2020年中考數(shù)學(xué)重點(diǎn)突破(附答案與解析)相似

2020年數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之針對訓(xùn)練：相似的突破

1.如圖，在AABC中，AB=AC,AD是AABC的角平分線，E,F分別是BD,AD上的點(diǎn)，取

EF中點(diǎn)G,連接DG并延長交AB于點(diǎn)M,延長EF交AC于點(diǎn)N.

(1)求證：NFAB和NB互余；

(2)若N為AC的中點(diǎn)，DE=2BE,MB=3,求AM的長.

2.如圖，在AABC中，點(diǎn)。在邊AC上，。。與AABC的邊BC,AB分別相切于C,D兩點(diǎn),

與邊AC交于E點(diǎn)，弦CF與AB平行，與D0的延長線交于M點(diǎn).

(1)求證：點(diǎn)M是CF的中點(diǎn)；

(2)若E是防的中點(diǎn),BC=a,

①求而:的弧長；

AF

②求丁的值.

A

金

3C

3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B(12,10),過點(diǎn)B作x軸的垂線，垂足為A.作y軸

的垂線，垂足為C.點(diǎn)D從0出發(fā)，沿y軸正方向以每秒1個(gè)單位長度運(yùn)動；點(diǎn)E從。

出發(fā)，沿x軸正方向以每秒3個(gè)單位長度運(yùn)云力；點(diǎn)F從B出發(fā)，沿BA方向以每秒2個(gè)

單位長度運(yùn)動.當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動到點(diǎn)A時(shí)，三點(diǎn)隨之停止運(yùn)動，運(yùn)動過程中AODE關(guān)于直線

DE的對稱圖形是△(?DE,設(shè)運(yùn)動時(shí)間為七

(1)用含t的代數(shù)式分別表示點(diǎn)E和點(diǎn)F的坐標(biāo)；

(2)若AODE與以點(diǎn)A,E,F為頂點(diǎn)的三角形相似，求t的值;

(3)當(dāng)t=2時(shí)，求0'點(diǎn)在坐標(biāo).

4.如圖1,在菱形ABCD中，AB=JiNBCD=120。，M為對角線BD上一點(diǎn)(M不與點(diǎn)B、

D重合)，過點(diǎn)MN〃CD,使得MN=CD,連接CM、AM、BN.

(1)當(dāng)NDCM=30°時(shí)，求DM的長度;

(2)如圖2,延長BN、DC交于點(diǎn)E,求證：AM-DE=BE-CD;

(3)如圖3,連接AN,則A*AN的最小值是3

5.如圖，在矩形ABCD的邊AB上取一點(diǎn)E,連接CE并延長和DA的延長線交于點(diǎn)G,過點(diǎn)E

作CG的垂線與CD的延長線交于點(diǎn)H,與DG交于點(diǎn)F,連接GH.

(1)當(dāng)tanNBEC=2且BC=4時(shí)，求CH的長；

(2)求證：DF-FG=HF-EF；

(3)連接DE,求證：ZCDE=ZCGH.

6.如圖，在Rtz^ABC中，ZA=90°,AB=20cm,AC=15cm,在這個(gè)直角三角形內(nèi)有一個(gè)內(nèi)

接正方形，正方形的一邊FG在BC上，另兩個(gè)頂點(diǎn)E、H分別在邊AB、AC上.

(1)求BC邊上的高；

(2)求正方形EFGH的邊長.

BFGC

7.如圖1,AABC內(nèi)接于00,點(diǎn)D是杷的」中點(diǎn)，且與點(diǎn)C位于AB的異側(cè)，CD交AB于點(diǎn)

E.

(1)求證:AADE^ACDA.

(2)如圖2,若。0的直徑AB=4混，CE=2,求AD和CD的長.

8.如圖，AABC中，AB=AC,AM為BC邊的中線，點(diǎn)D在邊AC上，聯(lián)結(jié)BD交AM于點(diǎn)F,

延長BD至點(diǎn)E,使得號=瞿，聯(lián)結(jié)CE.求證：

UEUU

(1)ZECD=2ZBAM；

(2)BF是DF和EF的比例中項(xiàng).

9.如圖，在梯形ABCD中，AD〃BC,BC=BD=10,CD=4,AD=6.點(diǎn)P是線段BD上的動點(diǎn),

點(diǎn)E、Q分別是線段DA、BD上的點(diǎn)，且DE=DQ=BP,聯(lián)結(jié)EP、EQ.

