重慶市2024屆高三一診數(shù)學(xué)試卷（康德卷）（含答案）

2024年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

高三第一次聯(lián)合診斷檢測數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)測試卷共4頁，滿分150分?？荚嚂r間120分告中。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在旬小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知集合4={1,2,3,4,5},8={x|2x2-llx+12<0},則/05=

A.{1,2}B.{2,3}C.{3,4}D.{4,5}

2.已知復(fù)數(shù)2=。+M，若N=i-z,貝!]

A.a+6=0B.a-b=0C.ab=0D.ab=\

3.對一個樣本進行統(tǒng)計后得到頻率分布直方圖如圖所示，并由此估計總體集中趨勢，則a,6可以分別大致反映

這組數(shù)據(jù)的

A.平均數(shù)，中位數(shù)B.平均數(shù)，眾數(shù)

C.中位數(shù)，平均數(shù)D.中位數(shù)，眾數(shù)

4.若4cos2a+sin（7i+2a）=2,則tan2a=

A.—2B.--C.1

2

5.在經(jīng)濟學(xué)中，常用Logistic回歸模型來分析還款作度評價問題.某銀行統(tǒng)計得到如下Logistic模型：

0-0.97+。.127工

P（x）=-__0.97+0127工,其中x是客戶年收入（單位：萬元），尸（X）是按時還款概率的預(yù)測值?如果某人年

1+e

收入是10萬元，那么他按時還款概率的預(yù)測值大約力（參考數(shù)據(jù)：lnl.35?0.3）

A.0.35B.0.46C.0.57D.0.68

6.已知/（幻二111（1+刈一111（。一法）是奇函數(shù)，則/'GO在點（o,/（o））處的切線方程為

A.y=2xB.y=xC.y=QD.y=-2x

7.將一副三角板拼接成平面四邊形4BCD（如圖），BC=\,將其沿8。折起，使得面48。_1面38,若

三棱錐Z-8CD的頂點都在球。的球面上，則球O的表面積為

7K

A.2兀B.一

3

8兀

C.—D.3兀

3

已知函數(shù)/（X）滿足/（x+y）=/（x）+/（V）-2,/?（1）=4且當(dāng)工〉0時,/(x)>2,若存在xe[1,2],

使得"-4x)4-〃2x)=1，則a的取值范圍是

/C"n「15,「52_,

A.(0,-]B.弓,-]C.[-,-]

第一次聯(lián)合診斷檢測（教學(xué)）第1頁共4頁

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對

的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.下列函數(shù)中，其圖象關(guān)于點（二，0）對稱的是

兀

A.j/=sin(2x+y)B.j>=sin(2x-1)

71兀

C.y=cos(2x+—)D.y=tan(2x+—)

6

22222

已知橢圓耳：x+4/=a(a>0)和E2：y+4x=4a(a>0),貝(j

A.耳與心的長軸長相等B.用的長軸長與弓的短軸長相等

C.用與心的離心率相等D.耳與心有4個公共點

已知三棱柱4BC-4丹￡,D,E,尸分別是棱48,BC,C4的中點，記三棱柱4BC-4與G的體積為

V,則

A.棱錐郎的體積為

24

B.棱錐4-4DE尸的體積為工廠

6

C.多面體431HB昉的體積為9%

12

2

D.多面體耳qCQE尸的體積為5P

12.若不相等的兩個正數(shù)ab滿足/+=。+6,則

.4

A.a+b>\B.a+b<.—

3

,1?,1

C.ab>—D.ab<—

32

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.一個袋子中有5個大小相同的球，其中有編號為1,2的黑球和編號為1,2,3的白球，從中隨機取出兩個球,

在取出的球顏色不同的條件下，球的編號之和為奇數(shù)的概率為.

14.若向量a,A滿足|a|=1,\b\=2,若分與a的夾角為銳角，則a?（口+。）的取值范圍是.

15.記數(shù)列｛%｝的前〃項和為S,,,若S“=2%+/1,且￡=252,貝”=.

16.已知耳弓分別是雙曲線C：/一/=/5〉0）的左、右焦點，過心作一直線交c于"，N兩點，若

NMFE=120。,且△兒鶴的周長為1,則C的焦距為.

第一次聯(lián)合診斷檢測（數(shù)學(xué)）第2頁共4頁

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明'證明過程或演算步驟。

17.（10分）

已知數(shù)列｛q｝是等差數(shù)列，且%=1，%+%）=一2.

（1）求｛4｝的通項公式；

⑵[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如口.7]=川=1,[-1,5]=[-2]=-2.若.=2㈤,7；是數(shù)列色｝的

前〃項和，求[7J.

18.(12分)

2024年1月18日是中國傳統(tǒng)的“臘八節(jié)"，“臘八”是中國農(nóng)歷十二月初八（即臘月初八）這一天.臘八

節(jié)起源于古代祭祀祖先和神靈的儀式,后逐漸成為民間節(jié)日，盛行于中國北方.為調(diào)查不同年齡人群對“臘八節(jié)”

民俗文化的了解情況，某機構(gòu)抽樣調(diào)查了某市的部分人群.

