2020年高考數學真題匯編：立體幾何 理

2020高考真題分類匯編：立體幾何

一、選擇題

1.【2020高考真題新課標理7】如圖，網格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的

是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為()……"g"

(A)6(fi)9(C)12(D)18

【答案】B

2.12020高考真題浙江理10】已知矩形ABCD,AB=1,BC=J5。將△沿矩形的對角線BD所在

的直線進行翻折，在翻折過程中。

A.存在某個位置，使得直線AC與直線BD垂直.

B.存在某個位置，使得直線AB與直線CD垂直.

C.存在某個位置，使得直線AD與直線BC垂直.

D.對任意位置，三對直線“AC與BD”，“AB與CD”，“AD與BC”均不垂直

【答案】C

3.【2020高考真題新課標理11】已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球。的求面上，AABC

是邊長為1的正三角形，SC為球。的直徑，且SC=2；則此棱錐的體積為()

【答案】A

4.12020高考真題四川理6】下列命題正確的是()

A、若兩條直線和同一個平面所成的角相等，則這兩條直線平行

B、若一個平面內有三個點到另一個平面的距離相等，則這兩個平面平行

C、若一條直線平行于兩個相交平面，則這條直線與這兩個平面的交線平行

D、若兩個平面都垂直于第三個平面，則這兩個平面平行

【答案】C

5.【2020高考真題四川理10］如圖，半徑為R的半球。的底面圓。在平面a內，過點。作

平面a的垂線交半球面于點A,過圓。的直徑作平面a成45。角的平面與半球面相交,

所得交線上到平面a的距離最大的點為5,該交線上的一點尸滿足N3OP=60。，則A、P

兩點間的球面距離為

限R…6兀R

4

【答案】A

6.12020高考真題陜西理5］如圖，在空間直角坐標系中有直三棱柱ABC-ABC,

iii

CA^CC=2CB,則直線8c與直線48夾角的余弦值為（）

111

【答案】A.

7.12020高考真題湖南理3］某幾何體的正視圖和側視圖均如圖1所示，則該幾何體的俯視

圖不可能是

【答案】D

8.12020高考真題湖北理4】已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為

4n1

第4題圖~

A.—B.3兀

3

【答案】B

9.12020高考真題廣東理6】某幾何體的三視圖如圖所示，它的體積為

A.12nB.45兀C.57兀D.81n

【答案】C

10.【2020高考真題福建理4】一個幾何體的三視圖形狀都相同、大小均相等，那么這個幾何

體不可以是

A.球B.三棱柱C.正方形D.圓柱

【答案】D.

11.12020高考真題重慶理9】設四面體的六條棱的長分別為1,1,1,1,、尼和。，且長為。

的棱與長為O的棱異面，則。的取值范圍是

(A)(0,A/2)(B)(0,我(C)(1,72)(D)d,V3)

【答案】A

12.12020高考真題北京理7】某三棱錐的三視圖如圖所示，該三梭錐的表面積是()

A.28+6B.30+6<5C.56+12D.60+12

【答案】B

13.【2020高考真題全國卷理4】已知正四棱柱ABCD-ARCR中,AB=2,CC：2j5E為CC

的中點，則直線AQ與平面BED的距離為

A2B。C6D1

【答案】D

二、填空題

14.12020高考真題浙江理11】已知某三棱錐的三視圖(單位：cm)如圖所示，則該三棱錐

的體積等于cm3.

emuM)

【答案】1

15.【2020高考真題四川理14】如圖，在正方體ABC。—ABC。中，M、N分別是C。、

CC的中點，則異面直線A"與。N所成角的大小是，

11

n

【答案】一

2

【命題立意】本題主要考查空間中直線與直線，直線與平面的位置關系，以及異面直線所成

角的求法.