(1)求證：EQ〃DC；

(2)當(dāng)BP>BQ時(shí)，如果△EPQ是以EQ為腰的等腰三角形，求線段BP的長;

(3)當(dāng)BP=m(0<m<5)時(shí)，求NPEQ的正切值.(用含m的式子表示)

10.如圖，已知平行四邊形ABCD中，AD=/5,AB=5,tanA=2,點(diǎn)E在射線AD上，過點(diǎn)

E作EFLAD,垂足為點(diǎn)E,交射線AB于點(diǎn)F,交射線CB于點(diǎn)G,聯(lián)結(jié)CE、CF,設(shè)AE=m.

(1)當(dāng)點(diǎn)E在邊AD上時(shí)，

①求4CEF的面積；(用含m的代數(shù)式表示)

②當(dāng)S=4S時(shí)，求AE：ED的值；

△DCEABFG

(2)當(dāng)點(diǎn)E在邊AD的延長線上時(shí),如果4AEF與4CFG相似，求m的值.

D,---------------

F

11.在△ABC中，ZACB=90°,AB=20,BC=12.

(1)如圖1,折疊aABC使點(diǎn)A落在AC邊上的點(diǎn)D處，折痕交AC、AB分別于Q、H,若

S=9S,貝I]HQ=4.

AABCADHQ--------------------

(2)如圖2,折疊aABC使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)M處，折痕交AC、AB分別于E、F.若

FM〃AC,求證：四邊形AEMF是菱形；

(3)在(1)(2)的條件下,線段CQ上是否存在點(diǎn)P,使得△CMP和△HQP相似?若存在,

求出PQ的長；若不存在，請說明理由.

12.如圖，在RtZ\ABC中，ZC=90°,CD_LAB于D,

(1)若AC：CB=3：2,求AD：DB的值；

(2)NABC的角平分線分別交AC,DC于E,F兩點(diǎn)求證：+[=白；

LAUUCH

2

(3)延長CD至G,使DG=~|OG,連接AG,F為AG,CB延長線上的交點(diǎn)，AG=5,sinZ

AGD=1-,直接寫出CF的長.

13.如圖，在RtZkABC中，ZACB=90°,AC=BC=6cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB方向以每

秒bcm的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動，同時(shí)，動點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC方向以每秒1cm的速度向

終點(diǎn)C運(yùn)動，將aPOC沿BC翻折，點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)P，,當(dāng)其中一個(gè)動點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)

另一個(gè)點(diǎn)隨著停止，設(shè)Q點(diǎn)運(yùn)動的時(shí)間為t秒.

(1)當(dāng)t為何值時(shí)，PQ±BC；

(2)在運(yùn)動過程中，設(shè)△PBQ的面積為S(cm2),求S與t的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出

自變量取值范圍)，并求出其面積S的最大值；

(3)在運(yùn)動過程中，是否存在四邊形QPCP'為菱形,若存在，請求出t的值；若不存在，

請說明理由.

14.如圖，Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=BC,D是線段AB上一點(diǎn)(OVAD<,AB).過點(diǎn)

B作BE±CD,垂足為E.將線段CE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到線段CF,連接AF,EF.設(shè)

NBCE的度數(shù)為a.

窗用圖

(1)①依題意補(bǔ)全圖形.

②若a=60°,則NCAF=30°；

(2)用含a的式子表示EF與AB之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

15.如圖，已知等腰AABC中，AB=AC,AD±BC,AC與x軸交于點(diǎn)E,D(2,0),A(5,3).

(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(2)求DE的長;

(3)探究：在x軸上是否存在點(diǎn)P,使以A、D、P為頂點(diǎn)的三角形與4CDE相似？若存

在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

答案與解析

1.如圖，在AABC中，AB=AC,AD是AABC的角平分線，E,F分別是BD,AD上的點(diǎn)，取

EF中點(diǎn)G,連接DG并延長交AB于點(diǎn)M,延長EF交AC于點(diǎn)N.

(1)求證：NFAB和NB互余；

(2)若N為AC的中點(diǎn)，DE=2BE,MB=3,求AM的長.

