空間向量及其線性運(yùn)算(1) 學(xué)案 高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊(cè)

1．1空間向量及其運(yùn)算1.1.1空間向量及其線性運(yùn)算(1)學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.運(yùn)用類比方法，經(jīng)歷向量及其運(yùn)算由平面向空間推廣的過程．2.理解空間向量及相關(guān)概念，掌握空間向量的線性運(yùn)算及其性質(zhì)，借助圖形理解空間向量線性運(yùn)算及其運(yùn)算的意義．3.理解空間向量共線的充要條件．活動(dòng)方案：活動(dòng)一回顧平面向量的相關(guān)內(nèi)容1.基本概念：(1)向量的定義：(2)向量的模：(3)零向量、單位向量、平行向量：(4)相等向量、共線向量、相反向量：2.平面向量a(a≠0)與b共線的充要條件：3.平面向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算的定義及運(yùn)算法則：幾何方法坐標(biāo)方法運(yùn)算性質(zhì)向量的加法(1)平行四邊形法則(2)三角形法則向量的減法三角形法則向量的數(shù)乘λa是一個(gè)向量，則(1)|λa|＝|λ||a|(2)若a≠0，則當(dāng)λ>0時(shí)，λa與a同向；當(dāng)λ<0時(shí)，λa與a反向；特別地，當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0；當(dāng)a＝0時(shí)，λa＝0活動(dòng)二類比平面向量探究空間向量的概念及運(yùn)算1.空間向量的概念：(1)定義：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做空間向量．(2)長(zhǎng)度或模：空間向量的大小．(3)表示方法：①幾何表示法：空間向量用有向線段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起點(diǎn)是A，終點(diǎn)是B，則向量a也可記作eq\o(AB,\s\up6(→))，其模記為|a|或|eq\o(AB,\s\up6(→))|.(4)幾類特殊的空間向量：名稱定義及表示零向量規(guī)定長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量，記為0單位向量模為1的向量叫做單位向量相反向量與向量a長(zhǎng)度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量，記為－a共線向量(平行向量)如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共線向量規(guī)定：零向量與任意向量平行，即對(duì)任意向量a，都有0∥a.相等向量方向相同且模相等的向量叫做相等向量，同向且等長(zhǎng)的有向線段表示同一向量或相等向量

2.空間向量的加減法運(yùn)算與數(shù)乘運(yùn)算律：空間向量的線性運(yùn)算類型表示方法圖示加法a＋b＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))減法a－b＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))數(shù)乘當(dāng)λ＞0時(shí)，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))；當(dāng)λ＜0時(shí)，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→))；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0運(yùn)算律加法運(yùn)算律交換律：a＋b＝b＋a結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)數(shù)乘運(yùn)算律分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb(λ∈R)；(λ＋μ)a＝λa＋μa(λ，μ∈R)結(jié)合律：λ(μa)＝(λμ)a(λ，μ∈R)思考1???如圖，在平行六面體ABCD-A′B′C′D′中，分別標(biāo)出eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))表示的向量．從中你能體會(huì)向量加法運(yùn)算的交換律和結(jié)合律嗎？一般地，三個(gè)不共面的向量的和與這三個(gè)向量有什么關(guān)系？3.空間向量共線的充要條件：思考2???類似平面向量共線的充要條件，你能給出空間向量共線的充要條件嗎？思考3???如何用向量來表示直線的方向？思考4???除了由兩點(diǎn)確定一條直線外，還可以由什么來確定一條直線？思考5???平面向量與空間向量有哪些相同點(diǎn)與不同點(diǎn)？活動(dòng)三空間向量的運(yùn)算例1如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M是BB1的中點(diǎn)，化簡(jiǎn)下列各式，并在圖中標(biāo)出化簡(jiǎn)得到的向量：(1)eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BA1,\s\up6(→))；(2)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up6(→))；(3)eq\o(AA1,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→)).小結(jié)：空間向量加法、減法運(yùn)算的兩個(gè)技巧：(1)巧用相反向量：向量減法的三角形法則是解決空間向量加法、減法的關(guān)鍵，靈活運(yùn)用相反向量可使向量首尾相接；(2)巧用平移：利用三角形法則和平行四邊形法則進(jìn)行向量加法、減法運(yùn)算時(shí)，務(wù)必注意和向量、差向量的方向，必要時(shí)可采用空間向量的自由平移獲得運(yùn)算結(jié)果．利用數(shù)乘運(yùn)算進(jìn)行向量表示的技巧：(1)數(shù)形結(jié)合：利用數(shù)乘運(yùn)算解題時(shí)，要結(jié)合具體圖形，利用向量的三角形法則、平行四邊形法則，將目標(biāo)向量轉(zhuǎn)化為已知向量；(2)明確目標(biāo)：在化簡(jiǎn)過程中要有目標(biāo)意識(shí)，巧妙運(yùn)用中點(diǎn)性質(zhì)．