16.[2020高考真題遼寧理13]一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為

【答案】38

【點評】本題主要考查幾何體的三視圖、柱體的表面積公式，考查空間想象能力、運算求解

能力，屬于容易題。本題解決的關鍵是根據三視圖還原出幾何體，確定幾何體的形狀，然后

再根據幾何體的形狀計算出表面積。

17.【2020高考真題山東理14】如圖，正方體ABC。-ABC。的棱長為1,E,尸分別為線

1111

段上的點，則三棱錐D-EDF的體積為

111

【答案】:

O

18.12020高考真題遼寧理16】已知正三棱錐尸-ABC,點P,A,B,C都在半徑為。的求面

上，若PA,PB,PC兩兩互相垂直，則球心到截面ABC的距離為

【答案】~

【點評】本題主要考查組合體的位置關系、抽象概括能力、空間想象能力、運算求解能力以

及轉化思想，該題靈活性較強，難度較大。該題若直接利用三棱錐來考慮不宜入手，注意到

條件中的垂直關系，把三棱

19.【2020高考真題上海理8】若一個圓錐的側面展開圖是面積為2兀的半圓面，則該圓錐的

體積為_

【答案】弋n

20.【2020高考真題上海理14］如圖，AD與3c是四面體ABC。中互相垂直的棱，BC=2,

若AD=2c,且AB+3。=AC+CD=2。，其中a、c為常數，則四面體ABC。的體積

的最

大值是_______。

［答案］|c^2-C2-10

21.【2020高考江蘇7］（5分）如圖，在長方體A2CD-A8C。中，A8=AD=3cm,A4=2cm,

11111

則四棱錐A-BBDD的體積為▲cm3.

11

【答案】6。

22.【2020高考真題安徽理12】某幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的表面積是

【答案】92

【命題立意】本題考查空間幾何體的三視圖以及表面積的求法。

23.［2020高考真題天津理10】一個幾何體的三視圖如圖所示（單位：m）,則該幾何體的體

積為.D13.

【答案】18+%

24.12020高考真題全國卷理16］三菱柱ABC-ABC］中，底面邊長和側棱長都相等,

BAA=CAA=60°則異面直線AB；與BJ所成角的余弦值為二.

【答案】V

三、解答題

25.12020高考真題廣東理18］(本小題滿分13分)

如圖5所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA，平面ABCD,點E在線段PC上,

PC_L平面BDE.

(1)證明：BD_L平面PAC；

(2)若PH=1,AD=2,求二面角B-PC-A的正切值；

【答案】本題考查空間直線與平面的位置關系，考查直線與平面垂直的證明、二面角的求解

等問題，考查了學生的空間想象能力以及推理論證能力.

I氏

(1)V平而A6C。

/.PAXBD

.*.PCLHD

:.6DJ.平IfiPAC

(2)設AC與BD交直為C,連。段

■:PC|ij^D￡

:.PC1OE

又：HOX^\l\PAC

/?PCLBO

:.PC14O￡

/?PC1BE

，NBE。為二曲加3-PC-A的平面角

VHD±HlPAC

:,BDLAC

A"邊落ANC。力正方能

:,A0=石

“OLPAOE1yfi

在APAC中，———n—產一一一on——

OCAC7253

?，_BO

■?tanZ.BEO=-----=3

0￡

A二面由&PCa的平面角的正切值為3

26.【2020高考真題遼寧理18](本小題滿分12分)

如圖，直三棱柱ABC—4"。，ABAC=90o,

AB=AC=九A4/,點M,N分別為A/B和B/C/的中點。

(I)證明：MN〃平面AACC/；

(II)若二面角A-MN-C為直二面角，求九的值。

【答案】

(18)(I)(證法一)

連結4B',AC.由已知乙BAC=90°.

AB=AC,三楂柱A8c-A8'C'為直三棱柱,

所以M為A8'中點.

又因為N為B'C的中點.

所以MN〃4CL

又MNB平面NACC；

4C'u平面A'/ICC',

因此MM〃平面A'ACC'.6分

t證法二)

也1'8'中點P,連結MP,NP,

而M,N分別為4距與B(，的中點，所以MP//AAr,PN//A'C,

所以MP〃平面A'ACC',PN〃平面A'ACC"一又MPnNP=P,

因此平面MP/V/平面力'ACC’.而MNu平面MPN,

因此MN/平而WACC\……6分

(H)以力為坐標原點，分別以直線48,AC,AA'為x軸,y軸，z軸建立直角坐

標系。-xyz,如圖所示.

