2024年高考數(shù)學(xué)大一輪(人教A版文)第四章4.1　任意角和弧度制、三角函數(shù)的概念復(fù)習(xí)講義(學(xué)生版+解析)

§4.1任意角和弧度制、三角函數(shù)的概念考試要求1.了解任意角的概念和弧度制.2.能進行弧度與角度的互化，體會引入弧度制的必要性.3.借助單位圓理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義．知識梳理1．角的概念(1)定義：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著________從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形．(2)分類eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(按旋轉(zhuǎn)方向不同分為、、,按終邊位置不同分為和軸線角.))(3)相反角：我們把射線繞端點按不同方向旋轉(zhuǎn)相同的量所成的兩個角叫做互為相反角．角α的相反角記為－α.(4)終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合S＝________________________，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個周角的和．2．弧度制的定義和公式(1)定義：把長度等于________________的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，用符號rad表示．(2)公式角α的弧度數(shù)公式|α|＝eq\f(l,r)(弧長用l表示)角度與弧度的換算1°＝________rad；1rad＝________________弧長公式l＝________扇形面積公式S＝________＝________3.任意角的三角函數(shù)(1)設(shè)α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(x，y)，那么sinα＝__________，cosα＝__________，tanα＝________(x≠0)．(2)任意角的三角函數(shù)的定義(推廣)：設(shè)P(x，y)是角α終邊上異于原點的任意一點，其到原點O的距離為r，則sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．(3)三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如圖．常用結(jié)論1．象限角2．軸線角思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)－eq\f(π,3)是第三象限角．()(2)若角α的終邊過點P(－3,4)，則cosα＝－eq\f(3,5).()(3)若sinα>0，則α是第一或第二象限角．()(4)若圓心角為eq\f(π,3)的扇形的弧長為π，則該扇形面積為eq\f(3π,2).()教材改編題1.－660°等于()A．－eq\f(13,3)πrad B．－eq\f(25,6)πradC．－eq\f(11,3)πrad D．－eq\f(23,6)πrad2．某次考試時間為120分鐘，則從開始到結(jié)束，墻上時鐘的分針旋轉(zhuǎn)了________弧度．3．已知角α的終邊經(jīng)過點P(2，－3)，則sinα＝________，tanα＝________.題型一角及其表示例1(1)(2023·寧波模擬)若α是第二象限角，則()A．－α是第一象限角B.eq\f(α,2)是第三象限角C.eq\f(3π,2)＋α是第二象限角D．2α是第三或第四象限角或在y軸負(fù)半軸上聽課記錄：________________________________________________________________________________________________________________________________________________延伸探究若α是第一象限角，則eq\f(α,2)是第幾象限角？________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)在－720°～0°范圍內(nèi)所有與45°終邊相同的角為________．思維升華確定kα，eq\f(α,k)(k∈N*)的終邊位置的方法先寫出kα或eq\f(α,k)的范圍，然后根據(jù)k的可能取值確定kα或eq\f(α,k)的終邊所在位置．跟蹤訓(xùn)練1(1)若α＝45°＋k·180°(k∈Z)，則α的終邊在()A．第二或第三象限 B．第一或第三象限C．第二或第四象限 D．第三或第四象限(2)(2021·北京)若點P(cosθ，sinθ)與點Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))，sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))))關(guān)于y軸對稱，寫出一個符合題意的θ＝________.題型二弧度制及其應(yīng)用例2已知一扇形的圓心角為α(α>0)，弧長為l，周長為C，面積為S，半徑為r.(1)若α＝35°，r＝8cm，求扇形的弧長；(2)若C＝16cm，求S的最大值及此時扇形的半徑和圓心角．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華應(yīng)用弧度制解決問題的方法(1)利用扇形的弧長和面積公式解題時，要注意角的單位必須是弧度．(2)求扇形面積最大值的問題時，常轉(zhuǎn)化為基本不等式或二次函數(shù)的最值問題．跟蹤訓(xùn)練2已知弧長為60cm的扇形面積是240cm2，求：(1)扇形的半徑；________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)扇形圓心角的弧度數(shù)．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________題型三三角函數(shù)的概念例3(1)設(shè)點P是以原點O為圓心的單位圓上的一個動點，它從初始位置P0(0,1)出發(fā)，沿單位圓順時針方向旋轉(zhuǎn)角θeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<θ<\f(π,2)))后到達點P1，然后繼續(xù)沿單位圓順時針方向旋轉(zhuǎn)角eq\f(π,3)到達點P2，若點P2的縱坐標(biāo)是－eq\f(1,2)，則點P1的坐標(biāo)是________．