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文檔簡介
2024屆高三高考模擬綜合測試數(shù)學(xué)試題(一)
學(xué)校:姓名:班級:考號:
一、單選題
1.已知集合4={刈工一3k2},8=卜2x-l<lj,則Au3=()
x—2
A.(1,2]B.(1,2)C.[-1,5]D.[-1,5)
2.已知復(fù)數(shù)z+2i=二,貝1]"(1+玉)|值為
()
1—1
A.V10B.10C.3亞D.5
3.平面向量|a|=五,|b|=2,(a-b)_La,貝必與6的夾角是()
.5兀一兀c兀
A.—B.—c.-D.-
12346
4.在遞增等比數(shù)列{%}中,4=4,且3%是4和%的等差中項,貝IjIo=()
A.256B.512C.1024D.2048
Q
31
5.已知尤=4+22-2,-y=6+-ln2,z=2,則()
A.z>y>xB.>>x>zC.x>z>yD.z>x>y
6.在如圖所示的圓臺中,四邊形A5CD為其軸截面,AB=2CD=4,母線長為百,P
7T
為底面圓周上一點,異面直線4)與OP(0為底面圓心)所成的角為則C尸的
A.7-2出B.7-2出或7+2省
C.19-45/3D.19-46或19+46
7.已知圓心均在y軸的兩圓外切,半徑分別為小公五=2,則兩圓外公切線的斜率為
()
A.+2V2B.土包C.土逑D.±-
_7433
8.己知不等式2Xe2x+ln421n元在xe(O,y)上恒成立,則實數(shù)力的取值范圍是()
C.D.
2e4e
二、多選題
9.下列化簡正確的是()
A.cos82°sin520+sin82°cos128°=-—B.sin15°sin30°sin75°=-
28
—tan480+tan72°r-
C.cos215°-sin215°=—D.---------------=<3
21-tan48°tan72°
10.從4名男生和3名女生中選出4人去參加一項創(chuàng)新大賽,下列說法正確的是()
A.若4人中男生女生各選2人,則有18種選法
B.若男生甲和女生乙必須在內(nèi),則有12種選法
C.若男生甲和女生乙至少有1人在內(nèi),則有15種選法
D.若4人中既有男生又有女生,則有34種選法
11.下列結(jié)論正確的是()
A.^■^tlVxeR,x2-x+l>0"^;g^^"3xeR,x2-x+l<0
B.已知回歸模型為y=f+2x+l,則樣本點(1,3)的殘差為t
C.若樣本數(shù)據(jù)網(wǎng),工2,…,網(wǎng)0的方差為2,則數(shù)據(jù)2%-1,2元2T,…,2尤]0-1的方差為8
D.若的展開式中各項的二項式系數(shù)之和為32,則展開式中V項的系數(shù)
為-80
12.如圖,正方體ABCD-AgGA的棱長為1,線段用2上有兩個動點及產(chǎn),且所=;,
則下列結(jié)論中正確的是()
A.ACLBEB.EFHABCD
C.三棱錐A-3EF的體積為定值D.aAEF的面積與△3EF的面積相等
三、填空題
試卷第2頁,共4頁
13.命題“HreR,ox?+%+i<o”為假命題,則實數(shù)。的取值范圍為.
14.(2+x)5(x-y)3的展開式中,工與2的系數(shù)是.
77
15.已知向量。,6的夾角為w,且|。|=4,|6|=2,則向量4+2b在向量4上的投影向
量為.(用a表示)
16.已知圓C:f+y2=4,點A(3,o),點3(-2,0).點P為圓C上一點,作線段AP的
垂直平分線/.則點8到直線/距離最小值為.
四、解答題
17.在ABC中,bsin2,A=>/3asinB.
⑴求一A;
(2)若ASC的面積為36,再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已
知,使二ABC存在且唯一確定,求a的值.
條件①:s加(?=2以;條件②:2=3/;條件③:cosC=
7c47
注:如果選擇的條件不符合要求,第(2)問得。分;如果選擇多個符合要求的條件分別解
答,按第一個解答計分.
