2020年中考數(shù)學(xué)必考34個(gè)考點(diǎn)14函數(shù)綜合題

函數(shù)的綜合問題

專題知識(shí)回顧

1.一次函數(shù)與二次函數(shù)的綜合。

2.一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合。

3.二次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合。

數(shù)的綜合。

專題典型題考法及解析

【例題11（2019黑龍江綏化）一次函數(shù)y=-x+6與反比例函數(shù)丫2=-（x>0）的圖象如圖所示.當(dāng)yyy2時(shí),自

變量X的取值范圍是.

第18題圖

【答案】2Vx<4

【解析】令一x+6=5,解得X]=24=4,.,.根據(jù)圖象可得，當(dāng)y/y2時(shí),自變量x的取值范圍是2<x<4.

8

【例題2】（2019吉林長(zhǎng)春）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線尸。心2"+]（。>0）與了軸交于點(diǎn)A,過

點(diǎn)A作x軸的平行線交拋物線于點(diǎn)M,P為拋物線的頂點(diǎn)，若直線OP交直線AM于點(diǎn)B,且M為線段AB

的中點(diǎn)，則。的值為

【答案】2.

【解析】本題主要考查二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，首先根據(jù)二次函數(shù)的解析式可得出點(diǎn)A和點(diǎn)M的坐標(biāo)，然后

8

將二次函數(shù)的解析式配方寫出產(chǎn)的形式，得出點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)而得出OP的方程，進(jìn)而得出點(diǎn)

Q

B的坐標(biāo)，最后根據(jù)M為線段AB的中點(diǎn)，可得「「=4,進(jìn)而得出答案.

8-3a

8

令x=0,可得產(chǎn)可，

_8

□點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,-),

一8

口點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,-).

c8,、8

\jy=ax2-2ax+—=a(x-1)2+--a,

_8

口拋物線的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,--a),

8

口直線OP的方程為尸(]-a)x,

令尸一，可得x=--------,

?38-3a

□點(diǎn)B的坐標(biāo)為(―^―,-).

8-3o3

□M為線段AB的中點(diǎn)，

Q

□=4,解得a=2。

8—3a

【例題3】(2019廣西貴港市)如圖，菱形ABC。的邊在x軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0),點(diǎn)。(4,4)在反

比例函數(shù)>='(無>0)的圖象上，直線y=—x+6經(jīng)過點(diǎn)C,與y軸交于點(diǎn)E,連接AC,AE.

x3

(1)求左，6的值；

(2)求AACE的面積.

【答案】將解析。

_k

【解析】由菱形的性質(zhì)可知8(6,0),C(9,4),點(diǎn)￡>(4,4)代入反比例函數(shù)>=一，求出左；將點(diǎn)C(9,4)代入

79

y=—x+b,求出b；求出直線y=§犬-2與龍軸和y軸的交點(diǎn)，即可求AAEC的面積;

(1)由已知可得A0=5,

Q菱形ABC。，

3(6,0)，C(9,4),

k

Q點(diǎn)。(4,4)在反比例函數(shù)y=—(x>0)的圖象上，

x

二.％=16,

2

將點(diǎn)C(9,4)代入y=§x+b,

/.b=—2；

(2)E(0,-2),

直線y=q九—2與1軸交點(diǎn)為(3,0),

S=—x2x(2+4)=6

MEC2

專題典型訓(xùn)練題

C

1.(2019廣東深圳)已知函數(shù)y=ax2+bx+c(a^O)的圖象如圖所示，則函數(shù)y=ax+b與y=-的圖象為()

JC

【答案】c

【解析】二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系；一次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系；反比例函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系；

符號(hào)判斷。先根據(jù)二次函數(shù)丫=2*2+6*+?(a#0)的圖象確定a,b,c的正負(fù)，則判斷一次函數(shù)與反比例函數(shù)

的圖象所在的象限.

