8.5空間直線平面的平行（講義）（原卷版）

8.5空間直線、平面的平行TOC\o"13"\h\u知識(shí)點(diǎn)1：直線與直線的平行 301基本事實(shí)4及其應(yīng)用 402等角定理及其應(yīng)用 5知識(shí)點(diǎn)2：直線與平面平行 603直線與平面平行的判定定理及其應(yīng)用 604直線與平面平行的性質(zhì)定理及其應(yīng)用 8知識(shí)點(diǎn)3：平面與平面平行 1005平面與平面平行的判定定理及其應(yīng)用 1006平面與平面平行的性質(zhì)定理及其應(yīng)用 1207平行關(guān)系的綜合應(yīng)用 14 15

課堂目標(biāo)關(guān)鍵詞掌握基本事實(shí)4、等角定理的內(nèi)容及應(yīng)用(重點(diǎn)).掌握直線與平面平行的判定定理、性質(zhì)定理(重點(diǎn)、難點(diǎn)).掌握平面與平面平行的判定定理、性質(zhì)定理(重點(diǎn)).①基本事實(shí)4、等角定理②線線平行、線面平行、面面平行知識(shí)點(diǎn)1：直線與直線的平行1.基本事實(shí)4文字語言平行于同一條直線的兩條直線__平行__圖形語言符號(hào)語言直線a，b，c，a∥b，b∥c?__a∥c__作用證明兩條直線平行說明基本事實(shí)4表述的性質(zhì)通常叫做平行線的__傳遞性__2.空間等角定理文字語言如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角__相等或互補(bǔ)__符號(hào)語言A′C′∥AC，A′B′∥AB?∠B′A′C′＝∠BAC或∠B′A′C′＋∠BAC＝180°圖形語言作用判斷或證明兩個(gè)角相等或互補(bǔ)01基本事實(shí)4及其應(yīng)用【點(diǎn)撥】規(guī)律總結(jié)【點(diǎn)撥】規(guī)律總結(jié)證明空間中兩條直線平行的方法：(1)利用平面幾何的知識(shí)(三角形與梯形的中位線、平行四邊形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理等)來證明；(2)找到一條直線c，使得a∥c，同時(shí)b∥c，由基本事實(shí)4可得到a∥b.【典例1】已知空間四邊形中，分別是、的中點(diǎn)，且．（1）判斷四邊形的形狀，并加以證明；（2）求證：平面．【變式11】如圖，已知分別是空間四邊形的邊的中點(diǎn).（1）求證：四點(diǎn)共面；（2）若四邊形是矩形，求證：.【變式12】如圖，在空間四邊形中，分別是的中點(diǎn)，且對(duì)角線．求證：四邊形是菱形．02等角定理及其應(yīng)用【點(diǎn)撥】規(guī)律總結(jié)【點(diǎn)撥】規(guī)律總結(jié)證明兩個(gè)角相等常有以下三種途徑：①三角形相似；②三角形全等；③空間等角定理．依據(jù)等角定理證明兩角相等的步驟：①證明兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行；②證明兩個(gè)角的兩邊的方向都相同或者都相反．【典例2】在如圖所示的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，E1，F(xiàn)1分別是棱AB，AD，B1C1，C1D1的中點(diǎn)，

求證：(1)；(2)∠EA1F＝∠E1CF1.【變式21】在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P，Q，M，N分別為AD，AB，C1D1，B1C1的中點(diǎn)．求證：A1P∥CN，A1Q∥CM，且∠PA1Q＝∠MCN.

【變式22】如圖，，分別是正方體的棱，的中點(diǎn)，求證：.知識(shí)點(diǎn)2：直線與平面平行直線與平面平行的判定定理文字語言如果平面外一條直線與__此平面內(nèi)的一條直線平行__，那么該直線與此平面平行圖形語言符號(hào)語言直線與平面平行的性質(zhì)定理文字語言一條直線與一個(gè)平面__平行__，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行圖形語言符號(hào)語言03直線與平面平行的判定定理及其應(yīng)用【點(diǎn)撥】規(guī)律總結(jié)【點(diǎn)撥】規(guī)律總結(jié)用直線與平面平行的判定定理判斷或證明直線a和平面α平行時(shí)，必須同時(shí)具備三個(gè)條件：(1)直線a在平面α外，即a?α；(2)直線b在平面α內(nèi)，即b?α；(3)兩直線a，b平行，即a∥b.利用直線和平面平行的判定定理證明線面平行的關(guān)鍵是在平面內(nèi)找一條直線與已知直線平行，常利用平行四邊形、三角形中位線、基本事實(shí)4等．【典例3】如圖，四棱錐的底面為平行四邊形，為中點(diǎn).（1）求證:平面；（2）求證:平面.【變式31】如圖，在正方體中，與交于點(diǎn)，求證：(1)直線平面；(2)直線平面．