18.已知數(shù)列{風(fēng)}滿足4+%=2%,%+i數(shù),數(shù)列匕}滿足。"=。2"一一
⑴求數(shù)列{%}和{%}的通項公式;
⑵求數(shù)列{%}的前“項和S".
19.四棱錐尸-4BCD的底面ABCD是邊長為2的菱形,上4,平面A3C£),/3AD=120,
過點A且與平行的平面?與CD,PC分別交于E,歹兩點.
⑴證明:PD//EF
(2)E為C。中點,且PC與平面ABCD所成的角為45,求二面角A-£F-。的正弦值.
20.我國為全面建設(shè)社會主義現(xiàn)代化國家,制定了從2021年到2025年的“十四五”規(guī)
劃.某企業(yè)為響應(yīng)國家號召,匯聚科研力量,加強科技創(chuàng)新,準(zhǔn)備增加研發(fā)資金.該企
業(yè)為了了解研發(fā)資金的投入額單位:百萬元)對年收入的附加額y(單位:百萬元)
的影響,對往年研發(fā)資金投入額七和年收入的附加額%進(jìn)行研究,得到相關(guān)數(shù)據(jù)如下:
投入額七234568911
年收入的附加額以3.64.14.85.46.27.57.99.1
(1)求年收入的附加額y與投入額尤的經(jīng)驗回歸方程;
(2)若年收入的附加額與投入額的比值大于1,則稱對應(yīng)的投入額為“優(yōu)秀投資額”,現(xiàn)從
上面8個投入額中任意取3個,用X表示這3個投入額為“優(yōu)秀投資額”的個數(shù),求X的
分布列及數(shù)學(xué)期望.
888
【參考數(shù)據(jù)】=334.1,2y,=48.6,2>;=356.
Z=14=11=1
【附】在經(jīng)驗回歸方程§=樂+》中,b=J————=號------,舍=亍一打.
£卜廠可2>;一“募
1=11=1
22
21.已知過點(l,e)的橢圓E:A+的焦距為2,其中e為橢圓E的離心
率.
(1)求E的標(biāo)準(zhǔn)方程;
⑵設(shè)。為坐標(biāo)原點,直線/與E交于AC兩點,以Q4,OC為鄰邊作平行四邊形OABC,
且點3恰好在E上,試問:平行四邊形Q4BC的面積是否為定值?若是定值,求出此定
值;若不是,說明理由.
22.已知函數(shù)〃x)=e*-l,g(x)=ln(x+a),aeR.
⑴若a=l,求證:/(x)>g(x);
⑵若函數(shù)〃x)與函數(shù)g(x)存在兩條公切線,求實數(shù)。的取值范圍.
試卷第4頁,共4頁
參考答案:
1.D
【分析】求出集合A、B,利用并集的定義可求得集合AuB.
【詳解】因為4={無卜_3|<2}=卜卜2<尤_3<2}=詞1<尤<5},
由可得一1=37—"-2)=三go,解得一us,貝”={+lWx<2},
因此,AB=[-l,5).
故選:D.
2.D
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運算,然后根據(jù)求模公式,即可得答案.
【詳解】由z+2i=工,得2=工-2i=W-2i=:i,
所以7-(l+3i)=];+gi:(l+3i)=^1^=_4+3i,
所以上.(]+3i)|=J(_4『+32=5.
故選:D.
3.C
【分析】根據(jù)數(shù)量積的運算律以及定義式,結(jié)合向量夾角的計算方法,可得答案.
【詳解】向量|a|=b|=2,(〃—Z?)_L〃,貝!J(a—Z?).?=a—a-b=0,即
因此85〈4,6〉=出包='^=第匚=立,而OW〈a,b〉V兀,則〈。涉〉=£,
|a||b|\a\\b\V2x224
所以“與6的夾角是:.
4
故選:C.
4.B
【分析】運用等差中項及等比數(shù)列通項公式計算即可.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列{%}的公比為分
2
因為3a5是。6和。7的等差中項,所以6%=4+%,BP6a5=a5q+a5q.
又因為a5H0,所以q2+g_6=0,解得q=2或g=_3.
又因為等比數(shù)列{4}是遞增數(shù)列,所以4=2.
答案第1頁,共17頁
又因為。3=4,所以%0=4夕7=4x27=512.
