【導(dǎo)學(xué)案及答案】第二課時(shí) 仰角與俯角問題導(dǎo)學(xué)案

1．5三角函數(shù)的應(yīng)用第2課時(shí)仰角與俯角問題eq\a\vs4\al(教學(xué)目標(biāo))1．了解仰角、俯角的概念，并弄清它們的意義．2．將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，并由實(shí)際問題畫出平面圖形，也能由平面圖形想象出實(shí)際情景，再根據(jù)解直角三角形的方法來解決實(shí)際問題．eq\a\vs4\al(教學(xué)重點(diǎn))將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題且了解仰角、俯角的概念．eq\a\vs4\al(教學(xué)難點(diǎn))實(shí)際情景和平面圖形之間的轉(zhuǎn)化．eq\a\vs4\al(教學(xué)過程)一、創(chuàng)設(shè)情景明確目標(biāo)(1)讓學(xué)生熟練寫出直角三角形中的邊與角之間的關(guān)系：(①三邊之間，②角之間，③銳角三角函數(shù))(2)仰角與俯角①如圖：②定義：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角．二、自主學(xué)習(xí)指向目標(biāo)閱讀教材第19頁中想一想的內(nèi)容，完成《名師學(xué)案》中“課前預(yù)習(xí)”部分．三、合作探究達(dá)成目標(biāo)eq\a\vs4\al(探究點(diǎn))仰角、俯角的實(shí)際問題活動(dòng)：出示幻燈動(dòng)畫，動(dòng)畫內(nèi)容如下：小明想測(cè)量塔CD的高度．他在A處仰望塔頂，測(cè)得仰角為30°，再往塔的方向前進(jìn)50m至B處，測(cè)得仰角為60°，那么該塔有多高？(小明的身高忽略不計(jì)，結(jié)果精確到1m)．(1)你能完成這個(gè)任務(wù)嗎？(2)請(qǐng)與同伴交流你是怎么想的？(3)準(zhǔn)備怎么去做？展示點(diǎn)評(píng)：實(shí)物圖可以建立成兩個(gè)直角三角形模型，已知在Rt△ACD中，AC＝CD·tan30°，同理BC＝CD·tan60°，于是AC－BC＝AB，可以得到關(guān)于CD與已知量的關(guān)系，即可求出CD的長．解答如下：解：如圖，根據(jù)題意可知，∠A＝30°，∠DBC＝60°，AB＝50m.設(shè)CD＝xm，則∠ADC＝60°，∠BDC＝30°，∵tan∠ADC＝eq\f(AC,x)，tan∠BDC＝eq\f(BC,x)，∴AC＝xtan60°，BC＝xtan30°，∴xtan60°－xtan30°＝50.∴x＝eq\f(50,tan60°－tan30°)＝eq\f(50,\r(3)－\f(\r(3),3))＝25eq\r(3)≈43(m).所以，該塔約有43m高．反思小結(jié)：仰角、俯角的問題上的類型題，首先要據(jù)題意建立直角三角形模型，充分利用三角函數(shù)來解決此類實(shí)際問題．針對(duì)訓(xùn)練：《名師學(xué)案》中的“當(dāng)堂練習(xí)”部分．四、總結(jié)梳理內(nèi)化目標(biāo)本節(jié)課學(xué)習(xí)了解決實(shí)際問題的重要方法：實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，由實(shí)際問題畫出平面圖形，也能由平面圖形想象出實(shí)際情景，再根據(jù)解直角三角形的方法來解決實(shí)際問題．并且了解了仰角，俯角的概念．五、達(dá)標(biāo)測(cè)試一、選擇題1．如圖，在水平地面上，由點(diǎn)A測(cè)得旗桿BC的頂點(diǎn)C的仰角為60°，點(diǎn)A到旗桿的距離AB＝12米，則旗桿的高度為()A．6eq\r(3)米B．6米C．12eq\r(3)米D．12米2．如圖，在高出海平面100m的懸崖頂A處，觀測(cè)海面上的一艘小船B，并測(cè)得它的俯角為30°，則船與觀測(cè)者之間的水平距離為()A．50eq\r(3)mB．100mC．(100＋eq\r(3))mD．100eq\r(3)m3．某校數(shù)學(xué)興趣小組用測(cè)量儀器測(cè)量某大橋的橋塔高度，在距橋塔AB底部50米的C處，測(cè)得橋塔頂部A的仰角為41.5°(如圖35－K－3)．已知測(cè)量儀器CD的高度為1米，則橋塔AB的高度約為()(參考數(shù)據(jù)：sin41.5°≈0.663，cos41.5°≈0.749，tan41.5°≈0.885)A．34米B．38米C．45米D．50米4．濟(jì)南大明湖畔的“超然樓”被稱作“江北第一樓”，某校數(shù)學(xué)社團(tuán)的同學(xué)對(duì)“超然樓”的高度進(jìn)行了測(cè)量，如圖35－K－4，他們?cè)贏處仰望塔頂，測(cè)得仰角為30°，再往樓的方向前進(jìn)60m至B處，測(cè)得仰角為60°.若學(xué)生的身高忽略不計(jì)，eq\r(3)≈1.7，結(jié)果精確到1m，則該樓的高度CD約為()A．47mB．