(2)已知角α的終邊在直線y＝－3x上，則10sinα＋eq\f(3,cosα)的值為()A．－6eq\r(10) B．6eq\r(10)C．0 D．－3eq\r(10)(3)若sinαtanα<0，且eq\f(cosα,tanα)>0，則角α是()A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角聽課記錄：________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華(1)利用三角函數(shù)的定義，已知角α終邊上一點P的坐標(biāo)，可以求出α的三角函數(shù)值；已知角α的三角函數(shù)值，也可以求出點P的坐標(biāo)．(2)利用角所在的象限判定角的三角函數(shù)值的符號時，特別要注意不要忽略角的終邊在坐標(biāo)軸上的情況．跟蹤訓(xùn)練3(1)若角α的終邊上有一點P(a,2a)(a≠0)，則2sinα－cosα的值是()A．－eq\f(3\r(5),5)B.eq\f(\r(5),5)C．－eq\f(\r(5),5)D.eq\f(3\r(5),5)或－eq\f(3\r(5),5)(2)sin2cos3tan4的值()A．小于0B．大于0C．等于0D．不存在(3)若A(1，a)是角θ終邊上的一點，且sinθ＝eq\f(\r(33),6)，則實數(shù)a的值為________．§4.1任意角和弧度制、三角函數(shù)的概念考試要求1.了解任意角的概念和弧度制.2.能進行弧度與角度的互化，體會引入弧度制的必要性.3.借助單位圓理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義．知識梳理1．角的概念(1)定義：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形．(2)分類eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負(fù)角、零角,按終邊位置不同分為象限角和軸線角.))(3)相反角：我們把射線繞端點按不同方向旋轉(zhuǎn)相同的量所成的兩個角叫做互為相反角．角α的相反角記為－α.(4)終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個周角的和．2．弧度制的定義和公式(1)定義：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，用符號rad表示．(2)公式角α的弧度數(shù)公式|α|＝eq\f(l,r)(弧長用l表示)角度與弧度的換算1°＝eq\f(π,180)rad；1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°弧長公式l＝|α|r扇形面積公式S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r23.任意角的三角函數(shù)(1)設(shè)α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(x，y)，那么sinα＝y(tǒng)，cosα＝x，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．(2)任意角的三角函數(shù)的定義(推廣)：設(shè)P(x，y)是角α終邊上異于原點的任意一點，其到原點O的距離為r，則sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．(3)三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如圖．常用結(jié)論1．象限角2．軸線角思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)－eq\f(π,3)是第三象限角．(×)(2)若角α的終邊過點P(－3,4)，則cosα＝－eq\f(3,5).(√)(3)若sinα>0，則α是第一或第二象限角．(×)(4)若圓心角為eq\f(π,3)的扇形的弧長為π，則該扇形面積為eq\f(3π,2).(√)教材改編題1.－660°等于()A．－eq\f(13,3)πrad B．－eq\f(25,6)πradC．－eq\f(11,3)πrad D．－eq\f(23,6)πrad答案C解析－660°＝－660×eq\f(π,180)rad＝－eq\f(11,3)πrad.2．某次考試時間為120分鐘，則從開始到結(jié)束，墻上時鐘的分針旋轉(zhuǎn)了________弧度．答案－4π解析某次考試時間為120分鐘，則從開始到結(jié)束，墻上時鐘的分針順時針旋轉(zhuǎn)了－720°，即－4π.3．已知角α的終邊經(jīng)過點P(2，－3)，則sinα＝________，tanα＝________.答案－eq\f(3\r(13),13)－eq\f(3,2)解析因為x＝2，y＝－3，所以點P到原點的距離r＝eq\r(22＋－32)＝eq\r(13).則sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(－3,\r(13))＝－eq\f(3\r(13),13)，tanα＝eq\f(y,x)＝－eq\f(3,2).題型一角及其表示例1(1)(2023·寧波模擬)若α是第二象限角，則()A．－α是第一象限角B.eq\f(α,2)是第三象限角C.eq\f(3π,2)＋α是第二象限角D．2α是第三或第四象限角或在y軸負(fù)半軸上答案D解析因為α是第二象限角，可得eq\f(π,2)＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，對于A，可得－π－2kπ<－α<－eq\f(π,2)－2kπ，k∈Z，此時－α位于第三象限，所以A錯誤；對于B，可得eq\f(π,4)＋kπ<eq\f(α,2)<eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，當(dāng)k為偶數(shù)時，eq\f(α,2)位于第一象限；當(dāng)k為奇數(shù)時，eq\f(α,2)位于第三象限，所以B錯誤；對于C，可得2π＋2kπ<eq\f(3π,2)＋α<eq\f(5π,2)＋2kπ，k∈Z，即2(k＋1)π<eq\f(3π,2)＋α<eq\f(π,2)＋2(k＋1)π，k∈Z，所以eq\f(3π,2)＋α位于第一象限，所以C錯誤；對于D，可得π＋4kπ<2α<2π＋4kπ，k∈Z，所以2α是第三或第四象限角或在y軸負(fù)半軸上，所以D正確．