2021-2022學(xué)年北京市朝陽區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷（答案版）

2021-2022學(xué)年北京市朝陽區(qū)局考數(shù)學(xué)一模試卷

一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，選出符合題目要求的

一項(xiàng).

1.設(shè)集合N={1,2,3,4},B={x[x>2],則/A3=()

A.{1,2}B.{3,4}C.{2,3,4}D.{1,2,3,4}

在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù);對應(yīng)的點(diǎn)位于

2.()

1-1

A.第一象限B.第二象限c.第三象限D(zhuǎn).第四象限

%2

3.已知雙曲線C：——y2=1(。>0)的一條漸近線方程為y=x:,則C的離心率為（)

A.V2B.V3C.2D.V5

Q4

4.已知角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)尸（—之貝！Jsin2a=()

35

724

A-24B_2_C.——D.—

A，25252525

5.過點(diǎn)（1,2）作圓％2+y2=5的切線，則切線方程為（）

A.x=lB.3x-4科5=0

C.x+2y-5=0D.x=l或x+2y-5=0

6.是“(m-n)(log2m-log2?)>0”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

7.已知/,僅是兩條不同的直線，a,B是兩個不同的平面，下面正確的結(jié)論是（）

A.若/〃a,機(jī)〃a,則/〃機(jī)B.若加〃0,a_L0,則加_La

C.若/J_a,lA_m,則加〃aD.若/_L0,m.La,貝!J/_La

第1頁（共21頁）

8./SO216是國際標(biāo)準(zhǔn)化組織所定義的紙張尺寸國際標(biāo)準(zhǔn)，該標(biāo)準(zhǔn)定義了Z,B系列的紙張尺寸.設(shè)型號為

人1

AO,Al,A2,A3,A4,A5,46的紙張的面積分別是的,a\,a?,。3,。4,。5,。6,它們組成一個公比為鼻

的等比數(shù)列，設(shè)型號為81,B2,B3,54,B5,B6的紙張的面積分別是從，取，加，兒，加，加，已知必=

七_(dá)1%，（%=1,2,3,4,5,6）,則j的值為（）

1V2

A.一B.—C.V2D.2

22

—>—>—>―>—>―>—>[—>—>

9.已知朋■為△48C所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，|MB|=\MC\=1,且4B=MB+MC,MB-MC=一？貝!|C4-CB=

（）

A.0B.1C.V3D.3

10.某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物含量尸（單位：〃吆1）與時間/單位：h）

間的關(guān)系為尸=尸0/3其中尸0,左是正的常數(shù).如果在前10/7污染物減少19%,那么再過5〃后污染物還

剩余（）

A.40.5%B.54%C.65.6%D.72.9%

二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.把答案填在答題卡上.

11.拋物線V=4x的準(zhǔn)線方程為.

12.在G+?）5的展開式中，尤3的系數(shù)是.（用數(shù)字作答）

cosAb

13.已知△Z5C的三個角A,B,C的對邊分別為a,b,。，則能使——=一成立的一組4,5的值是_____.

cosBa

14.“楊輝三角”是數(shù)學(xué)史上的一個偉大成就.在如圖所示的“楊輝三角”中，去掉所有的數(shù)字1,余下的

數(shù)逐行從左到右排列，得到數(shù)列｛斯｝為2,3,3,4,6,4,5,10,則數(shù)列｛斯｝的前10項(xiàng)和為；

若廝=10,mGN*,則加的最大值為.

121

1331

1464

510105

1615201561

第2頁（共21頁）

15.如圖，在正方體/gCD-AbBCiDi中，E,F,G分別為棱出4,4面,上的點(diǎn)（與正方體頂點(diǎn)不

重合），過出作出“，平面EFG,垂足為H.設(shè)正方體4BCD-/181C1D1的棱長為1,給出以下四個結(jié)論：

①若E，F(xiàn)，G分別是44/向，出5的中點(diǎn),則小代容

②若￡,尸,6分別是44,/出,/必的中點(diǎn)，則用平行于平面EFG的平面去截正方體ABCD-AiBiCiDi,

得到的截面圖形一定是等邊三角形；

③AEFG可能為直角三角形；

1111

④7+27+72=27,

力遇2A1FArGArH

其中所有正確結(jié)論的序號是.

