2024屆高三高考模擬綜合測試數(shù)學(xué)試題（一）（含答案解析）

2024屆高三高考模擬綜合測試數(shù)學(xué)試題（一）

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知集合4=｛刈工一3k2｝,8=卜2x-l<lj,則Au3=()

x—2

A.(1,2]B.(1,2)C.[-1,5]D.[-1,5)

2.已知復(fù)數(shù)z+2i=二，貝1]"（1+玉）|值為

()

1—1

A.V10B.10C.3亞D.5

3.平面向量|a|=五,|b|=2,(a-b)_La,貝必與6的夾角是（）

.5兀一兀c兀

A.—B.—c.-D.-

12346

4.在遞增等比數(shù)列｛%｝中，4=4,且3%是4和%的等差中項，貝IjIo=()

A.256B.512C.1024D.2048

Q

31

5.已知尤=4+22-2,-y=6+-ln2,z=2，則（）

A.z>y>xB.>>x>zC.x>z>yD.z>x>y

6.在如圖所示的圓臺中，四邊形A5CD為其軸截面，AB=2CD=4,母線長為百，P

7T

為底面圓周上一點，異面直線4）與OP（0為底面圓心）所成的角為則C尸的

A.7-2出B.7-2出或7+2省

C.19-45/3D.19-46或19+46

7.已知圓心均在y軸的兩圓外切，半徑分別為小公五=2,則兩圓外公切線的斜率為

（）

A.+2V2B.土包C.土逑D.±-

_7433

8.己知不等式2Xe2x+ln421n元在xe（O,y）上恒成立，則實數(shù)力的取值范圍是（）

C.D.

2e4e

二、多選題

9.下列化簡正確的是（）

A.cos82°sin520+sin82°cos128°=-—B.sin15°sin30°sin75°=-

28

—tan480+tan72°r-

C.cos215°-sin215°=—D.---------------=<3

21-tan48°tan72°

10.從4名男生和3名女生中選出4人去參加一項創(chuàng)新大賽，下列說法正確的是（）

A.若4人中男生女生各選2人，則有18種選法

B.若男生甲和女生乙必須在內(nèi)，則有12種選法

C.若男生甲和女生乙至少有1人在內(nèi)，則有15種選法

D.若4人中既有男生又有女生，則有34種選法

11.下列結(jié)論正確的是（）

A.^■^tlVxeR,x2-x+l>0"^;g^^"3xeR,x2-x+l<0

B.已知回歸模型為y=f+2x+l,則樣本點（1,3）的殘差為t

C.若樣本數(shù)據(jù)網(wǎng),工2,…，網(wǎng)0的方差為2,則數(shù)據(jù)2%-1,2元2T,…,2尤］0-1的方差為8

D.若的展開式中各項的二項式系數(shù)之和為32,則展開式中V項的系數(shù)

為-80

12.如圖，正方體ABCD-AgGA的棱長為1,線段用2上有兩個動點及產(chǎn)，且所=；,

則下列結(jié)論中正確的是（）

A.ACLBEB.EFHABCD

C.三棱錐A-3EF的體積為定值D.aAEF的面積與△3EF的面積相等

三、填空題

試卷第2頁，共4頁

13.命題“HreR,ox?+%+i<o”為假命題，則實數(shù)。的取值范圍為.

14.(2+x)5(x-y)3的展開式中，工與2的系數(shù)是.

77

15.已知向量。，6的夾角為w，且|。|=4,|6|=2,則向量4+2b在向量4上的投影向

量為.(用a表示)

16.已知圓C：f+y2=4,點A(3,o),點3(-2,0).點P為圓C上一點，作線段AP的

垂直平分線/.則點8到直線/距離最小值為.

四、解答題

17.在ABC中，bsin2,A=>/3asinB.

⑴求一A；

(2)若ASC的面積為36,再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已

知，使二ABC存在且唯一確定，求a的值.

條件①：s加(?=2以；條件②：2=3/；條件③：cosC=

7c47

注：如果選擇的條件不符合要求，第(2)問得。分；如果選擇多個符合要求的條件分別解

答，按第一個解答計分.