設A4'=l.則AB=AC=4,

于是14(0,0,0),8(入0,0).C(0,A,0),4(0,0,1),8'(兒0,1),0(0,41),

所以嗎,0,；),JV(y,y,1)?

所以根6,0』)，-

設皿=(Ki,%0)是平面A'MN的法向量，

(A1

小皿而=0,,且~2X1~~2Z1=0,

由一得/7

im-MN=O\±yi+l.Zi=0,

可皿二(1,-1,^).

設〃=(X2，%，Z2)是平面MNC的法向量，

(AA

I——x+—y-z=0,

NC=0,2z2

由得//

,MN=0(丁及十區(qū)/？=0,

可取〃=(一3,-L?.

因為A'-MN—C為直二面角，所以m-〃=0.

即-3+(-1)x(-1)+於=°,解得%=0....】2分

【點評】本題以三棱柱為載體主要考查空間中的線面平行的判定，借助空間直角坐標系求平

面的法向量的方法，并利用法向量判定平面的垂直關系，考查空間想象能力、推理論證能力、

運算求解能力，難度適中。第一小題可以通過線線平行來證明線面平行，也可通過面面平行

來證明。

27.12020高考真題湖北理19】（本小題滿分12分）

如圖1,ZACB=45o,BC=3,過動點A作AD_LBC,垂足D在線段BC上且異于點B,

連接AB,沿AO將△ABO折起，使NBDC=90。（如圖2所示）.

（I）當80的長為多少時，三棱錐A-BCD的體積最大；

（II）當三棱錐A的體積最大時，設點E,"分別為棱BC,AC的中點，試在

棱CD上確定一點N,使得并求EN與平面所成角的大小.

圖1圖2

第19題圖

【答案】(I)解法1：在如圖1所示的△ABC中，設BO=x(0〈尤＜3),則CD=3-尤.

由AO_LBC,NACB=45。知，△ADC為等腰直角三角形，所以AO=CO=3-x.

由折起前AO_LBC知，折起后(如圖2),ADVDC,AD1BD,且BDIZ)C=Z),

所以AO_L平面BCD.又/BDC=90。，所以S=-BD-CD=-x(3-x).于是

ABC。22

V=-AD-5="(3—x)?—x(3-x)=—?2x(3-x)(3-x)

A-BCD3ABCD3212

1「2X+(3-X)+(3-X)]32

＜-----------------------=—，

n\_3J3

當且僅當2x=3-x,即x=l時，等號成立，

故當x=l,即80=1時，三棱錐A的體積最大.

解法2：

同解法1,得V=-ADS=1(3-X)-1X(3-X)=-(X3-6X2+9X).

A-BCD3ABCD326

令/(%)=—6%2+9%),由尸(工)=1(工_1)(工_3)=0,且0＜尤＜3,解得x=l.

62

當X￡(O,1)時，/(九)〉0;當X￡(l,3)時，/(x)＜0.

所以當x=l時，/(%)取得最大值.

故當30=1時，三棱錐A-BC。的體積最大.

(II)解法1：以。為原點，建立如圖a所示的空間直角坐標系。-孫"

由(I)知，當三棱錐A-BCD的體積最大時，BD=1,AD=CD=2.

于是可得D(0,0,0),8(1,0,0),C(0,2,0),A(0,0,2),M(0,1,1),￡(1,1,0),

uuum

且5M=(-1,1,1).

tur1umruuun

設N(0,Q0),則EN=(--A-1,0).因為￡W_LBM等價于=0,即

2

(_l,X-l,O)-(-l,l,l)=i+X-l=O,故九=1，N(0,1，0).

2222

所以當DN=」（即N是。。的靠近點。的一個四等分點）時，EN1BM.

2

uor

nVBN,uir]

設平面BMN的一個法向量為〃=（x,y,z），由＜IUUD及旬V=(-1,—,0),

nLBM,2

y=2x,一5

得可取”=(1,2,-1).

z=-x.

airi1

設EN與平面BMN所成角的大小為。，則由硒=（-一,0）,〃=可得

22

HIT

n,ENA

sin0=cos(90o-0)=----tUF-v,即。=60o.

