1.6.2完全平方公式的幾何背景

完全平方公式的幾何背景（2015?海淀區(qū)二模）如圖，根據(jù)計(jì)算正方形ABCD的面積，可以說明下列哪個(gè)等式成立（）A．（a+b）2=a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2C．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2 D．a(chǎn)（a﹣b）=a2﹣ab【考點(diǎn)】完全平方公式的幾何背景．【分析】根據(jù)正方形ABCD的面積=邊長為a的正方形的面積+兩個(gè)長為a，寬為b的長方形的面積+邊長為b的正方形的面積，即可解答．【解答】解：根據(jù)題意得：（a+b）2=a2+2ab+b2，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了完全平方公式的幾何背景，解題的關(guān)鍵是通過幾何圖形之間的數(shù)量關(guān)系對(duì)公式做出幾何解釋．（2014秋?永春縣期末）如圖將4個(gè)長、寬分別均為a，b的長方形，擺成了一個(gè)大的正方形，利用面積的不同表示方法寫出一個(gè)代數(shù)恒等式是（）A．a(chǎn)2+2ab+b2=（a+b）2 B．a(chǎn)2﹣2ab+b2=（a﹣b）2C．4ab=（a+b）2﹣（a﹣b）2 D．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2【考點(diǎn)】完全平方公式的幾何背景．【分析】根據(jù)圖形的組成以及正方形和長方形的面積公式，知：大正方形的面積﹣小正方形的面積=4個(gè)矩形的面積．【解答】解：∵大正方形的面積﹣小正方形的面積=4個(gè)矩形的面積，∴（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab，即4ab=（a+b）2﹣（a﹣b）2．故選C．【點(diǎn)評(píng)】考查了完全平方公式的幾何背景，能夠正確找到大正方形和小正方形的邊長是難點(diǎn)．解決問題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到所求的量的等量關(guān)系．（2014秋?晉江市期末）用4張全等的長方形拼成一個(gè)如圖所示的正方形，利用面積的不同表示方法可以寫出一個(gè)代數(shù)恒等式．若長方形的長和寬分別為a、b，則該圖可表示的代數(shù)恒等式是4ab=（a+b）2﹣（a﹣b）2．．【考點(diǎn)】完全平方公式的幾何背景．【分析】根據(jù)圖形的組成以及正方形和長方形的面積公式，知：大正方形的面積﹣小正方形的面積=4個(gè)矩形的面積．【解答】解：∵大正方形的面積﹣小正方形的面積=4個(gè)矩形的面積，∴（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab，即4ab=（a+b）2﹣（a﹣b）2．故答案為：4ab=（a+b）2﹣（a﹣b）2．【點(diǎn)評(píng)】考查了完全平方公式的幾何背景，能夠正確找到大正方形和小正方形的邊長是難點(diǎn)．解決問題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到所求的量的等量關(guān)系．（2013秋?路南區(qū)期末）分別以a、b為邊長的兩個(gè)正方形面積和為29cm2，以a、b為邊長的長方形周長為14cm，則此長方形的面積為10cm2．【考點(diǎn)】完全平方公式的幾何背景．【分析】由以a、b為邊長的兩個(gè)正方形面積和為29cm2，可得a2+b2=29，由以a、b為邊長的長方形周長為14cm，可得2（a+b）=14，則a+b=7，再利用（a+b）2=a2+2ab+b2，即可解答．【解答】解：∵以a、b為邊長的兩個(gè)正方形面積和為29cm2，∴a2+b2=29，∵以a、b為邊長的長方形周長為14cm，∴2（a+b）=14，∴a+b=7，∴（a+b）2=72a2+2ab+b2=49，29+2ab=49，2ab=20，ab=10．∴長方形的面積為10cm2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是得到a2+b2=29，a+b=7，然后利用完全平分公式解答．幾何解釋：由圖（1）可以看出大正方形的邊長是a+b，它是由兩個(gè)小正方形和兩個(gè)長方形組成的，所以大正方形的面積等于這四個(gè)圖形的面積之和．用式子表示為：a2+2ab+b2；觀察圖（2）利用面積關(guān)系可得：（a﹣b）2+2b（a﹣b）+b2．【考點(diǎn)】完全平方公式的幾何背景．