牛頓力學(xué)討論課答案

討論課1—牛頓力學(xué)2013.21

1.

質(zhì)點(diǎn)沿曲線由A

B運(yùn)動(dòng)，表示位矢，下列各式分別代表什么？并在圖中標(biāo)出。=位移的大小=路程=末、初位矢大小之差òòò)()()()()()(BABABArrrdddrr解ΑΒO22.絞車以恒定的速率v0收繩，問：（1）繩上各點(diǎn)速度相同嗎？hx

v0岸船繩（2）船速

v=v0cos

嗎？答（1）：v0岸..ABP.P

...A

B

t+

tt如圖示，在

t內(nèi)繩上P、A、B點(diǎn)的位移不同，

因而繩上各點(diǎn)速度必然不同。3答（2）：由圖有：t+

t

r

xh

v0P.P

tx絞車收繩的速率：船速：

～04

3.

一質(zhì)量為m的小球按如圖懸掛方式平衡。A圖的上端為繩索，B圖的上端為彈簧?，F(xiàn)剪斷水平繩索，兩種情況下，剪斷瞬間小球所受拉力各多大？為什么？θ(A)θ(B)解5剛性繩索k

，剪斷瞬間繩索形變

l雖無限小，但k

l

可取某有限值，保證小球沿圓周切線方向運(yùn)動(dòng)。瞬間靜止，法向加速度為零，因此：彈簧的k值有限，剪斷瞬間形變

l無限小，則k

l無限小，合力幾乎與剪斷前相同，因此：θ彈簧：θ繩索：l6

4.

Fvmv=const.皮帶Mf驅(qū)動(dòng)力m磚塊f

下列說法是否正確？（2）F的功+f

的功=m獲得的動(dòng)能（3）F的功+f

的功=0（4）F的功=m獲得的動(dòng)能的過程中，應(yīng)該有：vm=0vm=v磚塊m：（1）f

對(duì)M的功=f對(duì)m的功的負(fù)值7解（1）錯(cuò)。

m與M間有相對(duì)位移，f和f

的作用點(diǎn)位移不同。二者之和不為零。（2）錯(cuò)。

F與f

不是作用在m上。（3）對(duì)。M勻速，動(dòng)能不變?？梢姡?）錯(cuò)。（4）錯(cuò)。F作用在M上。85.S

和

S系都是慣性系

2）在S

和S系中彈簧振子的機(jī)械能是否守恒？SS

在S

和S系中擺球m的機(jī)械能是否守恒？S

OmS1）91）S

系：機(jī)械能守恒，只有保守內(nèi)力作功。機(jī)械能不守恒2）S系：機(jī)械能守恒S

系：墻壁對(duì)彈簧的力的作用點(diǎn)有位移，

外力的功和參考系有關(guān)，因此機(jī)械能是否守恒與參考系有關(guān)。外力的功不為零，機(jī)械能不守恒。S系：不垂直于106.分析下列情況的守恒量：（3）球與連桿球的碰撞懸點(diǎn)（2）兩質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的彈簧振子水平面光滑（1）錐擺A機(jī)械能、動(dòng)量以及對(duì)任一定點(diǎn)的角動(dòng)量都守恒機(jī)械能守恒機(jī)械能是否守恒取決于碰撞性質(zhì)對(duì)O角動(dòng)量守恒動(dòng)量不守恒對(duì)A角動(dòng)量不守恒一般動(dòng)量不守恒對(duì)O點(diǎn)角動(dòng)量守恒11動(dòng)量不守恒對(duì)A點(diǎn)：ΑmgTrAro

角動(dòng)量不守恒對(duì)O點(diǎn)：

角動(dòng)量守恒（1）機(jī)械能守恒解無外力。機(jī)械能、動(dòng)量以及對(duì)任一定點(diǎn)的角動(dòng)量守恒。

水平面光滑（2）12能量是否守恒取決于碰撞性質(zhì)。對(duì)O點(diǎn)力矩為零，故對(duì)O點(diǎn)系統(tǒng)角動(dòng)量守恒。碰撞中過懸點(diǎn)軸對(duì)桿可能有橫向力，外力不為零，動(dòng)量不守恒。（3）懸點(diǎn)131、功能關(guān)系是否成立？