故選:B.
5.C
【分析】先把x,y,z變形,%=4(l+20-2),Z=8x2°」,利用三和1比較大小;由于z>8,證
明y<8,即可得出結(jié)果.
【詳解】X=4+22,2=4+22義2°2=4(1+2°2),
z=23-1=4x21J=8x2°,,
z=8x2°」>8,
因為y=6+[ln2,gin2—2=g(ln2—a[<。,
QO
所以《ln2<2,y=6+-ln2<8,
所以z>y,綜上,x>z>y.
故選:C.
6.B
【分析】建立如圖所示坐標(biāo)系,根據(jù)異面直線AD與0P(。為底面圓心)所成的角為三,
求得CP?=7±26
【詳解】以。為原點,0B為y軸,過點。作X軸rOB,圓臺的軸為Z軸,
建立如圖所示坐標(biāo)系:
^DE±AB,DE交AB于點E,\AE\=^\AB\-^\CD\=1,
RtAADE中,
\DE\=ylAD2-AE2=V2JiJ可0,-1,⑹,A(O,-2,O),C(O』,0),AO=(0,1,⑹
答案第2頁,共17頁
P(2cos夕,2sin6,0),0W夕<2兀,。尸=(2cos,,2sin。,0),
由于異面直線AO與OP(。為底面圓心)所成的角為安
7i_OP-AD_|2sin0|_|sin0|_1
筆下尸|.|叫=甚正=,
sin0=±^,CP=(2cos6,2sind-1,一忘),
CP2=4cos2,+4sin26?-4sin6>+l+2=7-4sin,=7±2g
故選:B.
7.A
【分析】畫出兩圓公切線的交點,結(jié)合相似三角形的性質(zhì)即可求解.
【詳解】圓心均在y軸的兩圓外切,畫出兩圓公切線,有兩條分別為,BC,JE,
公切線與圓的切點分別為8C,D,E,公切線與〉軸的交點為4
兩圓圓心分別為a,。2,圓a與y軸的上交點為F,
則a『,ac=G,殳="=也/尸+2/2=2,
12
人」124OBA。AF+rx
AF=,則sinZO{AB==—--=—=—
OXAAF-rx3'3
,20,0
/.cosO.yAB------jtanNO^AB=-----,
sin-+ZQAB
:
則kBC=tang+ZQAB=—3------------cos/QA3=_2/
(2Jcosjl+ZOjAB-sinZOjAB
同理可得的E=2及,所以兩圓公切線的斜率為±2亞.
故選:A.
答案第3頁,共17頁
【分析】將不等式變形為2xe2,2:ln?,根據(jù)/?)=趙的單調(diào)性得2彳2111£,再用常數(shù)分
/IA4
離法求出入的取值范圍.
【詳解】由2府工+In日NInX得2將Nlnx-ng,
A
即2小2,23In二,
XA
令/(t)=fe',fe(0,+co),則/'(f)=(f+l)e'>0,
所以/⑺=趙在(0,+“)上單調(diào)遞增,
而2xe2,23n土=In土e嗚等價于/(2x)2/(in父,
XX
:.2x>ln-,gpA>^-
4e
令g(x)=W,xe(O,y),則g'(x)=^^,
所以g(x)在xe(0,1?1時g,(x)>0,為增函數(shù);在在xe[;,+co)時g[x)<0,為減函數(shù),
所以g(x)最大值為=;,:.A>^-.
故選:C
【點睛】方法點睛:同構(gòu)法解不等式恒成立求參數(shù)范圍問題時先將原不等式化成
/(g(X))>/(/!(%))后再利用函數(shù)了⑺單調(diào)性得到g(X)與/l(X)的大小關(guān)系,由此得到參數(shù)
范圍.
9.ABC
答案第4頁,共17頁
【分析】通過兩角和差弦切公式的逆用,以及降幕公式,即可化簡求值.
【詳解】cos82°sin520+sin82°cos128°=cos82°sin52°-sin82°cos52°
=sin(52°-82°)=sin(-30°)=,故A選項正確;
sin15°sin30°sin75°=sin15°cosl50sin30°
=L5皿30。$皿30。=工*!*4=工,故8選項正確;
22228
cos215°-sin215°=cos30°=立,故c選項正確;
2
tan480+tan72°_/-
----------------------=tan(48°+72°)=tan120°n=—43,
I-tan48°tan72°v7
故D選項錯誤;
故選:ABC.