解：(1)■,-AB=ACAD為NBAC的角平分線

.,.AD±BC,

ZFA&-ZB=90o,即NFAB和NB互余；

(2)過點(diǎn)N作BC平行線交DM延長線于點(diǎn)Q交AB于點(diǎn)P,交AD于點(diǎn)K

??

".'DE=2BEN為AC的中點(diǎn)，NQ/7BC,

.-.NK=yCD,AP=%B,

令DE=4k,EB=2k所以NK=3k

又..?NQ〃BC

,DE_EF_4

一欣而3

又為FE中點(diǎn),

.■,EG=FG=^-EF,

,EG

一而而后

.".NQ=10KPQ=10k-6k=4k,

,.■BC//DQ

.DB

"PQ

又,.,BMu?,

.1.PM=2,

；.AP=5,

.,.AM=5+2=7

2.如圖，在AABC中，點(diǎn)。在邊AC上，。。與AABC的邊BC,AB分別相切于C,D兩點(diǎn),

與邊AC交于E點(diǎn)，弦CF與AB平行，與DO的延長線交于M點(diǎn).

(1)求證：點(diǎn)M是CF的中點(diǎn)；

(2)若E是節(jié)的中點(diǎn),BC=a,

①求E后的弧長；

②求器AE的值.

證明：(1):。。與AABC的邊BC,AB分別相切于C,D兩點(diǎn),

ZACB=ZODB=9O°,

■；CF〃AB,

/.ZOMF=ZODB=9O°,

.-.OM±CF,且OM過圓心0,

二點(diǎn)M是CF的中點(diǎn);

(2)①連接CD,DF,OF,

A

與4ABC的邊BC,AB分別相切于C,D兩點(diǎn),

.-.BD=BC,

,..E是市的中點(diǎn),

.,而=而，

ZDCE=ZFCE,

■/AB/zCF,

/.NA=NECF=ZACD,

.-.AD=CD,

,/ZA+ZB=90°,ZAC[>ZBCD=9O°,

ZB=ZBCD,

/.BD=CD,且BD=BC,

.-.BD=BC=CD,

:.△BCD是等邊三角形，

,,,ZB=60°,

ZA=30°=ZECF=ZACD,

ZDCF=60",

ZD0F=120°,

■；BC=a,ZA=30°,

.".AB=2a,AC=\'3a,

AD=a,

,/ZA=ZA,ZADO=ZAC-B=9O",

.-.△ADO^AACB,

.DO_AD

"BC"AC'

.DO二a

.,aV3a

.1.D0=—a,

3，

.?而的弧長J。'乂"臉=半口

ISO*9

②,.，NA=30°,OD±AB,

2、巧

.■.A0=2D0=^-^-a,

...AE=AO-OE=竽貪一條考a,

-I--

3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B(12,10),過點(diǎn)B作x軸的垂線，垂足為A.作y軸

的垂線，垂足為C.點(diǎn)D從0出發(fā)，沿y軸正方向以每秒1個(gè)單位長度運(yùn)動；點(diǎn)E從0

出發(fā)，沿x軸正方向以每秒3個(gè)單位長度運(yùn)動^點(diǎn)F從B出發(fā)，沿BA方向以每秒2個(gè)

單位長度運(yùn)動.當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動到點(diǎn)A時(shí)，三點(diǎn)隨之停止運(yùn)動，運(yùn)動過程中AODE關(guān)于直線

DE的對稱圖形是△(?DE,設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t.

(1)用含t的代數(shù)式分別表示點(diǎn)E和點(diǎn)F的坐標(biāo)；

(2)若AODE與以點(diǎn)A,E,F為頂點(diǎn)的三角形相似，求t的值;

(3)當(dāng)t=2時(shí)，求0'點(diǎn)在坐標(biāo).

解：(1)?.■BAJ_X軸，CB_Ly軸，B(12,10),

.,,AB=10,

由運(yùn)動知，OD=t,0E=3t,BF=2t(0WtW4),

.-.AF=10-2t,

.1.E(3t,0),F(12,10-2t)；

(2)由(1)知，OD=t,0E=3t,AF=10-2t,

.,.AE=12-3t,

?.?BAJ_x軸,

ZOAB=9O°=ZAOC,

?.?△ODE與以點(diǎn)A,E,F為頂點(diǎn)的三角形相似,

△DOES/^EAF或ADOES/\FAE,

①當(dāng)△DOES^EAF時(shí)，黑筆，

AEAr

.t_

"12-3t=10-2t'

