廣東省大灣區(qū)普通高中2024屆高三年級下冊4月畢業(yè)年級聯(lián)合模擬考試（二）數(shù)學(xué)試卷及答案

★啟用前注意保密

2024屆大灣區(qū)普通高中畢業(yè)年級聯(lián)合模擬考試（二）

數(shù)學(xué)

本卷共6頁，19小題，滿分150分.考試時間120分鐘.

注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、班級、姓名、考場號、座位號和準(zhǔn)考證號填

寫在答題卡上，將條彩碼橫貼在答題卡“條形碼船貼處

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答期卡上將對應(yīng)題目選項的答

案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答案不能答在

試卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指

定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不

準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的。

1.集合｛x€N卜l￡x41｝的真子集個數(shù)為

A.3B.4C.7D.8

2.（2x-y）$的展開式中，的系數(shù)為

A.-10B.10C.-40D.40

3.某圓臺上底面圓半徑為1,下底面圓半徑為2,母線長為短，則該圓臺的體積為

「

A7%p5%2/rn37r

333

4.已知正實數(shù)〃滿足‘Inm=ln（加一，則△=

22m

A.1B,一C.4D.1或一

44

5.若向量a,6滿足卜+b[==2忖，則a+b與a的夾角為

A.-B.-C.—D.5乃

633T

大灣區(qū)聯(lián)考高三數(shù)學(xué)試卷第1頁（共6頁）

6.tan7.5°—tan82.5°+2tan15°=

A.-2B.-4C.-2-J3D.-45/3

7.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣〃(〃N2)次，記事件/="〃次中至多有一次反面朝上“，事件

5="〃次中全部正面朝上或全部反面朝上”，若《與B獨立,則〃的值為

A.2B.3C.4D.5

8.法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾?蒙日在研究圓錐曲線時發(fā)現(xiàn)：橢圓的兩條相互垂直切線的交點軌跡

為圓，我們通常稱這個圓為該橢圓的蒙日圓.根據(jù)此背景，設(shè)M為橢圓C:x2+^=1的一

12

個外切長方形(M的四條邊所在直線均與橢圓C相切)，若“在第一象限內(nèi)的一個頂點

縱坐標(biāo)為2,則M的面積為

A.13^5B.26C.$D.,-

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

9.已知一組數(shù)據(jù)石，Xj,....孫是公差不為0的等差數(shù)列，若去掉數(shù)據(jù)乙，則

A.中位數(shù)不變B,平均數(shù)變小C,方差變太D.方差變小

10.函數(shù)/(x)的定義域為R,=若對任意x,ywR.都有/3+用=華+2磔,

則

A./(0)=0

B./(-l)=-e2

C.e'/(x)為奇函數(shù)

D./(x)在(0,+8)上為單調(diào)函數(shù)

大灣區(qū)聯(lián)考高三數(shù)學(xué)試卷第2頁(共6頁)

A

11.如圖，已知直三棱柱/8C-44G的所有梭長均為3,D,E,F,G分別在棱4與，4G，

AB,NC上，且4O=4E=5F=CG,H,P分別為8C,4H的中點,則

A.DE〃平面PFG

B.若M,N分別是平面445瑪和N/CG內(nèi)的動點，則周長的最小值為2

4

C.若5尸=143,過P,F,G三點的平面截三棱柱所得截面的面積為避

34

D.過點A且與直線441和BC所成的角都為45。的直線有且僅有1條

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.設(shè)6wR,i為虛數(shù)單位，定義ei'=cos6+Lsin6,則復(fù)數(shù)黃+i的模為.

13.函數(shù)/(x)=sin(0x+g|3>0)的部分圖象如圖所不,則。=

14.在平面直角坐標(biāo)系X0中，圓C經(jīng)過點0(0,0)和點4(0,4),與x軸正半軸相交于點3.

若在第一象限內(nèi)的圓弧相上存在點P,使以《/。?4=詈，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程

為.

大灣區(qū)聯(lián)考高三數(shù)學(xué)試卷第3頁(共6頁)

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.(13分)

如圖，三棱柱44G的底面是等腰直角三角形，4cB=90、側(cè)面NCG4是菱形,

a

ZAiAC=60,AC=2,平面"C_L平面4CG4.

(D證明：4c上網(wǎng)

(2)求點G到平面4844的距離?

16.(15分)

已知數(shù)列｛勺｝為等差數(shù)列，a,=-4,前〃項和為S”，滿足：當(dāng)〃GN?且〃<9時，

&邑+…+仝

'2n129-n

(1)求｛4｝的通項公式；

(2)定義集合M,=｛a‘+a小,JeM且ij。｝,記M,的元素個數(shù)為b“，數(shù)列｛4｝的前〃

項和為北，求友.

