高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義直線與方程

課題：直線與方程知識(shí)點(diǎn)一、直線方程1．直線的傾斜角①定義．當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，我們?nèi)軸作為基準(zhǔn)，x軸的正方向與直線l向上的方向之間所成的角叫做直線l的傾斜角．當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為0°.②范圍：傾斜角的范圍為．2．直線的斜率①定義．一條直線的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母k表示，即，傾斜角是90°的直線沒有斜率．當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí),,.②過兩點(diǎn)的直線的斜率公式．經(jīng)過兩點(diǎn)的直線的斜率公式為.直線的點(diǎn)斜式方程直線經(jīng)過點(diǎn)，且斜率為，則直線的方程為：.這個(gè)方程就叫做直線點(diǎn)斜式方程.特別地，直線過點(diǎn)，則直線的方程為：.這個(gè)方程叫做直線的斜截式方程.4.直線的兩點(diǎn)式方程直線過兩點(diǎn)其中，則直線的方程為：.這個(gè)方程叫做直線的兩點(diǎn)式方程.當(dāng)時(shí)，直線與軸垂直，所以直線方程為：；當(dāng)時(shí)，直線與軸垂直，直線方程為：.特別地，若直線過兩點(diǎn)，則直線的方程為：，這個(gè)方程叫做直線的截距式方程.5.直線的一般式方程關(guān)于的二元一次方程（A，B不同時(shí)為0）叫做直線的一般式方程.由一般式方程可得，B不為0時(shí)，斜率，截距.6．兩直線的平行關(guān)系(1)對(duì)于兩條不重合的直線，其斜率為，有.(2)對(duì)于兩條直線，有.7．兩條直線的垂直關(guān)系(1)對(duì)于兩條直線，其斜率為，有.(2)對(duì)于兩條直線，有.8．兩點(diǎn)間的距離公式設(shè)兩點(diǎn)，則.9．點(diǎn)到直線的距離公式設(shè)點(diǎn)，直線，則點(diǎn)到直線的距離.10．兩平行線間的距離公式設(shè)兩條平行直線，則這兩條平行線之間的距離.【典型例題】【例1】已知直線的傾斜角為，則的值是（）A．B．C．D．【答案】C試題分析：，選C.【例2】過點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】所求直線與垂直，則斜率為，由所求直線過點(diǎn)，得直線方程為【例3】過點(diǎn)，且在軸上的截距是在軸上截距2倍的直線方程是（）A.B.或C.D.或【答案】B試題分析：當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)所求方程為；當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，可設(shè)其截距式為，由該直線過即可解得，對(duì)應(yīng)方程為，即.故選B.【例4】“”是“直線與直線平行”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】A試題分析：兩直線平行，則有，故為充分不必要條件.【例5】已知直線過點(diǎn)且與點(diǎn)，等距離，則直線的方程為（）A．B．C．或D．或【答案】D試題分析：設(shè)所求直線的方程為，即，由已知及點(diǎn)到直線的距離公式可得，解得或，即所求直線方程為或．【舉一反三】1．過點(diǎn)且垂直于直線的直線方程為（）A．B．C．D．【答案】A試題分析：根據(jù)兩直線垂直，斜率乘積為，得直線斜率為，由點(diǎn)斜式得.2．設(shè)直線，，若，則（）A.B.1C.D.0【答案】A【解析】，解得：，故選A.3．已知，則“”是“直線與直線垂直”的（）A.充要條件B.必要而不充分條件C.充分而不必要條件D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】“直線與直線垂直”的充要條件為，因此“”是“直線與直線垂直”的充分而不必要條件，選C.4．過點(diǎn)，的直線的斜率為，則（）A．B．C．D．【答案】D試題分析：，解得：，即,,所以,故選D.5．已知直線在軸和軸上的截距相等，則的值是（）A．1B．C．或D．或1【答案】D試題分析：由直線的方程：得此直線在軸與軸上的截距分別為和，由得或，故選D.【鞏固練習(xí)】1．點(diǎn)（3，5）在直線l：ax﹣y+2=0上，則直線A.30°B.45°C.60°D.120°【答案】C【解析】∵點(diǎn)(3,5)在直線l:ax?y+2=0上∴3a?4+2=0,∴a=3即直線的斜率為3，直線l2．兩條平行直線和之間的距離為A.B.C.D.4【答案】A【解析】∵和互相平行，∴，即m=2或1，經(jīng)檢驗(yàn)：m=2兩直線重合，故m=1；兩條平行直線和之間的距離d=3．下列直線中與直線平行的一條是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】試題分析：兩直線平行，斜率相等，原題直線斜率是，故排除A，C，B選項(xiàng)化簡后和原直線重合，故選D.考點(diǎn)：直線與直線的位置關(guān)系.【易錯(cuò)點(diǎn)晴】本題主要考查兩條直線的位置關(guān)系.