三、解答題：本大題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16.（13分）已知函數(shù)/（無）=cos2o）x+V3sin（nA：cos（ox+m（3>0,mGR）.再從條件①、條件②、條件③這

三個條件中選擇能確定函數(shù)/G）的解析式的兩個作為已知.

（I）求/（無）的解析式及最小值；

（II）若函數(shù)/G）在區(qū)間［0,4（?>o）上有且僅有1個零點(diǎn)，求才的取值范圍.

條件①：函數(shù)/（無）的最小正周期為田

_1

條件②：函數(shù)/（無）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0,-）；

3

條件③：函數(shù)/（x）的最大值為了

第3頁（共21頁）

17.(14分)如圖，在長方體/BCD-AbBCMi中，底面48。是邊長為2的正方形，DDi=4,E,F分

別是CCi，81cl的中點(diǎn).

(I)求證：出尸〃平面”皿；

(II)設(shè)”在棱8由上，且N為CD的中點(diǎn)，求證：NH_L平面NEDi；并求直線4V與平面

AEDi所成角的正弦值.

第4頁(共21頁)

18.（13分）為實(shí)現(xiàn)鄉(xiāng)村的全面振興，某地區(qū)依托鄉(xiāng)村特色優(yōu)勢資源，鼓勵當(dāng)?shù)剞r(nóng)民種植中藥材，批發(fā)銷

售.根據(jù)前期分析多年數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，某品種中藥材在該地區(qū)各年的平均每畝種植成本為5000元，此品種中藥

材在該地區(qū)各年的平均每畝產(chǎn)量與此品種中藥材的國內(nèi)市場批發(fā)價格均具有隨機(jī)性，且互不影響，其具體

情況如下表：

該地區(qū)此品種中藥材各年的平均每畝產(chǎn)量情況

各年的平均每畝產(chǎn)量400修500像

頻率0.250.75

（注：各年的平均每畝純收入=各年的平均每畝產(chǎn)量X批發(fā)價格-各年的平均每畝種植成本）

（I）以頻率估計(jì)概率，試估計(jì)該地區(qū)某農(nóng)民2022年種植此品種中藥材獲得最高純收入的概率；

（II）設(shè)該地區(qū)某農(nóng)民2022年種植此品種中藥材的平均每畝純收入為X元，以頻率估計(jì)概率，求X的分

布列和數(shù)學(xué)期望；

（III）已知該地區(qū)某農(nóng)民有一塊土地共10畝，該塊土地現(xiàn)種植其他農(nóng)作物，年純收入最高可達(dá)到45000

元，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，該農(nóng)民下一年是否應(yīng)該選擇在這塊土地種植此品種中藥材？說明理由.

頻率

第5頁（共21頁）

XVV2

19.（15分）已知橢圓C：—+—=1（a>6>0）的一個頂點(diǎn)為尸（0,1）,離心率為一.

azbz2

（I）求橢圓C的方程；

（II）過點(diǎn)P作斜率為所的直線/i,交橢圓。于另一點(diǎn)4過點(diǎn)尸作斜率為左2（幻?所）的直線/2交橢圓

。于另一點(diǎn)反若所左2=1，求證：直線45經(jīng)過定點(diǎn).

第6頁（共21頁）

20.（15分）已知函數(shù)/（%）=xsinx+cosx.

（I）當(dāng)"（0,7T）時，求函數(shù)/（X）的單調(diào)區(qū)間；

1

（II）設(shè)函數(shù)g（x）=-jp'+lax.若對任意n],存在X2W[O,1]，使得三/（用）Wg（X2）成立,

求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

第7頁（共21頁）

21.(15分)已知集合4={a|a=(xi,xi,陰，14),xzGN,i=l,2,3,4).對集合力中的任意元素

a=(xi，X2,X3,X4)，定義T(a)=(|xi-X0\,|X2-X3|，|X3-X4|，|X4-Xl|),

當(dāng)正整數(shù)〃22時，定義T(a)=TT'(a))(約定T4(a)=T(a)).