由二次函數(shù)的圖象可知，a<0,b>0,c<0.當(dāng)a<0,b>0,c<0時(shí)，一次函數(shù)丫=a*+1>經(jīng)過第一、二、四象限;

反比例函數(shù)y5位于第二四象限，選項(xiàng)C符合.故選C.

-x2+2x(x>0)

2.(2019四川省雅安市)已知函數(shù)y=<,八、的圖像如圖所示，若直線y=x+m與該圖像恰有三

<0)

個(gè)不同的交點(diǎn)，則m的取值范圍為

1

【答案】0<m<—

-X2+2x(%>0)

【解析】觀察圖像可知，當(dāng)直線y=x+m經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)與函數(shù)丁=,小的圖像有兩個(gè)不同的交點(diǎn),

x(x<0)

再向上平移，有三個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)向上平移到直線y=x+m與y=-％2+2x的圖像有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，此直線y=x+m

-%2+2x(x>0)

與函數(shù)y=,小的圖像有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，不符合題意，從而求出m的取值范圍.

x(x<0)

由y=x+m與y=-%2+2x得x+m=-x2+2x,整理得整一%+加=0,當(dāng)有兩個(gè)交點(diǎn)

1

匕2-4tzc=(-1)2-4m>0,解得m<—,

-尤2+2x(x>0)

當(dāng)直線y=x+m經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)與函數(shù)y="的圖像有兩個(gè)

x(x<0)

11

不同的交點(diǎn)，再向上平移，有三個(gè)交點(diǎn)，...mX),的取值范圍為Ovmva，故答案為Ovniv4.

3.(2019湖北仙桃)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形CM3C的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為。(0,0),A(12,0),

B(8,6),C(0,6).動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)。出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿邊04向終點(diǎn)/運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)。從

點(diǎn)8同時(shí)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿邊3c向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為/秒，尸。2=y.

(1)直接寫出y關(guān)于f的函數(shù)解析式及f的取值范圍：;

(2)當(dāng)PQ=3而時(shí)，求f的值；

k

(3)連接08交尸。于點(diǎn)。，若雙曲線了=彳"W0)經(jīng)過點(diǎn)。，問左的值是否變化？若不變化，請(qǐng)求出后

的值；若變化，請(qǐng)說明理由.

【答案】見解析。

【解析】（1）過點(diǎn)尸作PEL8c于點(diǎn)￡,如圖1所示.

：.PE=6,EQ=^,-2f-3f|=|8-5t\,

：.PQ2=PE2+EQ^=62+|8-5t\2=25fl-80;+100,

：.y=25t2-80/+100(0W/W4).

故答案為：y=25fi-80r+100(0WtW4).

(2)當(dāng)PQ=3畫時(shí)，25f2-80f+100=(3①)2,

整理，得：5fi-16^+11=0,

,11

解得：?i=l-l2=~-

(3)經(jīng)過點(diǎn)。的雙曲線尸名(20)的后值不變.

連接交PQ于點(diǎn)、D,過點(diǎn)。作。尸，O/于點(diǎn)尸，如圖2所示.

V0C=6,BC=8,

：.0B=V0f2+BC2=10.

YBQ//OP,

：.△BDQs^ODP,

9BD_BQ_2t_2

OD~OP~3t~

：.OD=6,

■:CB〃OA,

：.ZDOF=AOBC.

在Rt/^OBC中，sinNOBC=9系=盤=5,cosNO8C==喘=專

424318

：.OF=OD?cos/OBC=6又［=可，DF=OD*sinZOBC=6x慨=丁，

,一.2418

?,?點(diǎn)。的坐標(biāo)為（不，—）,

k2418432

工經(jīng)過點(diǎn)。的雙曲線歹=7（%#0）的左值為二"X

x5525

4.（2019湖南湘西）如圖，一次函數(shù)〉=依+6的圖象與反比例函數(shù)y=:的圖象在第一象限交于點(diǎn)4（3,2）,

與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)3,且08=4.

（1）求函數(shù)尸齊口尸履+6的解析式；

（2）結(jié)合圖象直接寫出不等式組0＜曰＜依+6的解集.