大灣區(qū)聯(lián)考高三數(shù)學(xué)試卷第4頁(共6頁)

17.（15分）

一個袋子中裝有6個黑球，2個白球，它們除顏色外完全相同.現(xiàn)每次從袋中不放回地隨

機取出一個球，直到2個白球都被取出為止.以X表示袋中還剩下的黑球個數(shù).

（1）記事件4表示“第上次取出的是白球"，k=\,2,…，8,求P（HI4）；

（2）求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

18.（17分）

2

v2x

雙曲線C:彳一?=ig,6>0）的焦點為片，F(xiàn)2（耳在B下方），虛軸的右端點為從過

ab

點5且垂直于y軸的直線/交雙曲線于點尸（尸在第一象限），與直線陽交于點3,記

&4明的周長為加，岫外的周長為〃，加一〃|=4.

（1）若C的一條漸近線為^=岳，求C的方程；

（2）已知動直線，與。相切于點T,過點7且與/'垂直的直線分別交x軸，y軸于拉，N

兩點，。為線段MN上一點，設(shè)荻=4加，46（0,1）為常數(shù).若||。6|一|06||為定

值，求的最大值.

大灣區(qū)聯(lián)考高三數(shù)學(xué)試卷第5頁（共6頁）

19.(17分)

拉格朗日中值定理是微分學(xué)的基本定理之一，其內(nèi)容為：如果函數(shù)/(x)在閉區(qū)間

上的圖象連續(xù)不斷，在開區(qū)間(。力)內(nèi)的導(dǎo)數(shù)為尸(x),那么在區(qū)間(a,b)內(nèi)存在點c,

使得/(3-/(。)=/'(cXb-a)成立.設(shè)/(x)=e"+x-4,其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，

eaZ71828.易知，/(x)在實數(shù)集R上有唯一零點r,fire(l,|).

(1)證明：當(dāng)xw(r,r+3時，0</(x)<l；

(2)從圖形上看，函數(shù)/(x)=e*+x-4的零點就是函數(shù)/(x)的圖象與x軸交點的橫坐

標(biāo).直接求解/(x)=ex+x-4的零點r是困難的，運用牛頓法,我們可以得到f(x)零

點的近似解：先用二分法，可在(1,會中選定一個X。作為，的初始近似值，使得

0</(^)<-，然后在點(%0，/(%))處作曲線y=/(x)的切線，切線與x軸的交點的

橫坐標(biāo)為不，稱石是r的一次近似值；在點($/&))處作曲線丁=f(x)的切線，切

線與x軸的交點的橫坐標(biāo)為』，稱W是r的二次近似值：重復(fù)以上過程，得r的近

似值序列方,不，七,…,xH,....

①當(dāng)x”>r時，證明：xn>x^>ri

②根據(jù)①的結(jié)論，運用數(shù)學(xué)歸納法可以證得：｛xj為遞減數(shù)列，且V〃wN,x.>r.

大灣區(qū)聯(lián)考高三數(shù)學(xué)試卷第6頁(共6頁)

2024屆大灣區(qū)普通高中畢業(yè)年級聯(lián)合模擬考試（二）

數(shù)學(xué)參考答案

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項符合題目要求的.

題號12345678

答案ACABBDBC

二'選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

題號91011

答案ACABCBC

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.

12.G13.114.（X-4）2+（J-2）2=20

四'解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

15.（13分）

解：（1）連接力G，因為四邊形為菱形，所以.......1分

因為N/C6=90‘，所以8c14C,

又因為面48。_1面，4。。/1,

面力BCD面4CG4=/C,BCu面4BC,

所以8C_L平面4CCM，.......3分

又4Cu平面4CG4,所以8CJ.4。，

因為8C7/4C，所以4G_L4。，......4分

數(shù)學(xué)參考答案第1頁（共11頁）

又因為4Gr)4G=G，AC,,B￡u平面,4B￡,所以4。_L平面,……5分

又44u平面48￡,所以4dq.......6分

(2)方法1：

點C,到平面ABB.A,的距離即三棱錐G-/1/￡的底面上的高，.......7分

由(1)qq_L平面力eq4,所以三棱錐q—441G的底面力力￡上的高為8心，

設(shè)點C,到平面ABB.A,的距離為d,則=匕…，

BP—S....?B.C.=—Sd,.......................8分

3AA4|C|II3A.4/1必

因為8c=44=/IC=2,Z.4,JC=60\所以A44G的面積^H,C1=V5,

所以匕、XCA=/UC=-xV3x2=—......................10分

由例=4G=2,ZJJ.C,=120°可得AC,=2G,

又B?=2,B￡：q,所以/q=4,

3

又=2,/￡=2&,由余弦定理得cos/N/q=一,

4

所以sin/4,4&=乎，所以&的面積SA乜4=J7,..............12分

所以述=立",即"=3包..........................13分

337

方法2：

(2)在平面.4CG4內(nèi)，過點。作。J.4G，交A°i于點D.