(I)若a=(2,0,2,1),(3=(2,0,2,2),求T4(a)和T4(0)；

(II)若a=(xi,如X3,X4)滿足&E{0,1}(i=l,2,3,4)且T2(a)=(1,1,1,1),求a的所

有可能結(jié)果；

(III)是否存在正整數(shù)〃使得對任意a=(xi,X2,13,14)巳4(工1212三次4213)都有7(a)—(0,0,

0,0)?若存在，求出〃的所有取值；若不存在，說明理由.

第8頁（共21頁）

2022年北京市朝陽區(qū)高考數(shù)學(xué)質(zhì)檢試卷(二)(二模)

參考答案與試題解析

一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，選出符合題目要求的

一項(xiàng).

1.設(shè)集合/={1,2,3,4},8={Rx>2},則/C2=()

A.{1,2}B.{3,4}C.{2,3,4}D.{1,2,3,4)

解：由/={1,2,3,4},B={x\x>2],

則2,3,4}C{x|x>2}={3,4},

故選:B.

2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù);一對應(yīng)的點(diǎn)位于()

1-1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

即?ii(l+i)T+i1i

一—+一.

1-i222

i1i

知復(fù)數(shù)一的實(shí)部為-+虛部為1

1-1N2

所以，復(fù)數(shù)」一對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限.

1-1

故選：B.

久2

3.已知雙曲線C：--y2=1(a>0)的一條漸近線方程為y=x,則C的離心率為()

A.V2B.V3C.2D.V5

久2

解：由雙曲線C：--y2=1(a>0)的一條漸近線方程為y=x,

可得雙曲線方程為/-丁=[,

所以雙曲線的離心率e=(=

故選：A.

Q4

4.已知角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)尸(一會則sin2a=()

35

.24口7門724

A-D.

-25B.-25C.—25

Q4

解：因?yàn)榻莂的終邊經(jīng)過點(diǎn)尸(-5

。5

43

則sina=引cosa=一耳，

所以sin2a=2sinacosa=2xx(―1)=—

第9頁(共21頁)

故選：A.

5.過點(diǎn)(1,2)作圓W+y2=5的切線，則切線方程為()

A.x=lB.3x-4y+5=0

C.x+2y-5=0D.%=1或1+2)-5=0

解：???點(diǎn)/(1,2)在圓C/+/=5上，

???圓心。與點(diǎn)力的連線與過/點(diǎn)的圓的切線垂直，

又kcA—=2，?,?切線方程為歹-2=—2(x-1),即x+2y-5=0.

故選：C.

6.“m>n>0"是"(加-n)(log2m-log2?)>0”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

解：①當(dāng)m>n>0時，貝！J加-〃>0,log2m-log2?>0,(m-n)(log2m-log2?)>0,，充分性成立，

②當(dāng)加=不，,時，則log2加=-2,log2〃=-1,滿足(加-〃)(log2m-log2?)>0,但0V加<〃，

必要性不成立，

>\m>n>0是(m-n)(log2m-log2?)>0的充分不必要條件，

故選：A.

7.已知/,加是兩條不同的直線，a,0是兩個不同的平面，下面正確的結(jié)論是()

A.若/〃0(,m//a,則/〃冽B.若加〃0,a_l_0,貝！Jm_La

C.若/_La,l.Lm,則加〃aD.若/_L0,m±p,m.La,則/_La

解：若/〃a,m//a,則/〃加或/與加相交或/與加異面，故/錯誤；

若加〃0,a_L0,則加〃a或加ua或加與a相交，相交也不一定垂直，故5錯誤；

若/_1。，l.Lm,則加〃a或加ua,故C錯誤；

若/_L0,貝!J/〃加，又加_La,貝!j/_La,故。正確.

故選：D.

8./SO216是國際標(biāo)準(zhǔn)化組織所定義的紙張尺寸國際標(biāo)準(zhǔn)，該標(biāo)準(zhǔn)定義了4,5系列的紙張尺寸.設(shè)型號為

1

AO,Al,A2,A3,44,A5,/6的紙張的面積分別是ao，a\,a?,。3,Q4,。5,Q6，它們組成一個公比為］

的等比數(shù)列，設(shè)型號為51,B2,53,84,B5,56的紙張的面積分別是從，歷，為，64,加，加，已知必=

CLA.