18.已知數(shù)列｛風(fēng)｝滿足4+%=2%，%+i數(shù)，數(shù)列匕｝滿足。"=。2"一一

⑴求數(shù)列｛%｝和｛%｝的通項公式；

⑵求數(shù)列｛%｝的前“項和S".

19.四棱錐尸-4BCD的底面ABCD是邊長為2的菱形，上4,平面A3C￡),/3AD=120,

過點A且與平行的平面?與CD,PC分別交于E,歹兩點.

⑴證明：PD//EF

(2)E為C。中點，且PC與平面ABCD所成的角為45,求二面角A-￡F-。的正弦值.

20.我國為全面建設(shè)社會主義現(xiàn)代化國家，制定了從2021年到2025年的“十四五”規(guī)

劃.某企業(yè)為響應(yīng)國家號召，匯聚科研力量，加強科技創(chuàng)新，準(zhǔn)備增加研發(fā)資金.該企

業(yè)為了了解研發(fā)資金的投入額單位：百萬元)對年收入的附加額y(單位：百萬元)

的影響，對往年研發(fā)資金投入額七和年收入的附加額%進(jìn)行研究，得到相關(guān)數(shù)據(jù)如下：

投入額七234568911

年收入的附加額以3.64.14.85.46.27.57.99.1

(1)求年收入的附加額y與投入額尤的經(jīng)驗回歸方程；

(2)若年收入的附加額與投入額的比值大于1,則稱對應(yīng)的投入額為“優(yōu)秀投資額”，現(xiàn)從

上面8個投入額中任意取3個，用X表示這3個投入額為“優(yōu)秀投資額”的個數(shù)，求X的

分布列及數(shù)學(xué)期望.

888

【參考數(shù)據(jù)】=334.1,2y,=48.6,2＞；=356.

Z=14=11=1

【附】在經(jīng)驗回歸方程§=樂+》中，b=J————=號------,舍=亍一打.

￡卜廠可2＞；一“募

1=11=1

22

21.已知過點(l,e)的橢圓E：A+的焦距為2,其中e為橢圓E的離心

率.

(1)求E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵設(shè)。為坐標(biāo)原點，直線/與E交于AC兩點，以Q4,OC為鄰邊作平行四邊形OABC,

且點3恰好在E上，試問：平行四邊形Q4BC的面積是否為定值？若是定值，求出此定

值；若不是，說明理由.

22.已知函數(shù)〃x)=e*-l,g(x)=ln(x+a),aeR.

⑴若a=l,求證：/(x)＞g(x)；

⑵若函數(shù)〃x)與函數(shù)g(x)存在兩條公切線，求實數(shù)。的取值范圍.

試卷第4頁，共4頁

參考答案：

1.D

【分析】求出集合A、B,利用并集的定義可求得集合AuB.

【詳解】因為4={無卜_3|<2}=卜卜2<尤_3<2}=詞1<尤<5},

由可得一1=37—"-2)=三go,解得一us,貝”={+lWx<2},

因此，AB=[-l,5).

故選：D.

2.D

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運算，然后根據(jù)求模公式，即可得答案.

【詳解】由z+2i=工，得2=工-2i=W-2i=:i,

所以7-(l+3i)=]；+gi：(l+3i)=^1^=_4+3i,

所以上.(]+3i)|=J(_4『+32=5.

故選：D.

3.C

【分析】根據(jù)數(shù)量積的運算律以及定義式，結(jié)合向量夾角的計算方法，可得答案.

【詳解】向量|a|=b|=2,(〃—Z?)_L〃，貝!J(a—Z?).?=a—a-b=0,即

因此85〈4,6〉=出包='^=第匚=立，而OW〈a,b〉V兀，則〈。涉〉=￡,

|a||b|\a\\b\V2x224

所以“與6的夾角是:.

4

故選：C.

4.B

【分析】運用等差中項及等比數(shù)列通項公式計算即可.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列{%}的公比為分

2

因為3a5是。6和。7的等差中項，所以6%=4+%，BP6a5=a5q+a5q.

又因為a5H0，所以q2+g_6=0,解得q=2或g=_3.

又因為等比數(shù)列{4}是遞增數(shù)列，所以4=2.

答案第1頁，共17頁

又因為。3=4,所以％0=4夕7=4x27=512.

