甘肅省平?jīng)鍪星f浪縣紫荊中學2024屆高三上學期第一次模擬考試 數(shù)學試題（含解析）

紫荊中學2024年高考第一次模擬考試試題（卷）高三數(shù)學高三數(shù)學備課組一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．若，，則p是q的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．已知，則下列不等式中一定成立的是（

）A． B． C． D．4．方程的解的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．45．已知，，，則（

）A． B．C． D．6．函數(shù)的大致圖象是（

）A． B．C． D．7．溶液酸堿度是通過pH計量的.pH的計算公式為，其中表示溶液中氫離子的濃度，單位是摩爾/升，已知胃酸中氫離子的濃度為摩爾/升，則胃酸的約為（

）（參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.301）A．0.398 B．1.301 C．1.398 D．1.6028．已知函數(shù)在上單調遞減，則的取值范圍（

）A． B． C． D．二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多個選項是符合題目要求的，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分）9．已知x>0，y>0，且2x+y=2，則下列說法中正確的（

）A．xy的最大值為 B．4x2+y2的最大值為2C．4x+2y的最小值為4 D．的最小值為410．已知函數(shù)，則下列結論正確的是（

）A．在上為增函數(shù)B．C．若在上單調遞增，則或D．當時，的值域為11．函數(shù)的定義域為，值域為，下列結論中一定成立的結論的序號是（

）A． B． C． D．12．已知是定義在上的奇函數(shù)，且函數(shù)為偶函數(shù)，則下列結論正確的是（

）A．函數(shù)的圖象關于直線對稱B．當時，的零點有6個C．D．若，則三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡中橫線上）13．已知函數(shù)，則．14．已知冪函數(shù)的圖象過點，設，則a、b、c的大小用小于號連接為．15．若偶函數(shù)在上單調遞減，且，則不等式的解集是.16．已知函數(shù)，且函數(shù)恰有三個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是．四、解答題（本大題共6小題，共70分．解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17．設，且.(1)求的值及的定義域；(2)求在區(qū)間上的最大值.18．盒中有4個球，分別標有數(shù)字1、1、2、3，從中隨機取2個球．(1)求取到2個標有數(shù)字1的球的概率；(2)設X為取出的2個球上的數(shù)字之和，求隨機變量X的分布列及數(shù)學期望．19．已知等比數(shù)列的各項均為正值，是、的等差中項，，記．(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)設數(shù)列的前項和為，證明：．20．在中，角A，B，C對應邊為a，b，c，其中．(1)若，且，求邊長c；(2)若，求的面積．21．如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，//，，，平面平面，，.(1)求證：；(2)求二面角的余弦值．22．已知函數(shù)是奇函數(shù).（1）求實數(shù)，的值；（2）若對任意實數(shù)，都有成立.求實數(shù)的取值范圍.1．B【分析】方法一：求出集合后可求.【詳解】[方法一]：直接法因為，故，故選：B.[方法二]：【最優(yōu)解】代入排除法代入集合，可得，不滿足，排除A、D；代入集合，可得，不滿足，排除C.故選：B.【整體點評】方法一：直接解不等式，利用交集運算求出，是通性通法；方法二：根據(jù)選擇題特征，利用特殊值代入驗證，是該題的最優(yōu)解．2．B【分析】確定命題，中的范圍，然后由充分必要條件的定義判斷．【詳解】由題意，，即成立能得出成立，，但成立不能得出成立，故p是q的必要不充分條件.故選：B．3．D【分析】利用不等式的性質判斷.【詳解】A.當時，，故錯誤；B.當時，，故錯誤；

C.當時，，不成立，故錯誤；D.由，則，則，故正確；故選：D4．B【分析】將題意轉化為的圖象與的圖象交點的個數(shù)即可得結果.【詳解】∵，∴.而的圖象如圖，