【分析】表示各個(gè)小正方形和長方形的邊長，即可得到各個(gè)小正方形和小長方形的面積，即可解答．【解答】解：由圖（1）可以看出大正方形的邊長是a+b，它是由兩個(gè)小正方形和兩個(gè)長方形組成的，所以大正方形的面積等于這四個(gè)圖形的面積之和．用式子表示為：a2+2ab+b2；觀察圖（2）利用面積關(guān)系可得：（a﹣b）2+2b（a﹣b）+b2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了完全平方公式，解決本題的關(guān)鍵是表示各個(gè)部分的面積．（2015春?富陽市校級(jí)期中）如圖，已知長方形ABCD的周長為16，面積為15，分別以長方形ABCD的長和寬向外作正方形，求這四個(gè)正方形的面積和．【考點(diǎn)】完全平方公式的幾何背景．【分析】設(shè)長方形的長為x，寬為y，由題意得：，解方程組求出x，y的值，即可解答．【解答】解：設(shè)長方形的長為x，寬為y，由題意得：，解得：或（舍去）∴AB=CD=5，AC=BD=3，∴四個(gè)正方形的面積和為：3×3+3×3+5×5+5×5=68．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元二次方程組的解法，得出關(guān)于x，y的方程是解題關(guān)鍵．（2015春?宿豫區(qū)期中）用四塊完全相同的小長方形拼成的一個(gè)“回形”正方形．（1）用不同代數(shù)式表示圖中的陰影部分的面積，你能得到怎樣的等式，試用乘法公式說明這個(gè)等式成立；（2）利用（1）中的結(jié)論計(jì)算：a+b=2，ab=，求a﹣b；（3）根據(jù)（1）中的結(jié)論，直接寫出x+和x﹣之間的關(guān)系；若x2﹣3x+1=0，分別求出x+和（x﹣）2的值．【考點(diǎn)】完全平方公式的幾何背景．【分析】（1）根據(jù)陰影部分的面積=4個(gè)小長方形的面積=大正方形的面積﹣小正方形的面積，利用完全平方公式，即可解答；（2）根據(jù)完全平方公式解答；（3）根據(jù)完全平分公式解答．【解答】解：（1）陰影部分的面積為：4ab或（a+b）2﹣（a﹣b）2，得到等式：4ab=（a+b）2﹣（a﹣b）2，說明：（a+b）2﹣（a﹣b）2=a2+2ab+b2﹣（a2﹣2ab+b2）=a2+2ab+b2﹣a2+2ab﹣b2=4ab．（2）（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab==，∴a﹣b=．（3）根據(jù)（1）中的結(jié)論，可得：，∵x2﹣3x+1=0，方程兩邊都除以x得：，∴，∴．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了完全平方公式的幾何背景，準(zhǔn)確識(shí)圖，根據(jù)陰影部分的面積的兩種不同表示方法得到的代數(shù)式的值相等列式是解題的關(guān)鍵．（2015春?宜興市校級(jí)期中）一天，小明在玩紙片拼圖游戲時(shí)，發(fā)現(xiàn)利用圖①中的三種材料各若干，可以拼出一些長方形來解釋某些等式，比如圖②可以解釋為等式：（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2．（1）則圖③可以解釋為等式：（2a+b）（a+2b）=2a2+5ab+2b2．（2）在虛線框中用圖①中的基本圖形若干塊（每種至少用一次）拼成一個(gè)長方形，使拼出的長方形面積為a2+4ab+3b2，并請(qǐng)?jiān)趫D中標(biāo)出這個(gè)長方形的長和寬．（3）如圖④，大正方形的邊長為m，小正方形的邊長為n，若用x、y表示四個(gè)長方形的兩邊長（x＞y），觀察圖案，指出以下關(guān)系式：（a）x﹣y=n；（b）xy=；（c）x2﹣y2=mn；（d）x2+y2=．其中正確的關(guān)系式的個(gè)數(shù)有2個(gè)．【考點(diǎn)】完全平方公式的幾何背景．【分析】（1）看圖即可得出所求的式子；（2）畫出的矩形邊長分別為（a+b）和（a+3b）即可；（3）根據(jù)圖中每個(gè)圖形的面積之間的關(guān)系即可判斷出正確的有幾個(gè)．【解答】解：（1）由分析知：圖③所表示的等式為：（2a+b）（a+2b）=2a2+5ab+2b2；故答案為：（2a+b）（a+2b）=2a2+5ab+2b2；（2）示意圖如下：（3）（a）正確；（b）∵4xy=m2﹣n2，∴xy=，正確；（c）∵x+y=m，x﹣y=n，∴x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）=mn，∴正確；（d）=，正確；故正確的有4個(gè)，故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了完全平方公式，整式的混合運(yùn)算的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的計(jì)算能力和觀察圖形的能力．