故選：B.

5.C

【分析】先把x，y，z變形，%=4（l+20-2）,Z=8x2°」，利用三和1比較大小；由于z>8,證

明y<8,即可得出結(jié)果.

【詳解】X=4+22,2=4+22義2°2=4（1+2°2）,

z=23-1=4x21J=8x2°,，

z=8x2°」>8,

因為y=6+[ln2,gin2—2=g（ln2—a[<。，

QO

所以《ln2<2,y=6+-ln2<8,

所以z>y,綜上，x>z>y.

故選：C.

6.B

【分析】建立如圖所示坐標(biāo)系，根據(jù)異面直線AD與0P（。為底面圓心）所成的角為三,

求得CP?=7±26

【詳解】以。為原點，0B為y軸，過點。作X軸rOB,圓臺的軸為Z軸，

建立如圖所示坐標(biāo)系：

^DE±AB,DE交AB于點E,\AE\=^\AB\-^\CD\=1,

RtAADE中，

\DE\=ylAD2-AE2=V2JiJ可0,-1,⑹,A（O,-2,O）,C（O』,0）,AO=（0,1，⑹

答案第2頁，共17頁

P（2cos夕,2sin6,0）,0W夕<2兀，。尸=（2cos，,2sin。,0）,

由于異面直線AO與OP（。為底面圓心）所成的角為安

7i_OP-AD_|2sin0|_|sin0|_1

筆下尸|.|叫=甚正=,

sin0=±^,CP=（2cos6,2sind-1,一忘），

CP2=4cos2,+4sin26?-4sin6>+l+2=7-4sin，=7±2g

故選:B.

7.A

【分析】畫出兩圓公切線的交點，結(jié)合相似三角形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】圓心均在y軸的兩圓外切，畫出兩圓公切線，有兩條分別為，BC，JE，

公切線與圓的切點分別為8C,D,E,公切線與〉軸的交點為4

兩圓圓心分別為a,。2,圓a與y軸的上交點為F,

則a『，ac=G，殳="=也/尸+2/2=2,

12

人」124OBA。AF+rx

AF=,則sinZO{AB==—--=—=—

OXAAF-rx3'3

,20,0

/.cosO.yAB------jtanNO^AB=-----,

sin-+ZQAB

:

則kBC=tang+ZQAB=—3------------cos/QA3=_2/

（2Jcosjl+ZOjAB-sinZOjAB

同理可得的E=2及，所以兩圓公切線的斜率為±2亞.

故選：A.

答案第3頁，共17頁

【分析】將不等式變形為2xe2,2：ln?,根據(jù)/?)=趙的單調(diào)性得2彳2111￡,再用常數(shù)分

/IA4

離法求出入的取值范圍.

【詳解】由2府工+In日NInX得2將Nlnx-ng,

A

即2小2,23In二，

XA

令/(t)=fe'，fe(0,+co),則/'(f)=(f+l)e'>0,

所以/⑺=趙在(0,+“)上單調(diào)遞增，

而2xe2,23n土=In土e嗚等價于/(2x)2/(in父，

XX

：.2x>ln-,gpA>^-

4e

令g(x)=W，xe(O,y),則g'(x)=^^，

所以g(x)在xe(0,1?1時g，(x)>0,為增函數(shù)；在在xe[；,+co)時g[x)<0,為減函數(shù)，

所以g(x)最大值為=；,：.A>^-.

故選：C

【點睛】方法點睛：同構(gòu)法解不等式恒成立求參數(shù)范圍問題時先將原不等式化成

/(g(X))>/(/!(%))后再利用函數(shù)了⑺單調(diào)性得到g(X)與/l(X)的大小關(guān)系，由此得到參數(shù)

范圍.

9.ABC

答案第4頁，共17頁

【分析】通過兩角和差弦切公式的逆用，以及降幕公式，即可化簡求值.

【詳解】cos82°sin520+sin82°cos128°=cos82°sin52°-sin82°cos52°

=sin(52°-82°)=sin(-30°)=,故A選項正確；

sin15°sin30°sin75°=sin15°cosl50sin30°

=L5皿30。$皿30。=工*!*4=工,故8選項正確；

22228

cos215°-sin215°=cos30°=立，故c選項正確；

2

tan480+tan72°_/-

----------------------=tan(48°+72°)=tan120°n=—43,

I-tan48°tan72°v7

故D選項錯誤;

故選：ABC.