∴的圖象與的圖象總有兩個交點，即方程的解的個數(shù)是2，故選：B.【點睛】本題主要考查了方程根的問題，利用數(shù)形結合思想是解題的關鍵，屬于基礎題.5．C【分析】利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調性求解.【詳解】解：因為，，，所以，故選：C．6．D【分析】探討給定函數(shù)的性質，結合當時函數(shù)值的符號即可判斷作答.【詳解】函數(shù)定義域為，，則有函數(shù)是奇函數(shù)，其圖象關于原點對稱，選項B，C不滿足；當時，，即，因此，選項A不滿足，D符合條件.故選：D7．D【分析】直接利用所給公式計算求解即可【詳解】由題意得胃酸的為，故選：D8．B【分析】轉化為函數(shù)在上單調遞增，且在上恒成立，再根據(jù)二次函數(shù)的單調性以及不等式恒成立列式可求出結果.【詳解】因為函數(shù)在上單調遞減，所以函數(shù)在上單調遞增，且在上恒成立，所以，解得.故選：B9．ACD【分析】在條件下結合基本不等式可以對每一個選項作出正確的判斷.【詳解】由，當時等號成立，所以A正確；，所以的最小值為2，故B不正確；由，，當時等號成立，故C正確；由，，當時等號成立，故D正確.故選：ACD.10．BC【分析】結合分段函數(shù)的單調性對選項逐一辨析即可.【詳解】易知在(－∞，0]，(0，＋∞)上單調遞增，A錯誤，，，B正確；若在(a，a＋1)上單調遞增，則或，即或，故C正確；當時，，當時，，故時，的值域為，故D錯誤.故選：BC.11．ACD【分析】先研究值域為時函數(shù)的定義域，再研究使得值域為得函數(shù)的最小值的自變量的取值集合，研究函數(shù)值取1，2時對應的自變量的取值，由此可判斷各個選項.【詳解】由于，，，，，即函數(shù)的定義域為當函數(shù)的最小值為1時，僅有滿足，所以，故D正確；當函數(shù)的最大值為2時，僅有滿足，所以，故C正確；即當時，函數(shù)的值域為，故，故不一定正確，故A正確，B錯誤；故選：ACD【點睛】關鍵點睛：本題考查函數(shù)的定義域及其求法，解題的關鍵是通過函數(shù)的值域求出函數(shù)的定義域，再利用元素與集合關系的判斷，集合的包含關系判斷，考查了學生的邏輯推理與轉化能力，屬于基礎題.12．AC【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質化簡整理即可得出.【詳解】對A，因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以的圖象關于直線對稱，故A正確；對B，因為的變化情況不確定，所以無法確定零點個數(shù)，故B錯誤；對C，因為為奇函數(shù)，所以，因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以，則，所以，故C正確；對D，由C選項可得是周期為4的函數(shù)，因為為奇函數(shù)，所以，所以，，，所以，故D錯誤.故選：AC.13．【分析】根據(jù)分段函數(shù)的定義及指數(shù)冪與對數(shù)的運算法則即可求解.【詳解】解：因為，所以，所以故答案為：.14．【分析】首先求出冪函數(shù)的解析式，再利用其單調性即可比較大小.【詳解】冪函數(shù)的圖象過點，則，所以冪函數(shù)的解析式為，且函數(shù)為單調遞增函數(shù)，又，所以，即.故答案為：.15．【分析】根據(jù)偶函數(shù)的性質得到時，即可將不等式化為，解得即可.【詳解】解：因為偶函數(shù)在上單調遞減，所以在上單調遞增，又，所以，所以當時，則不等式等價于，解得，所以原不等式的解集為.故答案為：16．【分析】作出函數(shù)的圖象，把函數(shù)的零點轉化為直線與函數(shù)圖象交點問題解決.【詳解】由得，即函數(shù)的零點是直線與函數(shù)圖象交點橫坐標，當時，是增函數(shù)，函數(shù)的值域為，當時，是減函數(shù)，當時，，，當時，是增函數(shù)，當時，，在坐標平面內作出函數(shù)的圖象，如圖，

觀察圖象知，當時，直線與函數(shù)圖象有3個交點，即函數(shù)有3個零點，所以實數(shù)的取值范圍是：.故答案為：.17．(1)2，；(2)2.【分析】（1）由代入可得的值，列出不等式組可得定義域；（2）根據(jù)復合函數(shù)的單調性判斷在區(qū)間的單調性即可得結果.【詳解】（1）∵，∴，∴.由，解得，∴函數(shù)的定義域為.（2），∴當時，是增函數(shù)；當時，是減函數(shù)，函數(shù)在上的最大值是.18．(1)(2)分布列見解析，期望為【分析】（1）根據(jù)古典概型的公式，求的總數(shù)和符合題意事件的個數(shù)，可得答案；（2）列出分布列，并求隨機變量X的分布列及數(shù)學期望；【詳解】（1）取到2個標有數(shù)字1的球的概率為（2）從6個球中任意取出3個球的取法總數(shù)為，X的取值范圍是.，，，;所以X的分布列為：X2345故19．(1)，(2)證明見解析【分析】（1）設數(shù)列的公比為，則，根據(jù)題意可得出關于、的方程組，解出這兩個量的值，即可求得數(shù)列和的通項公式；（2）求得，利用裂項相消法可證得結論成立.【詳解】（1）解：設數(shù)列的公比為，則，由題意知，可得，解得，所以，，．（2）證明：因為，所以.20．(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等變換的知識求得.（2）利用正弦定理、兩角和的正弦公式以及三角形的面積公式求得正確答案.【詳解】（1）依題意，，由正弦定理得，即，，由于，所以，則，由正弦定理得.（2）依題意，，由正弦定理得，由于，，所以，由于，所以為銳角，所以，則，，由正弦定理得，所以.21．(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)平面與平面垂直的性質，結合線面垂直性質即可判定；（2）取中點O，連接，，可證明，進而建立空間直角坐標系，寫出各個點的坐標，并求得平面和平面的法向量，即可由空間向量法求得二面角的余弦值.【詳解】（1）在四棱錐中，因為平面平面，平面平面，又因為，平面，所以平面，因為平面，所以.（2）取中點O，連接，，因為，所以.因為平面平面，平面平面，因為平面，所以平面，因為平面，所以，.因為，，，所以，，所以四邊形是平行四邊形，所以.如圖建立空間直角坐標系，則，，，，，.，.設平面的法向量為，則即令，則，，所以.因為平面的法向量，所以由圖可知二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為.22．（1）；（2）.【解析】（1）利用奇函數(shù)的定義可構造方程求得結果；（2）將不等式轉化為，令，可將不等式化為，根據(jù)二次函數(shù)性質，分別在和兩種情況下求得，利用可求得結果.【詳解】（1）