?鼓樓區(qū)校級(jí)期中）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，則的最小值為．例109．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在銳角中，角，，的對(duì)邊分別為，，，為的面積，且，則的取值范圍為（

）．A． B． C． D．例110．（2023·安徽·南陵中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足，則的取值范圍是___________.題型十七：等面積法、張角定理例111．（2023秋?廈門校級(jí)期中）給定平面上四點(diǎn)，，，，滿足，，，，則面積的最大值為．例112．（2023春?奎屯市校級(jí)期末）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，，的平分線交于點(diǎn)，且，則的最小值為A．8 B．9 C．10 D．7例113．（2023?云南一模）在中，內(nèi)角，，對(duì)的邊分別為，，，，平分交于點(diǎn)，，則的面積的最小值為A． B． C． D．例114．在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，，的平分線交于點(diǎn)，且，則的最小值為A． B． C．5 D．專題15三角形中的范圍與最值問題【方法技巧與總結(jié)】1.在解三角形專題中，求其“范圍與最值”的問題，一直都是這部分內(nèi)容的重點(diǎn)、難點(diǎn)。解決這類問題，通常有下列五種解題技巧:(1)利用基本不等式求范圍或最值；(2)利用三角函數(shù)求范圍或最值；(3)利用三角形中的不等關(guān)系求范圍或最值；(4)根據(jù)三角形解的個(gè)數(shù)求范圍或最值；(5)利用二次函數(shù)求范圍或最值.要建立所求量(式子)與已知角或邊的關(guān)系，然后把角或邊作為自變量，所求量(式子)的值作為函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系，將原問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題.這里要利用條件中的范圍限制，以及三角形自身范圍限制，要盡量把角或邊的范圍(也就是函數(shù)的定義域)找完善，避免結(jié)果的范圍過大.2.解三角形中的范圍與最值問題常見題型：(1)求角的最值；(2)求邊和周長(zhǎng)的最值及范圍；(3)求面積的最值和范圍.【題型歸納目錄】題型一：周長(zhǎng)問題題型二：面積問題題型三：長(zhǎng)度問題題型四：轉(zhuǎn)化為角范圍問題題型五：倍角問題題型六：角平分線問題題型七：中線問題題型八：四心問題題型九：坐標(biāo)法題型十：隱圓問題題型十一：兩邊夾問題題型十二：與正切有關(guān)的最值問題題型十三：最大角問題題型十四：費(fèi)馬點(diǎn)、布洛卡點(diǎn)、拿破侖三角形問題題型十五：托勒密定理及旋轉(zhuǎn)相似題型十六：三角形中的平方問題題型十七：等面積法、張角定理【典例例題】題型一：周長(zhǎng)問題例1．（2023·云南·昆明市第三中學(xué)高一期中）設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，設(shè)．(1)求A；(2)從三個(gè)條件：①的面積為；②；③中任選一個(gè)作為已知條件，求周長(zhǎng)的取值范圍．答案：(1)；(2)答案見解析.【解析】分析：（1）由正弦定理及已知有，應(yīng)用差角余弦公式化簡(jiǎn)求得，即可確定A的大小.（2）根據(jù)所選的條件，應(yīng)用正余弦定理、三角恒等變換及基本不等式、三角函數(shù)的范圍求周長(zhǎng)的取值范圍．(1)在中，由得：，又，，即，，又，．(2)選擇①：因?yàn)?，則，得，由余弦定理得，即的周長(zhǎng)，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，即的周長(zhǎng)的取值范圍是．選擇②：，因?yàn)?，，由正弦定理得，，即的周長(zhǎng)，因?yàn)?，則，故，所以，即的周長(zhǎng)的取值范圍是．選擇③：．因?yàn)?，，由正弦定理得，即的周長(zhǎng)，因?yàn)?，所以，則，即的周長(zhǎng)的取值范圍是.例2．（2023·重慶·高一階段練習(xí)）已知向量，，函數(shù)．(1)求函數(shù)在上的值域；(2)若的內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別為、、，且，，求的周長(zhǎng)的取值范圍．答案：(1)；(2).【解析】分析：（1）利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示求出函數(shù)并化簡(jiǎn)，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求值域作答.（2）由（1）求出，借助余弦定理求出的范圍，即可求解作答．(1)（1）依題意，，由得，，所以在上的值域?yàn)?(2)由得，，，則有，解得，在中，由余弦定理得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=“，即有，又因?yàn)?，則，因此，所以的周長(zhǎng)的取值范圍為．例3．（2023·浙江·高三專題練習(xí)）銳角的內(nèi)切圓的圓心為，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，.若，且的外接圓半徑為1，則周長(zhǎng)的取值范圍為___________.答案：【解析】分析：由余弦定理變形可求得角，再由正弦定理求得，在中利用余弦定理表示出的關(guān)系，并由基本不等式得出的一個(gè)范圍，結(jié)合三角形的性質(zhì)求得的范圍，從而可得結(jié)論．【詳解】解：由余弦定理，得，即，因?yàn)?，所?由正弦定理，得.因?yàn)?，由?nèi)切圓的性質(zhì)可得，所以，在中，由余弦定理，得，即，解得，又，所以，所以周長(zhǎng)的取值范圍.故答案為：.例4．（2023·浙江省新昌中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，其中，若實(shí)數(shù)滿足時(shí)，的最小值為．(1)求的值及的對(duì)稱中心；(2)在中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，若，求周長(zhǎng)的取值范圍．答案：(1)，對(duì)稱中心；(2)【解析】分析：（1）先由倍角公式及輔助角公式化簡(jiǎn)得，再結(jié)合已知求得周期即可求出，由正弦函數(shù)的對(duì)稱性即可求得對(duì)稱中心；（2）先求出，再由正弦定理求得，再借助三角恒等變換及三角函數(shù)的值域即可求得周長(zhǎng)的取值范圍．(1)，顯然的最大值為1，最小值為，則時(shí)，的最小值等于，則，則，；令，解得，則的對(duì)稱中心為；(2)，，又，則，由正弦定理得，則，則周長(zhǎng)為，又，則，則，故周長(zhǎng)的取值范圍為.題型二：面積問題例5．（2023·貴州黔東南·高一期中）在面積為S的△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且.(1)求C的值；(2)若ABC為銳角三角形，記，求m的取值范圍.答案：(1)(2)【解析】分析：（1）利用三角形面積公式、正弦定理及余弦定理即可求解；（2）根據(jù)題干得出角的取值范圍，利用三角形面積公式及正弦定理進(jìn)行化簡(jiǎn)，最后利用角的取值范圍進(jìn)行求解.(1)解：在中，由三角形面積公式得，由正弦定理得：，整理得：，由余弦定理得：，又，故.(2)解：因?yàn)闉殇J角三角形，所以，，所以，所以，因?yàn)?，所以，?例6．（2023·浙江·高二階段練習(xí)）在中，角的對(duì)邊分別為．(1)求角；(2)若點(diǎn)滿足，且，求面積的取值范圍．答案：(1)(2)【解析】分析：（1）結(jié)合輔助角公式得到，進(jìn)而可求出結(jié)果；（2）結(jié)合正弦定理以及三角恒等變換求出，然后結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求出的面積的取值范圍，從而根據(jù)即可求出結(jié)果.