（2015春?張家港市校級(jí)期中）圖①是一個(gè)長為2m、寬為2n的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后按圖②的形狀拼成一個(gè)正方形．（1）將圖②中的陰影部分面積用2種方法表示可得一個(gè)等式，這個(gè)等式為（m+n）2﹣4mn=（m﹣n）2．（2）若m+2n=7，mn=3，利用（1）的結(jié)論求m﹣2n的值．【考點(diǎn)】完全平方公式的幾何背景．【分析】（1）大正方形的面積減去矩形的面積即可得出陰影部分的面積，也可得出三個(gè)代數(shù)式（m+n）2、（m﹣n）2、mn之間的等量關(guān)系；（2）根據(jù)（1）所得出的關(guān)系式，可求出（m﹣2n）2，繼而可得出m﹣2n的值．【解答】解：（1）（m+n）2﹣4mn=（m﹣n）2；故答案為：（m+n）2﹣4mn=（m﹣n）2（2）（m﹣2n）2=（m+2n）2﹣8mn=25，則m﹣2n=±5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了完全平方公式的幾何背景，屬于基礎(chǔ)題，注意仔細(xì)觀察圖形，表示出各圖形的面積是關(guān)鍵．（2015春?姜堰市校級(jí)月考）有許多代數(shù)恒等式可以用圖形的面積來表示，如圖①，它表示了（2m+n）（m+n）=2m2+3mn+n2（1）圖②是將一個(gè)長2m、寬2n的長方形，沿圖中虛線平方為四塊小長方形，然后再拼成一個(gè)正方形（圖③），則圖③中的陰影部分的正方形的邊長等于m﹣n（用含m、n的代數(shù)式表示）（2）請(qǐng)用兩種不同的方法列代數(shù)式表示圖③中陰影部分的面積．方法①（m+n）2﹣4mn方法②（m﹣n）2（3）請(qǐng)你觀察圖形③，寫出三個(gè)代數(shù)式（m+n）2、（m﹣n）2、mn關(guān)系的等式：（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn；（4）根據(jù)（3）題中的等量關(guān)系，解決如下問題：若已知x+y=7，xy=10，則（x﹣y）2=9；（5）小明用8個(gè)一樣大的長方形（長acm，寬bcm）拼圖，拼出了如圖甲、乙的兩種圖案，圖案甲是一個(gè)正方形，圖案乙是一個(gè)大的長方形，圖案甲的中間留下了邊長是2cm的正方形小洞．則（a+2b）2﹣8ab的值為4cm2．【考點(diǎn)】完全平方公式的幾何背景．【分析】（1）陰影部分的正方形的邊長為m﹣n；（2）方法①：陰影部分的面積=大正方形的面積﹣4個(gè)小長方形的面積；方法②：表示出小正方形的邊長為m﹣n，即可解答；（3）大正方形的面積減去4個(gè)小長方形的面積即可得出陰影部分的面積，也可得出三個(gè)代數(shù)式（m+n）2、（m﹣n）2、mn之間的等量關(guān)系；（4）根據(jù)（3）所得出的關(guān)系式，可求出（x﹣y）2的值；（5）利用圖形面積之間關(guān)系得出（a+2b）2﹣8ab=（a﹣2b）2即可求出．【解答】解：（1）陰影部分的正方形的邊長為m﹣n；故答案為：m﹣n．（2）方法①：陰影部分的面積=大正方形的面積﹣4個(gè)小長方形的面積，所以陰影部分的面積為：（m+n）2﹣4mn；方法②：表示出小正方形的邊長為m﹣n，所以陰影部分的面積=（m﹣n）2．故答案為：（m+n）2﹣4mn；（m﹣n）2．（3）（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn；故答案為：（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn．（4）（x﹣y）2=（x+y）2﹣4xy=72﹣4×10=9；故答案為：9．（5）∵（a+2b）2﹣8ab=（a﹣2b）2=22=4（cm2），∴（a+2b）2﹣8ab的值為4cm2．故答案為：4cm2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了完全平方公式的幾何背景，屬于基礎(chǔ)題，注意仔細(xì)觀察圖形，表示出各圖形的面積是關(guān)鍵．（2015春?無錫校級(jí)月考）如圖①是一個(gè)長為2m、寬為2n的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四個(gè)相同的小長方形，然后按圖②的方式拼成一個(gè)正方形．