2024年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：6類解三角形公式定理解題技巧

題型136類解三角形公式定理解題技巧

(海倫、射影、角平分線、張角、倍角、恒等式)

我漢海倫公式的應(yīng)用及解題技巧

技泣02射影定理的應(yīng)陽(yáng)及解1B技巧

技注。3角平分線定理的龍用及就麴技巧

ua.(M張#|定用的應(yīng)用及解題檢巧

技法。5信仰定理的應(yīng)用及解網(wǎng)技巧

技法0610類忻號(hào)式的應(yīng)用及新燃技巧

技法01海倫公式的應(yīng)用及解題技巧

?常見(jiàn)題型解讀

海倫?奉九10公式能塘*決已知三邊的三角形的面職求解,是群三角形中必不可少的解題利

界.也會(huì)作為胭在島號(hào)及?？贾谐霈F(xiàn)，福加以練習(xí).

知識(shí)遷移海倫-秦九韶公式

三角形的三邊分別是。、b、c,則三角形的面積為S=Jp(p-a)(p-b)(p-c)

其中p=￡!|土￡,這個(gè)公式就是海倫公式，為古希臘的幾何學(xué)家海倫所發(fā)現(xiàn)并證明。

我國(guó)南宋的秦九韶也曾提出利用三角形三邊求三角形面積的秦九韶公式：

02

跟我學(xué)?解題思維剖析

例1.

(2022?浙江?統(tǒng)考高考真題)

我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶，發(fā)現(xiàn)了從三角形三邊求面積的公式，他把這種方法稱為“三

斜求積”，它填補(bǔ)了我國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一個(gè)空白.如果把這個(gè)方法寫成公式，就是

S=j：,其中①6,c是三角形的三邊，S是三角形的面積.設(shè)

某三角形的三邊。=也，b=6，c=2,則該三角形的面積S=_.

試卷第1頁(yè)，共10頁(yè)

技巧點(diǎn)撥o

【詳解】因?yàn)?=，所以S=j；4x2［土苧.故

答案為:學(xué)

力魯?知識(shí)遷移強(qiáng)化

（2022?全國(guó)?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）

1.在古希臘數(shù)學(xué)家海倫的著作《測(cè)地術(shù)》中記載了著名的海倫公式，利用三角形的三

邊長(zhǎng)求三角形的面積.若三角形的三邊分別為a,b,c,則其面積

S,這里P=a+，c.已知在“3C中，內(nèi)角/,B,C所對(duì)

的邊分別為a,b,c,。=6,6+c=10,則AJBC的面積最大值為（）.

A.66B.8啦C.10D.12

（2023上?河北石家莊?高三?？茧A段練習(xí)）

2.海倫公式是利用三角形的三條邊的邊長(zhǎng)a,b,c直接求三角形面積S的公式，表達(dá)

式為：S^^p（p-a）（p-b）（p-c）（其中。=”產(chǎn)）；它的特點(diǎn)是形式漂亮，便于記

憶.中國(guó)宋代的數(shù)學(xué)家秦九韶在1247年獨(dú)立提出了“三斜求積術(shù)”，但它與海倫公式完

全等價(jià)，因此海倫公式又譯作海倫-秦九韶公式.現(xiàn)在有周長(zhǎng)為10+26的“8C滿足

sin/:sin8:sinC=2:3:"，則用以上給出的公式求得“3C的面積為（）

A.877B.4近C.673D.12

（2023?海南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）

3.古希臘的數(shù)學(xué)家海倫在他的著作《測(cè)地術(shù)》中最早記錄了“海倫公式”：

S=Np（p_a）（p_b）（p_c）,其中°=a+：+c,a,b,c分別為“BC的三個(gè)內(nèi)角N,

B,C所對(duì)的邊，該公式具有輪換對(duì)稱的特點(diǎn).已知在^ABC中，sin/:sinB:sinC=8:7:3,

且的面積為126，則（）

A.角4,B,C構(gòu)成等差數(shù)列B.“BC的周長(zhǎng)為36

C.”3C的內(nèi)切圓面積為gD.8C邊上的中線長(zhǎng)度為伍

技法02射影定理的應(yīng)用及解題技巧

試卷第2頁(yè)，共10頁(yè)

識(shí)高考?常見(jiàn)題型解讀

三角形中隨或笥許多性隨.比如：角形3也定理就修幡住*:角形中口化計(jì)才過(guò)程，但是白

號(hào)試中就祚豆不能lilt使用，品鎏推V.不少島學(xué)IftiB用射影定胛可以快速化商的出答案.

