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高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE3江蘇省常州市金壇區(qū)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時(shí),選出每小題〖答案〗后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他〖答案〗標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí),將〖答案〗寫(xiě)在答題卡上,寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后,將答題卡交回.一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知隨機(jī)變量,且,,則的值為()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗隨機(jī)變量,且,,,,.故選:A.2.已知兩條異面直線a,b上分別有4個(gè)點(diǎn)和7個(gè)點(diǎn),則這11個(gè)點(diǎn)可以確定不同的平面?zhèn)€數(shù)為()A.4 B.7 C.11 D.126〖答案〗C〖解析〗分兩類情況討論:第1類,直線a分別與直線b上的7個(gè)點(diǎn)可以確定7個(gè)不同的平面;第2類,直線b分別與直線a上的4個(gè)點(diǎn)可以確定4個(gè)不同的平面.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知,共可以確定7+4=11個(gè)不同的平面.故選:C.3.若的展開(kāi)式中不含項(xiàng),則實(shí)數(shù)m的值為()A. B. C.0 D.1〖答案〗D〖解析〗,二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)為:,令時(shí),;令時(shí),,所以的展開(kāi)式中的系數(shù)為,因?yàn)榈恼归_(kāi)式中不含項(xiàng),所以,解得:.故選:D.4.在4次獨(dú)立試驗(yàn)中,事件A出現(xiàn)的概率相同,若事件A至少發(fā)生一次的概率是,則事件A在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)事件A在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率是,由事件A至少發(fā)生次的概率為,可知事件A一次都不發(fā)生的概率為,由獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率知,則,故選:C.5.將邊長(zhǎng)為的正三角形沿邊上的高線折成的二面角,則點(diǎn)到邊的距離是()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗翻折前,因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為的等邊三角形,是邊上的高線,則為的中點(diǎn),且,,且,翻折后,則有,,在三棱錐中,由二面角的定義可得,如下圖所示:取線段的中點(diǎn),連接、,因?yàn)?,,,、平面,所以,平面,因?yàn)槠矫?,所以,,在中,,,則,因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn),則,且,所以,,因?yàn)?,為的中點(diǎn),所以,,因此,點(diǎn)到的距離為.故選:A.6.某考生回答一道四選一的單項(xiàng)選擇考題,假設(shè)他知道正確〖答案〗的概率為0.6,知道正確〖答案〗時(shí),答對(duì)的概率為,而不知道正確〖答案〗時(shí),猜對(duì)的概率為0.2,那么他答對(duì)題目的概率為()A.0.8 B.0.68 C.0.6 D.0.2〖答案〗B〖解析〗設(shè)“考生答對(duì)題目”為事件A,“考生知道正確〖答案〗”為事件B,則,,,.故選:B.7.學(xué)校環(huán)保節(jié)活動(dòng)期間,某班有甲、乙、丙、丁四名學(xué)生參加了志愿者工作.將這四名學(xué)生分配到A,B,C三個(gè)不同的環(huán)保崗位,每個(gè)崗位至少分配一名學(xué)生,若甲要求不分配到B崗位,則不同的分配方案的種數(shù)為()A.30 B.24 C.20 D.18〖答案〗B〖解析〗由題意可得有兩種情況:①有一個(gè)人與甲在同一個(gè)崗位,則有種分配方案;②沒(méi)有人與甲在同一個(gè)崗位,則種分配方案;所以由分類加法原理可知共有不同的分配方案,故選:B8.