（1）你認(rèn)為圖②中的陰影部分的正方形的邊長等于m﹣n；（2）請(qǐng)用兩種不同的方法列代數(shù)式表示圖②中陰影部分的面積．方法①：（m+n）2﹣4mn；方法②：（m﹣n）2；（3）請(qǐng)你觀察圖②，利用圖形的面積寫出（m+n）2、（m﹣n）2，mn這三個(gè)代數(shù)式之間的等量關(guān)系：（m+n）2﹣4mn=（m﹣n）2；（4）根據(jù)（3）中的結(jié)論，若x+y=﹣8，xy=3.75，則x﹣y=±7；（5）有許多代數(shù)恒等式可以用圖形的面積來表示．如圖③，它表示了（2m+n）（m+n）=2m2+3mn+n2．試畫出一個(gè)幾何圖形，使它的面積能表示：（2m+n）（m+2n）=2m2+5mn+2n2．【考點(diǎn)】完全平方公式的幾何背景．【分析】（1）正方形的邊長=小長方形的長﹣寬；（2）第一種方法為：大正方形面積﹣4個(gè)小長方形面積，第二種表示方法為：陰影部分為小正方形的面積；（3）利用（m+n）2﹣4mn=（m﹣n）2可求解；（4）利用（x﹣y）2=（x+y）2﹣4xy，再求x﹣y，即可解答．（5）根據(jù)多項(xiàng)式畫出圖形，即可解答．【解答】解：（1）m﹣n；（2）（m+n）2﹣4mn，（m﹣n）2；（3）（m+n）2﹣4mn=（m﹣n）2；（4）（x﹣y）2=（x+y）2﹣4xy，∵x+y=﹣8，xy=3.75，∴（x﹣y）2=64﹣15=49，∴x﹣y=±7，（5）如圖故答案為：（1）m﹣n；（2）（m+n）2﹣4mn，（m﹣n）2；（3）（m+n）2﹣4mn=（m﹣n）2；（4）±7．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了完全平分公式的幾何背景，解決問題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到所求的量的等量關(guān)系．本題更需注意要根據(jù)所找到的規(guī)律做題．（2015春?溫州月考）把一個(gè)長為2m、寬為2n的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長方形，然后拼成一個(gè)正方形（如圖1）（1）請(qǐng)用兩種不同的方法求圖2中陰影部分的面積（直接用含m，n的代數(shù)式表示）方法1：（m+n）2﹣4mn；方法2：（m﹣n）2．（2）根據(jù)（1）中結(jié)論，請(qǐng)你寫出下列三個(gè)代數(shù)式（m+n）2，（m﹣n）2，mn間的等量關(guān)系；（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn．（3）根據(jù)（2）題中的等量關(guān)系，解決如下問題：已知實(shí)數(shù)a，b滿足：a+b=3，ab=1，求a﹣b的值．【考點(diǎn)】完全平方公式的幾何背景．【分析】（1）本題可以直接求陰影部分正方形的邊長，計(jì)算面積；也可以用正方形的面積減去四個(gè)小長方形的面積，得陰影部分的面積；（2）由（2）即可得出三個(gè)代數(shù)式之間的等量關(guān)系；（3）將a+b=3，ab=1，代入三個(gè)代數(shù)式之間的等量關(guān)系，求出（a﹣b）2的值，即可求出a﹣b的值．【解答】解：（1）方法一：陰影部分的面積=（m+n）2﹣4mn；方法二：陰影部分的邊長=m﹣n；故陰影部分的面積=（m﹣n）2．（2）三個(gè)代數(shù)式之間的等量關(guān)系是：（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn；（3）（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab=1，∴a﹣b=±1．故答案為：（1）（m+n）2﹣4mn、（m﹣n）2；（2）（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查完全平分公式，如何準(zhǔn)確地確定三個(gè)代數(shù)式之間的等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．（2015春?涇陽縣校級(jí)月考）乘法公式的探究及應(yīng)用．圖1是一個(gè)長為2m、寬為2n的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長方形，然后按圖2的形狀拼成一個(gè)正方形．（1）請(qǐng)用兩種不同的方法求圖2中陰影部分的面積．