在一些小也中.應(yīng)用三角形射骷定理度幡快速用到管案.雷強(qiáng)化練習(xí)

知識(shí)遷移射影定理。=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA

02

跟我學(xué)?解題思維剖析

例2.

（全國(guó)?高考真題）

A4BC的內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若26cosH=acosC+ccosZ,則8=

技巧點(diǎn)撥

在△45C中，acosC+ccosA=b,；?條件等式變?yōu)?6cos5=6,cosB=y.

一71

又0<5〈兀，:?B=一.

3

摩榮證?知識(shí)遷移強(qiáng)化

（2023?上海浦東新?統(tǒng)考二模）

4.在△4BC中，角/、B、C的對(duì)邊分別記為a、b、c,若5acos/=6cosC+ccosB,

貝ljsin2N=

（全國(guó)?高考真題）

5.28C的內(nèi)角/,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知2cosc（acosB+6cos/）=c.

（）求角；（）若°=近，S=—,求的周長(zhǎng).

1C2ZM\/1B￡>OC2A1BC

（2023?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）

6.記》8C的內(nèi)角4瓦。的對(duì)邊分別為仇c,已知一+「』=2.

cosA

⑴求加；

acosB-bcosAb,…八—巾

⑵若————；—一=1,求”面積.

acosB+bcosAc

（上海虹口?高三上外附中?？计谥校?/p>

Q43

7.在MBC中，tzcos2——Fccos2—=—b,貝!J（）

222

試卷第3頁(yè)，共10頁(yè)

A.a,b,c依次成等差數(shù)列

B.b,a,c依次成等差數(shù)列

C.a,c,b依次成等差數(shù)列

D.a,b,c既成等差數(shù)列，也成等比數(shù)列

（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）

8.在中，三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、6、c,若"8C的面積S./BC=2C，

acosB+bcosA?

a+b=6,----------------------------------二2cosC,則。=

c

技法03角平分線定理的應(yīng)用及解題技巧

用高年?常見(jiàn)題型解讀

仔U三角形中.應(yīng)用他平分線定理及乂變形公式能做到快速求解及K杪解,也艮高考命題的

島頓考點(diǎn).需K點(diǎn)學(xué)習(xí).

知識(shí)遷移

角平分線定理

ARAT

(1)在A48c中，為/歷1C的角平分線，則有二=次

DL）CJL9

.ABAC

2/JXCXCOS—

(2)AD=---------------2_

b+c

(3)AD2=ABxAC-BDxCD(庫(kù)斯頓定理)

(4)——AB=S"ABD

ACSArn

02

跟我學(xué)?解題思維剖析

例3.

（2023?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）

在“BC中，NA4c=60。，AB=2,3C=?,/A4c的角平分線交8C于D,則/D=_.

試卷第4頁(yè)，共10頁(yè)

技巧點(diǎn)撥o

由余弦定理可得，22+Z>2-2x2xftxcos600=6,因?yàn)?>0,解得：6=1+百，

NBAC

則xc°s”一計(jì)算即可，故答案為：2.

b+c

摩榮證?知識(shí)遷移強(qiáng)化

（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）

9.△NBC中，邊6C內(nèi)上有一點(diǎn)。，證明：是2/的角平分線的充要條件是

ABBD

AC~DC

（2023春?寧夏銀川?高三?？茧A段練習(xí)）

10.在“3C中，角/的角平分線交8c于點(diǎn)。，且/8=4,/C=2,則N萬(wàn)等于（

1―?2—?5—?2—?

A.-AC+-ABB.-AB——AC

3333

2—.1—.2——?1——?

C.-AC——ABD.-AC+-AB

3333

（2023春?湖北?高一赤壁一中校聯(lián)考階段練習(xí)）

11.在“3C中，內(nèi)角N,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,C,若4=至，。=7,6=3,

則角A的角平分線AD=.

（2023春?安徽滁州?高一統(tǒng)考期末）

12.在康8。中，角/,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知

asm^-isinS-csinC-Z>sinC=O.

（1）求角A的大小；

（2）若/3=5,AC=3,4D是△/2C的角平分線，求的長(zhǎng).