如圖,長(zhǎng)方體中,,P為線段上的動(dòng)點(diǎn),則以下結(jié)論中不正確的是()A.當(dāng)時(shí),直線BP與平面ABCD所成角的正弦值為B.當(dāng)時(shí),若平面的法向量記為,則C.當(dāng)時(shí),二面角的余弦值為D.若,則〖答案〗C〖解析〗如下圖所示:以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線分別為軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系;由,可知,則,設(shè),,選項(xiàng)A,當(dāng)時(shí),,所以,所以,平面ABCD的法向量為,所以直線BP與平面ABCD所成角的正弦值為:,故A正確;選項(xiàng)B,當(dāng)時(shí),,所以,所以,平面的法向量記為,由.,由可知,,所以可取,所以,故B正確;選項(xiàng)C,當(dāng)時(shí),,所以,平面的法向量記為,設(shè)平面的法向量記為,由.,由可知,,所以可取,所以二面角的余弦值為,所以,故C錯(cuò)誤;選項(xiàng)D,若,,,因?yàn)?,所以,所以,,由,解得,所以,即,故D正確.故選:C二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分.9.在江蘇新高考方案中,選擇性考試科目有:物理、化學(xué)、生物、歷史、政治、地理共六門(mén),學(xué)生根據(jù)高校要求,結(jié)合自身特長(zhǎng)興趣,首先在物理、歷史2門(mén)學(xué)科中選擇1門(mén),再?gòu)幕瘜W(xué)、生物、政治、地理4門(mén)學(xué)科中選擇2門(mén),選中的3門(mén)學(xué)科作為選擇性考試科目參加考試.則下列說(shuō)法正確的是()A.若任意選科,則選法總數(shù)為B.若政治必選,則選法總數(shù)為C.若化學(xué)、地理至少選一門(mén),則選法總數(shù)為D.若歷史必選,生物、政治至多選一門(mén),則選法總數(shù)為〖答案〗ACD〖解析〗在物理、歷史2門(mén)學(xué)科中選擇1門(mén)有種,在化學(xué)、生物、政治、地理4門(mén)學(xué)科中選擇2門(mén)有種,若任意選科,則選法總數(shù)為種,A正確;若政治必選,還需從化學(xué)、生物、地理3門(mén)學(xué)科中選擇1門(mén)有,則選法總數(shù)為種,B錯(cuò)誤;若化學(xué)、地理至少選一門(mén),兩門(mén)都選有1種,只選一門(mén)有,則選法總數(shù)為,C正確;若歷史必選有種,生物、政治至多選一門(mén)有種,則選法總數(shù)為種,D正確.故選:ACD.10.設(shè),則結(jié)論正確的是()A. B.C. D.,,,,,,中最小的是〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A,令,則①,故A正確;對(duì)于B,令,則②,則②減①可得:,則,故B正確;對(duì)于C,的通項(xiàng)為,令,則,令,則,所以,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,的通項(xiàng)為,所以當(dāng)時(shí),即,而,又,故,,,,,,中最小的是,故D正確.故選:ABD.11.“信息熵”是信息論中的一個(gè)重要概念,設(shè)隨機(jī)變量X的所有可能取值為,且,,定義X的信息熵,則下列說(shuō)法中正確的是()A.當(dāng)時(shí),B.當(dāng)且時(shí),C.若,則隨著n的減小而減小D.當(dāng)時(shí),隨著的增大而減小〖答案〗ABC〖解析〗對(duì)于A,當(dāng)時(shí),,,A正確;對(duì)于B,當(dāng)時(shí),,,B正確;對(duì)于C,,,則隨著n的減小而減小,C正確;對(duì)于D,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,兩者相等,D錯(cuò)誤.故選:ABC12.在棱長(zhǎng)為的菱形ABCD中,,將菱形ABCD沿對(duì)角線AC折成大小為的二面角,若折成的四面體的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上,則下列結(jié)論正確的是()A.折成的四面體體積的最大值為B.當(dāng)折成的四面體表面積最大時(shí),C.當(dāng)時(shí),球O的體積為D.