②當(dāng)△DOEsaFAE時(shí)，筆筆，

AFAE

.t=3t

"10-2t=12-3t）

.,.t=6（舍），

即：當(dāng)AODE與以點(diǎn)A,E,F為頂點(diǎn)的三角形相似時(shí)，t=早秒;

(3)如圖，

當(dāng)t=2時(shí)，0D=2,0E=6,

在RtaDOE中，根據(jù)勾股定理得，DE=2、/15,

連接00,交DE于G,

.,.00'=20G,OO±DE,

.■.s=4OD-OE=-^-DE-OG,

ZDOE22

,nrOD'OE2X66<IQ

1"OG=-D^=VLO

.-100'=20G=

5

ZA0C=90°,

/.ZHOO'+ZAOO'=90°,

-/OO'±DE,

/.ZOEt>zAOO'=90",

ZHOO'=ZOED,

過點(diǎn)0,作O，H，y軸于H,

Z0H0'=90°=ZDOE,

.".△OHO'^AEOD,

.OH_0yH_00J

''OE-OD-DE'

12V1Q

.?.0H=0'H=5,

622,\/TO

4.如圖1,在菱形ABCD中，AB=,/3,NBCD=120。，M為對角線BD上一點(diǎn)(M不與點(diǎn)B、

D重合)，過點(diǎn)MN〃CD,使得MN=CD,連接CM、AM、BN.

(1)當(dāng)NDCM=30°時(shí),求DM的長度；

(2)如圖2,延長BN、DC交于點(diǎn)E,求證：AM-DE=BE-CD；

(3)如圖3,連接AN,則A七AN的最小值是3.

解：⑴如圖1,連接AC交BD于0,

■.?四邊形ABCD是菱形，

.-.AC±BD,BD=20B,CD=BC=AB=、/^,

,/ZBCD=120",

ZCBD=30°,

.-.OC=4BC=—,

22

.■-0B=V30C=-|-,

；.BD=3,

ZBCD=120°,ZDCM=30°,

ZBCM=90°,

;CM=^BC=1,

3

??.BM=2CM=2,

.\DM=BD-BM=1；

(2)二?四邊形ABCD是菱形,

ABZ/CD,AB=CD,

,/MN//CD,MN=CD,

???AB〃MN,AB=MN,

四邊形ABNM是平行四邊形，

.'.AMZ/BN,

ZAMB=ZEBD,

,/AB//CD,

ZABM=ZEDB,

.".△ABM^AEDB,

.AM_AB

"BE"DE'

.,.AM?DE=BE?AB,

■.■AB=CD,

.-.AM-DE=BE-CD；

(3)如圖2,四邊形ABCD是菱形,

ZABD=^-ZABC,CD//AB,

■/ZBCD=120°,

/.ZABC=60°,

ZAJBD=30",

連接CN并延長交AB的延長線于P,

；CD〃MN,CD=MN,

二四邊形CDMN是平行四邊形，

二當(dāng)點(diǎn)M從點(diǎn)D向B運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)N從點(diǎn)C向點(diǎn)P運(yùn)動（點(diǎn)N的運(yùn)動軌跡是線段CP）,ZAPC

=ZABD=30°,

由（2）知，四邊形ABNM是平行四邊形，

.-.AM=BN,

.■.AM+AN=AM4-BN,

而AM+AN最小，即：AN+BN最小，

作點(diǎn)B關(guān)于CP的對稱點(diǎn)卬，當(dāng)點(diǎn)A,N,B，在同一條線上時(shí)，AN+BN最小，

即：A附AN的最小值為AB，，

連接BB，，B'P,

由對稱得，BP=B1P=AB=\|f3,ZBPB'=2ZAPC=60°,

??.△BB，P是等邊三角形，

B'P過點(diǎn)B，作B，（UBP于Q,

.?.BQ=4KP=返，

22

.?.B'Q=./3BQ=4，

.?.AQ=AB+BQ=^^,

2

在RtaAQB，中，根據(jù)勾股定理得，AB'=/AQ2+ByQ2=3,

即：AWAN的最小值為3,

DC

5.如圖，在矩形ABCD的邊AB上取一點(diǎn)E,連接CE并延長和DA的延長線交于點(diǎn)G,過點(diǎn)E

作CG的垂線與CD的延長線交于點(diǎn)H,與DG交于點(diǎn)F,連接GH.