%_1%，(z=l,2,3,4,5,6),則j的值為()

1V2

A.-B.一C.V2D.2

22

第10頁(共21頁)

]

解：?.?a5=Q4X],據(jù)=Q4?Q5,

?21

.??bj=Q4?Q4XQ5>0，64>0,

故選：C.

9.已知朋■為△/3C所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，|MB|=|MC|=1,且4B=MB+MC,MB-MC=一｝則CA-CB=

()

A.0B.1C.V3D.3

解：由薪=局+靛，

貝MB+BM=MC,

即薪=MC,

—>—>—>—>d

又|MB|=|MC|=1,MB-MC=

則/BMC=等，

即BC=V3,ZACB=之

o

又AC=2MC=2,

—T—>T/'Q

則CA-CB=\CA\\CB\cosC=2x遮x號=3,

故選:D.

10.某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物含量尸（單位：mg/L）與時間f（單位：h）

間的關(guān)系為尸=尸0鼠3其中尸0,左是正的常數(shù).如果在前10/7污染物減少19%,那么再過5〃后污染物還

剩余（）

A.40.5%B.54%C.65.6%D.72.9%

10fe

解：由題設(shè)，（1-19%）P0=P0e-,可得ef=0.9,

第11頁（共21頁）

_5k

再過5個小時，P=(1-19%)P0e=(0.81XO.9)Po=0.729Po,

所以最后還剩余72.9%.

故選：D.

二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.把答案填在答題卡上.

11.拋物線/=4x的準(zhǔn)線方程為x=-1.

解：/=4x的準(zhǔn)線方程為：x=-1.

故答案為：x=-1.

12.在（x+代）5的展開式中，/的系數(shù)是5.（用數(shù)字作答）

解：展開式中含x3的項(xiàng)為C江（?）4=5/，

所以f的系數(shù)為5,

故答案為：5.

cosAbTC

13.已知△杵的三個角A,B,C的對邊分別為a,b,c,則能使病=￡成立的一組/,B的值是三

cosAbsinB

解：由正弦定理得病

asinA

故siMcos/=sin5cos5,

即sin2/=sin28,

所以2N=28或Z4+28=TT,且8部

所以/=3或/+8=*且2大宏

故滿足條件的

4,

71

故答案為：

4

14.“楊輝三角”是數(shù)學(xué)史上的一個偉大成就.在如圖所示的“楊輝三角”中，去掉所有的數(shù)字1,余下的

數(shù)逐行從左到右排列，得到數(shù)列｛斯｝為2,3,3,4,6,4,5,10,則數(shù)列｛斯｝的前10項(xiàng)和為52；

若麗=10,mGN*,則m的最大值為45.

121

1331

14641

510105

615201561

解：數(shù)列｛斯｝的前10項(xiàng)和=2+3+3+4+6+4+5+10+10+5=22+23+24+25-8=52；

第12頁（共21頁）

若flm=io,meN*,楊輝三角形的第10行的第10個數(shù)是10,則m的最大值為45.

故答案為:52；45.

15.如圖，在正方體中，E,F,G分別為棱44AiBi,出口上的點(diǎn)（與正方體頂點(diǎn)不

重合），過出作4"，平面E尸G,垂足為，.設(shè)正方體/3CD-4181C1D1的棱長為1,給出以下四個結(jié)論：

①若E,F,G分別是4N,小歷，小。1的中點(diǎn)，則小〃=噂；

②若E,F,G分別是出4,413,401的中點(diǎn)，則用平行于平面EFG的平面去截正方體4BCD-AxBxC\Dx,

得到的截面圖形一定是等邊三角形；

③△EFG可能為直角三角形；

1111

④n+7+7=

1234r2

A±E1A1G2A1H2

其中所有正確結(jié)論的序號是①④.