當(dāng)時(shí),球O的表面積為〖答案〗BD〖解析〗由題意,可作圖如下:選項(xiàng)A,,,則為等邊三角形,取的中點(diǎn),則,同理可知,為等邊三角形,,且,,二面角的平面角為,設(shè)點(diǎn)到平面的距離為,則,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,即四面體的體積的最大值是,故A不正確;選項(xiàng)B,,,,,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),此時(shí)四面體的表面積最大,最大值為,此時(shí),在中,由余弦定理可得,,解得,故B正確;選項(xiàng)C,設(shè)分別為的外心,則,在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作的垂線與過(guò)點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn),如下圖:,,,平面,平面,平面,,,,平面,平面,同理可得平面,則為四面體的外接球球心,連接,,,,,,,平面,平面,,,即球心的半徑為,球的體積為,故C不正確;選項(xiàng)D,由C可得當(dāng)時(shí),,,平面,平面,,,即球的半徑為,球的表面積為,故D正確.故選:BD.三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.若能被13整除,則m的最小正整數(shù)取值為_(kāi)_____.〖答案〗12〖解析〗因?yàn)槟鼙?3整除,所以是13的倍數(shù)時(shí),能被13整除,所以m的最小正整數(shù)取值為12,故〖答案〗為:1214.隨機(jī)變量的分布列如表所示,設(shè),則______,______.01〖答案〗①②〖解析〗依題意,得,因?yàn)?,所以?故〖答案〗為:;.15.我們把各位數(shù)字之和為6的四位數(shù)稱為“四位合六數(shù)”(如1203、1005均是四位合六數(shù)),則在“四位合六數(shù)”中首位為1的不同的“四位合六數(shù)”共有______個(gè).〖答案〗21〖解析〗由題知后三位數(shù)字之和為5,當(dāng)一個(gè)位置為5時(shí)有005,050,500,共3個(gè);當(dāng)兩個(gè)位置和為5時(shí)有014,041,410,401,140,104,023,032,302,320,203,230,共12個(gè);當(dāng)三個(gè)位置和為5時(shí)有113,131,311,122,212,221,共6個(gè);所以一共有21個(gè).故〖答案〗為:21.16.如圖,三棱柱的各條棱長(zhǎng)均為是2,側(cè)棱與底面ABC所成的角為60°,側(cè)面底面ABC,點(diǎn)P在線段上,且平面平面,則______.〖答案〗〖解析〗側(cè)面底面,則點(diǎn)在平面上的射影在直線上,為直線與底面所成的角,,三棱柱的各條棱長(zhǎng)均為2,是等邊三角形,取中點(diǎn),連接,,則,∵側(cè)面底面,側(cè)面底面,面,所以面,如圖所示,以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立的空間直角坐標(biāo)系,則,故,設(shè),則,設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則,令,則,,平面的一個(gè)法向量為,設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則,令,則,,平面的一個(gè)法向量為,平面平面,∴,,,.故〖答案〗為:.四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.有甲、乙兩只不透明的袋子,其中甲袋放有3個(gè)紅球,2個(gè)白球,乙袋放有2個(gè)紅球,3個(gè)白球,且所有球的大小和質(zhì)地均相同.(1)先隨機(jī)取一只袋子,再?gòu)脑摯须S機(jī)取1個(gè)球,求取出的該球是白球的概率;(2)先從甲袋中任取2個(gè)球放入乙袋中,再?gòu)囊掖腥稳?個(gè)球,求從乙袋中取出的2個(gè)球均為紅球的概率.解:(1)先隨機(jī)取一只袋子,記“取到的是甲袋”為事件,“取到的是乙袋”為事件,再?gòu)拇须S機(jī)取1個(gè)球,“取出的該球是白球”為事件B,則事件B有兩類:取到的是甲袋且從中取出的是白球,取到的是乙袋且從中取出的是白球,即,因?yàn)榕c互斥,所以,由概率的乘法公式得,又因?yàn)?,,,,所有先隨機(jī)取一只袋子,再?gòu)脑摯须S機(jī)取1個(gè)球,取出的該球是白球的概率為(2)記“從甲袋中取出2個(gè)紅球”為事件,“從甲袋中取出2個(gè)白球”為事件,“從甲袋中取出1個(gè)紅球和1個(gè)白球”為事件,“從乙袋中取出的2個(gè)球均為紅球”為事件D,顯然,事件,,兩兩互斥,且正好為“從甲袋中任取2個(gè)球”的樣本空間,由全概率公式得,先從甲袋中任取2個(gè)球放入乙袋中,再?gòu)闹掖腥稳?個(gè)球,則從乙袋中取出的2個(gè)球均為紅球的概率為18.