10.AD

【分析】選項A、B根據(jù)組合及分步計數(shù)原理的知識可列出表達(dá)式，進(jìn)行計算可得結(jié)果；選

項C、D可采用間接的方法，先計算出反面一共有多少種，然后用總的種數(shù)減去反面的種數(shù)

即可得到結(jié)果.

【詳解】對選項A,依題意，根據(jù)組合及分步計數(shù)原理，可知一共有GU=6x3=18種.所以

該選項正確；

對選項B,依題意，要從7名同學(xué)中選取4人，而甲乙必須在內(nèi)，則相當(dāng)于從5名同學(xué)中選

取2人，一共有C；=10種.所以該選項不正確;

對選項C,依題意，要從7名同學(xué)中選取4人，一共有C：=35種，而甲乙都不在內(nèi)一共有

C：=5種，

...甲與乙至少要有1人在內(nèi)有C；-C；=35-5=30種.所以該選項錯誤；

對選項D,依題意，假設(shè)全是男生一共有C：=l種，全是女生的情況沒有，

既有男生又有女生一共有C：-C：=35-1=34種.所以該選項正確.

故選：AD

11.ABC

【分析】根據(jù)命題的否定可判斷A,根據(jù)殘差的計算即可判斷B,根據(jù)方差的性質(zhì)即可求解

C,根據(jù)二項式系數(shù)和可求〃，再根據(jù)通項即可求解.

【詳解1對于A,命題“WxeR,d-x+120"的否定是"eR,*-x+1<0",故正確；

答案第5頁，共17頁

對于B,當(dāng)x=l時，y=4,故殘差為3-4=-1,故正確,

對于C,由方差的性質(zhì)可知：2%一1,2々一1,…,2W0-1的方差為2?x2=8,故正確，

n

2x—7=)的通

對于D,2x-的展開式中各項的二項式系數(shù)之和為2"=32n〃=5,故

3Q

項為4+125Tx寸，令5-/r=2=＞，=2,故f項的系數(shù)為C；(-x23=80,故錯

誤，

故選：ABC

12.ABC

【分析】選項A,用線面垂直的判定定理得出：AC,平面B5QO,進(jìn)而得出ACL3E；

選項B,應(yīng)用面面平行的性質(zhì)，得出：平面平面ABCD,進(jìn)而得到所〃平面ABCD；

選項C,線面平行的判定定理，不難得出相〃平面2￡/，從大的三棱錐A-242中觀察,

A到ABEF的距離始終是定值；

選項D,設(shè)ACBD=O,取4A的中點運用平面幾何性質(zhì)：

22

AM-ylAO+OM＞DD,=BB,,所以S3=g所?AM＞；所出4=5讖七5，D選項錯誤.

【詳解】對于A選項，連接AC、BD,因為四邊形ABC。為正方形，則AC13D,

_L平面ABCD,ACu平面ABCD,：.AC1BB],

BD=a8。,8月u平面叫Dp,所以AC_L平面BBQ。，

因為3Eu平面BBQjD,因此ACLBE,A選項正確；

對于B選項，因為平面A瓦GR〃平面ABC。，EFu平面A4G2，

所以EP〃平面ABCD,B選項正確；

對于C選項，因為44//BB,A41a平面u平面BBQA，

所以9〃平面A4,BB},故A4,〃平面BEF,

故點A到平面BEF的距離為定值.

因為ABEF的面積為S^EF=^EF-BBX=^,

點A到平面BEF的距離為定值，

故三棱錐A-5EF的體積為定值，C選項正確；

答案第6頁，共17頁

對于D選項，設(shè)ACBD=O,取4A的中點M,連接OA/、AM,

由A選項可知，AC_L平面88QD,即AO_L平面BBQD,

QBRu平面BBQQ,則AO±BR,因為HDD、且BB{=DDX,

故四邊形B4QD為平行四邊形，則8。//耳。且8。=AR,

因為M、。分別為BQ、的中點，

故DO//QM且￡＞。=￡?幽，所以四邊形。2”。為平行四邊形，

QD2J_平面ABCD,DOu平面ABCD,

所以。2，。。，故四邊形。2M。為矩形，所以AOOM=O,AO,OMu平

面AOA/,所以BQ_L平面AOA/,

22

期匚平面4加，"加，42，AM=ylAO+OM>DD[=BB{,

所以S^EF=^EFAM>^EFBBX=S^BEF,D選項錯誤.