I篦I?IENI2

圖d

第19題解答圖

故EN與平面BMN所成角的大小為60Q

解法2：由（I）知，當三棱錐A-BCD的體積最大時，BD=1,AD=CD=2.

如圖b,取CD的中點尸，連結狼，BF,EF,則M/〃AO.

由（1）知A￡?_L平面BC。，所以板_L平面2CD.

如圖c,延長尸E至P點使得呼=05,連BP,DP,則四邊形。8P尸為正方形,

所以尸.取￡＞尸的中點N,連結EN,又E為尸尸的中點，則加〃DP,

所以EN_LB/＜因為M尸"L平面BCD,又ENu面BCD,所以A/b_LEN.

又MFTBF=F,所以硒_1面2加下.又AWu面尸，所以￡W_L5W.

因為皮當且僅當ENLBF,而點F是唯一的，所以點N是唯一的.

即當。N=1（即N是C。的靠近點。的一個四等分點），EN1BM.

2

連接MN,ME,由計算得==EB=￡M=J,

2

所以△NMB與^EMB是兩個共底邊的全等的等腰三角形，

如圖d所示，取5M的中點G,連接EG,NG,

則BM_L平面EGN.在平面EGN中，過點E作EHJ.GN于〃，

則EH_L平面BMN.故ZENH是EN與平面BMN所成的角.

在△EGN中，易得EG=GN=NE=7,所以△EGN是正三角形,

2

故ZENH=60o,即EN與平面BMN所成角的大小為60Q

28.12020高考真題新課標理19］（本小題滿分12分）

如圖，直三棱柱ABC—ABC中，AC=BC=-AA,

iii21

。是棱A4的中點，DCLBD

11

(1)證明：DC±BC

(2)求二面角A1—8?！猶的大小.

【答案】(1)在小ADAC中，AD=AC

得：ZADC=45°

同理：ZADC=45°ZCDC=90。

111

得：DC上DC,DC工BDnDC，面BCOnOCIBC

iiii

(2)DCLBC.CC面ACCABC1AC

iiii

取AB的中點。，過點。作于點〃，連接CO,CH

1111

AC=BC=>CO,LAB,面ABC_L面ABDnCO_L面ABD

iiiiiiiiiiiii

OHIBD^CH1BD得：點”與點。重合

且/CDO是二面角A-BD-C的平面角

111

設AC=a,則CO=@,CD=&=2COnNCDO=30。

12iii

既二面角A-BD-C的大小為30°

ii

29.12020高考江蘇16］（14分）如圖，在直三棱梯3C-A3C中，AB=AC,D,E分別

1111111

是棱8C,CC上的點（肺不同于點C）,且ADJ_DE,/為8C的中點.

111

求證：（1）平面A￡）E_L平面3CC8；

11

（2）直線Af〃平面AOE.

【答案】證明：（1）：ABC-ABC是直三棱柱，；CC，平面A3C。

1111

又AOu平面ABC,CC1ADo

i

又CC,OEu平面BCC5,CCIDE=E,?,.AD_L平面

iiii

BCCBo

ii

又ADu平面ADE,平面ADE_L平面BCCB。

ii

（）

2?：AB=AC,b為BC的中點，：.AF±BCo

iiiiiiiii

XVCC_L平面ABC,且Abu平面ABC,ACC1AFo

iiiiiiiiii

又?.,CC,5Cu平面5CCB,CCIBC=C,...A/_L平面ABC。

iiiiiiiiiiiii

（）

由1知，4。，平面5。。8,：.AF//ADo

iii

又ADu平面ADE,AF平面ADE,直線AF//平面ADE

ii

【考點】直線與平面、平面與平面的位置關系。

【解析】（1）要證平面A￡>E_L平面BCC8,只要證平面ADE上的A￡）_L平面8CC8即可。

1111

它可由已知A8C-ABC是直三棱柱和OE證得。

111

(2)要證直線A尸〃平面ADE,只要證AF〃平面ADE上的AD即可。

11

30.12020高考真題四川理19](本小題滿分12分)

如圖，在三棱錐P—ABC中，ZAPB=90o,ZPAB=6O0,AB=BC=CA,平面

PABL平面A5C。

(T)求直線尸。與平面ABC所成角的大?。?/p>

(II)求二面角3—AP—C的大小。

【答案】本題主要考查直線與平面的位置關系，線面角的概念，二面角的概念等基礎知識，

考查空間想象能力，利用向量解決立體幾何問題的能力.

