2022-2023學年江蘇省徐州市高二下學期期中數學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1江蘇省徐州市2022-2023學年高二下學期期中數學試題第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知，，且，則x的值為（）A. B. C.6 D.－6〖答案〗D〖解析〗因為，所以，解得.故選：D.2.有4名學生報名參加數學、物理、化學競賽，每人限報一科，有（）種不同的報名方法．A.81 B.64 C.24 D.4〖答案〗A〖解析〗根據題意可知，需分四步進行，每一步中每名同學都有數學、物理、化學三種科目可報，所以共有種.故選：A3.如圖，在平行六面體中，P是的中點，點Q在上，且，設，，．則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因為P是的中點，所以，又因為點Q在上，且，所以，所以，故選：C.4.同時拋擲一枚紅骰子和一枚藍骰子，觀察向上的點數，記“紅骰子向上的點數為1”為事件，“兩枚骰子的點數之和等于6”為事件，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗事件包含6種基本事件，事件包含1個基本事件，所以.故選：B5.已知，，，則向量在上的投影向量的坐標是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，，，所以，所以，，，所以向量在上的投影向量是，所以向量在上的投影向量的坐標是，故選：D.6.已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布，有下列四個命題：甲：乙：丙：?。喝暨@四個命題中有且只有一個是假命題，則該假命題為（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁〖答案〗D〖解析〗對于甲，取任何值，都有，所以甲真命題；對于乙，若，則該正態(tài)分布的均值；對于丙，若，則該正態(tài)分布的均值；乙和丙至少有一個真命題，又因為乙和丙等價，所以乙和丙都是真命題；對于丁，，丁為假命題．故選：D7.某次足球賽共8支球隊參加，分三個階段進行．（1）小組賽：經抽簽分成甲?乙兩組，每組4隊進行單循環(huán)比賽，以積分和凈勝球數取前兩名；（2）半決賽：甲組第一名與乙組第二名，乙組第一名與甲組第二名進行主?客場交叉淘汰賽（每兩隊主?客場各賽1場），決出勝者；（3）決賽：兩個勝隊參加，比賽1場，決出勝負．則全部賽程共需比賽的場數為（）A.15 B.16 C.17 D.18〖答案〗C〖解析〗.故選：C．8.在如圖所示的試驗裝置中，兩個正方形框架ABCD，ABEF的邊長都是2，且它們所在的平面互相垂直，活動彈子M，N分別在正方形對角線AC和BF上移動，且CM和BN的長度保持相等，記，其中．則MN的長的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗平面平面，平面平面，，平面，平面，則以為坐標原點，為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，，；則，當時，最小，最小值為.故選：A.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.下列說法正確的有（）A.若，則B.在的展開式中，含的項的系數是－15C.被5除所得的余數是1D.現有壹圓、伍圓、拾圓、貳拾圓和伍拾圓的人民幣各一張，一共可以組成31種幣值〖答案〗BCD〖解析〗對于A，若，則或，解得或，故A不正確；對于B，含的項是由的5個括號中4個出僅1個括號出常數，所以含的項的系數是，故B正確；對于C，，所以被5除所得的余數是1，故C正確；對于D，壹圓、伍圓、拾圓、貳拾圓和伍拾圓的人民幣各一張，一共可以組成種幣值，故D正確.故選：BCD.10.下列說法正確的有（）A.某學校有2023名學生，其中男生1012人，女生1011人，現選派10名學生參加學校組織的活動，記男生的人數為X，則X服從超幾何分布B.若隨機變量X的數學期望，則C.若隨機變量X的方差，則D.隨機變量則〖答案〗AC〖解析〗A選項：根據超幾何分布的定義，可知A正確；B選項：，故B錯誤；C選項：，故C正確；D選項：因所以，根據組合數的對稱性可知，，故D錯誤.故選：AC11.從裝有5個紅球和4個藍球的袋中，每次不放回地隨機摸出一球．記“第i(,2)次摸球時摸到紅球”為，“第j(,2)次摸球時摸到藍球”為，則（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗由題意可得,則，A正確；，故，B正確；由于，故，同理,故，C錯誤；,所以，D正確，故選：ABD12.