延伸探究若α是第一象限角，則eq\f(α,2)是第幾象限角？解因為α是第一象限角，所以k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z，所以k·180°<eq\f(α,2)<k·180°＋45°，k∈Z，當(dāng)k為偶數(shù)時，eq\f(α,2)是第一象限角，當(dāng)k為奇數(shù)時，eq\f(α,2)是第三象限角．(2)在－720°～0°范圍內(nèi)所有與45°終邊相同的角為________．答案－675°和－315°解析所有與45°終邊相同的角可表示為β＝45°＋k×360°(k∈Z)，當(dāng)k＝－1時，β＝45°－360°＝－315°，當(dāng)k＝－2時，β＝45°－2×360°＝－675°.思維升華確定kα，eq\f(α,k)(k∈N*)的終邊位置的方法先寫出kα或eq\f(α,k)的范圍，然后根據(jù)k的可能取值確定kα或eq\f(α,k)的終邊所在位置．跟蹤訓(xùn)練1(1)若α＝45°＋k·180°(k∈Z)，則α的終邊在()A．第二或第三象限 B．第一或第三象限C．第二或第四象限 D．第三或第四象限答案B解析當(dāng)k為奇數(shù)時，記k＝2n＋1，n∈Z，則α＝225°＋n·360°(n∈Z)，此時α為第三象限角；當(dāng)k為偶數(shù)時，記k＝2n，n∈Z，則α＝45°＋n·360°(n∈Z)，此時α為第一象限角．故α的終邊在第一或第三象限．(2)(2021·北京)若點P(cosθ，sinθ)與點Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))，sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))))關(guān)于y軸對稱，寫出一個符合題意的θ＝________.答案eq\f(5π,12)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(滿足θ＝\f(5π,12)＋kπ，k∈Z即可))解析∵P(cosθ，sinθ)與Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))，sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))))關(guān)于y軸對稱，即θ，θ＋eq\f(π,6)關(guān)于y軸對稱，θ＋eq\f(π,6)＋θ＝π＋2kπ，k∈Z，則θ＝kπ＋eq\f(5π,12)，k∈Z，當(dāng)k＝0時，可取θ的一個值為eq\f(5π,12).題型二弧度制及其應(yīng)用例2已知一扇形的圓心角為α(α>0)，弧長為l，周長為C，面積為S，半徑為r.(1)若α＝35°，r＝8cm，求扇形的弧長；(2)若C＝16cm，求S的最大值及此時扇形的半徑和圓心角．解(1)α＝35°＝35×eq\f(π,180)rad＝eq\f(7,36)πrad，扇形的弧長l＝αr＝eq\f(7,36)π×8＝eq\f(14,9)π(cm)．(2)方法一由題意知2r＋l＝16，∴l(xiāng)＝16－2r(0<r<8)，則S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)(16－2r)r＝－r2＋8r＝－(r－4)2＋16，當(dāng)r＝4(cm)時，Smax＝16(cm2)，l＝16－2×4＝8(cm)，α＝eq\f(l,r)＝2，∴S的最大值是16cm2，此時扇形的半徑是4cm，圓心角α＝2rad.方法二S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,4)l·2r≤eq\f(1,4)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l＋2r,2)))2＝16，當(dāng)且僅當(dāng)l＝2r，即r＝4(cm)時，S的最大值是16cm2.此時扇形的圓心角α＝2rad.思維升華應(yīng)用弧度制解決問題的方法(1)利用扇形的弧長和面積公式解題時，要注意角的單位必須是弧度．(2)求扇形面積最大值的問題時，常轉(zhuǎn)化為基本不等式或二次函數(shù)的最值問題．跟蹤訓(xùn)練2已知弧長為60cm的扇形面積是240cm2，求：(1)扇形的半徑；(2)扇形圓心角的弧度數(shù)．解設(shè)扇形的弧長為l，半徑為r，面積為S，圓心角為α.(1)由題意得S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×60r＝240，解得r＝8(cm)，即扇形的半徑為8cm.(2)α＝eq\f(l,r)＝eq\f(60,8)＝eq\f(15,2)，所以扇形圓心角的弧度數(shù)為eq\f(15,2).題型三三角函數(shù)的概念例3(1)設(shè)點P是以原點O為圓心的單位圓上的一個動點，它從初始位置P0(0,1)出發(fā)，沿單位圓順時針方向旋轉(zhuǎn)角θeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<θ<\f(π,2)))后到達點P1，然后繼續(xù)沿單位圓順時針方向旋轉(zhuǎn)角eq\f(π,3)到達點P2，若點P2的縱坐標(biāo)是－eq\f(1,2)，則點P1的坐標(biāo)是________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))解析初始位置P0(0,1)在角eq\f(π,2)的終邊上，射線OP1對應(yīng)的角為eq\f(π,2)－θ，射線OP2對應(yīng)的角為eq\f(π,6)－θ，由題意可知，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－θ))＝－eq\f(1,2)，又eq\f(π,6)－θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,6)))，則eq\f(π,6)－θ＝－eq\f(π,6)，解得θ＝eq\f(π,3)，所以射線OP1對應(yīng)的角為eq\f(π,2)－θ＝eq\f(π,6)，由任意角的三角函數(shù)的定義可知，點P1的坐標(biāo)是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos

\f(π,6)，sin

\f(π,6)))，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2))).(2)已知角α的終邊在直線y＝－3x上，則10sinα＋eq\f(3,cosα)的值為()A．－6eq\r(10) B．6eq\r(10)C．0 D．－3eq\r(10)答案C解析由題意知，cosα≠0，設(shè)角α終邊上一點的坐標(biāo)為(a，－3a)(a≠0)，則r＝eq\r(a2＋9a2)＝eq\r(10)|a|.當(dāng)a>0時，r＝eq\r(10)a，sinα＝eq\f(－3a,\r(10)a)＝－eq\f(3\r(10),10)，cosα＝eq\f(a,\r(10)a)＝eq\f(\r(10),10)，10sinα＋eq\f(3,cosα)＝－3eq\r(10)＋3eq\r(10)＝0.當(dāng)a<0時，r＝－eq\r(10)a，sinα＝eq\f(－3a,－\r(10)a)＝eq\f(3\r(10),10)，cosα＝eq\f(a,－\r(10)a)＝－eq\f(\r(10),10)，10sinα＋eq\f(3,cosα)＝3eq\r(10)－3eq\r(10)＝0.(3)若sinαtanα<0，且eq\f(cosα,tanα)>0，則角α是()A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角答案B解析由sinαtanα<0，知α是第二象限或第三象限角，由eq\f(cosα,tanα)>0，知α是第一象限或第二象限角，所以角α是第二象限角．思維升華(1)利用三角函數(shù)的定義，已知角α終邊上一點P的坐標(biāo)，可以求出α的三角函數(shù)值；已知角α的三角函數(shù)值，也可以求出點P的坐標(biāo)．(2)利用角所在的象限判定角的三角函數(shù)值的符號時，特別要注意不要忽略角的終邊在坐標(biāo)軸上的情況．跟蹤訓(xùn)練3(1)若角α的終邊上有一點P(a,2a)(a≠0)，則2sinα－cosα的值是()A．－eq\f(3\r(5),5) B.eq\f(\r(5),5)C．－eq\f(\r(5),5) D.eq\f(3\r(5),5)或－eq\f(3\r(5),5)答案D解析由題意得，r＝eq\r(a2＋2a2)＝eq\r(5)|a|，當(dāng)a>0時，r＝eq\r(5)a，cosα＝eq\f(a,r)＝eq\f(\r(5),5)，sinα＝eq\f(2a,r)＝eq\f(2\r(5),5)，∴2sinα－cosα＝eq\f(3\r(5),5)；當(dāng)a<0時，r＝－eq\r(5)a，∴cosα＝－eq\f(\r(5),5)，sinα＝－eq\f(2\r(5),5)，∴2sinα－cosα＝－eq\f(3\r(5),5)，綜上，2sinα－cosα＝±eq\f(3\r(5),5).(2)sin2cos3tan4的值()A．小于0 B．大于0C．等于0 D．不存在答案A解析∵eq\f(π,2)<2<3<π<4<eq\f(3π,2)，∴sin2>0，cos3<0，tan4>0.∴sin2cos3tan4<0.(3)若A(1，a)是角θ終邊上的一點，且sinθ＝eq\f(\r(33),6)，則實數(shù)a的值為________．答案eq\r(11)解析根據(jù)三角函數(shù)的終邊上點的定義可得，r＝eq\r(1＋a2)，所以sinθ＝eq\f(a,\r(a2＋1))＝eq\f(\r(33),6)>0，即a>0且a2＝11，所以a＝eq\r(11).課時精練1．與－2023°終邊相同的最小正角是()A．137°B．133°C．57°D．43°答案A解析因為－2023°＝－360°×6＋137°，所以與－2023°終邊相同的最小正角是137°.2．(2023·西安模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，若角θ的終邊經(jīng)過點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－sin