10.AD
【分析】選項A、B根據(jù)組合及分步計數(shù)原理的知識可列出表達(dá)式,進(jìn)行計算可得結(jié)果;選
項C、D可采用間接的方法,先計算出反面一共有多少種,然后用總的種數(shù)減去反面的種數(shù)
即可得到結(jié)果.
【詳解】對選項A,依題意,根據(jù)組合及分步計數(shù)原理,可知一共有GU=6x3=18種.所以
該選項正確;
對選項B,依題意,要從7名同學(xué)中選取4人,而甲乙必須在內(nèi),則相當(dāng)于從5名同學(xué)中選
取2人,一共有C;=10種.所以該選項不正確;
對選項C,依題意,要從7名同學(xué)中選取4人,一共有C:=35種,而甲乙都不在內(nèi)一共有
C:=5種,
...甲與乙至少要有1人在內(nèi)有C;-C;=35-5=30種.所以該選項錯誤;
對選項D,依題意,假設(shè)全是男生一共有C:=l種,全是女生的情況沒有,
既有男生又有女生一共有C:-C:=35-1=34種.所以該選項正確.
故選:AD
11.ABC
【分析】根據(jù)命題的否定可判斷A,根據(jù)殘差的計算即可判斷B,根據(jù)方差的性質(zhì)即可求解
C,根據(jù)二項式系數(shù)和可求〃,再根據(jù)通項即可求解.
【詳解1對于A,命題“WxeR,d-x+120"的否定是"eR,*-x+1<0",故正確;
答案第5頁,共17頁
對于B,當(dāng)x=l時,y=4,故殘差為3-4=-1,故正確,
對于C,由方差的性質(zhì)可知:2%一1,2々一1,…,2W0-1的方差為2?x2=8,故正確,
n
2x—7=)的通
對于D,2x-的展開式中各項的二項式系數(shù)之和為2"=32n〃=5,故
3Q
項為4+125Tx寸,令5-/r=2=>,=2,故f項的系數(shù)為C;(-x23=80,故錯
誤,
故選:ABC
12.ABC
【分析】選項A,用線面垂直的判定定理得出:AC,平面B5QO,進(jìn)而得出ACL3E;
選項B,應(yīng)用面面平行的性質(zhì),得出:平面平面ABCD,進(jìn)而得到所〃平面ABCD;
選項C,線面平行的判定定理,不難得出相〃平面2£/,從大的三棱錐A-242中觀察,
A到ABEF的距離始終是定值;
選項D,設(shè)ACBD=O,取4A的中點運用平面幾何性質(zhì):
22
AM-ylAO+OM>DD,=BB,,所以S3=g所?AM>;所出4=5讖七5,D選項錯誤.
【詳解】對于A選項,連接AC、BD,因為四邊形ABC。為正方形,則AC13D,
_L平面ABCD,ACu平面ABCD,:.AC1BB],
BD=a8。,8月u平面叫Dp,所以AC_L平面BBQ。,
因為3Eu平面BBQjD,因此ACLBE,A選項正確;
對于B選項,因為平面A瓦GR〃平面ABC。,EFu平面A4G2,
所以EP〃平面ABCD,B選項正確;
對于C選項,因為44//BB,A41a平面u平面BBQA,
所以9〃平面A4,BB},故A4,〃平面BEF,
故點A到平面BEF的距離為定值.
因為ABEF的面積為S^EF=^EF-BBX=^,
點A到平面BEF的距離為定值,
故三棱錐A-5EF的體積為定值,C選項正確;
答案第6頁,共17頁
對于D選項,設(shè)ACBD=O,取4A的中點M,連接OA/、AM,
由A選項可知,AC_L平面88QD,即AO_L平面BBQD,
QBRu平面BBQQ,則AO±BR,因為HDD、且BB{=DDX,
故四邊形B4QD為平行四邊形,則8。//耳。且8。=AR,
因為M、。分別為BQ、的中點,
故DO//QM且£>。=£?幽,所以四邊形。2”。為平行四邊形,
QD2J_平面ABCD,DOu平面ABCD,
所以。2,。。,故四邊形。2M。為矩形,所以AOOM=O,AO,OMu平
面AOA/,所以BQ_L平面AOA/,
22
期匚平面4加,"加,42,AM=ylAO+OM>DD[=BB{,
所以S^EF=^EFAM>^EFBBX=S^BEF,D選項錯誤.