有5名男運(yùn)動(dòng)員和3名女運(yùn)動(dòng)員,從中選出5名運(yùn)動(dòng)員,參加“籃球、排球、足球、羽毛球、乒乓球”這5種不同的球類競(jìng)賽,每名運(yùn)動(dòng)員只能參加一個(gè)球類項(xiàng)目競(jìng)賽,且每個(gè)球類項(xiàng)目競(jìng)賽都要有人參加,求符合下列條件的選法種數(shù).(用數(shù)字作答)(1)有女運(yùn)動(dòng)員參賽,且參賽的女運(yùn)動(dòng)員人數(shù)必須少于參賽的男運(yùn)動(dòng)員人數(shù);(2)女運(yùn)動(dòng)員指定參加排球競(jìng)賽,男運(yùn)動(dòng)員必須參賽但不能參加足球競(jìng)賽.解:(1)因?yàn)橛信\(yùn)動(dòng)員參賽,且參賽的女運(yùn)動(dòng)員人數(shù)必須少于參賽的男運(yùn)動(dòng)員人數(shù),所以選出的5名運(yùn)動(dòng)員可以是2名女運(yùn)動(dòng)員和3名男運(yùn)動(dòng)員,也可以是1名女運(yùn)動(dòng)員和4名男運(yùn)動(dòng)員,則有種情況,再將選出來(lái)的運(yùn)動(dòng)加分配到各個(gè)項(xiàng)目中,則有種方法,所以符合要求的選法種數(shù)為.(2)因?yàn)榕\(yùn)動(dòng)員指定參加排球競(jìng)賽,男運(yùn)動(dòng)員必須參賽但不能參加足球競(jìng)賽,所以先從除去該女運(yùn)動(dòng)員和該男運(yùn)動(dòng)員的6人中任選3人,有種情況,再安排男運(yùn)動(dòng)員參賽的項(xiàng)目,有種情況,最后選出的3人對(duì)余下的3個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行全排列,有種情況,則符合要求的選法種數(shù)為.19.已知在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中,前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列.(1)求展開(kāi)式中的有理項(xiàng);(2)求展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng).解:(1)在的展開(kāi)式中,前三項(xiàng)的系數(shù)分別依次為,,,前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列,所以,整理得,解得或(不合題意舍去),則展開(kāi)式中通項(xiàng)為:,要求有理項(xiàng),則需為整數(shù),即,4,8,則有理項(xiàng)分別為:,,.(2)由(1)知,此二項(xiàng)式,設(shè)展開(kāi)式中第項(xiàng)的系數(shù)最大,則,即,解得,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以第項(xiàng)和第項(xiàng)的系數(shù)同時(shí)達(dá)到最大,故展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為,.20.如圖,直角梯形ABCD與等腰直角三角形ABP所在平面互相垂直,且,,,,.(1)求證:;(2)求直線PC與平面ABP所成角余弦值;(3)線段PA上是否存在點(diǎn)E,使得平面EBD?若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.解:(1)取AB的中點(diǎn)為O,連接DO,PO,由,得,又四邊形ABCD為直角梯形,且,,,,則四邊形OBCD為正方形,,又,平面POD,因此平面POD,又平面POD,所以.(2)且平面PAB,又平面平面ABCD,且平面平面,則平面ABCD,平面,有,即有OA,OD,OP兩兩垂直,以點(diǎn)O為原點(diǎn),OD、OA、OP分別為x、y、z軸的空間直角坐標(biāo)系,由等腰直角,,,得,則,即,平面PAB的一個(gè)法向量為,設(shè)直線PC與平面PAB所成的角為,因此,即,所以所求直線PC與平面ABP所成角的余弦值為.(3)線段PA上存在點(diǎn)E,且當(dāng)時(shí),使得平面EBD.由,得,則,,設(shè)平面EBD的法向量為,則,令,得,又,則,而平面EBD,因此平面EBD,所以點(diǎn)E滿足時(shí),有平面EBD.21.某校為了普及科普知識(shí),增強(qiáng)學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng),在全校組織了一次科普知識(shí)競(jìng)賽.經(jīng)過(guò)初賽、復(fù)賽,甲、乙兩個(gè)代表隊(duì)(每隊(duì)3人)進(jìn)入了決賽.規(guī)定每人回答一個(gè)問(wèn)題,答對(duì)者為本隊(duì)贏得10分,答錯(cuò)者得0分.