（1）在100名受調(diào)人群中，得到如下數(shù)據(jù):

了解程度

年齡

不了解.了解

30歲以下1624

50歲以上1644

根據(jù)小概率值a=0.1的獨立性檢驗，分析受調(diào)群體中對“臘八節(jié)”民俗的了解程度是否存在年齡差異;

（2）調(diào)查問卷共設(shè)置10個題目，選擇題、填空題各5個.受調(diào)者只需回答8個題：其中選擇題必須全部回

答，填空題隨機抽取3個進行問答.某位受調(diào)者選擇題每題答對的概率為0.8,知道其中3個填空題的答案，但

不知道另外2個的答案.求該受調(diào)者答對題目數(shù)量的期望.

_______________________

參考公式:①/=

(a+b)(c+4)(。+c)(6+d)

獨立性檢驗常用小概率值和相應(yīng)臨界值:

a0.10.050.010.0050.001

X"2.7063.8416.6357.87910.828

②隨機變量x,y的期望滿足：E（x+v）=E（x）+E（y）

第一次聯(lián)合診斷檢測（數(shù)學(xué)）第3頁共4頁

19.（12分）

a1sin5sinC

在△Z3C中，內(nèi)角4B,C的對邊分別為％6，c,已知△45C的面積S

cosA

（1）求tan/；

（2）若cosBcosC=-心■,a=1>求

5

20.（12分）

如圖，四棱錐P—中，底面45CD為平行四邊形，AB=^2,BC

(1)證明：PBLBC；

(2)若尸4=3,PC=V13,求二面角4一尸8-。的余弦值.

21.（12分）

已知1(2,2),B,C是拋物線E：》2=2必，上的三點，且直線45與直線ZC的斜率之和為0.

(1)求直線8c的斜率;

(2)若直線48,NC均與圓M：，+8-2)2=/(0<廠<百)相切，且直線BC被圓M截得的線段

長為2叵，求r的值.

5

22.（12分）

己知函數(shù)/(x)=e*+(1-a)x-In辦.(e為自然對數(shù)的底數(shù))

(1)當(dāng)4=1時，證明/(x)存在唯一的極小值點/，且/(%)>2；

(2)若函數(shù)/(x)存在兩個零點，記較小的零點為玉，s是關(guān)于x的方程ln(l+x)-3S》=亦1-2的根,

證明：s>xt.

第一次聯(lián)合診斷檢測(數(shù)學(xué))第4頁共4頁

2024年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

高三第一次聯(lián)合診斷檢測數(shù)學(xué)參考答案

一、單選題

1~8BAADCACD

8題解析：易證/(x)是增函數(shù)，f(ax2-4x)+/(2x)=f[(ax2-4x)+2x]+2=f(ax2-2x)+2=1,所以

/(辦2-2丫)=-1.令》=^=0,得/(0)=2；令x=l,y=-l,得/(-l)=0：令x=-l,歹=-l,

33

得/(-2)=-2；令工=-2,?=-1,得〃-3)=-4：令%=?=-5，得/(_])=一1,所以

ax2-2x=~,原問題即2。=士?在[L2]有解.令1=,，則2。=一3『+々在Z1]時有

412?

解，從而2aw[l,y]>aE[->—].

二、多選題

9.BCD10.BC11.BC12.ABD

12題解析：\\\a2-^-b2+ab=a+b,得(a+b)?—'+-方.內(nèi)為a,b是正數(shù)，所以ab〉0,從而

(a+6)2-(a+b)>0,解得々喳也#b,所以,

4

,2,J；44

從而(a+b)~—(。+6、------,解得Q+b<—.因為1va+6<—,

-33

41

所以ab=(a+?r，+/>)e(0,—),從而。6<萬.故選ABD.

三、填空題

13.-14.(1,3)15.—416.----

26

16題解析：設(shè)雙曲線的焦距為2c,點〃區(qū)，必)，Ng，%)，則|MN|=|MK|+|N居|=￡(X]+X,)—2Q

a

=y/2(x}+x2)-2a.由題意，直線MN的方程為y=百(x-c),代入x?一/=/得

2/一6a0￥+7。2=0,所以玉+9=3缶，從而|MN|=4a.4MNF1的周長為

\MFl\+\NF[\+\MN\=4a+2\MN\=\2a,由題意，a=—.所以焦距2c=2缶=

126

第一次聯(lián)7之版歸?數(shù)學(xué)）第5頁共9頁

四、解答題

17.（10分）

解：（1）設(shè)｛冊｝的公差為d,由題意，得q+4d=1,2al+16J=-2.