(1)當(dāng)tanNBEC=2且BC=4時(shí)，求CH的長;

(2)求證：DF-FG=HF-EF；

(3)連接DE,求證：ZCDE=ZCGH.

(1)解:在RtZ\BCE中,當(dāng)tanNBEC=2,

-,,BE=2,即盍=2，

解得，BE=2,

由勾股定理得，GE=7BC2+BE2=V42+22=2V5,

?四邊形ABCD為矩形，

.,.AB/7CD,

/.ZECH=ZBEC,

.■.tanZECH=11=2,即可耳=2,

.*.EH=4>/5,

,?.CH=JCE2+EH2=10;

(2)證明：??,NFEG=NFDH=90°,ZEFG=ZDFH,

'.△EFG^ADFH,

,EF=FG

,市一市’

-.DF-FJG=HF-EF；

(3)證明：???△EFGS^DFH,

ZCGD=ZCHE,又NGCD=NHCE,

.-.△GCD^AHCE,

CT)CC

.?.*=號，又NGCD=NHCE,

UICH

.-.△CDE^ACGH,

ZCDE=ZCGH.

6.如圖，在Rt^ABC中，ZA=90°,AB=20cm,AC=15cm,在這個(gè)直角三角形內(nèi)有一個(gè)內(nèi)

接正方形，正方形的一邊FG在BC上，另兩個(gè)頂點(diǎn)E、H分別在邊AB、AC上.

(1)求BC邊上的高;

(2)求正方形EFGH的邊長.

解：⑴作AMBC于D,交EH于0,如圖所示：

\.在RtZiABC中，ZA=90°,AB=20cm,AC=15cm,

BC=V202+15J=25(cm),

..WBCX」AD=±ABXAC,

22'

加厘=稱"2(c

15C-

即BC邊上的高為12cm；

(2)設(shè)正方形EFGH的邊長為xcm,

??.四邊形EFGH是正方形，

???EH〃BC,

ZAEH=ZB,ZAHE=ZC,

/.△AEH^AABC.

角牛得：X一,

Oi

即正方形EFGH的邊長為弓孕cm.

O1

B尸DG(

7.如圖1,AABC內(nèi)接于。0,點(diǎn)D是菽的-中點(diǎn),且與點(diǎn)c位于AB的異側(cè)，CD交AB于點(diǎn)

E.

工」

D

(1)求證：△ADEsaCDA.

(2)如圖2,若。0的直徑AB=4、后，CE=2,求AD和CD的長.

解：⑴：點(diǎn)D是AEB的中點(diǎn),

■■-AD=BD

ZACD=ZBAD,

'/ZADE=ZCDA

.,.△ADE^ACDA

(2)連結(jié)BD,

...點(diǎn)D時(shí)ADB的中點(diǎn),

.-.AD=BD

：AB是GO的直徑,

ZADB=90",

「.△ADB為等腰直角三角形，

：國喻攀二姬'

由(1)得△ADEsaCDA,

?,?票點(diǎn)，即Ath=CDED,

UUnU

(4V3)2=CD(CD-2),

CD2-2CD-48=0,解得CD=8或-6.

.'.CD=8.

一

D

圖2

8.如圖，ZkABC中，AB=AC,AM為BC邊的中線，點(diǎn)D在邊AC上，聯(lián)結(jié)BD交AM于點(diǎn)F,

延長BD至點(diǎn)E,使得瞿=罟，聯(lián)結(jié)CE.求證

UEUC

(1)ZECD=2ZBAM；

(2)BF是DF和EF的比例中項(xiàng).

BMC

證明：(1)-.-AB=AC,AM為BC邊的中線，

ZBAC=2ZBAM,

/.△ADB^ACDE,

ZBAC=ZECD,

.'.ZECD=2ZBAM；

(2)如圖，連接CF,

?.?AB=AC,AM為BC邊的中線,

??.AM是BC的垂直平分線,

.,.BF=CF,且AB=AC,AF=AF,

■.■△ABF^AACF(SSS)

ZABF=ZACF,

由(1)可知：AADB-ACDE,

ZABF=ZE,

.-.ZACF=ZE,且NEFC=NDFC,

.-.△DCF^ACEF,

DFCF

.而且BF=CF，

.'.BF2=DFEF,

；.BF是DF和EF的比例中項(xiàng).