【跟蹤練習(xí)】如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，下列各式運(yùn)算結(jié)果為eq\o(BD1,\s\up6(→))的是()①eq\o(A1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))；②eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))－eq\o(D1C1,\s\up6(→))；③eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(DD1,\s\up6(→))；④eq\o(B1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→)).A.①②B.②③C.③④D.①④例2(2023江蘇專題練習(xí))已知O，A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H為空間的9個(gè)點(diǎn)(如圖所示)，并且eq\o(OE,\s\up6(→))＝keq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OF,\s\up6(→))＝keq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OH,\s\up6(→))＝keq\o(OD,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋meq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(EG,\s\up6(→))＝eq\o(EH,\s\up6(→))＋meq\o(EF,\s\up6(→)).求證：AC∥EG.

【檢測(cè)反饋】1.(2023日照階段練習(xí))下列命題中，為真命題的是()A.向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BA,\s\up6(→))的長(zhǎng)度相等B.將空間中所有的單位向量移到同一個(gè)起點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)圓C.空間非零向量就是空間中的一條有向線段D.不相等的兩個(gè)空間向量的模必不相等2.如圖，在三棱錐O-ABC中，M，N分別是AB，OC的中點(diǎn)，設(shè)eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，用a，b，c表示eq\o(NM,\s\up6(→))，則eq\o(NM,\s\up6(→))等于()A.eq\f(1,2)(－a＋b＋c)B.eq\f(1,2)(a＋b－c)C.eq\f(1,2)(a－b＋c)D.eq\f(1,2)(－a－b＋c)3.(多選)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，已知AC1的中點(diǎn)為O，則下列互為相反向量的是()A.eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))與eq\o(OB1,\s\up6(→))＋eq\o(OC1,\s\up6(→))B.eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))與eq\o(OA1,\s\up6(→))－eq\o(OD1,\s\up6(→))C.eq\o(OA1,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))與eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OC1,\s\up6(→))D.eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))與eq\o(OA1,\s\up6(→))＋eq\o(OB1,\s\up6(→))＋eq\o(OC1,\s\up6(→))＋eq\o(OD1,\s\up6(→))4.(2023漯河階段練習(xí))如圖，在三棱柱ABC-A′B′C′中，eq\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(A′C′,\s\up6(→))是________向量，eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(B′A′,\s\up6(→))是________向量(用“相等”“相反”填空).5.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，化簡(jiǎn)下列向量表達(dá)式：(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))；(2)eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→))＋eq\o(D1D,\s\up6(→)).【參考答案與解析】【活動(dòng)方案】1.(1)我們把既有大小又有方向的量叫做向量．(2)向量的大小稱為向量的長(zhǎng)度(或稱為模).(3)長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量．長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫做單位向量．方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．(4)長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量．平行向量也叫做共線向量．我們把與向量a長(zhǎng)度相等，方向相反的向量叫做a的相反向量．2.存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b＝λa(a≠0).3.填表略思考1：可以發(fā)現(xiàn)，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC′,\s\up6(→)).一般地，對(duì)于三個(gè)不共面的向量a，b，c，以任意點(diǎn)O為起點(diǎn)，a，b，c為鄰邊作平行六面體，則a，b，c的和等于以O(shè)為起點(diǎn)的平行六面體對(duì)角線所表示的向量．另外，利用向量加法的交換律和結(jié)合律，還可以得到：有限個(gè)向量求和，交換相加向量的順序，其和不變．