《九章算術·商功》：“斜解立方，得兩塹堵，斜解塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑．陽馬居二，鱉腳居一，不易之率也．合兩鱉臑三而一，驗之以基，其形露矣．文中“塹堵”是指底面是直角三角形，且側棱垂直于底面的三棱柱；文中“陽馬”是指底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐；文中“鱉”是指四個面都是直角三角形的三棱錐.在塹堵中，如圖所示，若AC⊥BC，，．（）A.四棱錐為陽馬B.三棱錐為鱉臑C.點P在側面及其邊界上運動，點M在棱AC上運動，若直線，AP是共面直線，則點P的軌跡長度為D.點N在側棱上運動，則的最小值為〖答案〗ABC〖解析〗對A，直三棱柱中，，，又AC⊥BC，平面，所以平面，底面為矩形，故四棱錐為陽馬，正確；對B，在三棱錐中，由題意及A知都為直角三角形，故正確；對C，如圖，當在面對角線上運動時，平面，平面，即直線，AP是共面直線，即點P的軌跡長度為，故正確；對D，直三棱柱側面與側面展開在同一平面上可得長為，寬為4的矩形，如圖，連接交于，此時有最小值，故錯誤.故選：ABC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．（16題第一空2分，第二空3分）13.如圖，我國古代珠算算具——算盤的每個檔（掛珠的桿）上有7顆算珠，用梁隔開，梁上面2顆叫上珠，每珠代表數值5，梁下面5顆叫下珠，每珠代表數值1，若從個位檔與十位檔靠梁撥3顆珠（每檔至少撥一珠，同一檔不可撥兩顆上珠），表示兩位數，記所得的兩位數為X，則_____________．〖答案〗〖解析〗由已知隨機試驗從個位檔與十位檔靠梁撥3顆珠，表示兩位數，可得下列結果：，共8個結果，其中隨機事件包含下列結果，，所以.故〖答案〗為：.14.若，則_____________．〖答案〗〖解析〗由可得，令，則，故，故〖答案〗為：15.如圖，將邊長的正方形沿對角線BD折起，連接AC，構成一四面體，使得，則點到平面的距離為_____________．〖答案〗〖解析〗由已知可得，，，取的中點，連接，因為，，所以，因為，，所以，又，所以，因為，點為的中點，所以，由平面，，所以平面，所以點到平面的距離為，又的面積為，所以三棱錐的體積為，設點到平面的距離為，則，又，因為，所以的面積為，所以，所以.所以點到平面的距離為.故〖答案〗為：.16.某地為貫徹關于“綠水青山就是金山銀山”的精神，鼓勵農戶利用荒坡種植果樹．某農戶種植樹苗的自然成活率為0.9．該農戶決定種植棵樹苗，種植后沒有自然成活的樹苗中有75%的樹苗可經過人工栽培技術處理，處理后成活的概率為0.8，其余的樹苗不能成活，則一棵樹苗最終成活的概率為_____________，若種植每棵樹苗最終成活后可獲利300元，不成活的每棵虧損50元，該農戶為了獲利不低于25萬元，至少需要種植_____________棵樹苗．〖答案〗①②〖解析〗一棵樹苗最終成活的概率為，根據題意可得，解得，因為，所以的最小值為，即至少需要種植棵樹苗．故〖答案〗為：；.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.有六位同學A，B，C，D，E，F站成一排照相，如果：（1）A，B兩人不排在一起，有幾種排法？（2）C，D兩人必須排在一起，有幾種排法？（3）E不在排頭，F不在排尾，有幾種排法？解：（1）先排除A，B外的四個人，再將A，B插入到其余4人所形成的5個空中，因此，排法種數為；（2）將C，D兩人捆綁一起看作一個復合元素和其他4人去安排，因此，排法種數為；（3）E不在排頭，F不在排尾，分以下兩種情況討論：①若E在排尾，則剩下的5人全排列，故有種排法；②若E不在排尾，則E有4個位置可選，B有4個位置可選，將剩下的4人全排列，安排在其它4個位置即可，此時，共有種排法．綜上所述，共有種不同的排法種數．18.已知在的展開式中，前3項的系數成等差數列，求：（1）展開式中二項式系數最大的項；（2）展開式中系數最大的項．解：（1）的展開式的通項為，（，1，…，n），因為前3項的系數成等差數列，所以，化簡得，解得或（舍）．展開式共有9項，二項式系數最大的項為.（2）由（1）知，展開式的通項為，（，1，…，8），設第項的系數最大，則，即，解得，則或，所以展開式的第3項與第4項系數最大，即和.19.如圖，內接于⊙O，為⊙O的直徑，，，，為的中點，且平面平面．（1）證明：平面；（2）若，求二面角的正弦值．