以點。為原點，CA,CB,CQ所在直線分別為x軸，y軸，二軸，建立空間直角坐標(biāo)

系如圖所示，則/(2,0,0),8(0,2,0),40,0,G),G(-1。

數(shù)學(xué)參考答案第2頁(共11頁)

所以48=(-2,2,0),薪,G4-(2,0,0)...........................9分

設(shè)平面的一個法向量為，;=(x,jv)二

AB-n=0(—2x+2y=0

則《一一，得《l，

AAin=0[-x+j3==0

令x=G，則y=G，二=1得〃=(J

……u分

所以點C)到平面的距離為

G4?〃273201

.......13分

|n一5一7.

16.(15分)

解：(1)法一：由于｛%｝為等差數(shù)列,設(shè)公差為d,a,=-4

?，c,n(n-l),

所以Sn=-4n+----d,..............................1分

S.(n-1),dn..d、

—n=-4+^-^4/=--(4+-),.............................2分

n222

..SS1dn..d)-嚀-(4+升(

當(dāng)〃22時，—n一一4H"=二一(4+:

nn-l22

所以是等差數(shù)列，記c“=&,

.............................3分

,nJn

C]+c2+...+cn=q+c2+...+c9n

當(dāng)2〃<9時，J+。2+…+c”=G+c2+…一*Cj=?！ù?1+2+…+。9-〃=°，

所以：c?+l+cg_?=0=>2c5=0=>c5=0

同理當(dāng)2〃>9時，亦有Cs=0

即Ss=O,5分

數(shù)學(xué)參考答案第3頁（共11頁）

所以業(yè)*1=0,所以卬+牝=0,即2%+4d=0,所以d=2,.....7分

2

所以?！?2〃-6,.................8分

法二：由S[+邑+…+&=S1+*H----卜'9f,令〃=5可得，—=0......5分

2〃29-〃5

所以5（&+勺）=0,所以q+/=0,即2q+4d=0,所以d=2,.....7分

2x5151

又q=-4,所以a“=2〃-6..............8分

⑵記?！?卜+小,JwN*且由于q+勺=2（/+/）-12,所以也的元素個

數(shù)即為C,的元素個數(shù)，而C,={2,3,4,...,2〃},共2〃—1個元素，

所以“=2〃一1,

所以工。小十臂%00..................15分

17.（15分）

C1.A71A2.A61

解：（1）由題得。（4）=啖產(chǎn)=7，尸（44）=%@=二，.............4分

1

6分

由條件概率公式可知，/＞（闋4）=P(44)281

P(4)

4

6

(2)由題知，X的可能取值為0,I,2,3,4.

尸(X=o)=與=2_,P(X=1)=冬=色，P(x=2)=q=2，

''C；28'，C；28''C-28

尸—3)咯C1*4，尸(』)唱C1《3，尸(『)卷C1卷2,P"=6)堂C11

.............13分

X的分布列為:

數(shù)學(xué)參考答案第4頁（共11頁）

735311

P

2/p>

14分

數(shù)學(xué)期望為EX=2~xO+9xl+=x2+—x3+乜4+、5+」6=也=2.....15分

2828282828282828

18.(17分)

解：(1)因為帆一〃|=++力用一(8P+P"+8￡)|

=|48+(8尸+。6)+4耳一(8。+/￥；+.48+西)|

=附-/

=2。=4

所以4=2,.........4分

又因為雙曲線的一條漸近線為y=y/2x.

所以￡=&,即6=0,.........5分

b

2r2

所以雙曲線的方程為v匕一土=1.........6分

42

V2X2

(2)根據(jù)(1)得。=2,所以雙曲線方程為上_一0

4b2

設(shè)7(Xo，%),過7(%,%)的直線則/'的方程為丁一為=A(x-x()),即歹="+%-乜,

令〃?=%-此，

[/X?