(1)因?yàn)椋?，且?2)，．，．．因?yàn)辄c(diǎn)滿足，所以,．例7．（2023·浙江·杭師大附中模擬預(yù)測(cè)）在中，D的邊的中點(diǎn)，．(1)求角C；(2)求面積的取值范圍．答案：(1)(2)【解析】分析：(1)根據(jù)內(nèi)角和公式和二倍角余弦公式化簡(jiǎn)求角C；(2)由余弦定理可得的關(guān)系，結(jié)合基本不等式求的最大值，根據(jù)三角形面積公式求面積的取值范圍．(1)因?yàn)?，所以所以，故，又；所?(2)在中，由余弦定理可得因?yàn)?，，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以面積．例8．（2023·江蘇省天一中學(xué)高一期中）在中，角A?B?C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a?b?c，若.是銳角三角形，則面積的取值范圍是___________.答案：【解析】分析：根據(jù)題意和余弦定理，求得，再結(jié)合余弦定理求得，再由正弦定理可得，，化簡(jiǎn)，根據(jù)是銳角三角形求得，得到，即，結(jié)合面積公式，即可求解.【詳解】由余弦定理可得，整理得，又由，因?yàn)?，所以．由正弦定理可知：，所以，，故，，因?yàn)槭卿J角三角形，，解得，可得，所以，故，又由的面積，所以．故答案為：題型三：長(zhǎng)度問題例9．（2023·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．(1)求角C的大??；(2)設(shè)，若的外接圓半徑為4，且有最大值，求m的取值范圍．答案：(1)(2)（1，4）【解析】分析：（1）根據(jù)已知條件，利用正弦定理及余弦定理即可求解.（2）由題意及正弦定理可知，利用正弦定理及正弦函數(shù)兩角和公式將化為型函數(shù)進(jìn)行求解.(1)解：由已知及正弦定理得，所以，由余弦定理得，因?yàn)椋裕?2)由正弦定理得，所以，其中，，又，所以，若存在最大值，則有解，則，即，所以解得，即m的取值范圍是（1，4）．例10．（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)（文））在中，角，，的對(duì)邊分別為，，．，，．(1)求；(2)求的取值范圍．答案：(1)(2)【解析】分析：（1）先求出，利用余弦定理求出，即可求出；（2）先求出，即可求出的取值范圍．(1)因?yàn)椋?，所?因?yàn)?，所以，所?因?yàn)?，，由余弦定理得：，解得?所以.(2)由（1）可知：.而，所以，所以，所以.故的取值范圍為.例11．（2023·江蘇·高三專題練習(xí)）已知內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，的面積.(1)求邊c；(2)若為銳角三角形，求a的取值范圍.答案：(1)1(2)【解析】分析：（1）根據(jù)，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理求得，由三角形面積公式結(jié)合，求得答案；（2）由正弦定理表示，由三角形為銳角三角形確定，即可求得答案.(1)因?yàn)?，，所以；因?yàn)?，所?(2)在中，由正弦定理，由（1）知，，代入上式得：，因?yàn)闉殇J角三角形，則,所以，所以，所以.例12．（2023·陜西·寶雞中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））已知，，(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)設(shè)的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若，且，求的取值范圍.答案：(1)，(2)【解析】分析：（1）利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求解．（2）由已知可求，求得，利用余弦定理，基本不等式可求，可得，根據(jù)，即可得解．(1)解：因?yàn)?，且，所以即，令，，解得，．所以函?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，(2)解：因?yàn)?，所以．因?yàn)椋?，所以，所以，又因?yàn)?，所以由余弦定理，即，即．而，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，即，又因?yàn)?，所以，即．?3．（2023·江蘇南京·模擬預(yù)測(cè)）請(qǐng)?jiān)冖傧蛄?，，且；②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)填入橫線上并解答．在銳角三角形中，已知角，，的對(duì)邊分別為，，c，．(1)求角；(2)若的面積為，求的取值范圍．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．答案：(1)(2)【解析】分析：(1)選①：根據(jù)平面共線向量的坐標(biāo)表示和正弦定理可得，結(jié)合余弦定理即可求出C；選②：根據(jù)正弦定理和兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)計(jì)算可得，結(jié)合特殊角的正切值即可求出C；(2)由三角形的面積公式可得，法一：利用余弦定理解得；法二：由正弦定理可得，進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的值域即可.(1)選擇①：因?yàn)?，所以，由正弦定理得，，即，即，即，即．因?yàn)?，又為銳角，所以．選擇②：因?yàn)椋烧叶ɡ淼?，，即．又，所以．因?yàn)?，所以，又為銳角，所以，．(2)因?yàn)椋?，則．(法一)由余弦定理得，．①因?yàn)闉殇J角三角形，所以即將①代入上式可得即解得．令，，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，即的取值范圍為．(法二)由正弦定理得，又，所以．因?yàn)闉殇J角三角形，所以解得因?yàn)?，所以，，即，解得．令，，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，即的取值范圍為．例14．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且．(1)求角；(2)若為銳角三角形，求的取值范圍．答案：(1)；(2).【解析】分析：（1）角換邊，在利用余弦定理求解；（2）邊換角，將待求表達(dá)式表示成關(guān)于的三角函數(shù)，利用銳角三角形條件求出的范圍，最后再求表達(dá)式的范圍即可.(1)因?yàn)椋杂烧叶ɡ淼?，整理得，由余弦定理得．因?yàn)?，所以?2)由正弦定理得．因?yàn)闉殇J角三角形，所以解得，所以，所以，故的取值范圍為．例15．（2023·遼寧·撫順市第二中學(xué)三模）在①，②，③這三個(gè)條件中，任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，問題：在中，a，b，c分別為角A，B，C所對(duì)的邊，，_______．(1)求角B﹔(2)求的范圍．答案：(1)任選一條件，都有(2)【解析】分析：（1）若選①由正弦定理可得，再由余弦定理可得，結(jié)合余弦定理可得答案;若選②由余弦的二倍角公式結(jié)合余弦的差角公式可得出答案;若選③由正弦定理結(jié)合切化弦可得，從而得到，得出答案.(2)由正弦定理可得，即，結(jié)合,利用正弦的差角公式和輔助角公式化簡(jiǎn)結(jié)合角的范圍可得答案.(1)選擇①：∵，∴由正弦定理可得：，∴可得：，可得：，∴由余弦定理可得：，整理可得：，∴，∵，可得：選擇②：，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以；選擇③：因?yàn)?，由正弦定理可得，又由，可得，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以?2)在中，由（1）及，故，因?yàn)?，則﹒所以的范圍為例16．