解：（1）因為是⊙O的直徑，所以，因為，，所以，又因為，為的中點，所以，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，因為平面，所以，又因為平面ACD，，所以平面（2）因為，，，所以，所以，因為平面，平面，所以，以為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系C-xyz，則，，，．顯然，是平面的一個法向量，設是平面的一個法向量，則令，則，所以，設二面角所成角為，，則，所以二面角的正弦值為20.在一個袋子里有大小一樣的5個小球，其中有3個紅球和2個白球．（1）若有放回地每次從中摸出1個球，連摸3次，設摸到紅球的次數為X，求隨機變量X的概率分布及期望；（2）若每次任意取出1個球，記錄顏色后放回袋中，直到取到兩次紅球就停止，設取球的次數為Y，求的概率．解：（1）由題意分析，X的可能值為0，1，2，3所以，，，．分布列：X0123P．（2）依題意，每次取到紅球的概率為，取到白球的概率為．即是“前3次只有1次取到紅球，其余2次取到白球，第4次取到紅球”，所以．21.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，點E，F，N分別為側棱PD，PC，PB的中點，M為PD（不包含端點）上的點，，．（1）若，求證：平面；（2）若平面，求與平面所成角的最大值．解：（1）延長FM和CD交于點Q，連BQ交AD于點H，連FH，FN，由，故，所以，即H為AD的中點，此時，，且，所以四邊形為平行四邊形，故，又平面，平面，所以平面；（2）以D為原點，DA，DC，DP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設，則，，，，，所以，，，設平面BMF的法向量，則有，令，則，所以，設DB與平面MFB所成的角為，則，當時，的最大值為，又，故DB與平面所成角的最大值．22.電影《流浪地球2》中有許多可行駛、可作業(yè)、可變形的UEG地球聯合政府機械設備，均出自中國工程機械領導者品牌—徐工集團.電影中有很多硬核的裝備，其實并不是特效，而是用國產尖端裝備設計改造出來的，許多的裝備都能在現實中尋找到原型.現集團某車間新研發(fā)了一臺設備，集團對新設備的具體要求是：零件內徑（單位：mm）在范圍之內的產品為合格品，否則為次品；零件內徑X滿足正態(tài)分布．（1）若該車間對新設備安裝調試后，試生產了5個零件，測量其內徑（單位：mm）分別為：199.87，199.91，199.99，200.13，200.19，如果你是該車間的負責人，試根據3σ原則判斷這臺設備是否需要進一步調試？并說明你的理由．（2）若該設備符合集團的生產要求，現對該設備生產的10000個零件進行跟蹤調查．①10000個零件中大約有多少個零件的內徑可以超過200.12mm？②10000個零件中的次品的個數最有可能是多少個？參考數據：若隨機變量，則，，，，．解：（1）方法1：因為，所以，即，所以五個零件的內徑中恰有1個不在的概率為，又因為試產的5個零件中內徑出現了1個不在內，所以小概率事件出現了，根據原則，這臺設備需要進一步調試．方法2：因為，故至少有1個次品的概率為．又因為試產5個零件中內徑出現了1個不在內，所以小概率事件出現了，根據原則，這臺設備需要進一步調試．（2）①因為，，所以，生產的10000件零件中內徑超過200.12mm的件數Y服從二項分布B（10000，0.0225），則．答：大約有225件零件的內徑可以超過200.12mm．②次品的概率為，抽取10000個零件進行檢測，設次品數為，則，其中，故，設次品數最可能是k件，則，即，即，解得．因為，所以，，故．從而10000件零件中的次品數最可能是30．答：這10000件零件中的次品數最可能是30.江蘇省徐州市2022-2023學年高二下學期期中數學試題第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知，，且，則x的值為（）A. B. C.6 D.－6〖答案〗D〖解析〗因為，所以，解得.故選：D.2.有4名學生報名參加數學、物理、化學競賽，每人限報一科，有（）種不同的報名方法．A.81 B.64 C.24 D.4〖答案〗A〖解析〗根據題意可知，需分四步進行，每一步中每名同學都有數學、物理、化學三種科目可報，所以共有種.故選：A3.如圖，在平行六面體中，P是的中點，點Q在上，且，設，，．則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因為P是的中點，所以，又因為點Q在上，且，所以，所以，故選：C.4.同時拋擲一枚紅骰子和一枚藍骰子，觀察向上的點數，記“紅骰子向上的點數為1”為事件，“兩枚骰子的點數之和等于6”為事件，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗事件包含6種基本事件，事件包含1個基本事件，所以.