2023-2024學(xué)年黑龍江省佳木斯市三校聯(lián)考高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年黑龍江省佳木斯市三校聯(lián)考高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù)z=(m?2)+(A.1 B.?1 C.2 D.2.已知向量a=(k,3)，向量b=A.12 B.34 C.?12 3.已知a=(2,1)，b=(1A.?310 B.?110 C.4.記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若A=π6，b=A.34 B.43 C.835.如圖所示，梯形A′B′C′D′是平面圖形ABCD用斜二測畫法畫出的圖形，

A.2 B.22 C.3 6.已知圓錐軸截面為正三角形，母線長為2，則該圓錐的體積等于

(

)A.33π B.3π 7.在邊長為6的正方形ABCD中，點(diǎn)E為DC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊BC上且BA.18 B.24 C.30 D.428.托勒密是古希臘天文學(xué)家、地理學(xué)家、數(shù)學(xué)家，托勒密定理就是由其名字命名，該定理原文：圓的內(nèi)接四邊形中，兩對角線所包矩形的面積等于一組對邊所包矩形的面積與另一組對邊所包矩形的面積之和.其意思為：圓的內(nèi)接凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積.從這個定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理實(shí)質(zhì)上是關(guān)于共圓性的基本性質(zhì).已知四邊形ABCD的四個頂點(diǎn)在同一個圓的圓周上，AC、BD是其兩條對角線，BD=4A.163 B.16 C.12二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.下面說法正確的是(

)A.多面體至少有四個面

B.棱柱所有的面都是平行四邊形

C.棱臺的側(cè)面都是梯形

D.以等腰梯形的一條腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體是圓臺10.設(shè)z1，z2為復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是(

)A.若z1=3+5i，z2=3?2i，則z1+z2=11.對于△ABC有如下命題，其中正確的是A.若sinA=sinB，則△ABC一定為等腰三角形

B.若sin2A+sin2B+cos三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.正三棱柱所有棱長都為1，則其表面積為______．13.已知向量|a|=6，e為單位向量，當(dāng)向量a，e的夾角等于45o時，則向量a在向量e14.已知正方體的棱長為2，則它的外接球的表面積為______，體積為______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知復(fù)數(shù)z1=3+4i，z2=?2i，i為虛數(shù)單位．

(1)求z1z2；16.(本小題15分)

已知：|a|=2，|b|=3，向量a與b的夾角為π3．

(1)求a?b；

17.(本小題15分)

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，其中A為銳角，2asinB=3b.

(1)求A；

(2)設(shè)AD為BC邊上的中線，若b=3，c=1，請選擇以下思路之一求出A18.(本小題17分)

某自然保護(hù)區(qū)為研究動物種群的生活習(xí)性，設(shè)立了兩個相距12km的觀測站A和B，觀測人員分別在A，B處觀測該動物種群．如圖，某一時刻，該動物種群出現(xiàn)在點(diǎn)C處，觀測人員從兩個觀測站分別測得∠BAC=30°，∠ABC=60°，經(jīng)過一段時間后，該動物種群出現(xiàn)在點(diǎn)D處，觀測人員從兩個觀測站分別測得∠BAD=75°，∠ABD=45°.(19.(本小題17分)

在△ABC中，P為AB的中點(diǎn)，O在邊AC上，BO交CP于R，且|AO|=2|OC|，設(shè)AB=a，AC=b．

(1)試用a，b表示AR；

(答案和解析1.【答案】C

【解析】解：z=(m?2)+(m+1)i，

2.【答案】B

【解析】解：由于向量a=(k,3)，向量b=(1,4)，若a/?/3.【答案】D

【解析】【分析】本題主要考查兩個向量垂直的性質(zhì)，兩個向量的數(shù)量積的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．

由題意利用兩個向量垂直的性質(zhì)，兩個向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則，求得m的值．【解答】

