2024年高考數(shù)學復習：切線放縮 練習（2大考點+強化訓練）

2024年高考數(shù)學復習專題練習★★

切線放縮（2大考點+強化訓練）

在高考壓軸題中，經(jīng)?？疾榕c導數(shù)有關的不等式問題，這些問題可以用常規(guī)方法求解，也可以用切線不等式

進行放縮.導數(shù)切線放縮法是一種非常實用的數(shù)學方法，它可以幫助我們更好地理解函數(shù)的性質和變化規(guī)

律，更能使問題簡單化，利用切線不等式進行求解，能起到事半功倍的效果.

W【知識導圖】

?考點一：單切線放縮

★切線放縮9

?考點二：雙切線放縮

【考點分析】

考點一：單切線放縮

常見的切線放縮：VxeR都有e'2x+l.當x〉一1時，ln（x+l）Wx.當x〉0時，x>sinx；當x〈0時，x〈sin

規(guī)律方法該方法適用于凹函數(shù)與凸函數(shù)且它們的凹凸性相反的問題（拆成兩個函數(shù)），兩函數(shù)有斜率相同

的切線，這是切線放縮的基礎，引入一個中間量，分別證明兩個不等式成立，然后利用不等式的傳遞性即可，

難點在合理拆分函數(shù)，尋找它們斜率相等的切線隔板.

【例1】（2023上?遼寧大連?高三大連八中?？计谥校┮阎瘮?shù)"x）="lnx,（a*O）.

⑴若函數(shù)g（尤）=/'（x）+」：（其中：-⑺為了（X）的導數(shù)）有兩個極值點，求實數(shù)a的取值范圍;

⑵當a=l時，求證：/(x)<ex+sinx-l.

iQ

【變式】（2023上?貴州黔東南?高三統(tǒng)考期中）函數(shù)/（》）=41皿+弓/-（。+1）尤+5（。>0）.

⑴求函數(shù)〃x）的單調區(qū)間；

⑵當a=l時，若〃西）+/（尤2）=°，求證：^+x2>2.

考點二：雙切線放縮

規(guī)律方法含有兩個零點的F（x）的解析式（可能含有參數(shù)國，生），告知方程f（x）=6有兩個實根，要證明

兩個實根之差小于（或大于）某個表達式.求解策略是畫出f（x）的圖象，并求出f（x）在兩個零點處（有時候

不一定是零點處）的切線方程（有時候不是找切線，而是找過曲線上某兩點的直線），然后嚴格證明曲線F（x）

在切線（或所找直線）的上方或下方，進而對荀，熱作出放大或者縮小，從而實現(xiàn)證明.

【例2】（2024上?浙江嘉興?高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)/（%）=3尤2+（4-根-l）x-odnx.

（1）若根=-1時，y=/（x）在其定義域內不是單調函數(shù)，求a的取值范圍；

⑵若。=2,m<0時，函數(shù)y=/（x）有兩個極值點耳，x2（%1<x2）,求證：x2-x1<3（m+l）.

【變式】(2024下?河北?高三校聯(lián)考開學考試)已知函數(shù)

3

/(x)=(x+a)(ex—a),g(x)=4e"—ax,/z(x)=—e2ar-ax

⑴若“力、g(尤)在(2,42))處切線的斜率相等，求。的值;

⑵若方-"g'U(x)=”有兩個實數(shù)根占‘試證明：e國+e%2°

⑶若方程〃x)=b有兩個實數(shù)根盯3，試證明：歸-引41+勺*+言.

【強化訓練】

1.(2024±?江蘇揚州?高三統(tǒng)考期末)已知函數(shù)〃x)=(lnx-m)x的最小值為-1.

(1)求實數(shù)機的值；

⑵若〃x)=a有兩個不同的實數(shù)根占,%(西〈尤2)，求證：2-x2<%[<x2-(a+l)e.

2.（2024上?重慶?高三重慶南開中學?？茧A段練習）若函數(shù)尤）在定義域內存在兩個不同的數(shù)4，

?同時滿足且“%）在點（罰工（占）），（%,八％））處的切線斜率相同，則稱“X）為“切

合函數(shù)”.

（1）證明：〃力=2/_6%為“切合函數(shù)”；

⑵若8（同=元1次-』f+6為“切合函數(shù)”（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)），并設滿足條件的兩個數(shù)為4，

2

.e

(i)求證：x1x2<—；

___3

(ii)求證：(〃+1)2菁%2_

3.（2023?重慶模擬）已知函數(shù)3（x）=sinx—aln（x+l）.

⑴若石=1,證明：當［0,1］時，F(xiàn)（x），0；

（2）若己=一1,證明：當［0,+8）時，_f（x）W2e"-2.

4.(2023?柳州模擬)已知函數(shù)F(x)=lnx+~~2x.

x

(1)當a>0時，討論/1(X)的單調性；

(2)證明：2'—

X

5.(2023?福州模擬)已知函數(shù)_f(x)=xlnx—x.若F(x)=6有兩個實數(shù)根Xi,如且,求證：be+e<x2

-^ri<2Z?+e+~.

e

6.(2023?山東模擬)已知函數(shù)*X)=5+1)(^—1),若函數(shù)€(*)=**)一勿(勿>0)有兩個零點荀,

X2,且為〈用，證明：加一為<1+2勿+--7-

e—1

7.(2023?廣州模擬)已知函數(shù)F(x)=ln(x+l).

(1)證明：當x>—l時，_f(x)Wx；

w-

(2)已知證明：e23n>sin(/7+l).

8.(2023?遂寧模擬)已知函數(shù)_f(x)=a(x+l)一一~,x￡R.

e

⑴若Hx)是減函數(shù)，求實