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）在△中，角所對(duì)的邊分別是，若，，則的最小值為________．答案：12【解析】分析：利用正弦定理及和角公式可得，再結(jié)合條件及正弦定理可得，然后利用余弦定理及基本不等式即求.【詳解】∵在△中，角所對(duì)的邊分別是，，∴，∴，∴，即，，∴，因?yàn)椋?，即，又，∴，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴的最小值為為12.故答案為：12.例17．（2023·安徽黃山·二模（文））在△中，角，，的對(duì)邊分別為，，，，，若有最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____．答案：【解析】分析：由正弦定理可得，根據(jù)目標(biāo)式結(jié)合正弦定理的邊角互化，易得且、，可知存在最大值即，進(jìn)而可求的范圍.【詳解】∵，，由正弦定理得：，∴，其中，又，∴存在最大值，即有解，即，∴，解得，又，解得，故的范圍是．故答案為：．例18．（2023·浙江·高三專題練習(xí)）已知的三邊長(zhǎng)分別為，，，角是鈍角，則的取值范圍是________.答案：【解析】分析：由B是鈍角，得出，再按c>a和c≤a放縮，轉(zhuǎn)化為的函數(shù)得解.【詳解】的三邊長(zhǎng)分別為，，，且角是鈍角，則，當(dāng)c>a時(shí)，令，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，即，c≤a時(shí)，，，令，，，在上單調(diào)遞增，，即，綜上得，所以的取值范圍是.故答案為：例19．（2023·黑龍江·哈爾濱三中模擬預(yù)測(cè)（文））在中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案：C【解析】分析：由均值不等式可得出的最小值，由余弦定理可得，再由正弦定理結(jié)合條件可化為，由輔助角公式可得最大值.【詳解】(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào))由，可得，其中，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào),所以故選：C題型四：轉(zhuǎn)化為角范圍問題例20．（2023·河北秦皇島·二模）在銳角中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且.(1)求；(2)求的取值范圍.答案：(1)(2)【解析】分析：（1）利用正弦定理角化邊，再根據(jù)余弦定理可求出，進(jìn)而求出的大?。唬?）依題意可化簡(jiǎn)，根據(jù)的范圍求出的取值范圍即可.(1)因?yàn)?，所以，?因?yàn)?，所?因?yàn)椋?(2)由（1）知.因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，即的取值范圍?例21．（2023·廣東茂名·模擬預(yù)測(cè)）已知的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，且．(1)判斷的形狀并給出證明；(2)若，求的取值范圍．答案：(1)為等腰三角形或直角三角形，證明見解析(2)【解析】分析：（1）利用正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)可得出，可得出或，可得出或，即可得出結(jié)論；（2）分析可得，且，利用誘導(dǎo)公式以及輔助角公式可得出，利用正弦型函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的取值范圍.(1)解：為等腰三角形或直角三角形，證明如下：由及正弦定理得，，即，即，整理得，所以，故或，又、、為的內(nèi)角，所以或，因此為等腰三角形或直角三角形．(2)解：由（1）及知為直角三角形且不是等腰三角形，且，故，且，所以，因?yàn)?，故，得，所以，因此的取值范圍為．?2．（2023·浙江溫州·三模）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c.已知.(1)若，求角A的大?。?2)求的取值范圍.答案：(1)(2)【解析】分析：（1）已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，運(yùn)用正弦定理可以求另外一個(gè)角；（2）由三角恒等變換公式或積化和差公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，轉(zhuǎn)化成的形式，根據(jù)三角函數(shù)進(jìn)行求解即可.(1)由正弦定理得：，∵，∴或，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，所以舍去，所以.(2)（或者用積化和差公式一步得到）∵，∴，所以A為銳角，又，所以，所以，所以，所以.例23．（2023·河北·滄縣中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的最大值；(2)已知在銳角△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且滿足，求的取值范圍．答案：(1)(2)【解析】分析：（1）利用二倍角公式及輔助角公式將函數(shù)化簡(jiǎn)，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；（2）依題意可得，再由正弦定理將邊化角，結(jié)合兩角和的正弦公式得到，在根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到，根據(jù)三角形為銳角三角形求出的取值范圍，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；(1)解：，∴，此時(shí)，，即，；(2)解：由，∴，由正弦定理及已知可得，整理得，即，由，則，所以，則，因?yàn)椋?，，∴由；由，即，所以，所以，所以，則，則，∴，∴的取值范圍為．例24．（2023·山西·模擬預(yù)測(cè)（理））已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且.(1)求；(2)若為銳角三角形，求的取值范圍.答案：(1)(2)【解析】分析：（1）根據(jù)余弦定理,將角化邊,即可得到三邊關(guān)系,進(jìn)而轉(zhuǎn)化成余弦定理形式求解.（2）用二倍角公式降冪，然后利用輔助角公式合并，根據(jù)角的范圍求解.(1)及，，化簡(jiǎn)得，，又，.(2)由（1）可得為銳角三角形，且，，.，，故的取值范圍為.例25．（2023·安徽省舒城中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））銳角的內(nèi)角所對(duì)的邊是，且，若變化時(shí)，存在最大值，則正數(shù)的取值范圍是______答案：【解析】分析：利用化已知等式為邊的齊次式，然后由正弦定理化邊為角，結(jié)合三角函數(shù)恒等變換求得關(guān)系，并求得角范圍，引入函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求其最大值，則最大值的存在性得出與的關(guān)系，從而得范圍．【詳解】因?yàn)?，所以化為，由正弦定理得，即，所以或，即或（舍去），是銳角三角形，，所以，，令，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以時(shí)，取得最大值，，因?yàn)椋裕蚀鸢笧椋海?6．（2023·江西·南昌十中模擬預(yù)測(cè)（理））銳角中，，角A的角平分線交于點(diǎn)，,則的取值范圍為_________.答案：【解析】分析：根據(jù)正弦定理表示出，，從而表示出，根據(jù)角的范圍結(jié)合三角恒等變換求得答案.【詳解】由已知得，,在中，由正弦定理得，,同理可得,故,而，因?yàn)殇J角中，,故，則，，故，故答案為：例27．（2023·遼寧·高一期中）在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知，且為鈍角，則______，的取值范圍是______．答案：