【答案】見解析。

【解析】（1）把點(diǎn)/（3,2）代入反比例函數(shù)y=￡,可得比=3X2=6,

:.反比例函數(shù)解析式為了=p

：.B(0,-4),

把點(diǎn)/(3,2),B(0,-4)代入一次函數(shù)y=fcc+6,可得｛：：+_1=2，

解得｛:：J,

一次函數(shù)解析式為了=2r-4；

(2)不等式組0<?<fcc+b的解集為：x>3.

n

5.(2019山東東營(yíng))如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=mx與雙曲線y=一相交于A(-2,a)B兩點(diǎn)，BC

±x軸，垂足為C,△AOC的面積越.

(1)求加、〃的值；

(2)求直線AC的解析式.

【解析】根據(jù)反比例函數(shù)的對(duì)稱性可得點(diǎn)/與點(diǎn)3關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，則3(2,a),由于軸，所以

1

C(2,0),先利用三角形面積公式得到耳X2Xa=2,解得a=2,則可確定/(-2,2),然后把/點(diǎn)坐標(biāo)

代入和、=里■中即可求出加，n；根據(jù)待定系數(shù)法即可得到直線4c的解析式.

X

(1)?直線與雙曲線y=口相交于/(-2,a)、8兩點(diǎn)，

x

二點(diǎn)/與點(diǎn)8關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，

'.B(2,-?),

：.C(2,0)；

1

二,X2Xa=2,解得a=2,

：.A(-2,2),

把4(-2,2)代入y=/nx和丫=號(hào)導(dǎo)-2根=2,2=-^-,解得心=-1,n=-4；

x-2

(2)設(shè)直線4C的解析式為y=fcc+"

?..直線NC經(jīng)過/、C,

.f,1

.?，必+?，解得k力

l2k+b=0［回

1

直線/C的解析式為了=-,x+l.

6.(2019湖北咸寧)某工廠用50天時(shí)間生產(chǎn)一款新型節(jié)能產(chǎn)品，每天生產(chǎn)的該產(chǎn)品被某網(wǎng)店以每件80元

的價(jià)格全部訂購(gòu)，在生產(chǎn)過程中，由于技術(shù)的不斷更新，該產(chǎn)品第x天的生產(chǎn)成本y(元/件)與x(天)

之間的關(guān)系如圖所示，第x天該產(chǎn)品的生產(chǎn)量z(件)與x(天)滿足關(guān)系式z=-2X+120.

(1)第40天，該廠生產(chǎn)該產(chǎn)品的利潤(rùn)是元；

(2)設(shè)第x天該廠生產(chǎn)該產(chǎn)品的利潤(rùn)為w元.

①求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出第幾天的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少？

②在生產(chǎn)該產(chǎn)品的過程中，當(dāng)天利潤(rùn)不低于2400元的共有多少天？

【答案】見解析。

【解析】由圖象可知，第40天時(shí)的成本為40元，此時(shí)的產(chǎn)量為z=-2X40+120=40,則可求得第40天的

利潤(rùn).利用每件利潤(rùn)X總銷量=總利潤(rùn)，進(jìn)而求出二次函數(shù)最值即可.

(1)由圖象可知，第40天時(shí)的成本為40元，此時(shí)的產(chǎn)量為z=-2X40+120=40

則第40天的利潤(rùn)為：(80-40)X40=1600元

故答案為1600

(2)①設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b(kWO),把(0,70)(30,40)代入得

(b=70(b=70

130k+b=40，解得tfc=-1

直線AB的解析式為y=-x+70

(I)當(dāng)0<xW30時(shí)

w=[80-(-x+70)](-2x+120)

=-2xz+100x+1200

=-2(x-25)2+2450

.?.當(dāng)x=25時(shí)，w=2450

最大值

(II)當(dāng)30<xW50時(shí)，

w=(80-40)X(-2x+120)=-80x+4800

隨x的增大而減小

.?.當(dāng)x=31時(shí)，w=2320

最大值

f-2x2+100%+1200,(0<x<30)