方法1：（m﹣n）2方法2：（m+n）2﹣4mn（2）觀察圖2請(qǐng)你寫出下列三個(gè)代數(shù)式：（a+b）2，（a﹣b）2，ab之間的等量關(guān)系．（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab；（3）根據(jù)（2）題中的等量關(guān)系，解決如下問題：①已知：a﹣b=5，ab=﹣6，求：a2+b2=13②（a+b）2=49②已知的值．【考點(diǎn)】完全平方公式的幾何背景．【分析】（1）方法一、求出正方形的邊長，再根據(jù)正方形面積公式求出即可；方法二、根據(jù)大正方形面積減去4個(gè)矩形面積，即可得出答案；（2）根據(jù)（1）陰影部分的面積相等，即可得出等式；（3）①把a(bǔ)﹣b=5兩邊平方，利用完全平分公式，即可解答；②根據(jù)（a+b）2=（a﹣b）2+4ab，即可解答；③利用完全平分公式，即可解答．【解答】解：（1）陰影部分是正方形，正方形的邊長是m﹣n，即陰影部分的面積是（m﹣n）2，又∵陰影部分的面積S=（m+n）2﹣4mn，故答案為：（m﹣n）2，（m+n）2﹣4mn．（2）（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab，故答案為：（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab．（3）①∵a﹣b=5，ab=﹣6，∴（a﹣b）2=52∴a2﹣2ab+b2=25，a2+b2=25+2ab=25﹣12=13，故答案為：13．②（a+b）2=（a﹣b）2+4ab=52﹣4×（﹣6）=49．故答案為：49．③===（32﹣2）2﹣2=47．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查完全平分公式，如何準(zhǔn)確地確定三個(gè)代數(shù)式之間的等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．（2014春?南海區(qū)校級(jí)期末）（1）觀察圖形1，根據(jù)圖形面積的關(guān)系，不需要連其他的線，便可以得到一個(gè)乘法公式，這個(gè)公式是：（a+b）2=a2+2ab+b2．（2）有多張長方形卡片和正方形卡片（如圖2）：利用這些卡片，畫出一個(gè)長方形，使它的面積為：2a2+3ab+b2．要求：畫出卡片之間不能重疊．并根據(jù)這個(gè)長方形的面積寫出一個(gè)代數(shù)恒等式．【考點(diǎn)】完全平方公式的幾何背景．【分析】（1）本題根據(jù)幾何圖形來進(jìn)行代數(shù)恒等式的推導(dǎo)，要注意圖形各部分面積和=整個(gè)圖形的面積．（2）可使長方形的長為（2a+b），寬為（a+b）這樣可以得到滿足條件的等式．【解答】解：（1）（a+b）2=a2+2ab+b2；（2）如圖，2a2+3ab+b2=（2a+b）（a+b）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查完全平方公式的幾何背景，難度不大，注意利用幾何圖形推導(dǎo)代數(shù)恒等式，要注意幾何圖形整體面積與各部分面積的關(guān)系．（2014秋?東蘭縣期末）如圖1，將一個(gè)長為4a，寬為2b的長方形，沿圖中虛線均勻分成4個(gè)小長方形，然后按圖2形狀拼成一個(gè)正方形．（1）圖2的空白部分的邊長是多少？（用含a，b的式子表示）（2）若2a﹣b=7，求圖2中的空白正方形的面積．（3）觀察圖2，用等式表示出（2a﹣b）2，ab和（2a+b）2的數(shù)量關(guān)系．【考點(diǎn)】完全平方公式的幾何背景．【分析】（1）觀察圖形可得四個(gè)小長方形的長為2a，寬為b，那么圖2中的空白部分的邊長是小長方形的長減去小長方形的寬．（2）通過觀察圖形，大正方形的邊長為小長方形的長和寬的和．圖2中空白部分的正方形的面積為大正方形的面積減去四個(gè)小長方形的面積．（3）通過觀察圖形知：（2a+b）2（2a﹣b）28ab．分別表示的是大正方形、空白部分的正方形及小長方形的面積【解答】解：（1）圖2的空白部分的邊長是2a﹣b（2）由圖2可知，小正方形的面積=大正方形的面積﹣4個(gè)小長方形的面積，∵大正方形的邊長=2a+b，∴大正方形的面積=（2a+b）2，又∵4個(gè)小長方形的面積之和=大長方形的面積=4a×2b=8ab，∴小正方形的面積=（2a+b）2﹣8ab=4a2+4ab+b2﹣8ab=4a2﹣4ab+b2=（2a﹣b）2=72=49．（3）由圖2可以看出，大正方形面積=空白部分的正方形的面積+四個(gè)小長方形的面積即：（2a+b）2﹣（2a﹣b）2=8ab．