解法一：

（1）設依的中點為D,AD的中點為0,連結尸。、CO,CD.

由已知.△PAO為等邊三角形?

所以P01AD.

又平面PABj,平面43C,平面PA.BH平面好。=AD,

所以P。JL平面A8c.

所以40CP為直線PC與平面ABC所成的角.

不妨設A8?4.則PD=2.CD=243.OD*I.P”楞.

/rr

在RtA。。。中，CO-vODTCD=JiJ.

所以，在RlAPOC中，tan，OCP=照=暮一密

3/132

故直線PC與平面A8C所成的角的大小為arcmn1等，..........................6分

（口）過/）作?！闖.4P于E,連結C￡.

由巳知可得.C。1平面產八月.

根據三看找定理處.CEJ.RU

所以，C￡。為二面角B-4P-C的平面州.

由(I)知.DE-71.

CD2j3

在RtACDC中,unLCED

施?萬.

故二面mB-AP-C的大小為aretan2................12分

解法二I

（1）設網的中點為以作P01癡于點。，連結CD

因為平面P4E1平面48c,平面以8O平面48c=AD.

所以P01平面A8C

所以POXCD.

由48=8C=I.知CDXAff.

設￡為4c中點,則EO〃CD,從而OELPO'OEXAB.

如圖,以。為生標原點08、O￡0P所在直戰(zhàn)分別為Mj/粕建立空間直角坐標系0?￡戶.

不妨設PA=2,由已知可得/B=4,04=00=1,0P=5，GJ口2&\

所以。（0,。,。）"（-1.0.0）,61,2百.0）,尸（。,0.行）.

所以赤=C-1.-2力,有）.而赤=（0,0,4）為平面48C的一個法向址,

設?為直或PC與平面ABC所成的角.

CP-OP

則sino=04-043

|C?I-lo?l/i6?yiT'

故直線PC與平面ABC所成的用的大小為arcs；ng........................................................6分

4

(U)由(I)有，*=(1,0,內，而=<2,2A.0).

設平面4FC的一個法向所為"=(*,,則

f"1"』廣?行=0J()■(I,0,j3)=0,

1M：=0

"***-?kx).r,.-J?(2.271,0)ao.

從而

2X|+27?,Ti=0.

取XI=-8、則力=I.=I,所以It=(-^5,1J).

血二面角3-AP-C的平面能為8，易知白為鏡角.

而面ABP的一個法向加為m=<0,1,0),RIJ

—1—|心叵

板二面角E-AP-C的大小為artcM................

31.12020高考真題福建理18】如圖，在長方體ABCD-ARCR中AAjAD=l,E為CD中點.

(T)求證：B1E±AD1；

(II)在棱AA1上是否存在一點P,使得DP〃平面B1AE?若存在，求AP的行；若存在，求

AP的長；若不存在，說明理由.

(III)若二面角A-BpA］的大小為30。，求AB的長.

【答案】本題主要考查立體幾何中直線與直線、直線與平面的位置關系及二面角的概念與求

法等基礎知識，考查空間想象能力、推理論證能力、基本運算能力，以及函數與方程的思想、

數形結合思想、化歸與轉化思想.

32.【2020高考真題北京理16】(本小題共14分)

如圖1,在Rt/XABC中，ZC=90°,BC=3,AC=6,D,E分別是AC,AB上的點，且DE〃BC,

DE=2,將AADE沿DE折起到△%口￡的位置，使AC±CD,如圖2.