【分析】分析可知命題“VxeR,依2+x+lZO”為真命題，對實數(shù)。的取值進(jìn)行分類討論，

在。=0時，直接驗證即可；當(dāng)。力0時，根據(jù)二次不等式恒成立可得出關(guān)于實數(shù)。的不等式

組，綜合可得出實數(shù)。的取值范圍.

【詳解】由題意可知，命題“VxcR,奴?+%+12o”為真命題.

當(dāng)〃=0時，由％+120可得工之一1,不合乎題意；

伉＞01

當(dāng)時，由題意可得A1/八，解得az：.

A=l-464Z＜04

因此,實數(shù)°的取值范圍是a4

答案第7頁，共17頁

故答案為：a

4

14.120

【分析】先找出(x-y)3中含丁的項C#(-y)2,再在(2+葉中找出含/的項，相乘即可得到

含丁丁的系數(shù).

【詳解】(尤-?中含丁的項為C"(-y)2,(2+x)s中含V的項為C?無3,

(2+x)5(x-y)3的展開式中含x4y2的項為C；x(-y)2C；2晨3=120x4y2,其系數(shù)為120.

故答案為：120.

3

15.—d/1.5a

2

【分析】先計算向量G+2力與向量〃的數(shù)量積，再代入投影向量公式中，即可得答案.

【詳解】a,6夾角為T，忖=4,網(wǎng)=2

JT1

(a+2b).〃=|a『+2|o||Z?|cosy=42+2x4x2x-=24,

所以向量4+26在向量a方向上的投影向量為絲望"工?工=竺*4=』..

\a\\a\442

3

故答案為：-a.

16.述/上立

33

【分析】根據(jù)題意假設(shè)AP的中點。(。點)，先利用代入法求得。的取值范圍，再利用點斜式

29—8〃

求得直線/的方程，從而利用點線距離公式求得△=2j3i—二a，進(jìn)而利用換元法與基本不

等式求得點B到直線/距離的最小值.

【詳解】依題意，設(shè)AP的中點。(附)，則尸伽-3,2b),(24-3)2+4加=4,

以。?+=3a—,—2V2n一3V2,則一＜aM—,

422

因為4(3,0),所以鼬=々，故左=一二，

a-3b

所以線段AP的垂直平分線/為＞一。=——(x-a),即(。-3)尤+勿一(。2+62)+3。=0,貝?

(a-3)x+hy+~—0,

答案第8頁，共17頁

2(〃-3)+|

所以點B（-2,0）到直線/的距離為d=29-8a

J(4-3)2+/2,31—12〃

_______31-/2

令t=j3\-\2a,貝!J1W/K5,a=^—^,

12

31-r2____

所以d一2"8X4一25J“盧7-5夜,

2t6t3-V6/33

當(dāng)且僅當(dāng)字=5，即r="l時，等號成立，

6t32

所以公逑，即點2到直線/距離最小值為述.

33

故答案為：迫

3

17.⑴￡

6

⑵選②或③，不

【分析】（1）利用正弦定理：邊轉(zhuǎn)角，再利用正弦的二倍角公式，即可求出結(jié)果；

（2）條件①，由si”C=羽，角C可以是銳角或鈍角，不滿足題設(shè)中的條件，故不選①；

7

條件②，利用條件建立，邊匕與。的方程組，求出b與。，再利用余弦定理，即可求出結(jié)果;

條件③，利用正弦定理，先把角轉(zhuǎn)邊，再結(jié)合條件建立，邊人與。的方程組，求出6與J

再利用余弦定理，即可求出結(jié)果；

【詳解】（1）因為Z?sin2A=J^asin3,由正弦定理得，sinBsin2A=y/3sinAsinB,

又3W（0,TI）,所以sinBwO,得到sin2A=JWsinA,

又sin2A=2sinAcosA,所以2sinAcosA=y/3sinA，

又Ae（O,7i）,所以sinAHO,得到cosA=?,

答案第9頁，共17頁

jr

所以A

o

(2)選條件①：sinC=亞

7

277

由(1)知，A=2,根據(jù)正弦定理知，-=—=—>1,即c>。，

6〃sinA7

2

所以角c有銳角或鈍角兩種情況，ASC存在，但不唯一，故不選此條件.

