四川省綿陽市2023-2024學年高一年級下冊3月月考 數(shù)學 含解析

三臺中學2023級高一下期第一次學月考試

數(shù)學試卷

本試卷分為試題卷和答題卡兩部分，其中試卷共4頁，答題卡共4頁，滿分150分，考試時

間120分鐘.

注意事項：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的學校、班級、姓名用0.5毫米黑色簽字筆填寫清楚，同時用2B

鉛筆將考號準確填涂在“考號”欄目內(nèi).

2.選擇題使用2B鉛筆填涂在答題卡對應(yīng)題目標號的位置上，如需改動，用橡皮擦擦干凈后

再選涂其它答案；非選擇題用0.5毫米黑色簽字筆書寫在答題卡的對應(yīng)框內(nèi)，超出答題區(qū)域

書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效.

3.考試結(jié)束后將答題卡收回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求.

1.sin24cos6+cos24sin6的值為()

幣B也C.4D.立

A.

2223

2.已知向量a力不共線，AB=a+3b>BC=5a+3b>CD=-3a+3b>貝1J()

A.A,B,C三點共線B.A,C,。三點共線

C.A,B,。三點共線D.B,C,。三點共線

3.設(shè)sin6-cos。=---，貝!1sin2。=()

3

7117

A-B.-C.——D.——

9999

4.在等邊LABC中，點。是邊BC的中點，且AD=2石，則1為（）

A.-16B.16C.-8D.8

5.為了得到函數(shù)/（x）=sin[2x—：J的圖象，只需要把函數(shù)y=sinx圖象（）

A.先將橫坐標縮短到原來2倍（縱坐標不變），再向右平吟個單位

B.先將橫坐標縮短到原來的;倍（縱坐標不變），再向右平移］個單位

/O

7T

C.先向左平移一個單位，再將橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變）

D.先向右平移J個單位，再將橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變）

O

6.下列結(jié)論正確的是（）

A.若同二2上卜則〃=2/?或a=—2Z?

B.若w/z?，bile>則a〃e

C.若松2=0,mwR,則根=0或Q=0

D.若ma=mb,其中相￡火，則〃=

7.筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，既經(jīng)濟又環(huán)保，明代科學家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖

1描繪了筒車的工作原理.假定在水流穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做勻速圓周運動.將筒車抽

象為一個幾何圖形（圓），筒車的半徑為2m,筒車的軸心。到水面的距離為1m,筒車每分鐘按逆時針轉(zhuǎn)

動2圈.規(guī)定：盛水筒〃對應(yīng)的點尸從水中浮現(xiàn)（即兄時的位置）時開始計算時間，設(shè)盛水筒〃從《運

動到點尸時所用時間為/（單位：s）,且此時點尸距離水面的高度為/I（單位：m）.若以筒車的軸心。為

坐標原點，過點0的水平直線為x軸建立平面直角坐標系犬OY（如圖2）,則力與/的函數(shù)關(guān)系式為

（）

A.h-2sinB.h-2sin+1,[￡[0,+GO)

C.h-2sin+1,te[0,+oo)D.h-2sin+1,l￡[0,+8)

8.若函數(shù)/（x）=sin[2x-《J在區(qū)間[0,a）上有且僅有兩個零點，則實數(shù)”的最大值是（）

兀兀7兀13兀

A.—B.—C.—D.---

1231212

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.下列命題為真命題的是（）

A.AB-AM=MB

B.零向量與任意向量共線

C.互為相反向量兩個向量的模相等

D.若向量滿足,卜1,慟=4,則

10.計算下列各式，結(jié)果為黃的是（）

tan3001+tan15°

A.------——B.--------

1-tan-30°1-tan15°

C.2（cos215°-sinl5°cos75°）D.tan40°+tan20°+6tan40°tan20°

11.（多選）函數(shù)y=Asin（（ur+9）（A＞0,。＞0,。＜。＜兀）在一個周期內(nèi)的圖像如圖所示，貝U

（）

A.該函數(shù)的解析式為y=2sin（gx+l]

B,該函數(shù)圖像的對稱中心為[左乃―g,o],keZ

5JT71

C.該函數(shù)的增區(qū)間是3kn----,3kn+—,keZ

_44_

D.把函數(shù)y=2sin[x+1]的圖像上所有點的橫坐標伸長為原來的|■倍，縱坐標不變，可得到該函數(shù)圖

像

三臺中學2023級高一下期第一次學月考試

數(shù)學

命題人：審題人：

本試卷分為試題卷和答題卡兩部分，其中試卷共4頁，答題卡共4頁，滿分150分，考試時

間120分鐘.