7.一內(nèi)壁光滑的環(huán)狀細(xì)管繞豎直軸均勻轉(zhuǎn)動(dòng)。管內(nèi)小球自頂端無初速滑下。2、設(shè)小球到圖示位置時(shí)速度為v'，有人列式如下試判斷此式的正誤，并說明理由。在圓環(huán)參考系中考慮小球的運(yùn)動(dòng)：14圓環(huán)系為非慣性系。質(zhì)點(diǎn)受科氏力和慣性離心力，必需考慮它們做的功。在圓環(huán)系中，小球＋地球機(jī)械能不守恒！1、考慮慣性力做功后，功能關(guān)系仍成立。解答：科氏力與速度垂直，不做功。但慣性離心力做功。2、所列式錯(cuò)誤。v'fI15

8.斜拋一物體，考慮空氣阻力，并設(shè)阻力大小與速率成正比，比例系數(shù)為k.已知物體質(zhì)量為m，初速度為v0.求：物體到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)的速度。解受力分析直角坐標(biāo)系分量形式：列方程：mg

kvvyx16得上升時(shí)間：最高點(diǎn)速度：解y向方程：因最高點(diǎn)

vy=0，解x向方程：則：17

9.兩根長(zhǎng)度分別為l1和

l2的繩豎直懸掛兩個(gè)質(zhì)量分別m1

,m2

的小球，突然打擊球1，使之獲得水平速度v0,求該瞬時(shí)兩繩中的張力。

v0l1l2m1m21、關(guān)于m1列方程(O點(diǎn)慣性系)m1作半徑為l1的圓周運(yùn)動(dòng)，在打擊m1的瞬時(shí)，其法向加速度為a1n,法向力為T1;它還受到重力m1g和下面繩的拉力T2。（m2

靜止）解對(duì)m1、m2分別列方程

v0l1m1o18對(duì)m1列豎直方向的方程：在打擊m1的瞬時(shí)，m2作半徑為l2的向左圓周運(yùn)動(dòng)，瞬時(shí)速率也是v0。設(shè)其法向加速度為a'2n,法向力為T2

v0l1m1

l1l2m1m2v02、關(guān)于m2列方程（以m1為參考系，非慣性系，加速度a1n向上）它除受到重力m2g外，還受到向下的慣性心力。19

l1l2m1m2v0對(duì)m2列豎直方向的方程：即聯(lián)立（1）（2）兩式，得張力為檢驗(yàn)：特例v0=0時(shí)是否正確？2021分析：機(jī)械能守恒？有人說兩小孩系統(tǒng)動(dòng)量守恒，對(duì)嗎？角動(dòng)量守恒？m1m2(不爬)(爬)

10.如圖示，兩個(gè)同樣重的小孩，各抓著跨過滑輪的繩的一端。起初都不動(dòng)，然后右邊的小孩用力向上爬繩，左邊的小孩只抓住繩但不爬動(dòng)。忽略滑輪、繩的質(zhì)量和軸的摩擦。設(shè)他們的起始高度相同，問哪個(gè)小孩先到達(dá)滑輪？22對(duì)“m1+m2

”系統(tǒng)：把小孩看成質(zhì)點(diǎn)，以滑輪中心O點(diǎn)為參考點(diǎn)。∴角動(dòng)量守恒.

ROm1m2外力：兩小孩同時(shí)的到達(dá)滑輪！滿足條件：設(shè)角動(dòng)量向內(nèi)為正23角動(dòng)量定理設(shè)（爬繩的小孩較輕）.

ROm1m2爬繩的小孩（輕）先到。

若

，誰先到達(dá)？24若m2>m1（爬繩的小孩較重）結(jié)論：無論誰爬繩，總是輕的小孩先到！

以上結(jié)論也可直接由力和加速度的關(guān)系得到（課后自己完成）。仍是輕的小孩先到。前面各關(guān)系式中僅不等號(hào)反向，即25球D作用力

（A+B）質(zhì)心運(yùn)動(dòng)；解

分析（A+B）的運(yùn)動(dòng)球D對(duì)質(zhì)心作用力矩

（A+B）繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)。求：碰后（A+B）和球D的運(yùn)動(dòng)；

11.