【分析】分析可知命題“VxeR,依2+x+lZO”為真命題,對實數(shù)。的取值進(jìn)行分類討論,
在。=0時,直接驗證即可;當(dāng)。力0時,根據(jù)二次不等式恒成立可得出關(guān)于實數(shù)。的不等式
組,綜合可得出實數(shù)。的取值范圍.
【詳解】由題意可知,命題“VxcR,奴?+%+12o”為真命題.
當(dāng)〃=0時,由%+120可得工之一1,不合乎題意;
伉>01
當(dāng)時,由題意可得A1/八,解得az:.
A=l-464Z<04
因此,實數(shù)°的取值范圍是a4
答案第7頁,共17頁
故答案為:a
4
14.120
【分析】先找出(x-y)3中含丁的項C#(-y)2,再在(2+葉中找出含/的項,相乘即可得到
含丁丁的系數(shù).
【詳解】(尤-?中含丁的項為C"(-y)2,(2+x)s中含V的項為C?無3,
(2+x)5(x-y)3的展開式中含x4y2的項為C;x(-y)2C;2晨3=120x4y2,其系數(shù)為120.
故答案為:120.
3
15.—d/1.5a
2
【分析】先計算向量G+2力與向量〃的數(shù)量積,再代入投影向量公式中,即可得答案.
【詳解】a,6夾角為T,忖=4,網(wǎng)=2
JT1
(a+2b).〃=|a『+2|o||Z?|cosy=42+2x4x2x-=24,
所以向量4+26在向量a方向上的投影向量為絲望"工?工=竺*4=』..
\a\\a\442
3
故答案為:-a.
16.述/上立
33
【分析】根據(jù)題意假設(shè)AP的中點。(。點),先利用代入法求得。的取值范圍,再利用點斜式
29—8〃
求得直線/的方程,從而利用點線距離公式求得△=2j3i—二a,進(jìn)而利用換元法與基本不
等式求得點B到直線/距離的最小值.
【詳解】依題意,設(shè)AP的中點。(附),則尸伽-3,2b),(24-3)2+4加=4,
以。?+=3a—,—2V2n一3V2,則一<aM—,
422
因為4(3,0),所以鼬=々,故左=一二,
a-3b
所以線段AP的垂直平分線/為>一。=——(x-a),即(。-3)尤+勿一(。2+62)+3。=0,貝?
(a-3)x+hy+~—0,
答案第8頁,共17頁
2(〃-3)+|
所以點B(-2,0)到直線/的距離為d=29-8a
J(4-3)2+/2,31—12〃
_______31-/2
令t=j3\-\2a,貝!J1W/K5,a=^—^,
12
31-r2____
所以d一2"8X4一25J“盧7-5夜,
2t6t3-V6/33
當(dāng)且僅當(dāng)字=5,即r="l時,等號成立,
6t32
所以公逑,即點2到直線/距離最小值為述.
33
故答案為:迫
3
17.⑴£
6
⑵選②或③,不
【分析】(1)利用正弦定理:邊轉(zhuǎn)角,再利用正弦的二倍角公式,即可求出結(jié)果;
(2)條件①,由si”C=羽,角C可以是銳角或鈍角,不滿足題設(shè)中的條件,故不選①;
7
條件②,利用條件建立,邊匕與。的方程組,求出b與。,再利用余弦定理,即可求出結(jié)果;
條件③,利用正弦定理,先把角轉(zhuǎn)邊,再結(jié)合條件建立,邊人與。的方程組,求出6與J
再利用余弦定理,即可求出結(jié)果;
【詳解】(1)因為Z?sin2A=J^asin3,由正弦定理得,sinBsin2A=y/3sinAsinB,
又3W(0,TI),所以sinBwO,得到sin2A=JWsinA,
又sin2A=2sinAcosA,所以2sinAcosA=y/3sinA,
又Ae(O,7i),所以sinAHO,得到cosA=?,
答案第9頁,共17頁
jr
所以A
o
(2)選條件①:sinC=亞
7
277
由(1)知,A=2,根據(jù)正弦定理知,-=—=—>1,即c>。,
6〃sinA7
2
所以角c有銳角或鈍角兩種情況,ASC存在,但不唯一,故不選此條件.