在平面中，兩條之間的位置關(guān)系有相交和平行，當(dāng)直線斜率不相同時(shí)，兩直線相交，當(dāng)斜率相同且截距不相同時(shí)，兩直線平行.所以兩條平行線斜率是相等的，在選項(xiàng)中，B，D兩個(gè)選項(xiàng)的斜率都是，和原直線的斜率相同，但是通過觀察后發(fā)現(xiàn)，B選項(xiàng)可以化簡，所得直線和原直線重合，故要排除.4．經(jīng)過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線是（）．A.B.C.或D.或【答案】D【解析】若直線過原點(diǎn)，則直線為符合題意，若直線不過原點(diǎn)設(shè)直線為，代入點(diǎn)解得，直線方程整理得，故選．5．若，，三點(diǎn)共線，則的值為（）．A.B.C.D.【答案】A【解析】∵，，∵三點(diǎn)共線，∴，共線，∴，解得，選擇．6．已知直線與直線有相同的斜率，且，則實(shí)數(shù)的值是____________．【答案】【解析】試題分析：依題意有，解得.考點(diǎn)：直線斜率.7．已知線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和，若直線與線段有交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】試題分析：.考點(diǎn)：1、兩直線的位置關(guān)系；2、直線的斜率和傾斜角.傾斜角的變化范圍，再利用斜率圖象確定斜率的取值范圍，再解相關(guān)不等式，即：先求得.8．直線的傾斜角等于_________．【答案】【解析】直線的斜率為1.設(shè)傾斜角為，則有.所以.直線的傾斜角等于.9．已知兩直線，若，則_______；若，則__________【答案】【解析】兩直線，若，則，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意；若，則故答案為，10．經(jīng)過點(diǎn)（2，0），與平行的直線方程是_______________.【答案】；【解析】設(shè)與平行的直線方程是∵要求的直線過（2，0）∴，即∴經(jīng)過點(diǎn)（2，0），與平行的直線方程是故答案為11．已知兩條直線與平行，則的值為________________.【答案】1【解析】由得：，當(dāng)k=0時(shí)，顯然不符合題意；當(dāng)k時(shí)，，即時(shí)，兩直線重合舍去，∴故答案為：12．點(diǎn)到直線的距離為__________.【答案】【解析】試題分析：根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可得.考點(diǎn)：點(diǎn)到直線的距離公式.【課后練習(xí)】正確率：________1．直線和直線.若，則的值為（）A.1B.0C.0或1D.0或1【答案】C由兩直線平行可得,解得.代入兩直線的方程驗(yàn)證,當(dāng).2．若直線與直線垂直，則的值為（）A.3B.3C.D.【答案】B試題分析：直線的斜率為，直線的斜率為，因?yàn)閮芍本€垂直所以，解得。故B正確。3．兩直線與平行，則它們之間的距離為（）A．B．C．D．【答案】D試題分析：由兩直線平行可知，所以距離為4．已知關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，則滿足的直線方程為（）A．B．C．D．【答案】D試題分析：由題意得，設(shè)點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，所以，解得，此時(shí)點(diǎn)滿足直線，故選D．5．“”是“直線與互相平行”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．即不充分也不必要條件【答案】A試題分析：直線與互相平行的充要條件為，即或，因此“”是“直線與互相平行”的充分不必要條件，選A.6．已知直線與直線平行，則直線在軸上的截距為（）A．B．C．D．【答案】B試題分析：由已知得，得，則直線在軸上的截距為,故選B．7．若直線經(jīng)過點(diǎn)和，且與經(jīng)過點(diǎn)斜率為的直線垂直，則實(shí)數(shù)的值為（）A．B．C．D．【答案】A試題分析：由題意得，直線的斜率為，所以，所以，8．過點(diǎn)，且在軸上的截距是在軸上截距的2倍的直線方程是（）（A）（B）或（C）（D）或【答案】B試題分析：當(dāng)此直線經(jīng)過原點(diǎn)時(shí),又過點(diǎn),所以直線方程為；當(dāng)此直線不過原點(diǎn)時(shí),設(shè)此直線方程為,點(diǎn)在此直線上,所以,此時(shí)直線方程為.綜上,滿足題意得直線方程為或,故選B.9．已知直線與直線平行，則它們之間的距離為__________．【答案】【解析】兩條直線平行即斜率相等，所以，即，直線化簡為，所以距離，故答案為10．若直線與直線平行，則__________．【答案】由題設(shè)可得或，當(dāng)時(shí)，兩直線重合，故，應(yīng)填答案。11．直線在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)，且坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為，則直線的方