注意事項：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的學校、班級、姓名用0.5毫米黑色簽字筆填寫清楚，同時用2B

鉛筆將考號準確填涂在“考號”欄目內(nèi).

2.選擇題使用2B鉛筆填涂在答題卡對應(yīng)題目標號的位置上，如需改動，用橡皮擦擦干凈后

再選涂其它答案；非選擇題用0.5毫米黑色簽字筆書寫在答題卡的對應(yīng)框內(nèi)，超出答題區(qū)域

書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效.

3.考試結(jié)束后將答題卡收回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求.

1.sin24cos6+cos24sin6的值為（）

A.BB.—C.1D.正

2223

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)兩角和的正弦公式sin（a+/?）=sinacos/?+cosasin/7,求解即可.

【詳解】sin24cos6+cos24sin6=sin（24+6=sin30=g

故選：C

【點睛】本題考查三角恒等變換，屬于較易題.

2.已知向量a/不共線，AB=a+3b^BC=5a+3b，CD=—3a+3b，則（）

A.A,B,C三點共線B.A,C,。三點共線

C.A,B,。三點共線D.B,C,D三點共線

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)向量共線定理進行判斷即可.

【詳解】因為a力不共線，AB=a+3b>BC=5a+3b^CD=-3a+3b<

易得AB,BC,CD互不共線，所以A,B,C三點不共線，B,C,D三點不共線，故AD錯誤;

又AC=AB+BC=6a+6b，易得AC,CD不共線，則A，C,。三點不共線，故B錯誤；

而BD=8C+CD=2a+6b=2(a+3b)=2AB,所以A,B,￡>三點共線，故C正確.

故選：C.

3.設(shè)sin6-cos6=，貝！1sin2。=()

3

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)題意，利用三角函數(shù)的基本關(guān)系式和正弦的倍角公式，即可求解.

【詳解】由sin6-cos6，

3

平方可得(sin8—cos=sin20+cos28-2sin，cos=1-sin2^=—,

7

解得sin26=—.

9

故選：A.

4.在等邊中，點。是邊BC的中點，且AO=2石，則AbBd為()

A.-16B.16C.-8D.8

【答案】C

【解析】

【分析】利用向量數(shù)量積定義即可求得A?8C的值.

【詳解】等邊oABC中，點。是邊5C的中點，且4)=26，

則NZM8=30。,3c=23￡>=2(4￡>_回，AB=4,

則A3?BC=AB.2(AD-A3)=2AB-AD-2Afi2

=2x4x2\^cos30-2x42=-8

故選：C

5.為了得到函數(shù)/（x）=sin12x-：J圖象，只需要把函數(shù)y=sinx圖象（）

A.先將橫坐標縮短到原來的;倍（縱坐標不變），再向右平移4個單位

B.先將橫坐標縮短到原來的J倍（縱坐標不變），再向右平移1個單位

ZO

7T

C.先向左平移一個單位，再將橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變）

4

D.先向右平移J個單位，再將橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變）

8

【答案】B

【解析】

【分析】利用平移變換和周期變換規(guī)則來判斷.

【詳解】為了得到函數(shù)〃x）=sin[2x-的圖象，只需要把函數(shù)y=sinx圖象

先向右平移四個單位，再將橫坐標縮短到原來的J（縱坐標不變），CD錯；

42

1Jr

也可以先將橫坐標縮短到原來的;倍（縱坐標不變），再向右平移2個單位，A錯誤，B正確.

故選：B.

6.下列結(jié)論正確的是（）

A.若同二211則〃=2/?或a=—2/?

B.若〃〃Z?，bHe，則〃〃e

C.若ma=0,meR,則根=0或〃=0

D.若ma-mb，其中相則〃=

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)相等向量，共線向量，數(shù)乘運算的定義分別進行判斷即可.

【詳解】對于A,當時=2忖時，〃與人可能不共線，

如〃=（2,0）,b—（0,1）,滿足同=2，但不滿足〃=2b或a=—2Z?，A錯誤；

對于B,若匕=0，此時o〃b，bile，但〃與C可能不共線，B錯誤；

對于C,由向量數(shù)乘運算定義知C正確；

對于D,若機=0,則777a=/〃》，此時。與匕可以,是任意向量，D錯誤.

故選：C.