聯(lián)立彳一記=1

得(672-4)./+lb'mkx+b2m2-4b2=0,

l'ty=kx+m(kw0)

因為所以方2%2一400

b

因為直線/'與雙曲線只有一個公共點,

數(shù)學(xué)參考答案第5頁(共11頁)

所以A=(2b2mk)2-4(b2k2-4)(b2m2-4h2)=0

化簡得〃公+m2-4=0，9分

221

代入機=%-七得(〃+x0)A-2xoyok+yo-4=0

由于直線/'與雙曲線相切，所以a=d2,，

b+x0

因為夜一與=1,所以左=邪,

10分

4b2by。

過點T且與/'垂直的直線的直線斜率為一殳，方程為V-N°=-變出-X。）,

4xo4x0

1

令y=0，得x=（'上坐，即M（僅+4）'。,0）

b2b2

令x=0,得伍-+4）%,即N（0,（"+4）勺.................12分

44

設(shè)ax,y),因為汨=2而(0<4<1),

(1-4)(〃+4)b2

x■一P-0%=(1—團(6+4)

所以<13分

_獨2+4)4

y~l~y°

22____L_____________2_______=1

代入v手一x各=］得萬(/+4)2(1一㈤2(y+4)2】，............14分

4O------------------------

依題意，該雙曲線與雙曲線C:號一共焦點,

所以“1k^34

數(shù)學(xué)參考答案第6頁（共11頁）

4

化簡得［(y+4)/1—4F=0,所以a=二一e(OJ,...........15分

等號成立當(dāng)且僅當(dāng)6=2,2=1,

2

故乃的最大值為1............17分

19.(17分)

解：(1)方法1：

因為/*)在H上單調(diào)遞增，所以任意x€(r,r+；),有/(x)>/("=0,.......I分

另一方面,注意到/什)=0,所以〃x)=注意―/3),

根據(jù)拉格朗日中值定理，

存在ce(r,x),=)'(c)=Je'+l).......3分

因為re(l,g),所以c<x<r+]<]+5<2,+1)<^(e2+1)<1,

所以0</(x)<l............5分

方法2：

因為/(r)=e'+r-4=0,所以e'=4-r

(nr+i1/、：1

故/1+§=e9+r+g-4=(4-1妙+〃+§-4...........1分

接下來先證明不等式：lnx>4;D,x>i

x+1

4

令g(x)=Inx2(x-l),x>1,則g(x)=l_=，:二>0,

x+1x(x+1)x(x+l)

數(shù)學(xué)參考答案第7頁(共11頁)

故g(x)在(l,+oo)上單調(diào)遞增,于是g(x)>g⑴=0,即lnx>生二2x>l.

3分

X+1

(9

2--1

~9(821-9

所以ln->

81798

8

因此(4-rp+r+^-4<(4-r)x^+r+^-4<^(4-r)+^

又因為「>1,所以"(4T)+5<(+5<1，故0=/(r)</(只</1+：)<1

5分

(2)①先證X”>居+1,

在(居J(xJ)處,曲線V=/(x)的切線方程為歹一/(x“)=/'(x.)(x-x,),

f(x)/(x，J

令y=0,得工二七一八石，即x“+|=兀一

f'M,

由于X”>「，/(x)在R上單調(diào)遞增，所以/(x.)>/(「)=0,

f(x)八

而/'(x)=e、+l>0,所以六nj>°，所以居右f(xn<)相，即z>x“.|

8分

再證：Xn+I>r

由于/(x)在/?上單調(diào)遞增，只需證/(xn+1)>/(r)=0,

曲線y=/(x)的切線方程為y-/(x.)=/'(x")(xTj,

即y=/(X.)+/'(x")(x-x”)

根據(jù)xn+1的定義./(Z)+/'(碧)(x”+i-七)=0，

數(shù)學(xué)參考答案第8頁(共11頁)

，

^/?(X)=/(X)-/(Xfl)-/(Xn)(X-Xn),X€[x?+1,Xn],

,xx

h(x)=f(x)-f(xn)=e-e'<0,xe[.xn+1,xn]

所以h(x)在[x.+i,上單調(diào)遞減，而/?(x,)=f(xn)一/(x.)一/'()(x'一七)=0

所以力(x〃+i)>。，又力(X“+1)=/(玉+1),所以/(x.+i)>。，所以x“+]>r，

綜上：xn>xn+i>r.11分

②方法1：

首先，由于/（x）在R上單調(diào)遞增，0</（x0）<g，所以天>〃，

所以%>演>x2>...>xn>...>r>\,

根據(jù)①0</（兀）<1,及前面的結(jié)論,neN

f(x}

令叭x)=x--——-,則X“+l=。（乙），

/(x)

記/〃(x)=[/'(x)]'，

則當(dāng)r<x<x()時，

/(x)e*_f(x)/(x)/(x0)1

面『IF區(qū)"丁~￡

ex

..........14分

根據(jù)拉格