1

解：對于①，因?yàn)閰^(qū)F,G分別是444歷，小小的中點(diǎn)，所以小￡=4尸=4G=W，

11ill11

因?yàn)镚/iJ_4EE4i_L平面/LFG,所以迎4IGF=可x（］x2x力x,=而，

又因?yàn)镈b=GE=Gb=孝，

1

所以5「EFG=—E-41GF=QSAEFG'AIH,

11V2V2I

即一x-x-x—xsin60°XAiH=片，

322248

:.AiH=§,故①正確；

對于②，MNOPQR均為各棱中點(diǎn)，平面〃平面EFG,平面MNOPQR為正六邊形，故②錯誤;

對于③，不妨設(shè)4E=x,AiF=y,AiG=z,

由于GNiJ_/iRGAxLAxE,AxErA\F,

根據(jù)勾股定理：EG2=X2+Z2,EF2=x2+y2,FG2=y2+z2,

2

若△EFG是直角三角形，若/EFG是直角，則E尸+八?2=歐落即x2+/+y2+z=x2+J,則y=o.

由于E,F,G不與定點(diǎn)重合，故了不可能為0,其他兩角，同理可證.故③錯誤；

對于④，如右圖，設(shè)/iG=a,AiE=b,AiF=c,

第13頁（共21頁）

設(shè)=Si，S^A1EG=S2fSS3,S^EFG=S,

則EG=MM+爐,EF=7b2”,GF=Va2+c2,

?c2,c2,e2_a2c2+a2b2+b2c2

*,31十^2十^3―4'

S2=I(a2+。2)(爐+c2)sin2乙GEF=1(a2+b2)(fa2+c?)口—(*；,彳禽?，(力

222222222222

1z2?72、〃212\(4ab+4ac+4bc)ac+ab+bc

=7(az++cz)---------------n——n~~-=-----------------------------，

44(a2+b2)(b2+c2)4

?,.s￡+s^+sq=S2,

22222

再根據(jù)三棱錐4-EFG的等體積算法可得貸-ArE=S2.ArF=Sf?ArG=S-ArH=t,

?c2_tc2_tc2_tJ_t

???JI-ZQ9*JO-Zy,?JQ-Zy,J-Zyj

A1EA1FArGA±H

tttt

,-----------------1_----------------+----------------=--------------------

2222

ArEA1FArGArH'

.1111

22+22

"ArE+A±FArG-ArH'

故④正確，

故答案為：①④.

三、解答題：本大題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16.（13分）已知函數(shù)八%）=cos2wx+V3sin<joxcos<ji>x+m（a）>0,weR）.再從條件①、條件②、條件③這

三個條件中選擇能確定函數(shù)/（無）的解析式的兩個作為已知.

（I）求/G）的解析式及最小值；

（II）若函數(shù)/G）在區(qū)間［0,4（f>0）上有且僅有1個零點(diǎn)，求/的取值范圍.

條件①：函數(shù)/（無）的最小正周期為71；

1

條件②：函數(shù)/（X）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0,-）；

3

條件③：函數(shù)/（無）的最大值為了

解：（I）由題可知，

/（%）=cos2（i）x+43sina）xcos（n）x+m

第14頁（共21頁）

V3.,1,1

=sin2(Qji)x+cos2Qa)x+m

7T1

=sin(2a)x+6)+m+矛

選擇①②：

因?yàn)閞=若=兀，所以3=1,

￡.00

11

又因?yàn)閒(0)=1+m=所以血=—2，

所以/(%)=s譏(2%+1),

當(dāng)2%+5=2/CTT—5，kEZ9

62

即％="一亨，kwz時,/(x)=-1,

所以函數(shù)/(x)的最小值為-1;

選擇①③：

因?yàn)槎?袈=兀，所以3=1，

乙3

又因?yàn)楹瘮?shù)/(X)的最大值為皿+|=參

所以加=0,

__77"1

所以/(%)=sin(2x+石)+2，

當(dāng)2%+[=2"兀一9,kEZ即％=/c7r—泉k€Z時,

6Z9J

TT

sin(2x+耳)=-1,

所以函數(shù)/(x)的最小值為一1+；，；

選擇②③：

因?yàn)椤?0)=1+小=會1所以加=一1/，

因?yàn)楹瘮?shù)/(X)的最大值為皿+*|,所以加=0,

?.?加的取值不可能有兩個，，無法求出解析式，舍去；

(II)選擇①②：

令s譏(2%+看)=0,

則2%+J=/CTT,kEZ,

o

所以％—g，kEZ9

第15頁(共21頁)

