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文檔簡介
山東省濟(jì)寧市2021屆高三下學(xué)期5月第二次模擬考試
數(shù)學(xué)試題
一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一
項(xiàng)是符合題目要求的.
1.已知全集UeR,集合4{x|x22},5={x|log2(x-l)<l},貝!!(品/)八5=()
A.(-oo,2)B.(-oo,2]C.(1,2)D.(1,3)
2.已知(2—i)-z=i,i為虛數(shù)單位,則目=()
A.—B.1C.2D.V5
5
3.“直線加垂直平面。內(nèi)的無數(shù)條直線”是“掰_1_&”的()
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充分必要條件D.既不充分也不必安條件
4.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(1Q2),若P(X<0)=0.2,則P(X<2)=()
A.0.2B.0.4C.0.6D.0.8
5.已知橢圓C:工+^=1,過點(diǎn)P的直線交橢圓C于/、5兩點(diǎn),若P為45的
432J
中點(diǎn),則直線48的方程為()
A.3x—2y—2=0B.3x+2y—4=0
C.3x+4y-5=0D.3x-4j-l=0
6.在平面直角坐標(biāo)系中,。為坐標(biāo)原點(diǎn),已知點(diǎn)M(省1)和點(diǎn)N(0,l).若點(diǎn)?在
NMON的角平分線上,且網(wǎng)=4,則亦加=()
A.—2B.-6C.2D.6
/、-l+21nx,x>1"、”、
7.已知函數(shù)/("=:]21nx0<x<l,若/(。)=/0)'則力的最小值是()
A.2y[eB.eC.1+eD.2e
8,“曼哈頓距離”是由赫爾曼?閔可夫斯基所創(chuàng)的詞匯,是一種使用在幾何度量空間的幾何學(xué)
用語.例如在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn),0(%,歹2)的曼哈頓距離為:
42Txi一%|+|%一/卜若點(diǎn)尸(1,2),點(diǎn)。為圓。:/+了2=4上一動點(diǎn),則4。的最
大值為()
A.1+V2B.1+2&C.3+V2D.3+2正
二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合
題目要求.全部選對的得5分,有選錯的得0分,部分選對的得3分.
9.已知a〉b〉0,ceR,下列不等式恒成立的有()
10.函數(shù)/(x)=2cos2x—1+l(xeR),則下列說法正確的是()
A.若/(再)=/(%2)=3,則再一々=析(左eZ)
B.函數(shù)/(x)在-工,工上為增函數(shù)
63_
C.函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)[三,1]對稱
D.函數(shù)/(x)的圖象可以由g(x)=2sin12x—g1+l(xeR)的圖象向左平移方個單位
長度得到
11.已知/(x)是定義在R上的偶函數(shù),/(I—x)=—/(1+x),且當(dāng)xe[0,l]時(shí),
/(力=/+%—2,則下列說法正確的是()
A./(x)是以4為周期的周期函數(shù)
B./(2018)+/(2021)=-2
C.函數(shù)歹=log2(x+1)的圖象與函數(shù)/(x)的圖象有且僅有3個交點(diǎn)
D.當(dāng)xe[3,4]時(shí),/(%)=x2-9x+18
12.如圖,直四棱柱ABCD-AXBXCXDX中,底面ABCD為平行四邊形,
1一/--,一
AB=AAX=—AD=1,NB4D=60°,點(diǎn)P是半圓弧4A上的動點(diǎn)(不包括端點(diǎn)),點(diǎn)
。是半圓弧前上的動點(diǎn)(不包括端點(diǎn)),則下列說法止確的是()
A.四面體必C。的體積是定值
B.N萬的取值范圍是(0,4)
C.若G。與平面4BCD所成的角為氏則tan,〉g
D.若三棱錐P-BCQ的外接球表面積為S,則Se[4兀,13兀)
三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.