解：∵已知a=(2,1)，b=(1,m)，c=(4.【答案】B

【解析】解：在△ABC中，A=π6，b=2，sinB=34，

利用正弦定理：5.【答案】C

【解析】解：如圖，

作平面直角坐標(biāo)系x?O?y，使A與O重合，AD在z軸上，且AD=2，AB在y軸上，且AB=2，

過B作BC/?/6.【答案】A

【解析】【分析】本題考查了圓錐的體積計算問題，是基礎(chǔ)題．

根據(jù)題意求出圓錐的母線、底面半徑和高，再計算圓錐的體積．【解答】

解：如圖所示，

圓錐的母線為l=2，底面半徑為r=1，

所以圓錐的高為h=l2?r7.【答案】C

【解析】解：如圖，

AE?AF=(AD+DE)?(8.【答案】C

【解析】解：設(shè)AD=DC=AC=a，由托勒密定理知，AB?a+a?BC=a?BD，

∴AB+BC=BD9.【答案】AC【解析】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對于A，多面體至少有四個面，A正確；

對于B，棱柱的上底面和下底面不一定是平行四邊形，B錯誤；

對于C，棱臺的側(cè)面都是梯形，C正確；

對于D，以等腰梯形的對稱軸所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體是圓臺，D錯誤．

故選：AC．

根據(jù)題意，由多面體的定義分析A，由棱柱的定義分析B，由棱臺的定義分析C，由圓臺的定義分析D，綜合可得答案．

10.【答案】AB【解析】解：對于A：由于z1，z2為復(fù)數(shù)，z1=3+5i，z2=3?2i，則z1+z2=6+3i，故A正確；

對于B：設(shè)z1=a+bi(a,b∈R)，故1z1=1a+bi=a?bia2?b2，由于1z11.【答案】AB【解析】解：對于A，sinA=sinB，由正弦定理可得a=b，所以三角形為等腰三角形，所以A正確；

對于B，因?yàn)閟in2A+sin2B+cos2C<1，

可得sin2A+sin2B<1?cos2C=sin2C，

由正弦定理可得a2+b2<c2，

所以cosC=a2+b2?c22ab<0，所以C為鈍角，所以△ABC為鈍角三角形，所以B正確；

對于C，因?yàn)閎=8，c=10，B=π3，

由正弦定理可得12.【答案】3+【解析】解：因?yàn)檎庵欣忾L都為1，

所以其表面積為：S側(cè)面積+S底面積=13.【答案】3【解析】解：由定義可得向量a在向量e上的投影為a?e|e|=|a||e|cos45°14.【答案】12π

4【解析】解：正方體外接球半徑R=22+22+222=3，

所以外接球的表面積S=15.【答案】解：(1)z1=3+4i，z2=?2i，

則z1z2=(3+4i)(?【解析】(1)結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，即可求解．

(2)根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及共軛復(fù)數(shù)的定義，即可求解．

16.【答案】解：(1)a?b=|a|?|b|?【解析】(1)由向量數(shù)量積的定義，求解即可；

(2)根據(jù)向量模長的計算方法，即可得解；

17.【答案】解：(1)由正弦定理，得2sinAsinB=3sinB，

又sinB≠0，所以sinA=32，

又A為銳角，所以A=60°

(2)在△ABC中，由余弦定理得a2=b2+c2?2【解析】(1)直接運(yùn)用正弦定理可得出sinA=32，再由A為銳角即可得出角A的大??；(2)首先運(yùn)用余弦定理可得a=18.【答案】解：(Ⅰ)在△ABD中，∠BAD=75°，∠ABD=45°，所以∠ADB=60°，

由正弦定理：ADsin∠ABD=ABsin∠ADB，得ADsin45°=ABsin【解析】本題考查了正余弦定理和三角形面積的計算問題，屬于中檔題．

(Ⅰ)由三角形內(nèi)角關(guān)系求出∠ADB=60°，利用正弦定理可得AD，計算19.【答案】解：(1)由P、R、C共線，則存在λ使PR=λPC，

∴AR?AP=λ(AC?AP)，整理得：AR=(1?λ)AP+λAC