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【解析】分析：先通過正弦定理進(jìn)行邊化角，進(jìn)而結(jié)合誘導(dǎo)公式求得；再將化為，然后展開并結(jié)合二倍角公式求出答案.【詳解】由已知，，∴，∵,∴，∵，∴，．∵，，，∴，∴，即，所以，故的取值范圍是．例28．（2023·云南師大附中高三階段練習(xí)（理））如圖所示，有一塊三角形的空地，已知千米，AB＝4千米，則∠ACB＝________；現(xiàn)要在空地中修建一個(gè)三角形的綠化區(qū)域，其三個(gè)頂點(diǎn)為B，D，E，其中D，E為AC邊上的點(diǎn)，若使，則BD＋BE最小值為________平方千米．答案：

##

【解析】分析：在中，利用余弦定理求得再由正弦定理求解；設(shè)分別在，中，利用正弦定理分別求得BD，BE，再由；令轉(zhuǎn)化為求解.【詳解】在中，由余弦定理得，則根據(jù)正弦定理有所以，；設(shè)則在中，由正弦定理得在中，由正弦定理得則；令則則易知分母且是一個(gè)單調(diào)遞增的函數(shù)，則是一個(gè)單調(diào)遞減的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有最小值，．故答案為：；.例29．（2023·浙江·舟山中學(xué)高三階段練習(xí)）如圖，在中，，，是內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，，則的外接圓半徑=______，的最小值為____________．答案：

；【解析】分析：第一空，在中，由正弦定理，，即得解；第二空，設(shè)，在中，由正弦定理可得，在中，，即得解【詳解】在中，，由正弦定理，設(shè)，，在中，由正弦定理，得，，在中，，，其中，，從而，由最小值為的最小值故答案為：，.例30．（2023·湖北·武漢二中模擬預(yù)測(cè)）在銳角中，，則角的范圍是________，的取值范圍為__________.答案：

【解析】分析：由已知結(jié)合余弦定理，正弦定理及和差角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)可得，的關(guān)系，結(jié)合銳角三角形條件可求，的范圍，然后結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可求．【詳解】解：因?yàn)榧?，所以，由正弦定理得，所以，整理得，即，所以，即，又為銳角三角形，所以，解得，故，，則，令，則，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，故，即．故答案為：；．例31．（2023·新疆喀什·一模）已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，．若，且為銳角，則的最小值為（