(I)求證：AC_L平面BCDE；

1

(II)若M是AD的中點，求CM與平面ABE所成角的大?。?/p>

(III)線段BC,上是否存在點P,使平面、DP與平面4BE垂直？說明理由

【答案】解：(1)QCDIDE,±DE

OE_L平面4CD，

1

又QACu平面ACD,

11

AC±DE

又AC_LCD,

1

A]C_L平面BC￡>￡\

(2)如圖建系C-盯z，則D(-2,0,0),AB(0,3,0),E(-2,2,0)

uuur(11111/

0）

**?AB=y)f3,—2\/3),AE=(—2,—1,

i1

設平面ABE法向量為;=G,y,z)

1

ruuurr

ABn=0.3y-2癥=0z=

則{uLimr

AE-n=01*[-2x-j=0

iiX=

?，?〃=[1,2,

又o,a

imn(A

???CM=VI,0,8

uuimir

CMn1+34五

COS0=uuun-----￥—=.=_____=---------==——

\CM\-\n\V1+4+3-V1+32?2拒2

???CM與平面ABE所成角的大小45°o

（3）設線段8c上存在點P,設P點坐標為（0,a,0）,則ae[。，3]

則黑=（）,a,-2/），DP=（2,a,0）

1

in

設平面AOP法向量為"z)

1

拒

ay-2>/3z=0

則ii

2x+ay=01

iix=——ay

,i2i

.111

〃]

假設平面ADP與平面ABE垂直，

ii

tnr

則〃].〃=(),，3a+12+3a=0,6a=-12?a=-29

0<a<3,???不存在線段3C上存在點P，使平面AO尸與平面ABE垂直。

33.12020高考真題浙江理20】（本小題滿分15分）如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面是

邊長為2石的菱形，且/BAD=120。，且PA,平面ABCD,PA=2而，M,N分別為PB,PD的

中點.

(I)證明：MN〃平面ABCD；

(II)過點A作AQ,PC,垂足為點Q,求二面角A—MNT)的平面角的余弦值.

(第20修圖)

【命題立意】本題主要考查空間點、線、面的位置關系，二面角所成角等基礎知識，同

時考查空間想象能力和推理論證能力。

【答案】(1)如圖連接8口.

VM,N分別為PB,PD的中點，

.?.在APBD中,MN〃BD.

又MNcz平面ABCD,

；.MN〃平面ABCD；

(H)如圖建系：

A(0,0,0),P(0,0,2灰),MJ苞,0),

22

N(4,0,0),C(w,3,0).(第20題圖)

UlirLULULL

設Q(x,y,z),則CQ=(X-By-3,z),CP=(-V3,-3,2V6).

ULULILUl

CQ=XCP=(-圓,-3九，2圾)，/.。(百一&,3-3九，2瘋).

UUU'ULBIUUJUUUj

由OQJ.C尸nOQ-CP=0,得：X=-.

即:,2,

r

對于平面AMN：設其法向量為〃=(a,b,c).

uuuuJ33uuir一

?.?A”=(一］,0),AN=(?0,0).

a=

「uuuffir3

AM-n=O

則uxrr=b=~~

AN?n=03

c=0

r也1

〃=

，-

33

同理對于平面AMN得其法向量為v=(、&1,一而.

記所求二面角A—MN—Q的平面角大小為0,

...所求二面角A-MN-Q的平面角的余弦值為而.

5

34.12020高考真題重慶理19](本小題滿分12分如圖，在直三棱柱ABC-A3C中,

111

AB=4,AC=BC=3,D為AB的中點

(1)求點C到平面AABB的距離；

11

(II)若ABLAC求二面角的平面角的余弦值.

11

【答案】

【命題立意】本題考查立體幾何的相關知識，考查線面垂直關系、二面角的求法以及空間向

量在立體幾何中的應用.

MW?分）

CD1AAt.ttCDX而I,”犯.所以點C河￥畫&則的

距離為

CDw、俑--8/s6.