選條件②：2=巫

c4

因為SABC=；AsinA=；bcsin《=：Z?c=36,所以反=126，

又2=地，得到b=Me，代入6c=12A/3，得至IJ巫d=12幣，解得c=4,所以6=36,

c444

由余弦定理得，a2+C2-2/?CCOSA=(3A/3)2+42-2X3A/3X4X^=27+16-36=7,

所以〃=幣.

選條件③：cosC=

7

因為SABC=-besmA=-besin—=-be=373,所以反二126,

2264

由cosC=，得到sinC=Jl—cos2c=Jl-Z=,

7V497

兀

又sin5=sin(7i-A-C)=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,由(1)知A=—,

6

所以sinB」x叵+獨乂3=通

277214

3匹

又由正弦定理得，2=華=谷二孚，得到八班C,

csinC2,744

代入。C=12G，得至、304)=126，解得。=4,所以6=36,

4

由余弦定理得，tz2=/72+c2-2Z7ccosA=(3V3)2+42-2x3^x4x^=27+16-36=7,

所以Q=布.

n-\

2-3三-1,〃為奇數(shù)

18.(1)C〃=2-3〃T_1,

2.33-3/為偶數(shù)

答案第10頁，共17頁

4?3、2〃-4,”為偶數(shù)

⑵S“=n+\

2?3斤一2"-3,〃為奇數(shù)

【分析】⑴由題意先求出生，再根據(jù)c?=*，得。=4，*=%,+i，從而可得==3c.+2,

再利用構(gòu)造法求出｛1｝的通項，從而可得｛%｝的通項公式;

（2）分”為偶數(shù)和奇數(shù)兩種情況討論，再結(jié)合分組求和法即可得解.

3a為奇數(shù)

【詳解】（1）aC班/申物，得。2=3q,q=4+2=34+2,

n+1q+2,”為偶數(shù)

因為4+%=2a2，即。1+3%+2=6%,解得%=1,

由C“=0-211-1>得G=%=1，C“+]=。2"+1'

又“2/=3a21,02*+1=+2,啟eN,

a

故2t+i=3a2i+2,所以/+i=3/+2,即c?+1=3c?+2,

所以c“+i+l=3（c“+l）,

又q+l=2,所以數(shù)列｛g+1｝是以2為首項，3為公比的等比數(shù)歹!J,

所以C,+1=2-3"T,所以C“=2-3"T-1,

則=2?3"T-1,故a2n=3%T=2?3"-3,

n-1

2?3萬-1,"為奇數(shù)

所以=

2.3^-3,w為偶數(shù)

（2）當(dāng)”為偶數(shù)時,

s〃=(q+g++%一1)+(。2+/++〃九)

=4(4+/++)=4q+02++

I2

答案第11頁，共17頁

/nA-

2I-32

n

rj—

=4x-------乙——=4-32-2n-4,

1-32

當(dāng)〃為奇數(shù)時,

n+1(〃+1、n+1

5“=50+1一凡+1=4-3工一2(九+1)—4一2-3^-3=2-3三一2九一3,

\7

4?3^-2…，〃為偶數(shù)

綜上所述,n+1

2?3〒一2〃一3,〃為奇數(shù)

19.(1)證明見解析;

⑵巫.

【分析】(1)由尸￡＞平面鉆尸即可證明PD〃EF；

(2)設(shè)BC的中點為G,連接AC.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系4-邙.先證明

ZPCA=45,再利用向量法求解.

【詳解】(1)由題得尸。.平面EF=平面尸CD,平面AEF,BDu平面PCD,

所以PD〃EF.