9.如圖，在梯形ABCD中，AD//BC,BC=BD=10,CD=4,AD=6.點(diǎn)P是線段BD上的動點(diǎn),

點(diǎn)E、Q分別是線段DA、BD上的點(diǎn),且DE=DQ=BP,聯(lián)結(jié)EP、EQ.

(1)求證：EQ〃DC；

(2)當(dāng)BP>BQ時(shí)，如果aEPO是以EQ為腰的等腰三角形，求線段BP的長;

(3)當(dāng)BP=m(0<m<5)時(shí)，求NPEQ的正切值.(用含m的式子表示)

解：(1)?..AD〃BC,

ZEDQ=ZDBC,

'."DE=DQ,BD=BC,

.DE-!BD=

"DQ'BC'

.DEJD

■,DQ"BC'

.-.△DEQ^ABCD,

ZDQE=ZBDC,

.?.EQ〃CD；

(2)設(shè)BP=x,則DQ=x,QP=2x-10,

,/△DEQ^ABCD,

.EQ_QD

"DC=CB,

.四工

"410，

2

/.EQ=-^x,

5

VAEPQ是以EQ為腰的等腰三角形，

???I、當(dāng)EQ=EP時(shí)，.?.NEQP=NEPQ,

\-DE=DQ,

ZEQP=ZQED,

.-.ZEPQ=ZQED,

.,.△EQP^ADEQ,

,EQJP

"DE"EQ，

/.EQ2=DE*QP,

2

(—X)2=(2x-10)*x,

D

125

解得，x=0(舍)或x=^V6,

23，

99R

II、當(dāng)QE=QP時(shí)，—x=2x-10,解得，x=-y->6,

54

此種情況不存在，

(3)如圖，過點(diǎn)P作PHLEQ,交EQ的延長線于點(diǎn)H,過點(diǎn)B作BG^DC,垂足為點(diǎn)G,

'.'BD=BC,BG±DC,.,.DG=2,BG=&也，

BP=DQ=m,

.■.PQ=10-2m,

-,-EQ/7DC,

ZPQH=ZBDG,

ZPHQ=ZBGD=9O°,

.1.△PHQ^ABGD,

,PH_PQ_HQ

"BG-BD-GD'

.PH_LQ-2ru_HQ

"W6-10.2，

10-2m2A/6C10-2IU)

..riw=■,rn=------------

10.如圖，已知平行四邊形ABCD中，AD=n,AB=5,tanA=2,點(diǎn)E在射線AD上，過點(diǎn)

E作EF^AD,垂足為點(diǎn)E,交射線AB于點(diǎn)F,交射線CB于點(diǎn)G,聯(lián)結(jié)CE、CF,設(shè)AE=m.

(1)當(dāng)點(diǎn)E在邊AD上時(shí)，

①求4CEF的面積；(用含m的代數(shù)式表示)

②當(dāng)S=4S時(shí)，求AE：ED的值；

△DCEABFG

(2)當(dāng)點(diǎn)E在邊AD的延長線上時(shí)，如果4AEF與4CFG相似，求m的值.

Dt

AL—予D

G

解：⑴①,.?EF，AD,

ZAEF=90°,

在RtAAEF中,tanA=2,AE=m,

.'.EF=AEtanA=2m,

根據(jù)勾股定理得，AF=JAE2+EF2=V

■,-AB=5,

.,.BF=5-

■.?四邊形ABCD是平行四邊形，

/

.,.BC=AD=\/~5JAD〃BC,

/.ZG=ZAEF=9O°,

AAEF^ABGF,

.AE_AF

一BG-BF，

*'BG5-V^m'