[-80x4-4800,(30<x<50)

第25天的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為2450元

②(I)當(dāng)0<xW30時(shí)，令-2(x-25)2+2450=2400元

解得x=20,x=30

12

?拋物線w=-2(x-25)z+2450開口向下

由其圖象可知，當(dāng)20WxW30時(shí)，WN2400

此時(shí)，當(dāng)天利潤(rùn)不低于2400元的天數(shù)為：30-20+1=11天

(II)當(dāng)30VXW50時(shí),

由①可知當(dāng)天利潤(rùn)均低于2400元

綜上所述，當(dāng)天利潤(rùn)不低于2400元的共有11天.

7.(2019貴州省畢節(jié)市)已知拋物線了=a無2+笈+3經(jīng)過點(diǎn)/(1,0)和點(diǎn)3(-3,0),與了軸交于點(diǎn)C,

點(diǎn)尸為第二象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn).

(1)拋物線的解析式為，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為_______;

(2)如圖1,連接。尸交于點(diǎn)。，當(dāng)SRPD：S^BPD=1:2時(shí)，請(qǐng)求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(3)如圖2,點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,-1),點(diǎn)G為x軸負(fù)半軸上的一點(diǎn)，ZOGE=15°,連接尸E,若/PEG

=2ZOGE,請(qǐng)求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(4)如圖3,是否存在點(diǎn)P,使四邊形30cp的面積為8?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說

明理由.

【答案】見解析。

【解析】函數(shù)的表達(dá)式為：y=a(x-1)G+3)=a(x2+2x-3),即可求解；

sAPD：SypD=L2,則8c=3X3Ji=2點(diǎn)，即可求解；

ZOGE=15°,ZPEG=2ZOGE=3Q°,則NO/ffi=45°,故O〃=O￡=1,即可求解;

利用6四邊用B0CP=SAOBC+SAPBC=8,即可求解.

(1)函數(shù)的表達(dá)式為：y=a(x-1)(x+3)=a(x2+2x-3),

即：-3a=3,解得：a=-1,

故拋物線的表達(dá)式為：y=-N-2x+3…①,

頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,4)；

(2).：OB=OC,

：.ZCBO=45°,

?SfPD：S&BPD=1：2,

:,BD=ZBC=Z乂3顯=2&,

33

yD—BDsinZCBO—2,

則點(diǎn)。(-1,2)；

：NOGE=15°,NPEG=2NOGE=30°,

：.ZOHE=45

：.OH=OE=1,

則直線的表達(dá)式為：y=-x-1…②，

聯(lián)立①②并解得：x=苣叵(舍去正值),

(4)不存在，理由：

連接2C,過點(diǎn)P作了軸的平行線交3c于點(diǎn)

直線8C的表達(dá)式為：y=x+3,

設(shè)點(diǎn)尸(x,-N-2X+3),點(diǎn)“(X,x+3),

貝IS四邊形BOCP=S^O8c+SyBc=；><3X3+g(-X2-2X+3-X-3)X3=8,

整理得：3x2+9x+7=0,

解得：△<(),故方程無解，

則不存在滿足條件的點(diǎn)P

8.(2019貴州黔西南州)已知拋物線y=ox2+6x+3經(jīng)過點(diǎn)/(1,0)和點(diǎn)B(-3,0),與〉軸交于點(diǎn)C,

點(diǎn)尸為第二象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn).

(1)拋物線的解析式為,拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為_______;

(2)如圖1,連接。尸交8C于點(diǎn)。，當(dāng)SKPD：SypD=\：2時(shí)，請(qǐng)求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(3)如圖2,點(diǎn)￡的坐標(biāo)為(0,-1),點(diǎn)G為x軸負(fù)半軸上的一點(diǎn)，ZOGE=15°,連接尸E,若/PEG

=2/OGE,請(qǐng)求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(4)如圖3,是否存在點(diǎn)尸，使四邊形3OCP的面積為8?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說

明理由.