7.筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，既經(jīng)?齊又環(huán)保，明代科學家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖

1描繪了筒車的工作原理.假定在水流穩(wěn)定的情況下,筒車上的每一個盛水筒都做勻速圓周運動.將筒車抽

象為一個幾何圖形（圓），筒車的半徑為2m,筒車白勺軸心0到水面的距離為1m,筒車每分鐘按逆時針轉(zhuǎn)

動2圈.規(guī)定：盛水筒M對應(yīng)的點尸從水中浮現(xiàn)（即4時的位置）時開始計算時間，設(shè)盛水筒M從兄運

動到點尸時所用時間為單位：s）,且此時點尸距離水面的高度為/?（單位：m）.若以筒車的軸心。為

坐標原點，過點。的水平直線為X軸建立平面直角2且標系x0y（如圖2）,則力與，的函數(shù)關(guān)系式為

（）

P___y_

、7：,1

...?.**----------------------

.［一d

圖1圖2

A.h=2sin^^-Z-^+l,tG[0,+CO）B./z=2sinz1+1,/

C.//=2sin卜—S]+l,te[0,+co）D.h-2sin^r+^+l,te[0,+oo）

【答案】A

【解析】

分析】

TVrr

首先先求以O(shè)P為終邊的角為r-二，再根據(jù)三名1函數(shù)的定義求點尸的縱坐標，以及根據(jù)圖形表示

71576

%）.

TTTT

【詳解】NxORj,所以。此對應(yīng)的角是一二

66

2X2%7T

由OP在45）內(nèi)轉(zhuǎn)過的角為

6015

C.互為相反向量的兩個向量的模相等

D.若向量3/滿足卜|=1,慟=4,則

【答案】ABCD

【解析】

【分析】利用向量的概念判斷ABC；利用，卜忖牛+可訓(xùn)+|可判斷D.

【詳解】對于A：AB—AM=MB，正確；

對于B：零向量與任意向量共線，正確；

對于C：互為相反向量的兩個向量，大小相同，方向相反，正確；

對于D：由口—W4+6目"|+1|可得當卜|=1，|耳=4時，3<|a+z?|<5,正確;

故選：ABCD.

10.計算下列各式，結(jié)果為指的是(

tan30°1+tan15°

A.----3——B.--------

1-tan230°1-tan15°

C.2(cos2150-sinl5°cos750)D.tan400+tan200+y/3tan40°tan200

【答案】BCD

【解析】

【分析】對于A,利用三角函數(shù)的特殊值即可求解；對于B,D,利用兩角和的正切公式即可求解；對于

C,利用誘導(dǎo)公式及二倍角的余弦公式即可求解.

tan30°_￥，故A錯誤;

【詳解】對于A,匚嬴行心—一、2

1-

7

1+tan15°tan450+tan15°

對于B,--------=-=--t-a-n-(-45-°--+-1-5-°-)--=-tan60°=,故B正確;

1-tan15°l-tanl50xtan45°

對于C,2(COS2150-sin15°cos75°^=2(^cos2150-sin215°^=2cos(2xl50)=2cos30°=百，故C正

確;

,//cctan400+tan200/八門店

對于D由tan(40°+20°)=---------------=tan60°=得

'71-tan40°tan20°

tan400+tan200+6tan40°tan20。=也，故D正確.

故選：BCD.

11.（多選）函數(shù)y二Asin（Gx+o）（A>O,啰>0,0<。<兀）在一個周期內(nèi)的圖像如圖所示，則

()

A.該函數(shù)的解析式為y=2sin[gx+g)

B.該函數(shù)圖像的對稱中心為[左左—g,o],keZ

5兀JC

C.該函數(shù)的增區(qū)間是3fat--,3fat+—,keZ

44

D.把函數(shù)y=2sin[x+]J的圖像上所有點的橫坐標伸長為原來的|■倍，縱坐標不變，可得到該函數(shù)圖

像

【答案】ACD

【解析】

【分析】對于選項A:根據(jù)圖像和已知條件求出A和最小正周期T，然后利用正弦型函數(shù)的最小正周期公

式求出通過代點求出。即可；對于選項BC:結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，利用整體代入法求解即可；對于選

項D：利用伸縮變換即可求解.