）A． B． C． D．答案：A【解析】分析：將式子中的邊b、c都轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，即變?yōu)椋捎?，利用均值不等式便可求得其最小?【詳解】，即，．為銳角，則當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，的最小值為．故選：A例32．（2023·北京·高三專題練習(xí)）在銳角中，，的對(duì)邊長(zhǎng)分別是，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案：B【解析】分析：確定B的范圍,利用正弦定理化簡(jiǎn)表達(dá)式,求出范圍即可.【詳解】在銳角中,，,而，，所以，所以由正弦定理可知:,故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理在解三角形中的應(yīng)用,注意銳角三角形中角的范圍的確定,是本題解答的關(guān)鍵,考查計(jì)算能力,邏輯推理能力,屬于中檔題.例33．（2023?石家莊模擬）如圖，平面四邊形的對(duì)角線的交點(diǎn)位于四邊形的內(nèi)部，，，，，當(dāng)變化時(shí)，對(duì)角線的最大值為．【解答】解：設(shè)，，由余弦定理可得，；由正弦定理可得：，，時(shí)，取得最大值為3．故答案為：3．題型五：倍角問題例34．（2023·安徽·蕪湖一中高一期中）的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，若，則的取值范圍為______.答案：【解析】分析：根據(jù)題意求出的范圍，結(jié)合正弦定理，把轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，通過三角恒等變換以及三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】根據(jù)題意得，，故，在中，由正弦定理，得，因，所以，故，所以的取值范圍為，故答案為：.例35．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若，則的取值范圍為______.答案：【解析】分析：先利用正弦定理和，將轉(zhuǎn)化為，然后令，則，再利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而可求出的取值范圍，進(jìn)而可得答案【詳解】解：因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，令，則，所以，所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，所以的取值范圍為，故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查正弦定理的應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用正弦定理將轉(zhuǎn)化為，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解即可，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于中檔題例36．（2023·全國(guó)·高二單元測(cè)試）已知是銳角三角形，分別是的對(duì)邊.若，則的取值范圍是_________.答案：【解析】分析：由題意和內(nèi)角和定理表示出C，由銳角三角形的條件列出不等式組，求出B的范圍，由正弦定理和二倍角的正弦公式化簡(jiǎn)，由函數(shù)的單調(diào)性求出結(jié)論．【詳解】，，，又是銳角三角形，，解得，由正弦定理得：，由，得，即，令，令，則在上單調(diào)遞增，，即的范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理，二倍角的正弦公式，內(nèi)角和定理、三角函數(shù)的單調(diào)性，考查轉(zhuǎn)化思想，化簡(jiǎn)、變形能力，屬于中檔題．例37．（2023·陜西·無高一階段練習(xí)）已知是銳角三角形，若，則的取值范圍是_____.答案：（）【解析】由正弦定理可得：，根據(jù)題意，確定的范圍，，再代入求出即可．【詳解】解：，由正弦定理可得：，當(dāng)為最大角時(shí)，，，當(dāng)為最大角時(shí)，，，，可得：，、故，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理的應(yīng)用，考查了三角形求邊角的范圍，中檔題．例38．（2023·四川·成都外國(guó)語學(xué)校高二開學(xué)考試（文））已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，則的取值范圍為______答案：【解析】分析：先根據(jù)正弦定理化簡(jiǎn)整理可得，設(shè)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出值域即可．【詳解】在中，，，，，利用正弦定理可得：

又，，，，設(shè)，則，令，，則令，則，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，，，所以的取值范圍為：故答案為【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和求值，主要考查二倍角公式和正弦定理的運(yùn)用，同時(shí)考查函數(shù)單調(diào)性的運(yùn)用，屬于中檔題．例39．（2023·江西鷹潭·一模（理））已知的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，若，則的取值范圍為__________．答案：【解析】分析：作，則，由，，可得，可求，令，可得，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求在，單調(diào)遞，在，上單調(diào)遞增，可得，從而得解．【詳解】解：由于，作，則，因?yàn)?，，可得，所以，令，可得，所以，令，可得，由，可得在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，綜上．故答案為：．例40．（2023?蕪湖模擬）已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若，則最小值是．【解答】解：，，，，，，，，，即，，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則最小值是3，故答案為：3例41．（2023?道里區(qū)校級(jí)一模）已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若，則的取值范圍為．【解答】解：，因?yàn)?，且，所以，令，則，令，則，故在上單調(diào)遞減，所以（1），即，故的取值范圍為．故答案為：．題型六：角平分線問題例42．（2023·河北保定·高一階段練習(xí)）記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且.(1)求的大小；(2)若邊上的高為，且的角平分線交于點(diǎn)，求的最小值.答案：(1)(2)【解析】分析：（1）利用正弦定理進(jìn)行邊化角，結(jié)合三角恒等變換整理；（2）根據(jù)等面積可得，利用余弦定理得和基本不等式可得，根據(jù)面積得，整理分析．(1)由正弦定理得，得，因?yàn)?，所以，?(2)因?yàn)椋?由余弦定理得，得（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立），即.因?yàn)椋?因?yàn)?，所?因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以，即.故的最小值為.例43．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.且滿足（a+2b）cosC+ccosA=0.(1)求角C的大??；(2)設(shè)AB邊上的角平分線CD長(zhǎng)為2，求△ABC的面積的最小值.答案：(1)；(2).【解析】分析：（1）先通過正弦定理進(jìn)行邊化角，進(jìn)而結(jié)合兩角和與差的正弦公式將式子化簡(jiǎn)，然后求得答案；（2）在和中，分別運(yùn)用正弦定理，進(jìn)而求出，然后在中再次運(yùn)用正弦定理得到，最后通過三角形面積公式結(jié)合基本不等式求得答案.(1)根據(jù)題意，由正弦定理可知：，則，因?yàn)椋?，則，而，于是.(2)由（1）可知，，在中，設(shè)，則，在中，由正弦定理得：，在中，由正弦定理得：，所以.在中，由正弦定理得：，所以.由基本不等式可得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”.于是，.即△ABC的面積的最小值為.題型七：中線問題例44．（2023·江蘇省天一中學(xué)高一期中）已知的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足.(1)求角A；(2)若是的中線，且，求的最大值.答案：(1)(2)【解析】分析：（1）根據(jù)已知條件及余弦的二倍角公式，再利用正弦定理的角化邊及余弦定理，結(jié)合三角函數(shù)特殊值對(duì)應(yīng)特殊角及角的范圍即可求解；（2）根據(jù)已知條件及中線的向量的線性表示，再利用向量的數(shù)量積極及基本不等式即可求解.(1)由及二倍角的余弦公式，得，即，于是有，及正弦定理，得，由余弦定理，得，.(2)因?yàn)槭堑闹芯€，所以，兩邊平方，得,由（1）知，，，所以，所以即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為.例45．（2023·山西運(yùn)城·高一階段練習(xí)）已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為.(1)若的面積為為邊的中點(diǎn)，求中線的長(zhǎng)度；(2)若為邊上一點(diǎn)，且，求的最小值.答案：(1)(2)【解析】分析：（1）利用兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)求得A，根據(jù)三角形面積公式求得bc的積，根據(jù)向量的線性運(yùn)算表示，利用余弦定理結(jié)合向量的模的計(jì)算，求得答案;（2）由已知可得到，繼而化簡(jiǎn)為，兩邊平方，結(jié)合可得到，從而將變?yōu)?，利用基本不等式即可求得答?(1)由正弦定理，得，得，得，，即.的面積為.為邊的中點(diǎn)，，又，，，即，中線的長(zhǎng)度為.(2)為邊上一點(diǎn)，，，，即，，又，，，即，，當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號(hào)，故的最小值為.例46．（2023·湖南·長(zhǎng)郡中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）銳角中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且(1)求角C的大??；(2)若邊，邊AB的中點(diǎn)為D，求中線CD長(zhǎng)的取值范圍．答案：(1)(2)【解析】分析：（1）結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系以及正弦定理化簡(jiǎn)求解，因?yàn)?，所以；?）由余弦定理與正弦定理，然后結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)求解其取值范圍即可.(1)因?yàn)?，所以，即，又因，所以又由題意可知，所以，因?yàn)椋?(2)由余弦定理可得，又，則，由正弦定理可得，所以，，所以，由題意得，解得，則，所以所以所以所以中線CD長(zhǎng)的取值范圍為例47．（2023·山東濱州·二模）銳角的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．(1)求A；(2)若，D為AB的中點(diǎn)，求CD的取值范圍．答案：(1)(2)【解析】分析：（1）根據(jù)已知條件，由正弦定理可得，進(jìn)而可得，又為銳角三角形，從而即可求解；（2）在中，由余弦定理可得，又為銳角三角形，進(jìn)而有，又，可得，從而由二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.(1)解：因?yàn)?，由正弦定理可得，所以，所以，因?yàn)?，即，所以，因?yàn)?，所以，又因?yàn)闉殇J角三角形，所以；(2)解：由（1）知，又，在中，由余弦定理可得，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，由余弦定理可得，又，所以，解得，所以由二次函數(shù)性質(zhì)可得CD的取值范圍是.例48．（2023·安徽·合肥一中模擬預(yù)測(cè)（文））在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并解答問題．在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足________．(1)求C；(2)若的面積為，D為AC的中點(diǎn)，求BD的最小值．答案：(1)(2)2【解析】分析：（1）選①，由正弦定理邊化角，結(jié)合兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)可得，求得答案;選②,由正弦定理邊化角，結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系以及兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)可得，求得答案;選③，由正弦定理邊化角，結(jié)合兩角差的余弦公式化簡(jiǎn)可得，求得答案;（2）利用三角形的面積公式可得，由余弦定理結(jié)合基本不等式可推出，即可求得答案.(1)選條件①．由可得，由正弦定理得，因?yàn)?，所以，所以，故?/p>

