一輪復(fù)習(xí)課件342導(dǎo)數(shù)與函數(shù)零點(diǎn)的綜合問題2

第二課時(shí)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)零點(diǎn)的綜合問題內(nèi)容索引核心考點(diǎn)·精準(zhǔn)研析核心素養(yǎng)·微專題核心素養(yǎng)測(cè)評(píng)思想方法化歸與轉(zhuǎn)化思想在函數(shù)零點(diǎn)(方程的根)中的應(yīng)用

典例設(shè)f(x)=x--2lnx. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)(1)求證:當(dāng)x≥1時(shí),f(x)≥0恒成立.(2)討論關(guān)于x的方程x--f(x)=x3-2ex2+tx根的個(gè)數(shù).【解析】(1)f(x)=x--2lnx的定義域?yàn)?0,+∞).因?yàn)閒′(x)=

所以f(x)在[1,+∞)上是單調(diào)遞增函數(shù),所以f(x)≥f(1)=1-1-2ln1=0對(duì)于x∈[1,+∞)恒成立.故當(dāng)x≥1時(shí),f(x)≥0恒成立.(2)化簡(jiǎn)方程得2lnx=x3-2ex2+tx.由題知x>0,則方程可變?yōu)?x2-2ex+t.令L(x)=H(x)=x2-2ex+t,則L′(x)=當(dāng)x∈(0,e)時(shí),L′(x)>0,所以L(x)在(0,e)上為單調(diào)遞增函數(shù);當(dāng)x∈(e,+∞)時(shí),L′(x)<0,所以L(x)在(e,+∞)上為單調(diào)遞減函數(shù).所以當(dāng)x=e時(shí),L(x)max=L(e)=函數(shù)L(x)=H(x)=(x-e)2+t-e2在同一坐標(biāo)系內(nèi)的大致圖像如圖所示.由圖像可知,①當(dāng)t-e2>即t>e2+時(shí),方程無實(shí)數(shù)根;②當(dāng)t-e2=,即t=e2+時(shí),方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根;③當(dāng)t-e2<,即t<e2+時(shí),方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.【思想方法指導(dǎo)】(1)涉及函數(shù)的零點(diǎn)(方程的根)問題,主要利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值點(diǎn),根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)尋找函數(shù)在給定區(qū)間的極值以及區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值與0的關(guān)系,從而求得參數(shù)的取值范圍.(2)解決此類問題的關(guān)鍵是將函數(shù)零點(diǎn)、方程的根、曲線交點(diǎn)相互轉(zhuǎn)化,突出導(dǎo)數(shù)的工具作用,體現(xiàn)轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法.【遷移應(yīng)用】已知函數(shù)f(x)=x++lnx,a∈R.(1)若函數(shù)f(x)在x=1處取得極值,求實(shí)數(shù)a的值.(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2)上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.(3)討論函數(shù)g(x)=f′(x)-x的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【解析】(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在x=1處取得極值,f′(x)=所以f′(1)=0,即=0,解得a=2,經(jīng)檢驗(yàn),當(dāng)a=2時(shí),函數(shù)f(x)在x=1處取得極小值.所以實(shí)數(shù)a的值為2.(2)f′(x)=,x>0.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在區(qū)間[1,2)上單調(diào)遞增,所以f′(x)≥0在區(qū)間[1,2)上恒成立.即a≤x2+x在區(qū)間[1,2)上恒成立.易得當(dāng)1≤x<2時(shí),2≤x2+x<6,所以a≤2.故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-∞,2].(3)因?yàn)間(x)=f′(x)-x,所以g(x)=1--x,x>0.令g(x)=0得a=-x3+x2+x,令h(x)=-x3+x2+x,x>0,則h′(x)=-3x2+2x+1=-(3x+1)(x-1).當(dāng)x∈(0,1)時(shí),h′(x)>0,h(x)在(0,1)上單調(diào)遞增;當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),h′(x)<0,h(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減.畫出函數(shù)h(x)的草圖,易得h(x)≤h(1)=1,并且圖像無限靠近于原點(diǎn),且當(dāng)x→+∞時(shí),h(x)→-∞,故當(dāng)a>1時(shí),函數(shù)g(x)無零點(diǎn);當(dāng)a=1或a≤0時(shí),函數(shù)g(x)有一個(gè)零點(diǎn);當(dāng)0<a<1時(shí),函數(shù)g(x)有兩個(gè)零點(diǎn).【分析】(1)求導(dǎo)數(shù),根據(jù)函數(shù)的極值點(diǎn),解方程,求出a的值即可.(2)求導(dǎo)數(shù),利用