13.已知[x-2]的展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為128,則這個展開式中項(xiàng)的系數(shù)
是.
14.已知tan(巴一a]二一,則cos2a=.
14J2
22
15.設(shè)雙曲線。:二一==1(。>0,6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為用、片,過點(diǎn)片的直線/分
ab
別與雙曲線的左、右支交于點(diǎn)/、B,若以48為直徑的圓過點(diǎn)耳,且|/周=|即則
該雙曲線的離心率為.
16.設(shè)函數(shù)/(x)=e*—cosx_2a,g(x)=x,若存在再,%e[0,兀]使得/(xj=g(x2)
成立,則迎,占的最小值為1時(shí),實(shí)數(shù)a=.
四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17.(10分)
在①(sin8-sin=sin2/-sinBsinC;②2asinC=ctanZ;③
cB+Cc,,
2cos2-----=cos2A+1;
2
三個條件中任選一個,補(bǔ)充在下面問題中,并作答.
問題:已知△48C的內(nèi)角4,B,C所對應(yīng)的邊分別為a,b,c,若b=C,
(1)求/的值;
(2)若sinB=J^sinC,求△/8C的面積.
注:如果選擇多個條件分別解答,按第一個解答計(jì)分.
18.(12分)
已知數(shù)列{4}是正項(xiàng)等比數(shù)列,滿足%是2%,3a2的等差中項(xiàng),為=16.
(1)求數(shù)列{4}的通項(xiàng)公式;
(2)若4=(—l)%g2%+i,求數(shù)列也}的前〃項(xiàng)和
19.(12分)
甲、乙兩人進(jìn)行“抗擊新冠疫情”知識競賽,比賽采取五局三勝制,約定先勝三局者獲勝,比
21
賽結(jié)束.假設(shè)在每局比賽中,甲獲勝的概率為一,乙獲勝的概率為一,各局比賽相互獨(dú)立.
33
(1)求甲獲勝的概率;
(2)設(shè)比賽結(jié)束時(shí)甲和乙共進(jìn)行了X局比賽,求隨機(jī)變景X的分布列及數(shù)學(xué)期望.
20.(12分)
如圖,四邊形48£尸是矩形,平面45CL平面/,。為中點(diǎn),ZG45=120°,
AB=AC=4,AF=娓.
(1)證明:平面40尸J_平面BCE;
(2)求二面角E一40-£的余弦值.
21.(12分)
己知拋物線C:彳2=2處(夕>0),過點(diǎn)7(0,0)作兩條互相垂直的直線/]和小/]交拋物線
C于4,5兩點(diǎn),6交拋物線。于£、廠兩點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)/的橫坐標(biāo)為1時(shí),拋物線C在點(diǎn)/
處的切線斜率為工.
2
(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)已知。為坐標(biāo)原點(diǎn),線段48的中點(diǎn)為線段斯的中點(diǎn)為N,求△(WN面積
的最小值.
22.(12分)
已知函數(shù)/(x)=xlnx-6zx2+x,g(x)=(l-(7)xlnx-ex-1,a>0.
(1)當(dāng)。=1時(shí),判斷函數(shù)/(X)在定義域內(nèi)的單調(diào)性;
(2)若/(x"g(x)+x恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
參考答案
一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一
項(xiàng)是符合題目要求的.
1-8:CABDBACD
二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合
題目要求.全部選對的得5分,有選錯的得0分,部分選對的得3分.
9.AD10.ACII.ACD12.BCD
三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.