\f(π,6)，cos

\f(π,3)))，則cosθ等于()A.eq\f(1,2)B．－eq\f(1,2)C.eq\f(\r(2),2)D．－eq\f(\r(2),2)答案D解析由角θ的終邊經(jīng)過點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－sin

\f(π,6)，cos

\f(π,3)))，即Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))，所以cosθ＝eq\f(－\f(1,2),\r(\f(1,4)＋\f(1,4)))＝－eq\f(\r(2),2).3．已知扇形的周長為10，面積為6，則扇形的圓心角的弧度數(shù)為()A.eq\f(4,3)或3 B．2或3C.eq\f(2,3)或eq\f(4,3) D.eq\f(2,3)或3答案A解析設(shè)扇形的半徑為R，弧長為l，由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2R＋l＝10，,\f(1,2)Rl＝6，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(l＝6，,R＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(l＝4，,R＝3，))故扇形的圓心角的弧度數(shù)α＝eq\f(l,R)＝eq\f(4,3)或3.4．設(shè)α是第一象限角，且eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos

\f(α,2)))＝cos

eq\f(α,2)，則eq\f(α,2)所在的象限是()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案A解析因為α是第一象限角，所以2kπ<α<eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，所以kπ<eq\f(α,2)<eq\f(π,4)＋kπ，k∈Z，即eq\f(α,2)為第一象限角或第三象限角，又因為eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos

\f(α,2)))＝cos

eq\f(α,2)，即cos

eq\f(α,2)≥0，所以eq\f(α,2)所在的象限是第一象限．5．(2023·南昌模擬)我國在文昌航天發(fā)射場用長征五號運載火箭成功發(fā)射探月工程嫦娥五號探測器，順利將探測器送入預(yù)定軌道，經(jīng)過兩次軌道修正，嫦娥五號順利進入環(huán)月軌道飛行，嫦娥五號從橢圓形環(huán)月軌道變?yōu)榻鼒A形環(huán)月軌道，若這時把近圓形環(huán)月軌道看作圓形軌道，嫦娥五號距離月球表面400千米，已知月球半徑約為1738千米，則嫦娥五號繞月每旋轉(zhuǎn)eq\f(π,3)弧度，飛過的路程約為(取π≈3.14)()A．1069千米 B．1119千米C．2138千米 D．2238千米答案D解析嫦娥五號繞月飛行半徑為400＋1738＝2138(千米)，所以嫦娥五號繞月每旋轉(zhuǎn)eq\f(π,3)弧度，飛過的路程約為l＝αr＝eq\f(π,3)×2138≈eq\f(3.14,3)×2138≈2238(千米)．6.(2023·成都模擬)“數(shù)摺聚清風(fēng)，一捻生秋意”是宋朝朱翌描寫折扇的詩句，折扇出入懷袖，扇面書畫，扇骨雕琢，是文人雅士的寵物，所以有“懷袖雅物”的別號．當(dāng)折扇所在扇形的圓心角為eq\f(2π,3)時，折扇的外觀看上去是比較美觀的，則此時折扇所在扇形的弦長AB與弧長之比為()A.eq\f(2\r(3)π,3)B.eq\f(2\r(3),3π)C.eq\f(3\r(3),2π)D.eq\f(\r(3)π,3)答案C解析設(shè)扇形的弧長為l，半徑為r，如圖，取AB的中點D，連接OD，圓心角α為eq\f(2π,3)，則∠BOD＝eq\f(π,3)，所以弦長AB＝2AD＝2rsineq\f(π,3)＝eq\r(3)r.又弧長＝eq\f(2π,3)r，所以弦長AB與弧長之比為eq\f(\r(3)r,\f(2π,3)r)＝eq\f(3\r(3),2π).7．(2023·寧夏模擬)已知角α的終邊上一點P的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(5π,6)，cos