假設(shè)甲隊(duì)中3人答對(duì)的概率分別為,,,乙隊(duì)中每人答對(duì)的概率均為,且各人回答正確與否相互之間沒(méi)有影響,用表示甲隊(duì)的總得分.(1)求的分布列和數(shù)學(xué)期望;(2)求甲、乙兩隊(duì)總得分之和等于30分且甲隊(duì)獲勝的概率.解:(1)由題意知的所有可能取值為0,10,20,30,可得,,,,所以隨機(jī)變量的分布列為0102030P所以數(shù)學(xué)期望.(2)記“甲隊(duì)得30分,乙隊(duì)得0分”為事件A,“甲隊(duì)得20分,乙隊(duì)得10分”為事件B,則A,B為互斥事件,可得,,則,所以甲、乙兩隊(duì)總得分之和等于30分且甲隊(duì)獲勝的概率為.22.如圖,三角形ABC是圓柱底面圓的內(nèi)接三角形,PA為圓柱的母線,M,N分別是AC和PA的中點(diǎn),平面平面PAB,.(1)求證:;(2)求三棱錐和圓柱的體積之比;(3)求平面PBC與平面MBN所成的銳二面角的大?。猓海?)因?yàn)镻A為圓柱的母線,則平面ABC,平面ABC,可得,取PB邊的中點(diǎn)為D,連接AD,因?yàn)?,則,平面PAB,且平面平面PAB,平面平面,所以平面PBC,且平面PBC,則,且AD,平面PAB,所以平面PAB,且平面PAB,所以.(2)因?yàn)槠矫鍭BC,則,又因?yàn)?,則為底面圓的直徑,則,所以(3)以B點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn),直線BA、BC分別為x、y軸,過(guò)點(diǎn)B作平面ABC的垂線,并以此垂線作為z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則,,,,,,可得,,,.設(shè)平面PBC和平面MBN的法向量分別為,,可得,取,則,,即可得,取,則,,即設(shè)平面PBC與平面MBN所成的銳二面角為,則,又因?yàn)?,所以,即平面PBC與平面MBN所成的銳二面角為.江蘇省常州市金壇區(qū)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時(shí),選出每小題〖答案〗后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他〖答案〗標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí),將〖答案〗寫(xiě)在答題卡上,寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后,將答題卡交回.一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知隨機(jī)變量,且,,則的值為()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗隨機(jī)變量,且,,,,.故選:A.2.已知兩條異面直線a,b上分別有4個(gè)點(diǎn)和7個(gè)點(diǎn),則這11個(gè)點(diǎn)可以確定不同的平面?zhèn)€數(shù)為()A.4 B.7 C.11 D.126〖答案〗C〖解析〗分兩類情況討論:第1類,直線a分別與直線b上的7個(gè)點(diǎn)可以確定7個(gè)不同的平面;第2類,直線b分別與直線a上的4個(gè)點(diǎn)可以確定4個(gè)不同的平面.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知,共可以確定7+4=11個(gè)不同的平面.故選:C.3.若的展開(kāi)式中不含項(xiàng),則實(shí)數(shù)m的值為()A. B. C.0 D.1〖答案〗D〖解析〗,二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)為:,令時(shí),;令時(shí),,所以的展開(kāi)式中的系數(shù)為,因?yàn)榈恼归_(kāi)式中不含項(xiàng),所以,解得:.故選:D.4.在4次獨(dú)立試驗(yàn)中,事件A出現(xiàn)的概率相同,若事件A至少發(fā)生一次的概率是,則事件A在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)事件A在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率是,由事件A至少發(fā)生次的概率為,可知事件A一次都不發(fā)生的概率為,由獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率知,則,故選:C.5.