4r~1
13.8414.-15.V316.——
52
四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17.解:(1)若選①:因?yàn)椋╯in8-sinOp=sin?/-sin5sinC,
所以由正弦定理得3-c)2=/—bc,整理得〃+。2—/="
所以cos
2bc2
jr
因?yàn)?<Z(兀,所以Z=
3
sin
若選②:因?yàn)?asinC=ctan/,所以2sin/sinC=sin。------,
cos4
即cosA——f
2
jr
因?yàn)?<4<兀,所以4=
3
若選③:因?yàn)?cos之=cos2/+l,所以cos(8+C)+l=2cos24-1+1,
即2cos2A+cosA-l=0,
解得cos4=—或cos4=-l,
2
jr
因?yàn)?<4<兀,所以2
3
(2)因?yàn)閟ing-J5sinC,由正弦定理得b=J5c,
因?yàn)椤?、/5,所以C=1,
JcsinZ
所以
2224
18.解:(1)設(shè)數(shù)列{%}的公比為q,
因?yàn)橛墒?a1,3出的等差中項(xiàng),
所以2%=2q+3a2,即2%/=2%+3a⑼,
,1
因?yàn)樗?/—3q—2=0,解得q=2或q=—2,
因?yàn)閿?shù)列{%}是正項(xiàng)等比數(shù)列,所以q=2.
因?yàn)?=16,即%-4/-8%=16,解得q=2,
所以%=2X2"T=2".
(2)解法一:(分奇偶、并項(xiàng)求和)
2n+l
由⑴可知,a2n+1=2,
所以,”=(-!)”?暇%+1=(一1)"?1嗚22用=(一1)"Q+1),
①若,為偶數(shù),
7;=-3+5-7+9-L-(2〃-1)+(2〃+1)
=(-3+5)+(-7+9)+L+[-(2〃-1)+(2〃+1)]
=2。x—n=M
2
②若〃為奇數(shù),
當(dāng)〃23時(shí),Tn=Tn_Y+bn=〃+1-(2〃+1)=-〃一2,
當(dāng)〃=1時(shí),7;=—3適合上式,
綜上得北=『一2,為鬻數(shù)(或小("+1)(—1)"—1,〃eN*).
解法二:(錯位相減法)
2n+1
由(1)可知,a2n+l=2,
所以,"=(T)"?四2*=(T)"-log222/=(7)".(2〃+1),
3
Tn=(-1)x3+(-IpX5+(-1)X7+L+(-l)"(2n+1)
所以=(_1)2x3+(-1)3x5+(—1)4x7+L+(-l)n+1(2/7+1)
所以27;=-3+2[(—I)?+(-1)3+L+(-1)"]-(-1)"+1(2?+1)
=-3+2義1-(;)
=—3+1—(―1廣+(—1)"(2〃+1)
=-2+(2?+2)(-1)"
所以7;=(〃+l)(—1)"—1,〃eN*.
19.解:(1)由已知得,比賽三局且甲獲勝的概率月=
比賽四局且甲獲勝的概率為已x-x--—,
2\3J3327
比賽五局且甲獲勝的概率為鳥x-=—,
\3J)381
所以甲獲勝的概率為P=4+E+《
327278181
(2)隨機(jī)變量X的取值為3,4,5,
則尸(一)=。+(小;
…)Ww
所以隨機(jī)變量X的分布列為
X345
]_108
P
32727
所以E(X)f*x導(dǎo)5*=等
20.(1)證明:因?yàn)?8=ZC,。為BC中點(diǎn),所以4DL8C,
因?yàn)槭蔷匦?,所以E4_L45,
因?yàn)槠矫?8C,平面平面48Cc平面48£9=48,
4Fu平面/龐廣,所以4F_L平面48C,
因?yàn)锽Cu平面4BC,所以4FL8C,
又/尸,4Du平面40尸,AFr>AD=A,
所以8C,平面40尸,
又BCu平面BCE,所以平面40廠,平面8CE.