思考2：對(duì)任意兩個(gè)空間向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb.思考3：在直線上任取一個(gè)非零向量a，我們把與向量a平行的非零向量都稱為該直線的方向向量，則直線的方向向量的方向就可以表示直線的方向．思考4：直線上一點(diǎn)和它的方向向量確定．思考5：略例1(1)eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BA1,\s\up6(→))＝eq\o(CA1,\s\up6(→)).(2)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→)).(3)eq\o(AA1,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(CA1,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(BA1,\s\up6(→)).跟蹤訓(xùn)練A①eq\o(A1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AD1,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BD1,\s\up6(→))；②eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))－eq\o(D1C1,\s\up6(→))＝eq\o(BC1,\s\up6(→))＋eq\o(C1D1,\s\up6(→))＝eq\o(BD1,\s\up6(→))；③eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(BB1,\s\up6(→))＝eq\o(B1D,\s\up6(→))≠eq\o(BD1,\s\up6(→))；④eq\o(B1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD1,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))≠eq\o(BD1,\s\up6(→)).例2因?yàn)閑q\o(OE,\s\up6(→))＝keq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OF,\s\up6(→))＝keq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OH,\s\up6(→))＝keq\o(OD,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋meq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(EG,\s\up6(→))＝eq\o(EH,\s\up6(→))＋meq\o(EF,\s\up6(→))，所以eq\o(EG,\s\up6(→))＝eq\o(OH,\s\up6(→))－eq\o(OE,\s\up6(→))＋m(eq\o(OF,\s\up6(→))－eq\o(OE,\s\up6(→)))＝k(eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＋km(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝keq\o(AD,\s\up6(→))＋kmeq\o(AB,\s\up6(→))＝k(eq\o(AD,\s\up6(→))＋meq\o(AB,\s\up6(→)))＝keq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\o(AC,\s\up6(→))∥eq\o(EG,\s\up6(→)).因?yàn)锳C，EG無公共點(diǎn)，所以AC∥EG.【檢測(cè)反饋】1.A對(duì)于A，因?yàn)榭臻g向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BA,\s\up6(→))互為相反向量，所以空間向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BA,\s\up6(→))的長(zhǎng)度相等，故A正確；對(duì)于B，將空間中所有的單位向量平移到同一個(gè)起點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)球面，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，空間向量可以用空間中的一條有向線段表示，但空間向量不是有向線段，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，兩個(gè)空間向量不相等，它們的模可能相等，也可能不相等，如向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BA,\s\up6(→))的模相等，故D錯(cuò)誤．2.Beq\o(NM,\s\up6(→))＝eq\o(NA,\s\up6(→))＋eq\o(AM,\s\up6(→))＝(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(ON,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋b－c).3.ACD如圖，設(shè)M，N分別為AD，B1C1的中點(diǎn)，O1，O2分別為上、下底面的中心.eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＝2eq\o(OM,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))1＋eq\o(OC1,\s\up6(→))＝2eq\o(ON,\s\up6(→))，互為相反向量，故A正確；eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(OA1,\s\up6(→))－eq\o(OD1,\s\up6(→))＝eq\o(D1A1,\s\up6(→))，互為相等向量，故B錯(cuò)誤；eq\o(OA1,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OC1,\s\up6(→))＝eq\o(C1C,\s\up6(→))，互為相反向量，故C正確；eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＝2eq\o(OO2,\s\up6(→))