將邊長(zhǎng)為的正三角形沿邊上的高線折成的二面角,則點(diǎn)到邊的距離是()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗翻折前,因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為的等邊三角形,是邊上的高線,則為的中點(diǎn),且,,且,翻折后,則有,,在三棱錐中,由二面角的定義可得,如下圖所示:取線段的中點(diǎn),連接、,因?yàn)椋?,,、平面,所以,平面,因?yàn)槠矫?,所以,,在中,,,則,因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn),則,且,所以,,因?yàn)?,為的中點(diǎn),所以,,因此,點(diǎn)到的距離為.故選:A.6.某考生回答一道四選一的單項(xiàng)選擇考題,假設(shè)他知道正確〖答案〗的概率為0.6,知道正確〖答案〗時(shí),答對(duì)的概率為,而不知道正確〖答案〗時(shí),猜對(duì)的概率為0.2,那么他答對(duì)題目的概率為()A.0.8 B.0.68 C.0.6 D.0.2〖答案〗B〖解析〗設(shè)“考生答對(duì)題目”為事件A,“考生知道正確〖答案〗”為事件B,則,,,.故選:B.7.學(xué)校環(huán)保節(jié)活動(dòng)期間,某班有甲、乙、丙、丁四名學(xué)生參加了志愿者工作.將這四名學(xué)生分配到A,B,C三個(gè)不同的環(huán)保崗位,每個(gè)崗位至少分配一名學(xué)生,若甲要求不分配到B崗位,則不同的分配方案的種數(shù)為()A.30 B.24 C.20 D.18〖答案〗B〖解析〗由題意可得有兩種情況:①有一個(gè)人與甲在同一個(gè)崗位,則有種分配方案;②沒(méi)有人與甲在同一個(gè)崗位,則種分配方案;所以由分類加法原理可知共有不同的分配方案,故選:B8.如圖,長(zhǎng)方體中,,P為線段上的動(dòng)點(diǎn),則以下結(jié)論中不正確的是()A.當(dāng)時(shí),直線BP與平面ABCD所成角的正弦值為B.當(dāng)時(shí),若平面的法向量記為,則C.當(dāng)時(shí),二面角的余弦值為D.若,則〖答案〗C〖解析〗如下圖所示:以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線分別為軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系;由,可知,則,設(shè),,選項(xiàng)A,當(dāng)時(shí),,所以,所以,平面ABCD的法向量為,所以直線BP與平面ABCD所成角的正弦值為:,故A正確;選項(xiàng)B,當(dāng)時(shí),,所以,所以,平面的法向量記為,由.,由可知,,所以可取,所以,故B正確;選項(xiàng)C,當(dāng)時(shí),,所以,平面的法向量記為,設(shè)平面的法向量記為,由.,由可知,,所以可取,所以二面角的余弦值為,所以,故C錯(cuò)誤;選項(xiàng)D,若,,,因?yàn)?,所以,所以,,由,解得,所以,即,故D正確.故選:C二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分.9.在江蘇新高考方案中,選擇性考試科目有:物理、化學(xué)、生物、歷史、政治、地理共六門(mén),學(xué)生根據(jù)高校要求,結(jié)合自身特長(zhǎng)興趣,首先在物理、歷史2門(mén)學(xué)科中選擇1門(mén),再?gòu)幕瘜W(xué)、生物、政治、地理4門(mén)學(xué)科中選擇2門(mén),選中的3門(mén)學(xué)科作為選擇性考試科目參加考試.則下列說(shuō)法正確的是()A.若任意選科,則選法總數(shù)為B.若政治必選,則選法總數(shù)為C.若化學(xué)、地理至少選一門(mén),則選法總數(shù)為D.若歷史必選,生物、政治至多選一門(mén),則選法總數(shù)為〖答案〗ACD〖解析〗在物理、歷史2門(mén)學(xué)科中選擇1門(mén)有種,在化學(xué)、生物、政治、地理4門(mén)學(xué)科中選擇2門(mén)有種,若任意選科,則選法總數(shù)為種,A正確;若政治必選,還需從化學(xué)、生物、地理3門(mén)學(xué)科中選擇1門(mén)有,則選法總數(shù)為種,B錯(cuò)誤;若化學(xué)、地理至少選一門(mén),兩門(mén)都選有1種,只選一門(mén)有,則選法總數(shù)為,C正確;若歷史必選有種,生物、政治至多選一門(mén)有種,則選法總數(shù)為種,D正確.故選:ACD.10.設(shè),則結(jié)論正確的是()A. B.C. D.,,,,,,中最小的是〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A,令,則①,故A正確;對(duì)于B,令,則②,則②減①可得:,則,故B正確;對(duì)于C,的通項(xiàng)為,令,則,令,則,所以,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,的通項(xiàng)為,所以當(dāng)時(shí),即,而,又,故,,,,,,中最小的是,故D正確.