技法04張角定理的應(yīng)用及解題技巧

?常見(jiàn)題型解讀

試卷第5頁(yè)，共10頁(yè)

在解二曲形中.應(yīng)用張用定理健做制快速求薪及共杪*.也是晶號(hào)命局的高喊號(hào)點(diǎn)，需4（點(diǎn)

知識(shí)遷移

張角定理嗤+堯=任好

02

跟我學(xué)?解題思維剖析

例4-1.

（內(nèi)蒙古呼和浩特?統(tǒng)考一模）

如圖，已知4D是A43c中NA4c的角平分線，交BC邊于點(diǎn)D.

ABBD

（1）用正弦定理證明:

ACDC

(2)若N8/C=120。，AB=2,AC=1,求的長(zhǎng).

技巧點(diǎn)撥

先用面積之和來(lái)證明張角定理，然后直接由張角定理求得AD的長(zhǎng)為■1.

例4-2.

在AABC中，角48、C所對(duì)的邊分別為服從c,已知點(diǎn)。在3C邊

±,AD±^GsinABAC,AB=yp2AD=3,則

3

技巧點(diǎn)撥

解：如圖

試卷第6頁(yè)，共10頁(yè)

BD

■：sinZBAC=2拒

3

sinNBACsinABADsinADAC

-------------=--------------+--------------

2拒

即丁

AC

2V2-cosZBAC1

~9~~AC+372

2V2__J1

~9~~^4C+yj2

:.AC=36

CD=yjAD2+AC2=3^/3

你來(lái)練?知識(shí)遷移強(qiáng)化

13.在^ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知

b=2,c=4,Z8/C=120。，ABAC的角平分線交邊BC于點(diǎn)Z）,Hi]\AD\=

14.在“BC中，角4B、。所對(duì)的邊分別為a、b、c,4D是的角平分線，若

/A4C=§,[4D|=2G,則26+c的最小值為.

（2023上?河南信陽(yáng)?高二河南宋基信陽(yáng)實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期末）

15.春8。中，角/,3,C所對(duì)的邊分別為a,6,c,NABC=120。，BD工BC交AC于點(diǎn)、D,

且2。=1,2a+c的最小值為（）

D.8也

技法05倍角定理的應(yīng)用及解題技巧

識(shí)高考?常見(jiàn)題型解讀

試卷第7頁(yè)，共10頁(yè)

在*三肺形中.應(yīng)用信知定理能做到快速求解及林杪川.也凡商寫命目的小叁號(hào)點(diǎn),籬*點(diǎn)

學(xué)習(xí).

知識(shí)遷移

倍角定理

在。8c中，三個(gè)內(nèi)角4B、C的對(duì)邊分別為。、b、c,

(1)如果/=28,貝!］有:a2=6。+be,

(2)如果C=2/,則有:c'Y+aZ),

(3)如果3=2C,則有E=c2+ac

倍角定理的逆運(yùn)用

在AABC中，三個(gè)內(nèi)角/、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,

(1)如果/=/+%,則有:N=22,

(2)如果,2=/+",則有:C=24,

(3)如果〃=c2+ac,則有:3=2C。

02

跟我學(xué)?解題思維剖析

例5.在dBC中，角4CB、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,若8=24,

a=1,6=?,貝!Ic-

解題

技巧點(diǎn)撥o

???B=2A,由倍角定理得：/=/+℃即(百)=1+1XC

:.c=2

喘然福?知識(shí)遷移強(qiáng)化

16.在“3C中，內(nèi)角/,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,已知86=5c,C=2B,則

cosC-.

17.在AABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為。、b、c,若4=28,則反+(竺］的

bya)

最小值為

試卷第8頁(yè)，共10頁(yè)

18.AABC中，角4B、C所對(duì)的邊分別為服b、c,若/-/=bc，且sinN=Gsin8,

則角/=

(2023?重慶?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))

19.在銳角△N3C中，角/,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,滿足/=c(c+a).