CG=BC+BG=\/5+V5-ITI=2A/5-M,

.,.S=《EF?CG=q?2m?（2，^-m）=2\/5n-m2；

ACEF22

②由①知，△AEFs/^BGF,

.FGJF

"EF"AFJ

BF5-廠

."-FG=--EF=-T=----*2m=2（y5-m）,

ArV5m

EG=EF+FG=2m+2（V~5-m）=2yfS,

.,.S=4nE?EG=1（赤-m）?2、."=5-歸，

△CDE22

S=-^BG*FG=—（V5-m）*2（遙-m）=（詆-m）2

△BFG22

S=4S時(shí)，

△DCEABFG

.,.5-V5n=4（V5-m）2,

.,.m=./5（舍）或m=±^5,

4

DE=AD-AE=-75-老白=卓，

44

,■,AE：ED=莘:哼=3,

44

即：AE：ED的值為3；

（2）.??四邊形ABCD是平行四邊形,

.?.BC=AD=JX,AD/7BC,

-.■EF±AD,

.-.EF±BC,

ZAEF=ZCGF=9O°,

???△AEF與aCFG相似,

①當(dāng)△AEFsaCGF時(shí),如圖1,

ZAFE=ZCFG,

-.-EF±BC,

1J5

.■.BG=^BC=—,

22

,.,AD/7BC,

ZCBF=NA,

'."tanA=2,

.".tanZCBF=2,

在RtZiBGF中，F(xiàn)G=BGtanZCBF=/5,

22

根據(jù)勾股定理得，BF=VBG+FG=1-I

515

.?.AF=AB+BF=5E=寺，

,/BC/7AD,

ABGF^AAEF,

.BG二BB

"AE=AF,

V5￡

工工

"m一史

2

.m=wi_

■,21

②當(dāng)△AEFs/iCGF時(shí),如圖2,

.-.ZEAF=ZGFC,

,/ZEAF+ZAFE=90°,

NGFONAFE=90。，

ZAFC=90°,

,.,AD/7BC,

NCBF=NA,

.'.tanZCBF=tanA=2,

在RZ\BFC中，CF=BFZCBF=2BF,

根據(jù)勾股定理得，BF2+CF2=BC2,

.,.BF2+4BF2=(J^)2,

/.BF=1,

AF=AB+BF=6,

在Rt4BGF中，同理：BG=等,

5

,/AD//BC,

ABGF^AAEF,

,AE_AF

,,福專，

m§

.,逅K,

5

...tmn——_&--V-5-.

5

即：如果AAEF與4CFG相似，m的值為平或笨.

圖2

圖1

11.在AABC中，ZACB=90°,AB=20,BC=12.

(1)如圖1,折疊AABC使點(diǎn)A落在AC邊上的點(diǎn)D處，折痕交AC、AB分別于Q、H,若

S=9S,則HQ=4.

△ABCADHQ--------------

(2)如圖2,折疊aABC使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)M處，折痕交AC、AB分別于E、F.若

FM〃AC,求證：四邊形AEMF是菱形；

(3)在(1)(2)的條件下，線段CQ上是否存在點(diǎn)P,使得△CMP和△HQP相似？若存在,

求出PQ的長；若不存在，請說明理由.

解：(1)如圖1中，

在△ABC中,ZACB=90°,AB=20,BC=12,

.■^0=^202-12^=16>設(shè)HQ=x,

,.,H-Q//BC,

.AQ_QH

,,ALBC，

.迪上

"1612,

4

,-.AQ=-x,

o

'/S=9S,

△ABCADHQ

.,.^-X16X12=9X^-XxX^x,

.,.x=4或-4(舍棄)，

.'.HQ=4,

故答案為4.

(2)如圖2中，

K

CMB

圖2

由翻折不變性可知：AE=EM,AF=FM,ZAFE=ZMFE,

?,?FM〃AC,

/.ZAEF=ZMFE,

「.NAEF=NAFE,

.\AE=AF,

.-.AE=AF=MF=ME,

???四邊形AEMF是菱形.

(3)如圖3中,

CMB

圖3

設(shè)AE=EM=FM=AF=4m,貝I]BM=3m，F(xiàn)B=5m,

.'.4m+5m=20,

■,-CM=VEM2-EC2=-Y-

■.■QH=4,AQ=與，

o

??.QC=答,設(shè)PQ=x,

當(dāng)Q黑H=詈PQ"時(shí)，△HQPS^MCP,

CM

4

16

3

解得:

y,QHPQ?時(shí),AHQP^APCM,

PCCM

4

J/.32~16

VxT

Q

解得：x=8或廿

Q

經(jīng)檢驗(yàn)：x=8或言是分式方程的解，且符合題意,

綜上所述，滿足條件長QP的值為拳或8或蔣.

12.如圖，在RtZiABC中，ZC=9O°,CD_LAB于D,

(1)若AC：CB=3：2,求AD：DB的值;

(2)NABC的角平分線分別交AC,DC于E,F兩點(diǎn)求證：士

UALU

2

(3)延長CD至G,使DG=^CG,連接AG,F為AG,CB延長線上的交點(diǎn)，AG=5,sinZ

2

AGD=f,直接寫出CF的長.