(2)設(shè)3C的中點為G,連接AC.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

因為PA_L平面A3CD,所以尸C與平面ABQ)所成的角為NPC4=45,

由題得一ABC是等邊三角形，所以AC=2,.〔PA=2.

因為PD//EF,CE=ED,:.CF=PF.

由題得尸(0,0,2),C(6,1,0),0(0,2,0),

所以尸C=(百,1,一2),PD=(0,2,-2),

設(shè)平面EFD的法向量為根=(%,%zj,

m-PC=Mx、+%-2=0J3

所以,,//t=(——,1,1).

m-PD=2y1-2z1=03

由題得A(0,0,0),￡(￥[,0),,g,1),

答案第12頁，共17頁

所以AE=（#,I，0）,川=（￥，；』）

設(shè)平面E7弘的法向量為〃=（%,%，Z2），

〃?AE=――/H—%=0

所以22=(-73,1,1).

V31

Yl'AF=----%2~1--%+Z2=0

<22

m?n1A^05

設(shè)二面角A-EF-D的平面角為…8so=麗而

35

所以sinO=M0.

35

所以二面角A-EF-D的正弦值為生團(tuán).

35

20.⑴y=0.625%+2.325;

（2）分布列見解析，期望為粵.

56

【分析】（1）根據(jù)已知數(shù)據(jù)和參考公式，即可出y與投入額x的經(jīng)驗回歸方程；

（2）求出X的所有可能取值和對應(yīng)的概率，即可求出X的分布列，再由期望公式即可求出

答案.

2+3+4+5+6+8+9+11-148.6,

【詳解】（1）x==6,y=wZ%=k=6M075,

8&i=\o

n__

^x^-nxy

334.1—8x6x6.075

b=@n----------_----=0.625

29356-8x36

￡xz-nx

i=l

又因為所以°=6.075-0.625x6=2.325，

答案第13頁，共17頁

所以年收入的附加額y與投入額尤的線性回歸方程為y=0.625x+2.325

（2）8個投入額中，“優(yōu)秀投資額”的個數(shù)為5個，故X的所有可能取值為0,1,2,3,

c31C2Cl15ClC2尸（）

P（x=o）=^-=—；p（x=l）=-^l-；P（X=2）=號C'C：2X=3=3=t

c；56\JC；

56、C；56C856

5105

5656282856

丫2

21.（l）y+/=l

⑵是定值，定值畔

【分析】（1）根據(jù)題意列式求解。力,。，即可得結(jié)果;

4km2m

（2）根據(jù)題意結(jié)合韋達(dá)定理求點C-，代入橢圓方程可得4%2=1+2標(biāo)，結(jié)

1+2/'1+2/

合弦長公式求面積即可，注意討論直線的斜率是否存在.

【詳解】（1）設(shè)橢圓E的焦距為2c,則。=l,e=￡=1

aa

1

1/,a2=2

由題意可得下+5=1,解得

b2=l

a2=b2+1

丫2

故E的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（2）平行四邊形Q4BC的面積為定值直，理由如下:

2

由（1）可得：a=V2,b=l,則有:

當(dāng)直線/的斜率不存在時，設(shè)43，乂）（（玉,-％）,

若Q4BC為平行四邊形，則點B為長軸頂點，不妨設(shè)3（亞，。卜

答案第14頁，共17頁

I及3

%1=T

可得,,解得

X.21

寸+y；=i,加,=6萬

故平行四邊形Q4BC的面積S=2x\及x1="；

222

當(dāng)直線/的斜率存在時，設(shè)/:y=Ax+〃工

y=kx+m

聯(lián)立方程Y2_,消去y得(1+2用爐+4協(xié)7X+2/一2=0,

^2+y~

4km2m2-2

貝！IA=16左2〃/_4(1+2/)(2/7?—2)=8(242—加2+1)〉0,%/=—-------,X.X=--------y

l+2k272-1+2左?

2m

可得y+%=依1+機+丘2+加=左(%+x)+2m=-:［彳+2m=

2l+2k2

**16M=(jq,j1),OC=(x2,y2),

uunutruum(4km2m

若Q4BC為平行四邊形，則。2=。4+。。=(占+%,%+%)=-

1+2/'1+