又，于是，即，因?yàn)椋?選條件②．因?yàn)?，所以由正弦定理及同角三角函?shù)的基本關(guān)系式，得，

即，

因?yàn)?，所以，，又，?所以，因?yàn)?，所以選條件③．在中，由正弦定理得，又，所以

,

所以，所以，即，又，所以；(2)由題意知，得，由余弦定理得，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)取等號(hào)，所以BD的最小值為2.例49．（2023·山東師范大學(xué)附中模擬預(yù)測(cè)）在①，②兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并解答該問題.在中，內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別是、、，且________.(1)求角；(2)若，點(diǎn)是的中點(diǎn)，求線段的取值范圍.答案：(1)條件選擇見解析，(2)【解析】分析：（1）選①，由正弦定理化簡(jiǎn)可得的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；選②，由正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式可求得的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；（2）由平面向量的線性運(yùn)算可出，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可得出，求出的取值范圍，結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的取值范圍.(1)解：選①，由及正弦定理可得，所以，，因?yàn)?、，所以，，則，所以，，；選②，由及正弦定理可得，所以，，、，，所以，，則.(2)解：因?yàn)椋?，，由已知，即，所以，，所以，，即，所以?例50．（多選題）（2023·甘肅定西·高一階段練習(xí)）中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，BC邊上的中線，則下列說法正確的有：（

）A． B． C． D．∠BAD的最大值為60°答案：ABC【解析】分析：利用向量的數(shù)量積公式,余弦定理及基本不等式對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.【詳解】∵．A正確；∵，∴，故B正確；由余弦定理及基本不等式得（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立），由A選項(xiàng)知，∴，解得，故C正確；對(duì)于D，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立），∵，∴，又，∴∠BAD的最大值30°，D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選:ABC題型八：四心問題例51．（2023·山東泰安·模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，點(diǎn)O是的外心，．(1)求角A；(2)若外接圓的周長(zhǎng)為，求周長(zhǎng)的取值范圍，答案：(1)(2)【解析】分析：（1）由三角形外心的定義和向量數(shù)量積的幾何意義對(duì)條件化簡(jiǎn)，然后利用正弦定理邊化角，整理化簡(jiǎn)可得；（2）先求外接圓半徑，結(jié)合（1）和正弦定理將三角形周長(zhǎng)表示為角C的三角函數(shù)，由正弦函數(shù)性質(zhì)可得.(1)過點(diǎn)O作AB的垂線，垂足為D，因?yàn)镺是的外心，所以D為AB的中點(diǎn)所以，同理所以，由正弦定理邊化角得：所以整理得：因?yàn)?，所以所以，即又，所以，?2)記外接圓的半徑為R，因?yàn)橥饨訄A的周長(zhǎng)為，所以，得所以周長(zhǎng)由（1）知，所以因?yàn)?，所以所以所以，即所以周長(zhǎng)的取值范圍為例52．（2023·河南南陽·高三期末（理））在中，.(1)求A；(2)若的內(nèi)切圓半徑，求的最小值.答案：(1)；(2).【解析】分析：（1）根據(jù)已知條件、三角形的內(nèi)角和定理及兩角和的正弦公式，再結(jié)合解三角方程即可求解.（2）由題意可知，利用三角形的等面積法及余弦定理得出含有和的關(guān)系式，再利用基本不等式的變形即可求得的最小值.(1)在中,，整理得，即，于是所以，因?yàn)?，所以，即，所以，又因?yàn)?，所以，所以，解?所以.(2)令，（1）知.由，得，即，由余弦定理及（1）知，得，所以，即，于是當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)所以，或又的內(nèi)切圓半徑，，，，的最小值為.例53．（2023·江西·高三階段練習(xí)（理））已知O是三角形ABC的外心，若，且，則實(shí)數(shù)m的最大值為（