解：(1)-*CD±AB,

ZADC=ZBDC=90°=ZACB,

/.ZACOZA=90°,

■/ZACB=90°,

ZACI>ZDCB=90o,

ZA=ZDCB

ZADC=ZCDB,

.".△ADC^ACDB,

.AD=CD=AC=3.

''CD-DB-CB-_2'

33

.-.AD=-^-CD,CD=-^￡)B,

9

.-.AD=-JDB,

/.AD：DB=9：4.

(2)如圖2,過點(diǎn)E作EG^AB于G,連接FG,

■；CDJLAB,

.■.EG/7CF,

■.■BE平分NCBA,

.ZCBE=ZGBE,EC=EG,

■EG〃CD,

CE=DG_

,區(qū)一加，

■△AEG^AACD,

EG=AG

而一市

CEEGDGAG,

,CACD-DAAD_)

-CE=EG,

"CACDCE,

(3)如圖3,

3

在RtZ\ADG中，AG=5,sinZAGD=—,

3

.".AD=AGsinZAGD=3,

根據(jù)勾股定理得，DG=4,

2

■/DG=-^CG,

3

,-.CG=^DG=6,

.,.CD=2,

在RtZiADC中，根據(jù)勾股定理得，AC=JAD2?2=、,屬

由⑴知，

.-.△ADC^ACDB,

.AD=CD=AC

-'CD-DB-CB'

.3,2_V13

■,萬超不"，

.■.DB=-|-,CB=2^^

313

過點(diǎn)G作GH^CF于H,

/.ZCHG=ZCDB=90°,

VZBCD=ZGCH,

.".△BDC^AGHC,

.ED=CD=BC

■'GH-CH-CG'

±2VI3

---3_2_3

GH-CH-6

.ci518/13

-GH--CH--

,/ZACB=90°=ZFHG,

.-.△FHG^AFCA,

.GH_FH

"AC"CF'

12VT^pi?18/13

13_13

A/13

■,.CF=18\/13.

13.如圖，在RtZkABC中，NACB=90°,AC=BC=6cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB方向以每

秒五cm的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動，同時(shí)，動點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC方向以每秒1cm的速度向

終點(diǎn)C運(yùn)動，將△PQC沿BC翻折，點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)P，,當(dāng)其中一個(gè)動點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)

另一個(gè)點(diǎn)隨著停止，設(shè)Q點(diǎn)運(yùn)動的時(shí)間為t秒.

(1)當(dāng)t為何值時(shí)，PQ±BC；

(2)在運(yùn)動過程中，設(shè)△PBQ的面積為S(cm2),求S與t的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出

自變量取值范圍)，并求出其面積S的最大值；

(3)在運(yùn)動過程中，是否存在四邊形QPCP'為菱形，若存在，請求出t的值；若不存在,

請說明理由.

解：(1)由勾股定理得，AB=7AC2+BC2=6V2,

由題意得，AP=?BQ=t,

貝iJBP=6/5-匹t,

當(dāng)PQ〃AC時(shí),PQ±BC,

AJBABC16726,

解得：t=3,

則當(dāng)t=3秒時(shí)，PQ±BC；

(2)過點(diǎn)P作PDLBC于D,

則PD//AC,

,BP_PD6-V2tPD

"BA-AC即672-6,

解得，PD=3血-t,

S=yXBQxPD

(3)如圖2,過點(diǎn)P作PE_LAC于點(diǎn)E,連接PP，.

由題意知，點(diǎn)P、P'關(guān)于BC對稱，

???BC垂直平分PP'.

.-.QP=QP/,PD=P，D.

.??四邊形QPCP'是菱形,則CD=QD,

ZC=90°,AC=BC,

ZA=45°.

?.?AP=\,國

.-.PE=t,

易得，四邊形PECD是矩形，

.■,CD=PE=t,EPCD=QD=t.

又BQ=t,BC=6,

.,.3t=6,

解得，t=2.

二若四邊形QPCP，為菱形，則t的值為2.

14.如圖，Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=BC,D是線段AB上一點(diǎn)（OVADV^AB）.過點(diǎn)

B作BE±CD,垂足為E.將線段CE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到線段