(2)解:由(1)知,4FL平面48C,
故以點(diǎn)/為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以方,牙的方向?yàn)椤份S、z軸的正方向,
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系/-孫z,
則/(0,0,0),F(0,0,V6),5(0,4,0),C(2A/3,-2,0),£(0,4,76),
所以£((君』,0),
所以而=(道/,0),AF=(0,0,V6),AE=(0,4,76),前=(2百6,0),
由(1)知,就為平面4D廠的一個法向量,
設(shè)平面ADE的法向量為n=(x,y,z),
則《ii-一AD=0,即《v3x+y:=0
h-AE=04y+V6z=0
令x=1,則y=一百,z=2V2,
所以拓=(1,—G,2血卜
n-BC2V3+6V3_73
所以cos(元8C)
同園2百X4G3
因?yàn)槎娼菑S—40—£為銳角,則二面角F-AD-E的余弦值為—.
3
丫2Y
21.解:(1)因?yàn)闋t=2處(0>0)可化為y所以y'=—.
-2Pp
因?yàn)楫?dāng)/點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1時(shí),拋物線。在/點(diǎn)處的切線斜率為工,
2
所以工=工,所以0=2,
P2
所以,拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為V—4y.
(2)解法一:由(1)知點(diǎn)T坐標(biāo)為(0,2),
由題意可知,直線4和右斜率都存在且均不為0,
設(shè)直線4方程為y=fcc+2,
y=kx+2、
由聯(lián)立消去》并整理得,――4日—8=0,
=4y
A=(-4k)2+32=16k2+32>0,
設(shè)B(x2,y2),則王+工2-4Xj-x2=-8,
所以,為+>2=%(再+/)+4=4H+4,
因?yàn)镸為45中點(diǎn),所以M(2匕2公+2),
因?yàn)?2,N為斯中點(diǎn),所以N
所以,直線"N恒過定點(diǎn)(0,4).
所以△OMV面積S=!x4x2A:-f--U4^+->8,
2k)k
當(dāng)且僅當(dāng)左=工即左=±1時(shí),AOMN面積取得最小值為8.
k
(2)解法二:由(1)知點(diǎn)T坐標(biāo)為(0,2),
由題意可知,直線4和右斜率都存在且均不為0,
設(shè)直線4方程為y=fcc+2,
y=kx-\-2、
由1,聯(lián)立消去》并整理得,――4日—8=0,
x-=4v
A=(-4A;)2+32=16A;2+32>0,
設(shè)/(%],%),5(x2,y2),則西+》2=4左,xl-x2=-S,
所以,必+>2=左(再+xJ+4=4%~+4,
因?yàn)镸為45中點(diǎn),所以M(2匕2公+2),
因?yàn)?2,N為斯中點(diǎn),所以N
242+2-+2
?(x-2k)=[左一,
所以,直線九W的方程為y-(212+2)=--------?(x-2k
2k+l
整理得尸[后_:
x+4.
4
所以,點(diǎn)。到直線九W的距離為d=,
=2卜+L
2k2+2---2
k
所以△(WN面積S=gxpW|xd=gx2
=4A;+->8.
k
當(dāng)且僅當(dāng)左=工,即左=±1時(shí),△OMV面積取得最小值為8.
k
22.解:(1)當(dāng)。=:時(shí),/(x)=xlnx-1-x2+x,
所以/'(X)=lnx-ex+2,
令夕(%)=lnx_ex+2,貝ij=,一e二^——,
xx
若//(x)>0,則0<x<』;若//(x)<0,則X〉工,
ee
所以函數(shù)0(x)在10,口上為增函數(shù),在上為減函數(shù),
則)(X)<夕[:]=0,即/'(x)<0,僅在x=!時(shí),/'(x)=0,
所以,函數(shù)/(x)在(0,+8)內(nèi)為減函數(shù).
⑵方法一:因?yàn)?(%)=xlnx—Qx2+x,g(x)=(l—Q)xlnx—e"T,a>0,
若/(x)2g(x)+x恒成立,即對任意的x〉0,e~-Qx(x-lnx)20恒成立,
e
即對任意的x>0,----a(x—Inx)N0恒成立,
,T
令h(x)=----a(x-Inx),
x
Ax-1\
x-1c
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