(1)證明：B=2C；

(2)求二"———+3sin5的取值范圍.

tanCtanB

技法0610類恒等式的應(yīng)用及解題技巧

喟3?常見(jiàn)題型解讀

在孵三角形中，應(yīng)用忸等式能做到快速求*及靛秒解.也是高考命心的聿要考點(diǎn).福，點(diǎn)學(xué)，

知識(shí)遷移

三角恒等式

在AABC中，

(1)sinA+sin5+sinC=4cos^-cos^-cos^-；

.A.B.C

(2)cosA+cosB+cosC=l+4sinysin—sin—；

③sin2A+sin2B+sin2C=2+2cos4cos5cosC;

(4)cos2A+cos2B+cos2C=l-2cos^4cosficosC;

.2.2B.?C.A.B.C

(5)sin——I-sin——i-sin—1=l-2sin-sin—sin一?

222222

4A2B2c>A.B.C

(6)co2s—Fcos—Fcos——2+2sm—sin—sin—?

222222

⑦tan4+tanB+tanC=tanA?tanB-tanC；

(8)cotA-cotB+cotA-cotC+cotB-cotC=1；

ABCABC

(9)cot—+cot—■I-cot——=cot—cot—cot——：

222222

cABBCCA

(10)tan-tan——btan-tan——btan-tan一=A1。

222222

02

例6.

(2023,全國(guó),高三專題練習(xí))

在銳角“3C中，角4B,。所對(duì)的邊分別為。，b,c,若

試卷第9頁(yè)，共10頁(yè)

tarU+tan5+tanC=>/3tan5tanC，A=

技巧點(diǎn)撥o

tarU+tan5+tanC=tan^tanStanC,可得tai》=JL所以/J.

喘普福?知識(shí)遷移強(qiáng)化

20.在"BC中，tanA:tan5:tanC=1:2:3,求-=______________.

AC

（河南?高一競(jìng)賽）

ABC

21.在A4BC中，設(shè)工=以）5%+cos5+cosC,y=sin—+sin—+sin—^!jx、》的大小

222

關(guān)系是（）.

A.x=VB.

c.xKyD.不能確定

（全國(guó)?高三競(jìng)賽）

ABC

22.在A4BC中，M-sin^4+sinB+sinC,N=cos—+cos—+cos—.則"、N的大

222

小關(guān)系是（）.

A.M=NB.M<N

C.M>ND.無(wú)法確定

試卷第10頁(yè)，共10頁(yè)

參考答案:

1.D

【分析】根據(jù)給定信息列出關(guān)于b的函數(shù)關(guān)系，再借助二次函數(shù)計(jì)算作答.

【詳解】依題意，p="<c=3,則

S=；8x2x(8叫(6-2)=4，-1+106-16=4^-(&-5)2+9，

所以6=5,Smax=12,

所以A48C的面積最大值是12.

故選：D

2.C

【分析】

由正弦定理得三角形三邊之比，由周長(zhǎng)求出三邊，代入公式即可.

【詳解】

：siik4:sinB:sinC=2:3:a:b:c-2:3:y/1>

：“BC周長(zhǎng)為10+2』,即a+b+c=10+2近,

4+6+2

:.a=4,b=6,c=2近，：.p=^=5+77,

2

AABC的面積S=^(5+V7)(l+V7)(V7-1)(5-77)=6/3.

故選：C.

3.ACD

【分析】

利用正弦定理和余弦定理可知B=],滿足/+。=會(huì)=28,即A正確；根據(jù)海倫公式可得

a=8亞,所以周長(zhǎng)為18直，故B錯(cuò)誤；由等面積法可知內(nèi)切圓的半徑廠=半，可知C

正確，由利用余弦定理可得BC邊上的中線長(zhǎng)度為而，即D正確.

【詳解】

對(duì)于A,由正弦定理可知a:6:c=8:7:3,

設(shè)〃=8左，b=lk,c=3k(k>0),

82+32-72_1_

由余弦定理可得cosB="一

2ac2x8x32

答案第1頁(yè)，共12頁(yè)

所以8=],A+C=y=2B,故角N,B,C構(gòu)成等差數(shù)列，故A正確；

對(duì)于B,根據(jù)海倫公式得P=9左，S=gkxkx2kx6k=6品樞,得左=也,

所以a=8V^，b=7A/2>c=3也,所以28c的周長(zhǎng)為18V^,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,設(shè)ABC內(nèi)切圓的半徑為r,則、18萬(wàn)=126，得廠=地，

23

所以的內(nèi)切圓面積為兀r=g,故C正確；

對(duì)于D,設(shè)3c的中點(diǎn)為。，則8。=4收，

在八ABD中，AD=^BD2+AB2-2ABxBD-cos60°=726，故D正確.