51mC．53mD．54m5．如圖，數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)小組要測(cè)量學(xué)校附近樓房CD的高度，在水平地面A處安置測(cè)傾器測(cè)得樓房CD頂部點(diǎn)D的仰角為45°，向前走20米到達(dá)A′處，測(cè)得點(diǎn)D的仰角為67.5°.已知測(cè)傾器AB的高度為1.6米，則樓房CD的高度約為(結(jié)果精確到0.1米，eq\r(2)≈1.414)()A．34.14米B．34.1米C．35.7米D．35.74米二、填空題6．如圖，在高出海平面120m的懸崖頂A處，觀測(cè)海面上的一艘小船B，并測(cè)得它的俯角為45°，那么船與觀測(cè)者之間的水平距離為________m.7．如圖，從熱氣球C處測(cè)得地面A，B兩點(diǎn)的俯角分別是30°，45°.如果此時(shí)熱氣球C處的高度CD為100m，點(diǎn)A，D，B在同一直線上，那么A，B兩點(diǎn)的距離是________m．(結(jié)果保留根號(hào))8．如圖，在建筑平臺(tái)CD的頂部C處，測(cè)得大樹AB的頂部A的仰角為45°，測(cè)得大樹AB的底部B的俯角為30°，已知平臺(tái)CD的高度為5m，則大樹的高度為________m．(結(jié)果保留根號(hào))9．某校數(shù)學(xué)興趣小組要測(cè)量西山植物園蒲寧之珠的高度．如圖35－K－9，他們?cè)邳c(diǎn)A處測(cè)得蒲寧之珠最高點(diǎn)C的仰角為45°，再往蒲寧之珠方向前進(jìn)至點(diǎn)B處測(cè)得最高點(diǎn)C的仰角為56°，AB＝62m，根據(jù)這個(gè)興趣小組測(cè)得的數(shù)據(jù)，則蒲寧之珠的高度CD約為________m．(sin56°≈0.83，tan56°≈1.48，結(jié)果保留整數(shù))三、解答題10．如圖，游客在點(diǎn)A處坐纜車出發(fā)，沿A－B－D的路線可至山頂D處，假設(shè)AB和BD都是直線段，且AB＝BD＝600m，α＝75°，β＝45°，求DE的長．(參考數(shù)據(jù)，sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，eq\r(2)≈1.41)11．某班數(shù)學(xué)興趣小組利用數(shù)學(xué)活動(dòng)課時(shí)間測(cè)量位于某山頂?shù)牡裣窀叨龋鐖D35－K－11，已知坡面與水平面的夾角為30°，山高857.5m，組員從山腳D處沿山坡向著雕像方向前進(jìn)1620m到達(dá)點(diǎn)E，在點(diǎn)E處測(cè)得雕像頂端A的仰角為60°，求雕像AB的高度.第2課時(shí)仰角與俯角問題達(dá)標(biāo)測(cè)試答案1．C2．D3．C4．[解析]B根據(jù)題意，得∠A＝30°，∠DBC＝60°，DC⊥AC，∴∠ADB＝∠DBC－∠A＝30°，∴∠ADB＝∠A，∴BD＝AB＝60m，∴CD＝BD·sin60°＝60×eq\f(\r(3),2)＝30eq\r(3)≈51(m)．故選B.5．[解析]C設(shè)BB′交DC于點(diǎn)C′，則BC′＝eq\f(DC′,tan45°)，B′C′＝eq\f(DC′,tan67.5°).∵BB′＝BC′－B′C′，∴eq\f(DC′,tan45°)－eq\f(DC′,tan67.5°)＝20，解得DC′≈34.14米，DC≈34.14＋1.6≈35.7(米)．6．1207．[答案]100(eq\r(3)＋1)[解析]由題意，知∠A＝30°，∠B＝45°.AD＝eq\f(CD,tan30°)＝100eq\r(3)m，BD＝CD＝100m，故AB＝AD＋BD＝100(eq\r(3)＋1)m.8．[答案](5＋5eq\r(3))[解析]設(shè)過點(diǎn)C的水平線與AB交于點(diǎn)E，則△ACE和△BCE都是直角三角形．∵∠ACE＝45°，∠BCE＝30°，∴AE＝CE，CE＝eq\r(3)BE.易知四邊形BECD為矩形，∴BE＝CD＝5m，AE＝CE＝5eq\r(3)m，∴AB＝AE＋BE＝(5＋5eq\r(3))m.9．[答案]191[解析]根據(jù)題意，得∠CAD＝45°，∠CBD＝56°，AB＝62m．在Rt△ACD中，易得AD＝CD.在Rt△BCD中，可得BD＝eq\f(CD,tan56°)，即可得AB＝AD－BD＝CD－eq\f(CD,tan56°)＝62，繼而求得答案．10．解：在Rt△ABC中，∵cosα＝eq\f(BC,AB)，∴BC＝AB·cosα≈600×0.26＝156(m)．在Rt△BDF中，∵sinβ＝eq\f(DF,BD)，∴DF＝BD·sinβ＝600×eq\f(\r(2),2)＝300eq\r(2)≈300×1.41＝423(m)．又∵EF＝BC＝156m，∴DE＝DF＋EF≈423＋156＝579(m)．11．解：如圖，過點(diǎn)E作EF⊥AC于點(diǎn)F，EG⊥CD于點(diǎn)G.在Rt△DEG中，∵DE＝1620，∠D＝30°，∴EG＝DE·sinD＝1620×eq\f(1,2)＝810.又∵BC＝857.5，CF＝EG，