故選：B5.已知，，，則向量在上的投影向量的坐標是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，，，所以，所以，，，所以向量在上的投影向量是，所以向量在上的投影向量的坐標是，故選：D.6.已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布，有下列四個命題：甲：乙：丙：丁：若這四個命題中有且只有一個是假命題，則該假命題為（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁〖答案〗D〖解析〗對于甲，取任何值，都有，所以甲真命題；對于乙，若，則該正態(tài)分布的均值；對于丙，若，則該正態(tài)分布的均值；乙和丙至少有一個真命題，又因為乙和丙等價，所以乙和丙都是真命題；對于丁，，丁為假命題．故選：D7.某次足球賽共8支球隊參加，分三個階段進行．（1）小組賽：經抽簽分成甲?乙兩組，每組4隊進行單循環(huán)比賽，以積分和凈勝球數取前兩名；（2）半決賽：甲組第一名與乙組第二名，乙組第一名與甲組第二名進行主?客場交叉淘汰賽（每兩隊主?客場各賽1場），決出勝者；（3）決賽：兩個勝隊參加，比賽1場，決出勝負．則全部賽程共需比賽的場數為（）A.15 B.16 C.17 D.18〖答案〗C〖解析〗.故選：C．8.在如圖所示的試驗裝置中，兩個正方形框架ABCD，ABEF的邊長都是2，且它們所在的平面互相垂直，活動彈子M，N分別在正方形對角線AC和BF上移動，且CM和BN的長度保持相等，記，其中．則MN的長的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗平面平面，平面平面，，平面，平面，則以為坐標原點，為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，，；則，當時，最小，最小值為.故選：A.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.下列說法正確的有（）A.若，則B.在的展開式中，含的項的系數是－15C.被5除所得的余數是1D.現有壹圓、伍圓、拾圓、貳拾圓和伍拾圓的人民幣各一張，一共可以組成31種幣值〖答案〗BCD〖解析〗對于A，若，則或，解得或，故A不正確；對于B，含的項是由的5個括號中4個出僅1個括號出常數，所以含的項的系數是，故B正確；對于C，，所以被5除所得的余數是1，故C正確；對于D，壹圓、伍圓、拾圓、貳拾圓和伍拾圓的人民幣各一張，一共可以組成種幣值，故D正確.故選：BCD.10.下列說法正確的有（）A.某學校有2023名學生，其中男生1012人，女生1011人，現選派10名學生參加學校組織的活動，記男生的人數為X，則X服從超幾何分布B.若隨機變量X的數學期望，則C.若隨機變量X的方差，則D.隨機變量則〖答案〗AC〖解析〗A選項：根據超幾何分布的定義，可知A正確；B選項：，故B錯誤；C選項：，故C正確；D選項：因所以，根據組合數的對稱性可知，，故D錯誤.故選：AC11.從裝有5個紅球和4個藍球的袋中，每次不放回地隨機摸出一球．記“第i(,2)次摸球時摸到紅球”為，“第j(,2)次摸球時摸到藍球”為，則（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗由題意可得,則，A正確；，故，B正確；由于，故，同理,故，C錯誤；,所以，D正確，故選：ABD12.《九章算術·商功》：“斜解立方，得兩塹堵，斜解塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑．陽馬居二，鱉腳居一，不易之率也．合兩鱉臑三而一，驗之以基，其形露矣．文中“塹堵”是指底面是直角三角形，且側棱垂直于底面的三棱柱；文中“陽馬”是指底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐；文中“鱉”是指四個面都是直角三角形的三棱錐.在塹堵中，如圖所示，若AC⊥BC，，．（）A.四棱錐為陽馬B.三棱錐為鱉臑C.點P在側面及其邊界上運動，點M在棱AC上運動，若直線，AP是共面直線，則點P的軌跡長度為D.點N在側棱上運動，則的最小值為〖答案〗ABC〖解析〗對A，直三棱柱中，，，又AC⊥BC，平面，所以平面，底面為矩形，故四棱錐為陽馬，正確；對B，在三棱錐中，由題意及A知都為直角三角形，故正確；對C，如圖，當在面對角線上運動時，平面，平面，即直線，AP是共面直線，即點P的軌跡長度為，故正確；對D，直三棱柱側面與側面展開在同一平面上可得長為，寬為4的矩形，如圖，連接交于，此時有最小值，故錯誤.