故選：ACD

4.巫

25

【分析】

由正弦定理得到cos/=；,求出正弦，利用二倍角公式求出答案.

【詳解】5acosA=bcosC+ccosB,由正弦定理得

5sinAcos/=sin8cosC+sinCcosB=sin(3+C)=sin/,

因?yàn)榱Α?0,兀)，所以sin/wO,故cos/=1,

由于440,兀)，故sin/=Jl—cos?/

則sin24=2sinAcosA=2x—x.

5525

故答案為：巫

25

5.(1)C=y(2)5+V7

【詳解】試題分析：⑴根據(jù)正弦定理把2cosc(QCOSB+6COS/)=C化成

2cosC(sin4cosB+sinBcos4)=sinC,利用和角公式可得cosC=士從而求得角C；(2)根據(jù)

2

三角形的面積和角C的值求得ab=6,由余弦定理求得邊。得到AABC的周長(zhǎng).

試題解析：(1)由已知可得2cosc(sinZcos5+sin5cos/)=sinC

]71

2cosCsin(4+5)=sinC=>cosC=-^C=—

(2)SMBC=—absinC=>—y/3=^-ab-^-=>ab=6

答案第2頁(yè)，共12頁(yè)

Xva2+b~-2abcosC=c2

a2+b2=13,(a+b')2=2.5=>a+b=5

...乙486的周長(zhǎng)為5+4

考點(diǎn)：正余弦定理解三角形.

6.(1)1

(2)手

4

【分析】

(1)根據(jù)余弦定理即可解出；

(2)由(1)可知，只需求出sin/即可得到三角形面積，對(duì)等式恒等變換，即可解出.

【詳解】(1)

因?yàn)?-a。cos/,所以'—L=c°s"=2bc=2，解得：bc=l.

cosAcosA

(2)

,r/p,acosB-bcosAbsinAcos-sin5cosAsin5

由正弦定理可得------——；—一二—;一-————--——

acosB+bcosAcsinAcosB+smBcosAsinC

sin(/-B)sin5sin(A-B)-sin5]

sin(/+8)sin(4+8)sin0+B)

變形可得：sin(Z—B)—sin(/+B)=sin5,即一2cos4sin8=sinB,

i/7

而0<sin5Wl,所以cosZ=—7，又0</<兀，所以sin/=、一，

22

故^ABC的面積為SAABC=^bcsin^4=^-xlx^-=.

7.A

【分析】根據(jù)已知條件，利用三角函數(shù)余弦的二倍角公式以及正弦定理逐步化簡(jiǎn)可得出

a+c=2b,即可求出。、b、。關(guān)系.

CA3

【詳解】設(shè)尺是三角形A4BC外接圓半徑，???“052”+。32二=不3

222

.^(1+cosC)c(l+cosA\3口口「,c,

..------------+-------------=—b,a+acosC+c+ccosA=3b,

222

答案第3頁(yè)，共12頁(yè)

即Q+c+(QcosC+ccos%)=36即Q+C+(QcosC+ccosA)=2b+b

Q+c+2A(sin力cosC+sinCcosA)=2b+2RsinB

Q+c+2Rsin(%+C)=26+2Rsin8

TA、B、。在三角形中，

所以sin(/+C)=sin3,所以〃+c+27?sin(Z+C)=26+27?sin5

得至！JQ+C=26,

即。，b,。成等差數(shù)列，

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查學(xué)生對(duì)三角函數(shù)余弦的二倍角公式、正弦定理以及等差數(shù)列性質(zhì)的熟

練掌握，解題時(shí)要注重整體思想的運(yùn)用，望同學(xué)們平常多加練習(xí).

8.273

【分析】

由正弦定理、誘導(dǎo)公式、兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)竺巴絲包巴W=2cosC,由C的范圍特殊

C

角的三角函數(shù)值求出C,代入三角形的面積公式列出方程，利用余弦定理列出方程，變形

后整體代入求出C的值.

【詳解］由"c°sB0°s4_2cos。可得acosB+bcosA=2ccosC,

c

在^ABC中，由正弦定理得：sinAcos5+sin5cosA=2sinCcosC

sin(/+B)=2sinCcosC,

'：A+B=7i-C,

sin(/+B)=sinC=2sinCcosC,

sinCw0,「.cos。，

7T

由0<C<7T得，C=—

3

由SARr=2由得LabsinC=26,

△/IJDv2

得“b=8,

'：a+b=6,

?,?由余弦定理得—=(a+b)2—2qb—2abcosC=36—16—8=12

答案第4頁(yè)，共12頁(yè)

解得c=2A/3，

故答案為：28.