選條件②:2=巫
c4
因為SABC=;AsinA=;bcsin《=:Z?c=36,所以反=126,
又2=地,得到b=Me,代入6c=12A/3,得至IJ巫d=12幣,解得c=4,所以6=36,
c444
由余弦定理得,a2+C2-2/?CCOSA=(3A/3)2+42-2X3A/3X4X^=27+16-36=7,
所以〃=幣.
選條件③:cosC=
7
因為SABC=-besmA=-besin—=-be=373,所以反二126,
2264
由cosC=,得到sinC=Jl—cos2c=Jl-Z=,
7V497
兀
又sin5=sin(7i-A-C)=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,由(1)知A=—,
6
所以sinB」x叵+獨乂3=通
277214
3匹
又由正弦定理得,2=華=谷二孚,得到八班C,
csinC2,744
代入。C=12G,得至、304)=126,解得。=4,所以6=36,
4
由余弦定理得,tz2=/72+c2-2Z7ccosA=(3V3)2+42-2x3^x4x^=27+16-36=7,
所以Q=布.
n-\
2-3三-1,〃為奇數(shù)
18.(1)C〃=2-3〃T_1,
2.33-3/為偶數(shù)
答案第10頁,共17頁
4?3、2〃-4,”為偶數(shù)
⑵S“=n+\
2?3斤一2"-3,〃為奇數(shù)
【分析】⑴由題意先求出生,再根據(jù)c?=*,得。=4,*=%,+i,從而可得==3c.+2,
再利用構(gòu)造法求出{1}的通項,從而可得{%}的通項公式;
(2)分”為偶數(shù)和奇數(shù)兩種情況討論,再結(jié)合分組求和法即可得解.
3a為奇數(shù)
【詳解】(1)aC班/申物,得。2=3q,q=4+2=34+2,
n+1q+2,”為偶數(shù)
因為4+%=2a2,即。1+3%+2=6%,解得%=1,
由C“=0-211-1>得G=%=1,C“+]=。2"+1'
又“2/=3a21,02*+1=+2,啟eN,
a
故2t+i=3a2i+2,所以/+i=3/+2,即c?+1=3c?+2,
所以c“+i+l=3(c“+l),
又q+l=2,所以數(shù)列{g+1}是以2為首項,3為公比的等比數(shù)歹!J,
所以C,+1=2-3"T,所以C“=2-3"T-1,
則=2?3"T-1,故a2n=3%T=2?3"-3,
n-1
2?3萬-1,"為奇數(shù)
所以=
2.3^-3,w為偶數(shù)
(2)當(dāng)”為偶數(shù)時,
s〃=(q+g++%一1)+(。2+/++〃九)
=4(4+/++)=4q+02++
I2
答案第11頁,共17頁
/nA-
2I-32
n
rj—
=4x-------乙——=4-32-2n-4,
1-32
當(dāng)〃為奇數(shù)時,
n+1(〃+1、n+1
5“=50+1一凡+1=4-3工一2(九+1)—4一2-3^-3=2-3三一2九一3,
\7
4?3^-2…,〃為偶數(shù)
綜上所述,n+1
2?3〒一2〃一3,〃為奇數(shù)
19.(1)證明見解析;
⑵巫.
【分析】(1)由尸£>平面鉆尸即可證明PD〃EF;
(2)設(shè)BC的中點為G,連接AC.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系4-邙.先證明
ZPCA=45,再利用向量法求解.
【詳解】(1)由題得尸。.平面EF=平面尸CD,平面AEF,BDu平面PCD,
所以PD〃EF.