）A． B． C． D．答案：A【解析】分析：利用外心的性質(zhì)以及正弦定理，轉(zhuǎn)化已知條件，從而求得關(guān)于的表達(dá)式，再利用基本不等式即可求得其最大值.【詳解】設(shè)三角形的外接圓半徑為，因?yàn)镺是三角形ABC的外心，故可得，且，，故，即，也即，則，又，由正弦定理可得：，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得最大值.故選：A.例54．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知是三角形的外心，若，且，則實(shí)數(shù)的最大值為（

）A．3 B． C． D．答案：D【解析】分析：設(shè)，，，，由題設(shè)條件得到的關(guān)系：，由是三角形的外心可得，，對(duì)，消去AO，利用基本不等式求得m的范圍.【詳解】如圖所示：設(shè)，，，，由得，化簡(jiǎn)得，由是三角形的外心可知，是三邊中垂線交點(diǎn)，得，，代入上式得，∴.根據(jù)題意知，是三角形外接圓的半徑，可得，，代入得，∴，當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)，等號(hào)成立.故選：D.例55．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a=5sin（B），c=5且O為△ABC的外心，G為△ABC的重心，則OG的最小值為（）A．1 B． C．1 D．答案：D【解析】首先根據(jù)條件解△ABC可得：C和△ABC外接圓的半徑R，由此建立直角坐標(biāo)系，可得：.A（，0），B（，0），外心O為（0，），重心G.從而求得|OG|2sinθ，即可得解.【詳解】A=5sin（B），c=5，∴acsin（B），由正弦定理可得：sinAsinC（sinB+cosB），∴sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=sinCsinB+sinCcosB，化為：sinBcosC=sinCsinB，sinB0，∴cosC=sinC，即tanC=1，C∈（0，π）.∴C.∴△ABC外接圓的半徑R.如圖所示，建立直角坐標(biāo)系.A（，0），B（，0），O（0，）.△ABC外接圓的方程為：x2.設(shè)C（cosθ，sinθ）.θ∈（0，π）則G.|OG|2sinθ，∴|OG|的最小值為：.故選：D.例56．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知的周長(zhǎng)為9，若，則的內(nèi)切圓半徑的最大值為（

）A． B．1 C．2 D．答案：C【解析】分析：首先化簡(jiǎn)，可得：，，再結(jié)合圖形即可得解.【詳解】法一：角靠攏，形助興，整理得：，，如圖有：由，可得，代入，整理可得：，．法二：，得：．法三：，，，得，由正弦定理，得，．，如圖可得：，，，．例57．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在鈍角中，分別是的內(nèi)角所對(duì)的邊，點(diǎn)是的重心，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案：C【解析】分析：延長(zhǎng)交于，由重心性質(zhì)和直角三角形特點(diǎn)可求得，由，利用余弦定理可構(gòu)造等量關(guān)系得到，由此確定為銳角，則可假設(shè)為鈍角，得到，，，由此可構(gòu)造不等式組求得的取值范圍，在利用余弦定理可得，利用的范圍，結(jié)合為銳角可求得的取值范圍.【詳解】延長(zhǎng)交于，如下圖所示：為的重心，為中點(diǎn)且，，，；在中，；在中，；，，即，整理可得：，為銳角；設(shè)為鈍角，則，，，，，解得：，，，由余弦定理得：，又為銳角，，即的取值范圍為.故選：C.例58．（2023·廣東深圳·高三階段練習(xí)）在中，，的內(nèi)切圓的面積為，則邊長(zhǎng)度的最小值為（