9.證明見(jiàn)解析

【分析】證明兩個(gè)命題為真：一個(gè)是由/。是//的角平分線證明嚕=黑，一個(gè)是由

ARDF)

*=若證明ND是//的角平分線.

7iCzDC

AB_BD

【詳解】證明：設(shè)?：是//的角平分線，q：~AC~^C

如圖，過(guò)點(diǎn)5作BE〃ZC交4。的延長(zhǎng)線與點(diǎn)E,

(1)充分性(P=q):若N1=N2,貝|JN1=NE,所以N2=NE,所以又

ABEBDABBD

ABDE^/AXCDA,所以六二法，所crH以I=

(2)必要性(qnp)：反之,若空=器，則；BE"4C,：.公BDEs八CDA,；.器=器,

ACDC力cDC

所以4B=BE,所以N2=NE,又BE"AC,所以N1=NE,所以N1=N2.

由(1)(2)可得，是//的角平分線的充要條件是耳=黑.

ACDC

【點(diǎn)睛】本題考查充分必要條件的證明，要證明夕是9的充要條件，必須證明兩個(gè)命題為真:

即充分性：P=q,必要性：qnP.

10.D

【分析】

利用角平分線定理以及平面向量的線性運(yùn)算法則即可求解.

【詳解】因?yàn)?。是“5C的角平分線，所以/氏4。=/。4。,

所以由正弦定理得送=竟需ACDC

sinZADCsin/CAD

又因?yàn)閟in/ADB=sin/ADC，sinABAD=sinZCAD，

答案第5頁(yè)，共12頁(yè)

所以"=這，^-=—=-=2,所以屈=方+麗=焉+劣就

BDDCDCAC23

=AB+-（AC-AB）=-AB+-ACfS.pAD=-AC+-AB.

3、）3333

故選：D

15

11.——

8

【分析】運(yùn)用正弦定理和兩角和差公式求解.

A

［詳解］

BDc

由正弦定理得空=父,.博inB=—sin—=,NZ=—^，.=者B是銳角，

sinAsinB73143

〃13.（兀）?兀rj兀?5

cosB=——,sinC=sin——B=sin—cosn-cos-sm5=-----，

14（3）3314

sinZADC=sin（S+/DAB）=sii

ADACfsinC15

在△/DC中，由正弦定理得：------=--------------,AD=AC*---------=—；

sinCsin//。。sinZADC8

故答案為：

O

12.⑴/

（2）—

8

【分析】

（1）先利用正弦定理角化邊，再利用余弦定理即可得到答案；

（2）根據(jù)S"BC='"BD+S“cD,再利用三角形面積公式得到關(guān)于4。的方程，解出即可.

【詳解】（1）由正弦定理可知,a2-b2-c2=be.

22

由余弦定理可得cosA=々h+r*_a2—be1

2bc?_2bc_2，

77T

又/￡（0,兀），所以/=與-.

（2）由題意知S“8c=；，sACD，

答案第6頁(yè)，共12頁(yè)

所以一xABxZCxsin——=—xABxADxsin—+—xZCxADxsin—,

232323

grpl1^261G1

n\kA—x5x3x——x5x4DxF―x3x4Dx,

222222

解得

o

4,1

13.-##1-

33

【分析】

根據(jù)三角形面積公式，由等面積建立等量關(guān)系可得結(jié)果.

【詳解】

依題思，因?yàn)镾AABC=S&BAD+S^CAD,

即g|/c|M同sin/2/C=；|AD|Masin/BAD+1|^CpZ）|sinZC^D,

所以4x2sinl20°=|ZD|x4sin600+2|y4￡>|sin60°,

化簡(jiǎn)得：K=p

4

故答案為：—.

14.6+4五

【分析】利用張角定理得到加J,再利用不等式中1的妙用來(lái)求解最值.