(2)設(shè)3C的中點為G,連接AC.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系
因為PA_L平面A3CD,所以尸C與平面ABQ)所成的角為NPC4=45,
由題得一ABC是等邊三角形,所以AC=2,.〔PA=2.
因為PD//EF,CE=ED,:.CF=PF.
由題得尸(0,0,2),C(6,1,0),0(0,2,0),
所以尸C=(百,1,一2),PD=(0,2,-2),
設(shè)平面EFD的法向量為根=(%,%zj,
m-PC=Mx、+%-2=0J3
所以,,//t=(——,1,1).
m-PD=2y1-2z1=03
由題得A(0,0,0),£(¥[,0),,g,1),
答案第12頁,共17頁
所以AE=(#,I,0),川=(¥,;』)
設(shè)平面E7弘的法向量為〃=(%,%,Z2),
〃?AE=――/H—%=0
所以22=(-73,1,1).
V31
Yl'AF=----%2~1--%+Z2=0
<22
m?n1A^05
設(shè)二面角A-EF-D的平面角為…8so=麗而
35
所以sinO=M0.
35
所以二面角A-EF-D的正弦值為生團(tuán).
35
20.⑴y=0.625%+2.325;
(2)分布列見解析,期望為粵.
56
【分析】(1)根據(jù)已知數(shù)據(jù)和參考公式,即可出y與投入額x的經(jīng)驗回歸方程;
(2)求出X的所有可能取值和對應(yīng)的概率,即可求出X的分布列,再由期望公式即可求出
答案.
2+3+4+5+6+8+9+11-148.6,
【詳解】(1)x==6,y=wZ%=k=6M075,
8&i=\o
n__
^x^-nxy
334.1—8x6x6.075
b=@n----------_----=0.625
29356-8x36
£xz-nx
i=l
又因為所以°=6.075-0.625x6=2.325,
答案第13頁,共17頁
所以年收入的附加額y與投入額尤的線性回歸方程為y=0.625x+2.325
(2)8個投入額中,“優(yōu)秀投資額”的個數(shù)為5個,故X的所有可能取值為0,1,2,3,
c31C2Cl15ClC2尸()
P(x=o)=^-=—;p(x=l)=-^l-;P(X=2)=號C'C:2X=3=3=t
c;56\JC;
56、C;56C856
5105
5656282856
丫2
21.(l)y+/=l
⑵是定值,定值畔
【分析】(1)根據(jù)題意列式求解。力,。,即可得結(jié)果;
4km2m
(2)根據(jù)題意結(jié)合韋達(dá)定理求點C-,代入橢圓方程可得4%2=1+2標(biāo),結(jié)
1+2/'1+2/
合弦長公式求面積即可,注意討論直線的斜率是否存在.
【詳解】(1)設(shè)橢圓E的焦距為2c,則。=l,e=£=1
aa
1
1/,a2=2
由題意可得下+5=1,解得
b2=l
a2=b2+1
丫2
故E的標(biāo)準(zhǔn)方程為
(2)平行四邊形Q4BC的面積為定值直,理由如下:
2
由(1)可得:a=V2,b=l,則有:
當(dāng)直線/的斜率不存在時,設(shè)43,乂)((玉,-%),
若Q4BC為平行四邊形,則點B為長軸頂點,不妨設(shè)3(亞,。卜
答案第14頁,共17頁
I及3
%1=T
可得,,解得
X.21
寸+y;=i,加,=6萬
故平行四邊形Q4BC的面積S=2x\及x1=";
222
當(dāng)直線/的斜率存在時,設(shè)/:y=Ax+〃工
y=kx+m
聯(lián)立方程Y2_,消去y得(1+2用爐+4協(xié)7X+2/一2=0,
^2+y~
4km2m2-2
貝!IA=16左2〃/_4(1+2/)(2/7?—2)=8(242—加2+1)〉0,%/=—-------,X.X=--------y
l+2k272-1+2左?
2m
可得y+%=依1+機+丘2+加=左(%+x)+2m=-:[彳+2m=
2l+2k2
**16M=(jq,j1),OC=(x2,y2),
uunutruum(4km2m
若Q4BC為平行四邊形,則。2=。4+。。=(占+%,%+%)=-
1+2/'1+
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