57rUTT

當(dāng)k=1,2時，函數(shù)/(%)的零點(diǎn)為一，一,

1212

由于函數(shù)/G)在區(qū)間［0,4上有且僅有1個零點(diǎn),

~157r117T

所以運(yùn)…行

所以，的取值范圍是［居，巖);

選擇①③:

令s譏(2%+5)+2=0，

77-7八TT11

則2%+zo=62/CTT+NTT,k￡Z,6或2汽+n=62/CTTH—7~兀，kEZ,

所以％=k兀+*,kEZ,或％=k7r+g7r,kEZ,

n5TT

當(dāng)左=0時，函數(shù)/(x)的零點(diǎn)分別為,

26

由于函數(shù)/(X)在區(qū)間［0,4上有且僅有1個零點(diǎn)，

....,7T57r

所以二＜t＜—,

26

所以，的取值范圍是匿，為.

17.(14分)如圖，在長方體/BCO-NiBCiDi中，底面48CD是邊長為2的正方形，DD\=A,E,尸分

別是CCi,51cl的中點(diǎn).

(I)求證：出尸〃平面血＞1；

(II)設(shè)〃在棱Mi上，且BH另BBi,N為CD的中點(diǎn)，求證：平面NEG；并求直線/N與平面

4EO1所成角的正弦值.

AB

解：(I)連接4。，設(shè)C4Di=O,連接如EF,BiC,

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在長方體48co-Zi囪CiDi中，因?yàn)?i2i〃Cr),且/bBi=CD,

所以四邊形/1囪C。是平行四邊形，

所以41?！椤?，且小。=39,

因?yàn)椤?尸分別是CCi，當(dāng)G的中點(diǎn).

所以E尸〃8C，且斯=^iC,

在矩形出40。中，。是小。的中點(diǎn)，所以小?！ㄊ?AiO=FE,

所以四邊形出。跖是平行四邊形，所以4E〃OE,因?yàn)?尸,平面NEDi，OEu平面/EDi，

；.41尸〃平面AEDi；

(II)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-孫z,

則。(0,0,0),A(2,0,0),D\(0,0,4),E(0,2,2),H(2,2,1),N(0,1,0),

所以屈1=(-2,0,4),RE=(0,2,-2),

設(shè)平面4￡Z>1的一個法向量為?n=(x,y,z),

亞.華=0即小叁°

令z=l,則x=2,y=l,

jn-%E=0

所以平面/ED1的一個法向量為薪=(2,1,1),

因?yàn)橥?后，所以NH_L平面NE5,

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一，T7

因?yàn)閞n=(2,1,1),NA=(2,-1,0),

設(shè)直線AN與平面AEDi所成角為0,

所以sin6=|cosd'加＞1=黑簫=濡需直=鑼.

直線AN與平面AEDi所成角的正弦值為包.

10

18.（13分）為實(shí)現(xiàn)鄉(xiāng)村的全面振興，某地區(qū)依托鄉(xiāng)村特色優(yōu)勢資源，鼓勵當(dāng)?shù)剞r(nóng)民種植中藥材，批發(fā)銷

售.根據(jù)前期分析多年數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，某品種中藥材在該地區(qū)各年的平均每畝種植成本為5000元，此品種中藥

材在該地區(qū)各年的平均每畝產(chǎn)量與此品種中藥材的國內(nèi)市場批發(fā)價格均具有隨機(jī)性，且互不影響，其具體

情況如下表：

該地區(qū)此品種中藥材各年的平均每畝產(chǎn)量情況

各年的平均每畝產(chǎn)量400彷500kg

頻率0.250.75

（注：各年的平均每畝純收入=各年的平均每畝產(chǎn)量X批發(fā)價格-各年的平均每畝種植成本）

（I）以頻率估計(jì)概率，試估計(jì)該地區(qū)某農(nóng)民2022年種植此品種中藥材獲得最高純收入的概率；

（II）設(shè)該地區(qū)某農(nóng)民2022年種植此品種中藥材的平均每畝純收入為X元，以頻率估計(jì)概率，求X的分

布列和數(shù)學(xué)期望；

（III）已知該地區(qū)某農(nóng)民有一塊土地共10畝，該塊土地現(xiàn)種植其他農(nóng)作物，年純收入最高可達(dá)到45000

元，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，該農(nóng)民下一年是否應(yīng)該選擇在這塊土地種植此品種中藥材？說明理由.