\f(5π,6)))，則角α的最小正值為________．答案eq\f(5π,3)解析因為sineq\f(5π,6)>0，cos

eq\f(5π,6)<0，所以角α的終邊在第四象限，根據(jù)三角函數(shù)的定義，可知sinα＝cos

eq\f(5π,6)＝－eq\f(\r(3),2)，故角α的最小正值為α＝2π－eq\f(π,3)＝eq\f(5π,3).8．一扇形是從一個圓中剪下的一部分，半徑等于圓半徑的eq\f(2,3)，面積等于圓面積的eq\f(5,27)，則扇形的弧長與圓的周長之比為________．答案eq\f(5,18)解析設(shè)圓的半徑為r，則扇形的半徑為eq\f(2r,3)，記扇形的圓心角為α，則eq\f(\f(1,2)α\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2r,3)))2,πr2)＝eq\f(5,27)，所以α＝eq\f(5π,6).所以扇形的弧長與圓的周長之比為eq\f(l,C)＝eq\f(\f(5π,6)·\f(2r,3),2πr)＝eq\f(5,18).9．已知eq\f(1,|sinα|)＝－eq\f(1,sinα)，且lg(cosα)有意義．(1)試判斷角α所在的象限；(2)若角α的終邊上一點Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，m))，且|OM|＝1(O為坐標(biāo)原點)，求m的值及sinα的值．解(1)由eq\f(1,|sinα|)＝－eq\f(1,sinα)，得sinα<0，由lg(cosα)有意義，可知cosα>0，所以α是第四象限角．(2)因為|OM|＝1，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2＋m2＝1，解得m＝±eq\f(4,5).又α為第四象限角，故m<0，從而m＝－eq\f(4,5)，sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(m,|OM|)＝eq\f(－\f(4,5),1)＝－eq\f(4,5).10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合且與單位圓相交于點A(1,0)，它的終邊與單位圓相交于x軸上方一點B，始邊不動，終邊在運動．(1)若點B的橫坐標(biāo)為－eq\f(1,2)，求sinα的值和與角α終邊相同的角β的集合；(2)若α∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，請寫出弓形AB的面積S與α的函數(shù)關(guān)系式．(注：弓形是指在圓中由弦及其所對的弧組成的圖形)解(1)由題意知，若點B的橫坐標(biāo)為－eq\f(1,2)，可得B的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，∴sinα＝eq\f(\r(3),2)，于是α＝eq\f(2π,3)＋2kπ，k∈Z，與角α終邊相同的角β的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(β\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(β＝\f(2π,3)＋2kπ，k∈Z)))).(2)△AOB的高為1×cos

eq\f(α,2)，AB＝2sin

eq\f(α,2)，故S△AOB＝eq\f(1,2)×2sin

eq\f(α,2)×cos

eq\f(α,2)＝eq\f(1,2)sinα，故弓形AB的面積S＝eq\f(1,2)·α·12－eq\f(1,2)sinα＝eq\f(1,2)(α－sinα)，α∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).11．在平面直角坐標(biāo)系中，若α與β的終邊互相垂直，那么α與β的關(guān)系式為()A．β＝α＋90°B．β＝α±90°C．β＝α＋90°＋k·360°(k∈Z)D．β＝α±90°＋k·360°(k∈Z)答案D解析∵α與β的終邊互相垂直，∴β＝α±90°＋k·360°(k∈Z)．12．如圖為某校數(shù)學(xué)興趣小組用數(shù)學(xué)軟件制作的“螺旋蚊香”圖案，畫法如下：在水平直線l上取長度為1的線段AB，以AB為邊作一個等邊△ABC，然后以點B為圓心，AB為半徑逆時針畫圓弧，交線段CB的延長線于點D，再以點C為圓心，CD為半徑逆時針畫圓弧，交線段AC的延長線于點E，以此類推，則如圖所示的“螺旋蚊香”圖案的總長度為()A.eq\f(56π,3) B．14πC．24π D．10π答案B解析由題意得，扇形ABD的半徑為1，圓心角為eq\f(2π,3)，所以弧AD的長l1＝eq\f(2π,3)×1，同理可得之后的各段弧長分別為l2＝eq\f(2π,3)×2，l3＝eq\f(2π,3)×3，l4＝eq\