【答案】見解析。

【解析】函數(shù)的表達(dá)式為：y=a(x-1)(x+3)=a(%2+2x-3),即可求解；

S△CPD：5即)=1：2,則觸C=|x3&=2四,即可求解；

ZOGE=15°,ZPEG=2ZOGE=30°,則/O〃E=45°,故O//=OE=1,即可求解;

禾U用S四邊形80。尸=5408。+$4尸80=8,即可求解.

(1)函數(shù)的表達(dá)式為：y—a(x-1)(x+3)=a(x2+2x-3),

即：-3a=3,解得：a=-1,

故拋物線的表達(dá)式為：y=-%2-2x+3…①，

頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-L4)；

(2)\*OB=OCf

：.ZCBO=45°,

■:S^CPD：3的^='：2，

：.BD=芻BC=|x3V2=2V2,

yD=BDsmZCBO=2f

則點(diǎn)。(-1,2)；

：.ZOHE=45°,

：.OH=OE=1,

則直線"E的表達(dá)式為：y=-X-1-(2),

聯(lián)立①②并解得：x=戈尸(舍去正值)，

故占P(土①，巨二)?

(4)不存在，理由：

連接8C,過點(diǎn)P作y軸的平行線交3c于點(diǎn)

設(shè)點(diǎn)P(x,-x2-2x+3),點(diǎn)〃(x,x+3),

11

--

貝5四邊形BOCP=%0BC+SAPBC=22--2x+3-x-3)X3—8,

整理得：3N+9x+7=0,

解得：△<(),故方程無解，

則不存在滿足條件的點(diǎn)尸.

9

9.(2019湖北十堰)已知拋物線y=a(x-2)2+c經(jīng)過點(diǎn)/(2,0)和C(0,與x軸交于另一點(diǎn)3,

頂點(diǎn)為。.

(1)求拋物線的解析式，并寫出。點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)如圖，點(diǎn)E,尸分別在線段BD上(E點(diǎn)不與4,2重合)，且/。所=//,則△￡>￡尸能否為等

腰三角形？若能，求出BE的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說明理由；

s

(3)若點(diǎn)P在拋物線上，且3^=加，試確定滿足條件的點(diǎn)尸的個(gè)數(shù).

S&CBD

【答案】見解析。

【解析】利用待定系數(shù)法，轉(zhuǎn)化為解方程組即可解決問題.

可能.分三種情形①當(dāng)。尸時(shí)，②當(dāng)?！?E尸時(shí)，③當(dāng)。尸=即時(shí)，分別求解即可.

如圖2中，連接BD,當(dāng)點(diǎn)尸在線段AD的右側(cè)時(shí)，作。8于，，連接尸。，PH,PB.設(shè)尸[小一訪("

-2)2+3],構(gòu)建二次函數(shù)求出△P8D的面積的最大值，再根據(jù)對(duì)稱性即可解決問題.

16a+c=0

{4a+c=1'

(_3

解得“=一正，

(c=3

拋物線的解析式為y=-訪(x-2)2+3,

二頂點(diǎn)。坐標(biāo)(2,3).

,：A(-2,0),D(2,3),B(6,0),

，Z8=8,AD=BD=5,

①當(dāng)DE=DF時(shí)，ZDFE=ZDEF=AABD,

：.EF//AB,此時(shí)K與3重合，與條件矛盾，不成立.

②當(dāng)。E=Eb時(shí)，

又；ABEFs^AED,

：.4BEF絲LAED,

：.BE=AD=5

③當(dāng)DF=EF時(shí)，/EDF=/DEF=/DAB=/DBA,

△FDEsADAB,

.EFDE

BD~AB"

EFBD5

DE~AB~89

■:AAEFsABCE

?_E_B____E_F____5

99AD~DE~8"

：.EB=^iD=等，

25

答：當(dāng)AE的長(zhǎng)為5或工時(shí)，△CFE為等腰三角形.