故選:ABD.11.“信息熵”是信息論中的一個(gè)重要概念,設(shè)隨機(jī)變量X的所有可能取值為,且,,定義X的信息熵,則下列說(shuō)法中正確的是()A.當(dāng)時(shí),B.當(dāng)且時(shí),C.若,則隨著n的減小而減小D.當(dāng)時(shí),隨著的增大而減小〖答案〗ABC〖解析〗對(duì)于A,當(dāng)時(shí),,,A正確;對(duì)于B,當(dāng)時(shí),,,B正確;對(duì)于C,,,則隨著n的減小而減小,C正確;對(duì)于D,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,兩者相等,D錯(cuò)誤.故選:ABC12.在棱長(zhǎng)為的菱形ABCD中,,將菱形ABCD沿對(duì)角線AC折成大小為的二面角,若折成的四面體的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上,則下列結(jié)論正確的是()A.折成的四面體體積的最大值為B.當(dāng)折成的四面體表面積最大時(shí),C.當(dāng)時(shí),球O的體積為D.當(dāng)時(shí),球O的表面積為〖答案〗BD〖解析〗由題意,可作圖如下:選項(xiàng)A,,,則為等邊三角形,取的中點(diǎn),則,同理可知,為等邊三角形,,且,,二面角的平面角為,設(shè)點(diǎn)到平面的距離為,則,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,即四面體的體積的最大值是,故A不正確;選項(xiàng)B,,,,,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),此時(shí)四面體的表面積最大,最大值為,此時(shí),在中,由余弦定理可得,,解得,故B正確;選項(xiàng)C,設(shè)分別為的外心,則,在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作的垂線與過(guò)點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn),如下圖:,,,平面,平面,平面,,,,平面,平面,同理可得平面,則為四面體的外接球球心,連接,,,,,,,平面,平面,,,即球心的半徑為,球的體積為,故C不正確;選項(xiàng)D,由C可得當(dāng)時(shí),,,平面,平面,,,即球的半徑為,球的表面積為,故D正確.故選:BD.三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.若能被13整除,則m的最小正整數(shù)取值為_(kāi)_____.〖答案〗12〖解析〗因?yàn)槟鼙?3整除,所以是13的倍數(shù)時(shí),能被13整除,所以m的最小正整數(shù)取值為12,故〖答案〗為:1214.隨機(jī)變量的分布列如表所示,設(shè),則______,______.01〖答案〗①②〖解析〗依題意,得,因?yàn)椋裕?故〖答案〗為:;.15.我們把各位數(shù)字之和為6的四位數(shù)稱為“四位合六數(shù)”(如1203、1005均是四位合六數(shù)),則在“四位合六數(shù)”中首位為1的不同的“四位合六數(shù)”共有______個(gè).〖答案〗21〖解析〗由題知后三位數(shù)字之和為5,當(dāng)一個(gè)位置為5時(shí)有005,050,500,共3個(gè);當(dāng)兩個(gè)位置和為5時(shí)有014,041,410,401,140,104,023,032,302,320,203,230,共12個(gè);當(dāng)三個(gè)位置和為5時(shí)有113,131,311,122,212,221,共6個(gè);所以一共有21個(gè).故〖答案〗為:21.16.如圖,三棱柱的各條棱長(zhǎng)均為是2,側(cè)棱與底面ABC所成的角為60°,側(cè)面底面ABC,點(diǎn)P在線段上,且平面平面,則______.〖答案〗〖解析〗側(cè)面底面,則點(diǎn)在平面上的射影在直線上,為直線與底面所成的角,,三棱柱的各條棱長(zhǎng)均為2,是等邊三角形,取中點(diǎn),連接,,則,∵側(cè)面底面,側(cè)面底面,面,所以面,如圖所示,以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立的空間直角坐標(biāo)系,則,故,設(shè),則,設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則,令,則,,平面的一個(gè)法向量為,設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則,令,則,,平面的一個(gè)法向量為,平面平面,∴,,,.