一長(zhǎng)度為l的輕質(zhì)細(xì)桿，兩端各固結(jié)一個(gè)小球，平放在光滑水平面上，開始時(shí)靜止。另一小球，以垂直于桿身的初速度v0與桿端的A球作彈性碰撞。設(shè)三球質(zhì)量同為m。AlBv0D碰撞前如果小球與A球作完全非彈性碰撞（碰后粘在一起），結(jié)果如何？26設(shè)碰撞后：D球速度為v'.(A+B)質(zhì)心速度為vc，轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為

.

系統(tǒng)：A+B＋D1、水平無外力，動(dòng)量守恒。2、彈性碰撞，動(dòng)能不變。①②AlBv'Dvc碰撞后（質(zhì)心動(dòng)能）（繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能）27碰撞后：D、A球角動(dòng)量為零,B球角動(dòng)量為3、選擇碰撞前A球的位置作為定點(diǎn)（稱為O點(diǎn)）碰撞前：(D+A+B)角動(dòng)量為零關(guān)于O點(diǎn)列角動(dòng)量守恒：，角動(dòng)量守恒：③

AlBv'DvcO（也可關(guān)于三個(gè)球的質(zhì)心列角動(dòng)量守恒）28

4、①②③式聯(lián)立解出碰撞后：D球靜止，(A+B)平動(dòng)＋轉(zhuǎn)動(dòng)。

如果小球以垂直于桿身的初速度v0，與桿端的A球碰撞后粘在一起共同運(yùn)動(dòng)，結(jié)果為29

12.在靜止的圓柱體上繞有繩索，繩兩端掛大、小兩個(gè)桶，其質(zhì)量分別為M=1000kg和m=10kg。繩與圓柱體之間的靜摩擦系數(shù)為

=0.05，繩的質(zhì)量可以忽略。試問為使兩桶靜止不動(dòng)，繩至少需要繞多少圈？Mm

30

將繩分割成小段，由力平衡條件列微分方程，積分。分析一小段繩的受力思路：連續(xù)體張力問題?！居懻摗磕Σ亮Φ姆较颍繅毫?？摩擦力張力壓力張力31列平衡狀態(tài)牛頓方程切向：法向：32設(shè)得33

13.

赤道上有一高度為h

的樓，一物體由樓頂自由下落時(shí)，由于地球自轉(zhuǎn)的影響，物體將落在樓根的東側(cè)，這一現(xiàn)象稱為落體東移。適當(dāng)?shù)厝〗?，?jì)算物體著地點(diǎn)與樓根的距離。h

ROs34取近似1：物體下落時(shí)水平速度不變物體下落時(shí)間（自由落體）：物體著地點(diǎn)與樓根的距離：水平速度差：誤差很大。35取近似2：R很大，物體與地面的速度差近似沿水平方向，但隨時(shí)間變化。h

ROy0t=036近似3：取樓高對(duì)地球半徑之比的一級(jí)近似。物體自由下落后，只受地心引力，物體關(guān)于地心O點(diǎn)角動(dòng)量守恒。（2）在地球系（非慣性系）中求解（1）在慣性系中求解37

物體自由下落后，只受地心引力，物體關(guān)于O點(diǎn)角動(dòng)量守恒。地球（樓）的角速度下落物體的角速度物體落地點(diǎn)的偏角為0yhy

RO

t

t（1）在慣性系中求解：38

在y=h附近做展開39落體東移的距離為40物體自由下落，除受地心引力，還受科氏力fc作用。因vx<<vy，則近似取fc

沿x方向（2）在地球系（非慣性系）中求解：0yh

ROx

vfc物體的運(yùn)動(dòng)可看成：自由落體＋fc作用橫向加速41

14.把一根單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為

的均勻柔軟的繩子懸吊起來，下端剛好觸及地面，繩子自靜止釋放自由下落。求：當(dāng)繩子下落的長(zhǎng)度為z時(shí)，地面受到繩子的壓力。你能想到幾種解法？42解法1質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量變化定理取豎直向下為y軸，t=0時(shí)刻繩上端為坐標(biāo)原點(diǎn)。設(shè)t時(shí)刻已有長(zhǎng)度為y的繩子落地，經(jīng)過dt

時(shí)間又有質(zhì)元dm落地。繩子柔軟均勻，dm只受重力和地面的作用，落地前的速度:用N1表示dm對(duì)地面的