2兀(71、

【詳解】由題圖可知，A=2,周期T=——=4?！?3兀，

所以0=則y=2sin[g2x+eJ,

3

jr.|x：+9=2,即si嘴+(p=1,

因為當％=—時，y=2sin

4

所以—(p——F2kli9k￡Z,即夕=—F2kli,k￡Z,

623

JI

又0＜。＜兀，故。=一,

3

從而^=2sinf—x+—j,故A正確；

2兀兀3

令一xH——ku,kwZ,得i=----1—ku,kwZ,故B錯誤;

3322

.兀-7/2兀,兀,

令----\-2kli?—x~\—?—F2kli,k￡Z,

2332

3兀兀

得----F3AJTW尤W—F3防I,左eZ,故C正確;

44

函數(shù)y=2sin[x+1]的圖像上所有點的橫坐標伸長為原來的|■倍，縱坐標不變,

可得到V=2sin-x+-故D正確.

133

故選:ACD

1.1

12.如圖，ABC中，BD=-BC,點E在線段AC上，與BE交于點EBF=-BE,則下列說法

32

正確的是（）

B.網(wǎng)=汩

D.SABFD-S&4FB=1.3

【答案】ACD

【解析】

---2-1---ULIUUUIU

【分析】由己知可得5。:。。=1:2,進而可得=+判斷A；設(shè)AE=2AC，利用A,

F,。共線可求X,進而可判斷B；根據(jù)4尸==">,利用三角形面積比可判斷D；根據(jù)向量的線性運算

4

可判斷C.

【詳解】對于A：根據(jù)5。二工3。，

3

..一1一一1/—-.X21

故=+AB+—3C=AB+—AC—AB=—AB+—AC,故A正確;

33、>33

UUUUUIUIII

對于B：設(shè)AE=XAC，貝!——

1121

AF^AB+BF^-AB+-AAC,又AD=—AB+—AC,

2233

A,F,￡＞三點共線，AF^mAD^-AB+—AAC^m\-AB+-AC

22(33

I?11131

...上=*根且上九=上根，.?/=土，m=?,故AE=—AC,故B錯誤；

2323242

33

對于D：由于m=二，故A尸=—AD,

44

???8跳0：5.=|田|：|”|=1：3,故D正確；

33(21.^11

對于C：AE=—AD=—-AB+-AC\^-AB+-AC,

44(33J24

一11-11-

BF=-AAC——AB=-AC——AB,

2242

31113

CF=CA+AF=CA+-AD=~AC+-AB+-AC=-AB——AC,

42424

AF+2BF+CF^-AB+-AC+2\-AC--AB\+-AB--AC^O,故C正確.

24l4224

故選：ACD.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解決的關(guān)鍵是熟練掌握平面向量的線性運算與基底法，從而得解.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知向量a*的夾角為30°,且。力=3,1=4,則向=________.

【答案】B

2

【解析】

【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義列方程計算即可.

【詳解】由已知a-b=同?WcosSO。=|ax4x^-=3,

解得同=乎.

故答案為：

2

412(兀、(兀、

14.已知sina=1，cos(cif+/?)=--,且a+/3el—,TI1,則COSP=_____

【答案】一:^

65

【解析】

【分析】根據(jù)乃=（。+齊）-。，結(jié)合同角三角關(guān)系和兩角和差公式運算求解.

412L71e加，

【詳解】因為sina=-COS(df+0)=一一,且?！?,—,a+/3

132

2fl-cos2(cr+/?)二尚

則cosa=A/1-sina-sin(tz+0=J

可得COSp=cos[(?+/?)-?]=COS(cr+yff)cosa+sin(a+尸)sina

1235416

X—H-------X—=----------

13513565

16

即COSP=-

65,

16

故答案為:

-65

15.已知sinK+a)=2sin:一a),則sin2a=

3

【答案】-##0.6

5

【解析】

【分析】先將條件利用兩角和與差的正弦公式展開整理后可求出tantz,然后將sin21變形為用tana表

示代入計算即可.

【詳解】因為sin[?+a|=2sin

所以^^cosa+^^sinq=2V2.、

cosa------sina

222

整理得cos。=3sina,即tana='，

3

2

?82sinacosa2tana3

所以sm2a=-----------=--——-3

sina+cosatana+11+15

9

3

故答案為：—.

16.《周髀算經(jīng)》中給出了弦圖，所謂弦圖是由四個全等的直角三角形和中間一個正方形拼成一個大的正

方形.若圖中直角三角形的兩個銳角分別為&,夕，且小正方形與大正方形的面積之比為9:16,則

cos(a-')=

7

【答案】—

16

【解析】

【分析】

設(shè)大正方形的邊長為1,則根據(jù)兩個正方形的面積比可求得小正方形的邊長.表示出直角三角形兩條直角邊

的關(guān)系，再由余弦的差角公式及同角三角函數(shù)關(guān)系式即可得解.