故選：ABC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．（16題第一空2分，第二空3分）13.如圖，我國古代珠算算具——算盤的每個檔（掛珠的桿）上有7顆算珠，用梁隔開，梁上面2顆叫上珠，每珠代表數值5，梁下面5顆叫下珠，每珠代表數值1，若從個位檔與十位檔靠梁撥3顆珠（每檔至少撥一珠，同一檔不可撥兩顆上珠），表示兩位數，記所得的兩位數為X，則_____________．〖答案〗〖解析〗由已知隨機試驗從個位檔與十位檔靠梁撥3顆珠，表示兩位數，可得下列結果：，共8個結果，其中隨機事件包含下列結果，，所以.故〖答案〗為：.14.若，則_____________．〖答案〗〖解析〗由可得，令，則，故，故〖答案〗為：15.如圖，將邊長的正方形沿對角線BD折起，連接AC，構成一四面體，使得，則點到平面的距離為_____________．〖答案〗〖解析〗由已知可得，，，取的中點，連接，因為，，所以，因為，，所以，又，所以，因為，點為的中點，所以，由平面，，所以平面，所以點到平面的距離為，又的面積為，所以三棱錐的體積為，設點到平面的距離為，則，又，因為，所以的面積為，所以，所以.所以點到平面的距離為.故〖答案〗為：.16.某地為貫徹關于“綠水青山就是金山銀山”的精神，鼓勵農戶利用荒坡種植果樹．某農戶種植樹苗的自然成活率為0.9．該農戶決定種植棵樹苗，種植后沒有自然成活的樹苗中有75%的樹苗可經過人工栽培技術處理，處理后成活的概率為0.8，其余的樹苗不能成活，則一棵樹苗最終成活的概率為_____________，若種植每棵樹苗最終成活后可獲利300元，不成活的每棵虧損50元，該農戶為了獲利不低于25萬元，至少需要種植_____________棵樹苗．〖答案〗①②〖解析〗一棵樹苗最終成活的概率為，根據題意可得，解得，因為，所以的最小值為，即至少需要種植棵樹苗．故〖答案〗為：；.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.有六位同學A，B，C，D，E，F站成一排照相，如果：（1）A，B兩人不排在一起，有幾種排法？（2）C，D兩人必須排在一起，有幾種排法？（3）E不在排頭，F不在排尾，有幾種排法？解：（1）先排除A，B外的四個人，再將A，B插入到其余4人所形成的5個空中，因此，排法種數為；（2）將C，D兩人捆綁一起看作一個復合元素和其他4人去安排，因此，排法種數為；（3）E不在排頭，F不在排尾，分以下兩種情況討論：①若E在排尾，則剩下的5人全排列，故有種排法；②若E不在排尾，則E有4個位置可選，B有4個位置可選，將剩下的4人全排列，安排在其它4個位置即可，此時，共有種排法．綜上所述，共有種不同的排法種數．18.已知在的展開式中，前3項的系數成等差數列，求：（1）展開式中二項式系數最大的項；（2）展開式中系數最大的項．解：（1）的展開式的通項為，（，1，…，n），因為前3項的系數成等差數列，所以，化簡得，解得或（舍）．展開式共有9項，二項式系數最大的項為.（2）由（1）知，展開式的通項為，（，1，…，8），設第項的系數最大，則，即，解得，則或，所以展開式的第3項與第4項系數最大，即和.19.如圖，內接于⊙O，為⊙O的直徑，，，，為的中點，且平面平面．（1）證明：平面；（2）若，求二面角的正弦值．解：（1）因為是⊙O的直徑，所以，因為，，所以，又因為，為的中點，所以，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，因為平面，所以，又因為平面ACD，，所以平面（2）因為，，，所以，所以，因為平面，平面，所以，以為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系C-xyz，則，，，．顯然，是平面的一個法向量，設是平面的一個法向量，則令，則，所以，設二面角所成角為，，則，所以二面角的正弦值為20.在一個袋子里有大小一樣的5個小球，其中有3個紅球和2個白球．（1）若有放回地每次從中摸出1個球，連摸3次，設摸到紅球的次數為X，求隨機變量X的概率分布及期望；（2）若每次任意取出1個球，記錄顏色后放回袋中，直到取到兩次紅球就停止，設取球的次數為Y，求的概率．解：（1）由題意分析，X的可能值為0，1，2，3所以，，，．分布列：X0123P．（2）依題意，每次取到紅球的概率為，取到白球的概率為．即是“前3次只有1次取到紅球，其余2次取到白球，第4次取到紅球”，所以．21.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，點E，F，N分別為側棱P