）A．16 B．24 C．25 D．36答案：A【解析】分析：由條件可求內(nèi)切圓半徑，根據(jù)內(nèi)切圓的性質(zhì)和三角形的面積公式可得三邊關(guān)系，結(jié)合基本不等式可求邊長(zhǎng)度的最小值.【詳解】因?yàn)榈膬?nèi)切圓的面積為，所以的內(nèi)切圓半徑為4．設(shè)內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，．因?yàn)?，所以，所以．因?yàn)?，所以．設(shè)內(nèi)切圓與邊切于點(diǎn)，由可求得，則．又因?yàn)椋裕裕忠驗(yàn)?，所以，即，整理得．因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值．故選：A．題型九：坐標(biāo)法例59．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（文））在中，，，點(diǎn)在內(nèi)部，，則的最小值為______．答案：2【解析】分析：先利用正弦定理求得的外接圓半徑，建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法把轉(zhuǎn)化為，即可求出的最小值.【詳解】因?yàn)椋?，所?在中，由正弦定理得：（R為的外接圓半徑），所以，解得：.如圖所示：設(shè)的外接圓的圓心為O，建立如圖示的坐標(biāo)系.設(shè)E為AC的中點(diǎn)，所以，.所以點(diǎn)M的軌跡為：，可寫出（為參數(shù)）.因?yàn)辄c(diǎn)在內(nèi)部，所以（其中滿足，）.所以因?yàn)闈M足，，所以，所以當(dāng)時(shí)最小.故答案為：2例60．（2023?南通一模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知，為圓上兩點(diǎn)，點(diǎn)，且，則線段的長(zhǎng)的取值范圍為．【解答】解：在平面直角坐標(biāo)系中，已知，為圓上兩點(diǎn)，點(diǎn)，且，如圖所示當(dāng)時(shí)，取得最小值或最大值．由，可得，或，，由，可得或解得，．故答案為：，．例61．為等邊內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為．【解答】解：如圖所示，不妨設(shè)等邊的邊長(zhǎng)為2，為內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，，點(diǎn)在弦所對(duì)的弓形上，．由圖可知：當(dāng)點(diǎn)取與軸的交點(diǎn)時(shí)，，可得：，，，，．點(diǎn)所在圓的方程為：．設(shè)參數(shù)方程為：，，令，化為：，解得，，故最小值為，故答案為：．例62．（2023?江蘇模擬）已知是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，點(diǎn)是以為圓心的單位圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則的最小值是．【解答】解：如圖建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，；．則．故答案為：例63．（2023秋?新華區(qū)校級(jí)期末）“費(fèi)馬點(diǎn)”是指位于三角形內(nèi)且到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)，當(dāng)三角形三個(gè)內(nèi)角均小于時(shí)，“費(fèi)馬點(diǎn)”與三個(gè)頂點(diǎn)的連線正好三等分“費(fèi)馬點(diǎn)”所在的周角，即該點(diǎn)所對(duì)的三角形三邊的張角相等均為，根據(jù)以上性質(zhì)，函數(shù)的最小值為A．2 B． C． D．【解答】解：根據(jù)題意畫出圖象并建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)分別為，，，函數(shù)表示的是點(diǎn)到點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)的距離之和，可知為等腰三角形，則這個(gè)等腰三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”在高線上，設(shè)點(diǎn)為“費(fèi)馬點(diǎn)”，連接，，則，，，，距離之和為．即函數(shù)的最小值為．故選：．例64．（2023?唐山二模）在等邊中，為內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，，則的最小值是A．1 B． C． D．【解答】解：如圖所示，不妨設(shè)等邊的邊長(zhǎng)為2，為內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，，點(diǎn)在弦所對(duì)的弓形上，．由圖可知：當(dāng)點(diǎn)取與軸的交點(diǎn)時(shí)，，可得：，，，．點(diǎn)所在圓的方程為：．設(shè)參數(shù)方程為：，，化為：，解得，．故選：．例65．（2023春?仁壽縣校級(jí)期末）銳角中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，則的取值范圍是A．， B．， C．， D．，【解答】解：不妨將看作定值，以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，建立直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)，則，；點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，又是銳角三角形，當(dāng)在軸上時(shí)，，為最?。划?dāng)時(shí)，代入，，，，，，即，（取不到），則的取值范圍為，．故選：．例66．（2023春?博望區(qū)校級(jí)月考）在等腰中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，其中為鈍角，．點(diǎn)與點(diǎn)在直線的兩側(cè)，且，則的面積的最大值為A． B． C． D．3【解答】解：如圖所示，以為原點(diǎn)，為軸正方向建立直角坐標(biāo)系，點(diǎn)在單位圓上，可得：，由，可得：，可得：，可得：，由為鈍角，可得，設(shè)，，可得：，可得：，由題意及余弦定理可得：，可得，；，消去可得的軌跡為：，可得：時(shí)，有，由，可得：．故選：．例67．（2023?淮安模擬）拿破侖定理是法國(guó)著名的軍事家拿破侖波拿馬最早提出的一個(gè)幾何定理：“以任意三角形的三條邊為邊，向外構(gòu)造三個(gè)等邊三角形，則這三個(gè)三角形的外接圓圓心恰為另一個(gè)等邊三個(gè)角形的頂點(diǎn)”．在中，，以，，為邊向外作三個(gè)等邊三角形，其外接圓圓心依次為，，，若△的面積為，則的周長(zhǎng)的取值范圍為．【解答】解：建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：設(shè)，，，所以以、為邊作等邊三角形，其中一邊在、的延長(zhǎng)線上；由，，，；所以，，；同理，，；；所以等邊△的面積為，解得，所以；在中，由，所以，所以的周長(zhǎng)為，又，且，所以，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”；又，，所以，，，即的周長(zhǎng)最小值為，．故答案為：，．題型十：隱圓問題例68．（2023?鹽城二模）若點(diǎn)為的重心，且，則的最大值為．【解答】解：設(shè)中點(diǎn)為，連接，可得重心在上且以所在直線為軸，中點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖所示直角坐標(biāo)系設(shè)，則，，設(shè)，可得，，點(diǎn)在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)、兩點(diǎn)除外）由此可得，整理得因此，點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，半徑為3的圓上運(yùn)動(dòng)軸上兩點(diǎn)除外）在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)中觀察的變化，可得當(dāng)點(diǎn)在軸時(shí)，達(dá)到最大值而且同時(shí)達(dá)到最大值．此時(shí)，可得故選：例69．（2023?江蘇三模）在平面四邊形中，，，，若，則的最小值為．【解答】解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸，以為軸建立如圖坐標(biāo)系，設(shè)．則，，，，，．，所以，即，即點(diǎn)在以為圓心，以2為半徑的圓上，取，則，所以，所以，即，所以取得最小值即取得最小值，根據(jù)三角形的兩邊之和大于第三邊，，故填：．例70．（2023?涪城區(qū)校級(jí)開學(xué)）若滿足條件，，則面積的最大值為．【解答】解：建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，設(shè)，由，得，化簡(jiǎn)可得；則點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，且去掉點(diǎn)，和，；所以的面積的最大值為．故答案為：．例71．已知，是圓上的動(dòng)點(diǎn)，，是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是．【解答】解：如圖示：設(shè)的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，則，所以，，，，，故的軌跡為以為圓心，2為半徑的圓，是圓上的動(dòng)點(diǎn)，，，故．故答案為：，．例72．（2023?合肥模擬）銳角中，，，為角，，所對(duì)的邊，點(diǎn)為的重心，若，則的取值范圍為A．， B．， C．， D．，【解答】解：設(shè)，是單位圓的直徑的端點(diǎn)，在圓上，設(shè)，點(diǎn)為的重心，．點(diǎn)在圓上．是銳角△，點(diǎn)在圓上，且，，設(shè)直線，的傾斜角分別為，．則，，，．．故選：．例73．（2023?江漢區(qū)校級(jí)模擬）中，所在平面內(nèi)存在點(diǎn)使得，則面積最大值為A． B． C． D．【解答】解：以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，則，設(shè)，由，可得，可得，，即有點(diǎn)既在為圓心，半徑為的圓上，也在為圓心，1為半徑的圓上，可得，由兩邊平方化簡(jiǎn)可得，則的面積為，由，可得，取得最大值，且為．故選：．例74．（2023?上城區(qū)校級(jí)模擬