-（n）解法一：如答（I。）圖?,取"為品"的中虬連陸

DD..KDD,H.flCC,.又由（1）知51ifi]1,\im,,及

CDXA.D.CDLA優(yōu)，所以LA,IH）,為所求的：而向

A,-CD-C,的平面5ft.I9)|HI

因40為AC在面4.4/冶，上的射影.又巳SMB,14C.曲三景微定理的逆定對陽

皿.上兒以從而44/環(huán)、4404部與丸余.因此44叫一44d所“IU4*同）

sRtAB//.因此空=^-1',UP44；■Al）?A,8,■8.博A4,a2Q.

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從而由。=/AX；+S-275.所以.在HlAA.DO,'I'.

DDAA,也

如人耿=項t工-鏟

（H）解法二:如答（19）冊3過"住川），/Ml

交A瓦于，”在就三根柱中，身知。瓦0c的兩樂

■?以力為原點，射栽口凡℃.0d分別為.軸j軸、「相

的正率輸速立空間口角膘標系"一即

設於校柱的育為A.則機-2,。,。）±（-么°油），

從（2,0同￡（0,丹.0}￡（0.6川?從林網.（4,01A＞，

。)

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W<19)02

由何1愁#8*?0?-24

故就-C?2Q，2⑶（。，。:；則一就一,原.

設平m陽C0的法囪.為團''.

產」。，

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似中曲《C”的讓向Bl為。-I〃/"1i(t'.W

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35.【2020高考真題江西理20]（本題滿分12分）

在三棱柱ABC-AR1中，已知AB=AC=AA;弟,BC=4,在在底面ABC的投影是線段BC的中

點Oo

(1)證明在側棱A*上存在一點E,使得OE1_平面BBRC,并求出AE的長;

(2)求平面A1B1C與平面BB￡C夾角的余弦值。

【答案】‘

(I)證明:連接40.在中，作0EJ.4A于點E,因為4A//BB,OE1BB,.

因為4。X平面H8C,所以4。1BC.

因為48MAC,08=OC.^AO18C,所以BC1平面A410.所以8C1OE,

51

所以OE1.平面881cle，又40=/4B-BO?\,MX?JS,

mAO1J5

用，E=-=?

(2)餌：如田.分別以OK.O&OAi所在直線為x.y.；軸,建立空間直角坐標系，則MlQ,0).8(0,2,0),

C(0,-2,0),4(0.0,2),

田啟=[f用點E的坐懷是(今,0,亍)，

由⑴得平面叫C"的法向★是泥?(y.O,^-).

設平面A&C的法向

令y=1,得x=2?z=-1.即同=(2,1.-1),所以8g

即平面38,C,C與平面A,8,C的夾角的余弦值是嚕.

【點評】本題考查線面垂直，二面角、向量法在解決立體幾何問題中的應用以及空間想象的

能力.高考中，立體幾何解答題一般有以下三大方向的考查.一、考查與垂直，平行有關的線

面關系的證明；二、考查空間幾何體的體積與表面積；三、考查異面角，線面角，二面角等

角度問題.前兩種考查多出現在第1問，第3種考查多出現在第2問；對于角度問題，一般有

直接法與空間向量法兩種求解方法.

36.12020高考真題安徽理18】(本小題滿分12分)

平面圖形ABBACC如圖4所示，其中88CC是矩形，BC=2,BB=4,

111111

AB=AC=0,AB=AC="?，F將該平面圖形分別沿3c和8c折疊，使AA3C與

111111

AA8C所在平面都與平面BBCC垂直，再分別連接A4,BA,C4，得到如圖2所示的空間

11111111

圖形，對此空間圖形解答下列問題。

(I)證明：AALBC；(II)求A4的長；

11

(III)求二面角A—BC—A的余弦值。

1

【答案】本題考查平面圖形與空間圖形的轉化，空間直線與直線、直線與平面、平面與

平面的位置關系的判定。空間線段長度和空間角的余弦值的計算等基礎知識和基本技能，考

查空間想象能力，推理論證能力和求解能力。

【解析】(綜合法)

(I)取BC,BC的中點為點。,。，連接4。,。。，4。,4。，

1111111

則AB=ACnAO，5C,面ABC，面BBCCnAO,面BBCC,

iiii

同理：A。，面得：AO//AOnA,。,共面，

11111111

又00LBC.00IAO=O^面AOOA^AA1BCO

ii