故〖答案〗為:.四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.有甲、乙兩只不透明的袋子,其中甲袋放有3個(gè)紅球,2個(gè)白球,乙袋放有2個(gè)紅球,3個(gè)白球,且所有球的大小和質(zhì)地均相同.(1)先隨機(jī)取一只袋子,再?gòu)脑摯须S機(jī)取1個(gè)球,求取出的該球是白球的概率;(2)先從甲袋中任取2個(gè)球放入乙袋中,再?gòu)囊掖腥稳?個(gè)球,求從乙袋中取出的2個(gè)球均為紅球的概率.解:(1)先隨機(jī)取一只袋子,記“取到的是甲袋”為事件,“取到的是乙袋”為事件,再?gòu)拇须S機(jī)取1個(gè)球,“取出的該球是白球”為事件B,則事件B有兩類:取到的是甲袋且從中取出的是白球,取到的是乙袋且從中取出的是白球,即,因?yàn)榕c互斥,所以,由概率的乘法公式得,又因?yàn)?,,,,所有先隨機(jī)取一只袋子,再?gòu)脑摯须S機(jī)取1個(gè)球,取出的該球是白球的概率為(2)記“從甲袋中取出2個(gè)紅球”為事件,“從甲袋中取出2個(gè)白球”為事件,“從甲袋中取出1個(gè)紅球和1個(gè)白球”為事件,“從乙袋中取出的2個(gè)球均為紅球”為事件D,顯然,事件,,兩兩互斥,且正好為“從甲袋中任取2個(gè)球”的樣本空間,由全概率公式得,先從甲袋中任取2個(gè)球放入乙袋中,再?gòu)闹掖腥稳?個(gè)球,則從乙袋中取出的2個(gè)球均為紅球的概率為18.有5名男運(yùn)動(dòng)員和3名女運(yùn)動(dòng)員,從中選出5名運(yùn)動(dòng)員,參加“籃球、排球、足球、羽毛球、乒乓球”這5種不同的球類競(jìng)賽,每名運(yùn)動(dòng)員只能參加一個(gè)球類項(xiàng)目競(jìng)賽,且每個(gè)球類項(xiàng)目競(jìng)賽都要有人參加,求符合下列條件的選法種數(shù).(用數(shù)字作答)(1)有女運(yùn)動(dòng)員參賽,且參賽的女運(yùn)動(dòng)員人數(shù)必須少于參賽的男運(yùn)動(dòng)員人數(shù);(2)女運(yùn)動(dòng)員指定參加排球競(jìng)賽,男運(yùn)動(dòng)員必須參賽但不能參加足球競(jìng)賽.解:(1)因?yàn)橛信\(yùn)動(dòng)員參賽,且參賽的女運(yùn)動(dòng)員人數(shù)必須少于參賽的男運(yùn)動(dòng)員人數(shù),所以選出的5名運(yùn)動(dòng)員可以是2名女運(yùn)動(dòng)員和3名男運(yùn)動(dòng)員,也可以是1名女運(yùn)動(dòng)員和4名男運(yùn)動(dòng)員,則有種情況,再將選出來(lái)的運(yùn)動(dòng)加分配到各個(gè)項(xiàng)目中,則有種方法,所以符合要求的選法種數(shù)為.(2)因?yàn)榕\(yùn)動(dòng)員指定參加排球競(jìng)賽,男運(yùn)動(dòng)員必須參賽但不能參加足球競(jìng)賽,所以先從除去該女運(yùn)動(dòng)員和該男運(yùn)動(dòng)員的6人中任選3人,有種情況,再安排男運(yùn)動(dòng)員參賽的項(xiàng)目,有種情況,最后選出的3人對(duì)余下的3個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行全排列,有種情況,則符合要求的選法種數(shù)為.19.已知在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中,前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列.(1)求展開(kāi)式中的有理項(xiàng);(2)求展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng).解:(1)在的展開(kāi)式中,前三項(xiàng)的系數(shù)分別依次為,,,前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列,所以,整理得,解得或(不合題意舍去),則展開(kāi)式中通項(xiàng)為:,要求有理項(xiàng),則需為整數(shù),即,4,8,則有理項(xiàng)分別為:,,.(2)由(1)知,此二項(xiàng)式,設(shè)展開(kāi)式中第項(xiàng)的系數(shù)最大,則,即,解得,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以第項(xiàng)和第項(xiàng)的系數(shù)同時(shí)達(dá)到最大,故展
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