所以q=3,故=3—g（"—........5分

（2）由題意,[q]=3,[%]=[%]=2,[%]=[%]=1，.......?[?io]=[aiil=-2-

T”="+b,+bj+b&+T—?+a。+b”=2,+2（2?+2+…+2"）=23—.

所以[%]=23.……10分

18.（12分）

解：（1）零假設(shè)”。：對“臘八節(jié)”民俗的了解程度與年齡相互獨立.

由題意’得上方黑受黑7=等＜2.706.

根據(jù)小概率值a=0.1的獨立性檢依,沒仃充分證據(jù)推板和不成工

即認為對“臘八節(jié)”民俗的了解程度沒有年齡差異/……5分

（2）設(shè)選擇題部分和填空題部分答對題目分部生1和丫“

因為X服從8（5,0.8）,所以EX=5x0.8=".

由題意，丫的可能取值為1,2,3.■

3°31

P（Y=l）=-^=--”=2）——mP（r=3）=-V=-.

Vz?IU-f1U

所以Ey=3+2x3+3x-

105,

：方答對題目數(shù)*:知4￡/i（X+y）=+EY=4+1.8=5.8個.……12分

19.（12分）

a2sin5sinC1,.〃

解：（1）由題意，S=------------------=-adsinC,

cosJ2

因為QHO,sinC/0,所以asin8=」6cos/.

2

由正弦定理,得sin彳sin5=-sinSeos/,

2

因為sin8w0,所以sin4=-cosA,故tan力=1.

5分

22

（2）由（1）得sin/二弓，cosA=,所以85（8+。）=-8$/=-2^,

由cos（8+C）=cos8cosc—sinBsinC,及cos6cosc=-（，得sinBsinC=^

?y第一次聯(lián)合診斷檢測（數(shù)學(xué)）第6頁共9頁

得』

由正弦定理,,所以尻=布.

sin2A

由余弦定理，得〃+C?=/+2bccos/=5.12分

20.(12分)

解：取力。中點。，連接。8,OP.

(1)△尸/。中，因為PA=PD,所以。尸，力。.

△408中，因為48=0,AO=-BC=l,Z.BAD=45°,

2

由余弦定理，得。8=1,所以082+/。2=/82,OBLAD.

因為OP,OB是T-iiiiBOP上的兩條相交直線,所以40_L平面BOP.

因為PBu平面BOP,所以4DJ.PB.

因為4O〃8C,所以P81.8C.5分

(2)由(1)知，PB1BC,所以尸82=PC2-8C2,WkfP.T

乂產(chǎn)。=2應(yīng)，PO2+OB2=9=PS2,所以:巴〉'人用則尸。，面488.

如圖，建立空間直角坐標系。一平,

則4(1,0,0),5(0,1,0),C(-2W,尸(0,0,2&).

則'AB=(-1,1,0),~PB=(0“.z124-BC=(-2,0,0)

設(shè)平面P/8的法向也”、，“”,z),M

ABnt=0,'M0,1-l

\_即取，”.

PBm=0.17iiV2z=0.

設(shè)r\\\\PBC的法向量為“=(x,y,z)，則

BC?"i=0,-2x=0,i-

_即,lflZw=(0,—25/2,—1).

PBni=0.y-2>J2z=Q.

-93后

COS〈”,，〃)=

Im||n|>/?7X317

所以,湎角4-P8-C的余弦值為一豆口.

12分

17

21.(12分)

第一次聯(lián)：?診斷檢測(數(shù)學(xué))第7頁共9頁

2

解：因為點4(2,2)在拋物線E：x=2py±f所以p=L

E的方程為：x2=2y.

(1)設(shè)8區(qū)，今)，C(x2?玉工2,々工2且玉工w

X2V2

1L-2玄.2

由題總，2—+上一二0,化筒得2十七=-4.

X1-29一2

所以，直線8c的斜率為-2—2_=小玉=_2.……5分

Xj-x22

(2)由(1),設(shè)直線8c的方程為y=-2x+m,代入x?=2y,

消去y得：x2+4x-2m=0.則A=16+8/n>0,X)+x2=—?.i,x2=-2m.

因為門：線8c被園M獻句的線為獨?,「門J上旦=/_(我>,

化簡得：(加-2)2=5,一6。.由0：4/，則一1<〃?<5

直線"的方程為歹-2=百二二「?.H|l(X|+2)x-2^-2x,=0.

因為直線與圓兒—??儕戈JT-Zxj=八化簡得(+2f=_±二.

必+2>+44f2

同理，氏+2)'p-.

.2?2

4f

X［，A>2是方程J+4X+4-1」=0的兩根，所以再%2=~4—

故—2m=4—

4^7。.

由①①解得m=Q(m=±>/26舍)，則尸=血.12分

22.（12分）

解：（I）當(dāng)a=l時，/（x）=ex-Inx,x>0.

因為/(不)=廿-：在(0,+8)上單調(diào)遞增，且/'(；)<0,/(1)>0,