【詳解】設(shè)大正方形的邊長為1,則大正方形的面積為1

因為小正方形與大正方形的面積之比為9:16

93

所以小正方形的面積為7,則小正方形的邊長為一

164

由圖可知sina-cos/?,sin/?=cosa

33

S.cosa-sina=—,sin/?-cos/?=—

9

兩式相乘可得cososin/一cosacosj3-sinasin/?+sincrcos0二一

16

299

化簡可得sinzp+cos20-(cosacos尸+sinasin尸)二一

16

9

l-cos(a-,)二一

7

解得cos（a—尸）=7

16

7

故答案為：——

16

【點睛】本題考查了三角函數(shù)的應(yīng)用，余弦的和差公式及同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用，關(guān)鍵在與理清邊長與

角的關(guān)系,屬于中檔題.

四、解答題：本題共6小圖，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

2cos2。-sin2a

17.已知:

/(?)=2(coscif-sincr)

（1）化簡〃a）;

（2）若a是第二象限角，且sina=|,求/兀

6

【答案】(1)f(a)=cosa

z9\46+3

10

【解析】

分析】(1)利用倍角公式化簡即可；

(2)利用同角三角函數(shù)關(guān)系和兩角和的余弦公式可得.

【小問1詳解】

"/、2COS2(Z-2sin(zcostzcos2a-sintzcos?

f(a)=--------------r—=----------------=COS6Z.

2(cos。-sin。)costz-sintz

【小問2詳解】

JT3

因為a是第二象限角，所以一+24兀＜。＜兀+2左兀，左wZ,且sina=—,

25

M兀)(兀、71..71

故/a+—=cosa+—=costzcos——sintzsin—

I6j(6j66

(4、63146+3

二---X------------x—=--------------.

025210

18.在平行四邊形ABCD中，AB=a,AD=b.

(2)如圖2,如果。是AC與BD的交點，G是。。的中點，試用小匕表示AG.

【答案】(1)BF=b--a,DE=a--b

22

13

(2)AG=—ci—b

44

【解析】

【分析】(1)根據(jù)向量的線性運算結(jié)合圖形直接表示即可;

(2)根據(jù)向量的線性運算結(jié)合圖形直接表示即可.

【小問1詳解】

因為瓦P分別是5C,DC中點,

所以8咒=8。+。/=4￡>—』>18=人—』。,

22

DE=DC+CE=AB--AD=a--b.

22

【小問2詳解】

因為。是AC與3D的交點，G是。。的中點，

uuurauuur3/TLWuum

所以5G=AD—AB)x,

unrtunuxrtun3,uuruumiuumaairir3r

AG=AB+BG=AB+-(AD-AB]x=-AB+-AD=-a+-b.

4、>4444

19.己知tanI+^-j=-3.

(1)求tan。的值；

(2)求sin28的值.

4

【答案】(1)2(2)y

【解析】

【分析】(1)根據(jù)兩角和的正切公式求解即可；

(2)根據(jù)二倍角的正弦公式，結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系式進行求解即可.

【小問1詳解】

...tan]，+(tan^+1

=-3,??.tane=2.

I4J1-tan^

【小問2詳解】

.“2sin<9cos6^2tan<944

sin26=——--------==——-------=------=—.

sin20+cos20tan20+\4+15

71

20.如圖，在扇形。尸。中，半徑。尸=1,圓心角NPOQ二丁.C是扇形圓弧上的動點，矩形A5CO內(nèi)接

于扇形，記NPOC=a.

Q

(1)將矩形A3CD的面積S表示成關(guān)于a的函數(shù)/(a)的形式;

(2)求/(a)的最大值，及此時的角e.

【答案】(1)/(<z)=(cos?-sina)sina(0<tz<—)

)4

jrA/2-1

(2)a=w時，/(a)取得最大值

2

【解析】

【分析】(1)借助三角函數(shù)定義及幾何性質(zhì)即可求解;

(2)借助三角函數(shù)性質(zhì)即可求解.

【小問1詳解】

Be

在△05。中，-^―=sina,BC=sina,

OBf

---=cosa,OB—cosa,

1

OA—DA=BC=sina

AB=cosa—sina,

S=/(a)=(cosa-sina)sina(0<a<：)；

【小問2詳解】

r(\1?cl—cos2a

Sc=/(a)=—sin2a---------,

1?c1「1

二—sin2a+