8

(3)如圖2中，連接3D,當(dāng)點(diǎn)尸在線段3D的右側(cè)時(shí)，作DH工4B于H,連接尸D,PH,PB.設(shè)尸［〃，一正("

1Q11?3

SS+SSX4X[--2)

則^PBD=APBHAPDH-ABDH=2162+3]+]x3X(〃-2)-x4X3=-g("-4)?+7

3

3

???〃=4時(shí)，△尸助的面積的最大值為1

???加皿=m,

°LCBD

33

???當(dāng)點(diǎn)尸在3。的右側(cè)時(shí)，加的最大值=g=去，

觀察圖象可知：當(dāng)0＜心＜4時(shí)，滿足條件的點(diǎn)尸的個(gè)數(shù)有4個(gè)，

當(dāng)m=磊時(shí)，滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)有3個(gè)，

當(dāng)機(jī)〉得時(shí)，滿足條件的點(diǎn)尸的個(gè)數(shù)有2個(gè)(此時(shí)點(diǎn)尸在的左側(cè)).

10.(2019湖北咸寧)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線＞=-%+2與x軸交于點(diǎn)/,與y軸交于點(diǎn)瓦拋

1

物線了=-/2+加+°經(jīng)過4,8兩點(diǎn)且與X軸的負(fù)半軸父于點(diǎn)C.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)若點(diǎn)。為直線上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(3)已知尸分別是直線和拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)B,O,E,尸為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，直

接寫出所有符合條件的E點(diǎn)的坐標(biāo).

【答案】見解析。

【解析】求得43兩點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線解析式，獲得6、c的值，獲得拋物線的解析式.

通過平行線分割2倍角條件，得到相等的角關(guān)系，利用等角的三角函數(shù)值相等，得到點(diǎn)坐標(biāo).

B、。、E、廠四點(diǎn)作平行四邊形，以已知線段03為邊和對(duì)角線分類討論，當(dāng)為邊時(shí)，以斯=。3的

關(guān)系建立方程求解，當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，03與斯互相平分，利用直線相交獲得點(diǎn)E坐標(biāo).

(1)在y=-,x+2中，令尸0,得尤=4,令x=0,得y=2

：.A(4,0),B(0,2)

1

把N(4,0),B(0,2),代入y=+bx+c,得

{-ixl6+4&+c=0,解得［:二

'，\.C—/

?1?拋物線得解析式為y=—1+棄R+2

(2)如圖，過點(diǎn)8作X軸得平行線交拋物線于點(diǎn)E,過點(diǎn)。作8E得垂線，垂足為尸

?.?BE〃工軸，：?/BAC=/ABE

VZABD=2ZBAC,：.ZABD=2ZABE

即NDBE+NABE=2/ABE

：.ZDBE=/ABE

：.ZDBE=ABAC

設(shè)D點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,—111%2+5+2),則DF=-i%2+

DFRO

?：tan/DBE=而,tanZBAC=

DFBO~%2+1%2

J-=一,即一2——0=一

BFAOx4

解得勺=0(舍去)，X2=2

i3

當(dāng)x=2時(shí)，—]%2+2%+2=3

，點(diǎn)。的坐標(biāo)為(2,3)

(3)

當(dāng)為邊時(shí)，OB//EF,OB=EF

設(shè)E(加，一；血+2),F(m,-^m2+|m+2)

112

￡F=|(―2血+2)-(―-m2+-m+2)|=2

解得加1=2,m2=2-2V2,m3=2+2y/2

當(dāng)50為對(duì)角線時(shí)，。5與跖互相平分

過點(diǎn)0作0尸〃48,直線0分=—；%交拋物線于點(diǎn)尸（2+2虎，一1一夜）和（2-2V2,-1+V2）

求得直線EF解析式為y=-挈％+1或、=孝X+1

直線EF與AB的交點(diǎn)為E,點(diǎn)、E的橫坐標(biāo)為一2&-2或2&-2

點(diǎn)的坐標(biāo)為（2,1）或（2-2夜，1+加）或（2+2&,1-魚）或（-2-272,3+V2）或（一2+

2V2,3-V2）

11.（2019湖南湘西）如圖，拋物線>=如2+8（°>0）過點(diǎn)￡（8,0）,矩形N3CD的邊在線段OE上

（點(diǎn)/在點(diǎn)8的左側(cè)），點(diǎn)C、。在拋物線上，NA4D的平分線4W交2c于點(diǎn)點(diǎn)N是CD的中點(diǎn)，已

知。/=2,且。/：AD=1：3.