頻率

解：（I）該地區(qū)此品種中藥材各年的平均每畝產(chǎn)量500限的概率為0.75,此品種中藥材的國內(nèi)市場批

發(fā)價格為25元/短的概率為0.6,

該地區(qū)某農(nóng)民2022年種植此品種中藥材獲得最高純收入的概率0.75X0,6=0.45.

(II)400X20-5000=3000,400X25-5000=5000,500X20-5000=5000,500X25-5000=7500,

則X的所有可能取值為3000,5000,7500,

：.P(X=3000)=0.25X0.4=0.1,P(X=5000)=0.25X0.6+0.75X0.4=0.45,P(X=7500)=0.75X

0.6=0.45,

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的分布列為:

X300050007500

P0.10.450.45

，EX=3000X0.1+5000X0.45+7500X0.45=5925.

(Ill)10E(X)=59250>45000,

該農(nóng)民下一年應(yīng)該選擇在這塊土地種植此品種中藥材.

,xyV2

19.（15分）已知橢圓C：—+—=1（a>b>0）的一個t頂點(diǎn)為尸（0,1）,禺心率為一.

a2b22

（I）求橢圓。的方程；

（II）過點(diǎn)P作斜率為處的直線/1，交橢圓。于另一點(diǎn)過點(diǎn)P作斜率為左2（幻W所）的直線/2交橢圓

。于另一點(diǎn)反若左加2=1，求證：直線經(jīng)過定點(diǎn).

解：（I）由題意可得6=1,?=W=￥，/=廿+。2,

可得/=2,

%2

所以橢圓C的方程為：y+/=1；

（II）當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為^=依+/,設(shè)/（xi，勿），B（X2,”）,

=kx+t

，整理可得：(1+29)x^+4ktx+2p-2=0,

2+2y2=2

—4kt2產(chǎn)一2

△>0,Xl+X2=X1X2=----亍，

l+2fc21+2公

-ly-l(kx+t-lXkx+t-l)k2xx+k(t-i)(x+x)+(t-l)2

則《1?左2=Tyi-?--2---=-----1-----------2------1212

X1%2%1%2

^^^+以1)7^+(1)2=(1)2=I

2#-2-2(t2-l)-2(t+l),

1+2/C2

由題意可得i=堵3可得t=-3,

即直線恒過定點(diǎn)（0,-3）；

2

當(dāng)直線的斜率不存在時，設(shè)直線45的方程為代入橢圓的方程可得所以尸±

1

=-W1,

2

所以直線的斜率存在，且可證得直線恒過定點(diǎn)（0,-3）.

20.（15分）已知函數(shù)/（x）=xsim+co&x.

（I）當(dāng)花（0,71）時，求函數(shù)/（X）的單調(diào)區(qū)間；

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1

(II)設(shè)函數(shù)g(%)=-f+2辦.若對任意X1C［-TT,Tl］,存在工2旦0，1］，使得三7(xi)Wg(X2)成立，

求實(shí)數(shù)Q的取值范圍.

解：(1)由已知有：f(x)=XCOSX,令/(X)>0,解得。<￥<夕

故/G)的單調(diào)遞增區(qū)間為：(0,費(fèi)，單調(diào)遞減區(qū)間為：G，兀)；

1

(2)由已知有：一/(%)<g(x)，

2TTJ、Jmaxu、7max

對于/(X):f(X)=XCOSX,VxG［-IT,IT］,

當(dāng)—兀VxV—留者0<xV齊寸，f(x)>0,f(x)單調(diào)遞增，

7T71

當(dāng)一2V%V0或者wOr時，f(x)<0,f(x)單調(diào)遞減，