【詳解】???40是/A4c的角平分線,

1JI

...ABAD=ACAD=-ABAC=-

26

sinNBACsin/BADsinZDAC

由張角定理得:------=-------+-------

ADACAB

JEJEit

ansin—sin—sin—

即_3=—6+_L，

2也一bc

111

—F—=—

bc2

2b+c=（2b+c）J-lx2=^^6>6+4融乜6+4「

b+cb

答案第7頁(yè)，共12頁(yè)

（當(dāng)且僅當(dāng)f=上，即°=回=2+2行時(shí)取"=”）.

bc

故答案為：6+472.

15.B

【分析】根據(jù)題意由面積關(guān)系可得,+工=6,再結(jié)合基本不等式運(yùn)算求解.

ac

【詳解】由題意可知：AABD=12Q°,

因?yàn)?s"即+SAWBP—6ZCX—=—xlxcx—+—xlxa，

22222

整理得工+2=百，

ac

cAa\1

貝U2〃+c=+c)+4+2

ardT

當(dāng)且僅當(dāng)c=2a=迪時(shí)，等號(hào)成立.

3

所以2a+c的最小值為迪.

3

故選：B.

16-i

4

【分析】根據(jù)C=28,由正弦定理得到26cosB=c,再由8b=5c,得到cos8=不，然后由

二倍角公式求解.

【詳解】解：因?yàn)镃=28,

b

所以由正弦定理得:

sinBsinCsin282sinBcosB

即2bcosB=c,

因?yàn)?6=5c,

Q

所以26cosB=—b,

4

即cosB=—,

所以cosC=cos2B=2C0S?5-1=-1=—

⑶25

答案第8頁(yè)，共12頁(yè)

故答案為：5

17.3

【分析】

借助正弦定理與余弦定理，可由4=28得到/=/b+c）,即可將+化簡(jiǎn)為

T+審c-\-h+片4b，結(jié)合基本不等式即可得解.

bb+c

【詳解】

由/=25,則/-8=8,故sin（4-3）=sin3,

即sinAcos5-sin5cosA=sin5,

由正弦定理可得〃cos3-bcos/=b,

由余弦定理可得ax'+c2-'-6x"+1-，=g,

2ac2bc

222222

即可得a+c-b-（b+c-a）=2bcf即有/=辦e+Q,

c(26丫c4Z>2c4Z>2c4b1d■b4Z)

___i_Ii?----------______?_____________|________?_?______

b\a)bdbb(b-\-c)bbvcbh-c

當(dāng)且僅當(dāng)b+今c二4分b時(shí)，等號(hào)成立.

bb+c

故答案為：3.

18.-

3

【分析】根據(jù)"一6』。求出4=22,根據(jù)sin/=gsinB得到sin23=6sinB即可求解.

\9a2—b2=bc9:.a2=b2+bcfa2=b1+c2-2bccosA，

be=c2-2bccosA,/.b=c—2bcosA,

/.sin8=sinC—2sin8cosA,

/.sinB=sin(/+B)—2sinBcosA,

sin8=sin4cos5+sin8cos4一2sin8cosA，

sin5=sin4cos5-sin5cos/=sin(4—5),

因?yàn)?8e（0,7i）,所以

答案第9頁(yè)，共12頁(yè)

=4—B或B+4—B=n(舍)，:.A=2B,

因?yàn)閟in/二百sinBsin25=sin5

即2sinScos5=V3sin5，丁sin5w0,

...cosB————90<8<兀,

2

:.B=~,:.A=2B=-.

63

、7T

故答案為：—.

19.(1)證明見(jiàn)詳解

【分析】

(D利用正余弦定理得5詒/=5出。(2<：058+1),再利用兩角和與差的余弦公式化簡(jiǎn)得

sin(S-C)=sinC,再根據(jù)8,C范圍即可證明；

(2)根據(jù)三角恒等變換結(jié)合(1)中的結(jié)論化簡(jiǎn)得>=—二+3sin5,再求出B的范圍，從

sm3

而得到sinB的范圍，最后利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性即可得到答案.

【詳解】(1)由/=。2+〃c及/=+。2一2QCCOSB得，a=C(2COS5+1).

由正弦定理得sin"=sinC(2cos8+l),

又4+5+。=兀，

sin/=sin(5+C)=sinBcosC+cosBsinC=2sinCcosB+sinC9

/.sinBcosC-cosBsinC=sinC,

sin(B-C)=sinC,

???4B,C都是銳角，則瓦C<0,?,5—C)

:.B-