（1）求拋物線的解析式；

（2）F、G分別為x軸，v軸上的動(dòng)點(diǎn)，順次連接M、N、G、尸構(gòu)成四邊形MNGR求四邊形MNG尸周長(zhǎng)

的最小值；

6V10

（3）在x軸下方且在拋物線上是否存在點(diǎn)尸，使△OZ）產(chǎn)中邊上的高為五一？若存在，求出點(diǎn)尸的坐

標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；

（4）矩形N3CD不動(dòng)，將拋物線向右平移，當(dāng)平移后的拋物線與矩形的邊有兩個(gè)交點(diǎn)K、L且直線XL平

分矩形的面積時(shí)，求拋物線平移的距離.

【答案】見解析。

【解析】由點(diǎn)E在x軸正半軸且點(diǎn)/在線段OE上得到點(diǎn)4在x軸正半軸上，所以4(2,0)；由。/=2,

且ON：AD=1：3得NO=6.由于四邊形為矩形，故有所以點(diǎn)。在第四象限，橫坐標(biāo)與

/的橫坐標(biāo)相同，進(jìn)而得到點(diǎn)。坐標(biāo).由拋物線經(jīng)過點(diǎn)。、E,用待定系數(shù)法即求出其解析式.畫出四邊形

MNGF,由于點(diǎn)RG分別在x軸、y軸上運(yùn)動(dòng)，故可作點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)作點(diǎn)N關(guān)于y軸的

對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)N,得尸M=FM\GN=GN.易得當(dāng)AT、F、G、N在同一直線上時(shí)NG+GP+尸河=川乂最小，故

四邊形MNG尸周長(zhǎng)最小值等于MN+AfN.根據(jù)矩形性質(zhì)、拋物線線性質(zhì)等條件求出點(diǎn)M、M、N、N坐標(biāo)，

即求得答案.

因?yàn)镺D可求，且已知△O。尸中OD邊上的高，故可求△OD尸的面積.又因?yàn)椤鱋D尸的面積常規(guī)求法是過

點(diǎn)P作PE平行y軸交直線OD于點(diǎn)E,把△ODP拆分為△OPE與ADPE的和或差來計(jì)算，故存在等量關(guān)

系.設(shè)點(diǎn)尸坐標(biāo)為f,用I表示PE的長(zhǎng)即列得方程.求得/的值要討論是否滿足點(diǎn)P在x軸下方的條件.

由"平分矩形/BCD的面積可得K在線段48上、￡在線段CD上，畫出平移后的拋物線可知，點(diǎn)K由點(diǎn)

。平移得到，點(diǎn)上由點(diǎn)。平移得到，故有K(加，0),L(2+m,0).易證AZ平分矩形面積時(shí)，AZ一定經(jīng)

過矩形的中心〃且被〃平分，求出以坐標(biāo)為(4,-3),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式即求得加的值.

(1)?.?點(diǎn)/在線段OE上，E(8,0),OA=2

：.A(2,0)

VCM：AD=\：3

C.AD—3OA—6

??,四邊形45。。是矩形

：.ADLAB

：.D(2,-6)

??,拋物線ynqx2+bx經(jīng)過點(diǎn)。、E

'-^a+8b~0解得：

十ou—UIb__4

1

...拋物線的解析式為產(chǎn)全2-4x

(2)如圖1,作點(diǎn)加■關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)AT,作點(diǎn)N關(guān)于夕軸的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)N,連接尸AT、GN、

'-'y=