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了學(xué)生觀察、分析圖形解答問題的綜合能力，以及對(duì)列代數(shù)式、代數(shù)式求值的理解與掌握．關(guān)鍵是通過觀察圖形找出各圖形之間的關(guān)系．（2014春?泰興市校級(jí)期中）動(dòng)手操作：如圖①是一個(gè)長為2a，寬為2b的長方形，沿圖中的虛線剪開分成四個(gè)大小相等的長方形，然后按照?qǐng)D②所示拼成一個(gè)正方形．提出問題：（1）觀察圖②，請(qǐng)用兩種不同的方法表示陰影部分的面積；（2）請(qǐng)寫出三個(gè)代數(shù)式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之間的一個(gè)等量關(guān)系．問題解決：根據(jù)上述（2）中得到的等量關(guān)系，解決下列問題：已知：x+y=7，xy=6．求：x﹣y的值．【考點(diǎn)】完全平方公式的幾何背景．【分析】（1）第一種方法為：大正方形面積﹣4個(gè)小長方形面積，第二種表示方法為：陰影部分正方形的面積；（2）可得等量關(guān)系為：（a+b）2﹣4ab=（a﹣b）2；利用（a+b）2﹣4ab=（a﹣b）2可求解．【解答】解：（1）（a+b）2﹣4ab或（a﹣b）2（2）（a+b）2﹣4ab=（a﹣b）2問題解決：（x﹣y）2=（x+y）2﹣4xy∵x+y=7，xy=6．∴（x﹣y）2=49﹣36=13．∴x﹣y=±．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了完全平方公式的幾何背景．解決問題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到所求的量的等量關(guān)系．本題更需注意要根據(jù)所找到的規(guī)律做題．（2014春?成都校級(jí)月考）閱讀下列文字：對(duì)于一個(gè)圖形，通過不同的方法計(jì)算圖形的面積，可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式，例如：由圖1可以得到（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2．請(qǐng)解答下列問題：（1）寫出圖2中所表示的數(shù)學(xué)等式（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．；（2）利用（1）中所得到的結(jié)論，解決問題：已知a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a2+b2+c2的值；（3）圖3中給出了若干個(gè)邊長為a和邊長為b的小正方形紙片，長為b和寬為a的長方形紙片，利用所給的紙片拼出一個(gè)幾何圖形，使得計(jì)算它的面積能得到數(shù)學(xué)公式：2a2+3ab+b2=（2a+b）（a+b）．【考點(diǎn)】完全平方公式的幾何背景．【分析】（1）根據(jù)數(shù)據(jù)表示出矩形的長與寬，再根據(jù)矩形的面積公式寫出等式的左邊，再表示出每一小部分的矩形的面積，然后根據(jù)面積相等即可寫出等式．（2）根據(jù)利用（1）中所得到的結(jié)論，將a+b+c=11，ab+bc+ac=38作為整式代入即可求出．（3）找規(guī)律，根據(jù)公式畫出圖形，拼成一個(gè)長方形，使它滿足所給的條件【解答】解：（1）根據(jù)題意，大矩形的面積為：（a+b+c）（a+b+c）=（a+b+c）2，各小矩形部分的面積之和=a2+2ab+b2+2bc+2ac+c2，∴（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．（2）a2+b2+c2=（a+b+c）2﹣2（ab+ac+bc）=112﹣2×38=45．（3）如圖所示：【點(diǎn)評(píng)】本題考查了完全平方公式的幾何背景，根據(jù)矩形的面積公式分整體與部分兩種思路表示出面積，然后再根據(jù)同一個(gè)圖形的面積相等即可解答．（2012秋?海門市期末）圖1是一個(gè)長為2m、寬為2n的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長方形，然后按圖2的形狀拼成一個(gè)正方形．（1）請(qǐng)寫出圖2中陰影部分的面積：（m﹣n）2或（m+n）2﹣4mn；（2）觀察圖2你能寫出下列三個(gè)代數(shù)式之間的等量關(guān)系嗎？代數(shù)式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn．（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn；（3）根據(jù)（2）中的等量關(guān)系，解決如下問題：若a+b=7，ab=5，求a﹣b的值．【考點(diǎn)】完全平方公式的幾何背景．【分析】（1）陰影部分的面積可以看作是邊長（m﹣n）的正方形的面積，也可以看作邊長（m+n）的正方形的面積減去4個(gè)小長方形的面積；（2）由（1）的結(jié)論直接寫出即可；（3）利用（2）的結(jié)論，把（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab，把數(shù)值整體代入即可．【解答】解：（1）（m﹣n）2或（m+n）2﹣4mn；（2）（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn；（3）當(dāng)a+b=7，ab=5時(shí)，（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab=72﹣4×5=49﹣20=29∴a﹣b=．【點(diǎn)評(píng)】此題考查根據(jù)圖形理解完全平方公式，以及利用整體代入的方法求代數(shù)式的值，解決本題的關(guān)鍵是熟記有關(guān)完全平方的幾個(gè)變形公式．（2012秋?晉江市校級(jí)期中）（1）求（如圖1）這一塊長為acm、寬為bcm矩形材料的面積；（用含a，b的代數(shù)式表示）（2）用四塊（如圖1）的矩形材料拼成一個(gè)大矩形（如圖2）或大正方形（如圖3），中間分別空出一個(gè)陰影小矩形A和一個(gè)陰影小正方形B．通過計(jì)算說明陰影A、B的面積哪一個(gè)比較大；（3）根據(jù)（如圖4），利用面積的不同表示方法寫出一個(gè)代數(shù)恒等式．【考點(diǎn)】完全平方公式的幾何背景．【分析】（1）根據(jù)矩形的面積公式可得出答案．（2）分別求出矩形的長和寬，求出正方形的邊長，從而計(jì)算出面積即可作出比較．（3）求出新形成的矩形的長和寬，根據(jù)面積相等即可得出答案．【解答】解：（1）S=長×寬=ab；（2）根據(jù)圖形可得：矩形A的長=a，寬=a﹣2b；正方形B的邊長=a﹣b，矩形A的面積=a2﹣2ab，正方形B的面積=a2﹣2ab+b2，正方形B面積﹣矩形A的面積=b2＞0，∴正方形B的面積大；（3）根據(jù)圖形可得：（2a）2﹣b2=（2a﹣b）（2a+b）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平方差公式的背景，難度不大，運(yùn)用幾何直觀理解、解決平方差公式的推導(dǎo)過程，通過幾何圖形之間的數(shù)量關(guān)系對(duì)平方差公式做出幾何解釋．圖①是一個(gè)長為2a，寬為2b的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四個(gè)小長方形，然后按圖②的形狀拼成一個(gè)正方形．（1）請(qǐng)用兩種不同的方法求圖2中陰影部分的面積：方法1：（a+b）2﹣4ab；方法2：（a﹣b）2；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，請(qǐng)你寫出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之間的等量關(guān)系是（a+b）2﹣4ab=（a﹣b）2；（3）根據(jù)（2）題中的等量關(guān)系，解決如下問題：a+b=，a﹣b=，求ab的值．【考點(diǎn)】完全平方公式的幾何背景．【分析】（1）①從整體考慮，用大正方形的面積減去四個(gè)小矩形的面積就是陰影部分的面積；②從局部考慮，根據(jù)正方形的面積公式，小正方形的邊長的平方就是陰影部分的面積；（2）根據(jù)所拼圖形的面積相等，即可解答．（3）把已知條件代入進(jìn)行計(jì)算即可求解．【解答】解：（1）方法1：大正方形的面積減去四個(gè)小矩形的面積：（a+b）2﹣4ab，方法2：陰影小正方形的面積：（a﹣b）2；故答案為：：（a+b）2﹣4ab，（a﹣b）2；（2）（a+b）2﹣4ab=（a﹣b）2；故答案為：（a+b）2﹣4ab=（a﹣b）2（3）根據(jù)（2）的關(guān)系式，（a+b）2﹣4ab=（a﹣b）2，∵a+b=，a﹣b=，∴4ab=（a+b）2﹣=5，∴ab=．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了完全平方公式的幾何背景，以及兩個(gè)公式之間的關(guān)系