【變式32】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，N，M，Q分別為PB，PD，PC的中點(diǎn)．(1)求證：QN平面PAD；(2)記平面CMN與底面ABCD的交線為l，試判斷直線l與平面PBD的位置關(guān)系，并證明．04直線與平面平行的性質(zhì)定理及其應(yīng)用【點(diǎn)撥】解題技巧【點(diǎn)撥】解題技巧(1)直線與平面平行的性質(zhì)定理中有三個(gè)條件：①直線a和平面α平行，即a∥α；②直線a在平面β內(nèi)，即a?β；③平面α，β相交，即α∩β＝b.這三個(gè)條件缺一不可．(2)利用直線與平面平行的性質(zhì)定理解題的步驟：①確定(或?qū)ふ?一條直線平行一個(gè)平面；②確定(或?qū)ふ?過這條直線并且與這個(gè)平行平面相交的平面；③確定交線；④由定理得出結(jié)論．【典例4】如圖，已知四邊形是平行四邊形，點(diǎn)是平面外一點(diǎn)，是的中點(diǎn)，在上取一點(diǎn)，過和作平面交平面于.(1)求證：平面(2)求證：.【變式41】如圖，在正方體中，.

(1)求證：∥平面；(2)求點(diǎn)到面的距離.【變式42】如圖所示，四棱錐P－ABCD的底面ABCD為矩形，E、F、H分別為AB、CD、PD的中點(diǎn)．求證：平面AFH∥平面PCE.

知識(shí)點(diǎn)3：平面與平面平行平面與平面平行的判定定理文字語言如果一個(gè)平面內(nèi)的__兩條相交直線__與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行圖形語言符號(hào)語言平面與平面平行的性質(zhì)定理文字語言兩個(gè)平面平行，如果另一個(gè)平面與這兩個(gè)平面__相交__，那么兩條交線__平行__圖形語言符號(hào)語言作用由平面與平面平行可以得出直線與直線平行05平面與平面平行的判定定理及其應(yīng)用【點(diǎn)撥】誤區(qū)防錯(cuò)【點(diǎn)撥】誤區(qū)防錯(cuò)平面與平面平行的判定定理中的平行于一個(gè)平面內(nèi)的“兩條相交直線”是必不可少的．面面平行的判定定理充分體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，即把面面平行轉(zhuǎn)化為線面平行．【典例5】如圖，在正方體中，為的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)上是否存在一點(diǎn)，使得平面平面，若存在，請(qǐng)說明理由．【變式51】如圖所示，兩條異面直線，與兩平行平面，分別交于點(diǎn)，和，，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，求證：平面

【變式52】如圖，，直線AC分別交平面，，于點(diǎn)A，B，C，直線DF分別交平面，，于點(diǎn)D，E，F(xiàn)．求證：．06平面與平面平行的性質(zhì)定理及其應(yīng)用【點(diǎn)撥】規(guī)律總結(jié)【點(diǎn)撥】規(guī)律總結(jié)已知兩個(gè)平面平行，雖然一個(gè)平面內(nèi)的任何直線都平行于另一個(gè)平面，但是這兩個(gè)平面內(nèi)的所有直線并不一定相互平行，它們可能是平行直線，也可能是異面直線，但不可能是相交直線．平面與平面平行的性質(zhì)定理提供了證明線線平行的另一種方法，應(yīng)用時(shí)要緊扣與兩個(gè)平行平面都相交的第三個(gè)平面．利用面面平行的性質(zhì)定理判斷兩直線平行的步驟：(1)找兩個(gè)平面，使這兩個(gè)平面分別經(jīng)過這兩條直線中的一條；(2)判定這兩個(gè)平面平行(此條件有時(shí)題目會(huì)直接給出)；(3)找一個(gè)平面，使這兩條直線都在這個(gè)平面上；(4)由定理得出結(jié)論．【典例6】如圖，在三棱柱中，M是的中點(diǎn)，平面平面，平面．求證：(1)；(2)N為AC的中點(diǎn)．【變式61】如圖，在四棱柱中，底面為梯形，，平面與交于點(diǎn)．求證：．【變式62】如圖，多面體ABCGDEF中，AB，AC，AD兩兩垂直，平面平面DEFG，平面平面ADGC，，.(1)證明：四邊形ABED是正方形；(2)判斷點(diǎn)B，C，F(xiàn)，G是否共面，并說明理由.

07平行關(guān)系的綜合應(yīng)用【點(diǎn)撥】規(guī)律總結(jié)【點(diǎn)撥】規(guī)律總結(jié)線線平行、線面平行、面面平行這三種關(guān)系是緊密相連的，可以進(jìn)行轉(zhuǎn)換．相互間的轉(zhuǎn)換關(guān)系如下．【典例7】如圖所示，為所在平面外一點(diǎn)，M、N、G分別為、、的重心．(1)求證：平面平面ACD；(2)若是邊長為2的正三角形，判斷的形狀并求的面積．【變式71】如圖所示，在四棱錐中，平面，，E是PD的中點(diǎn).求證：；(2)求證：平面；(3)若M是線段上一動(dòng)點(diǎn)，則線段上是否存在點(diǎn)N，使平面？說明理由.【變式72】如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，與交于點(diǎn)，點(diǎn)分別在線段上，，求證：平面平面.

一、單選題1．已知為兩條不同的直線，為兩個(gè)不同的平面，對(duì)于下列四個(gè)命題：①；②；③；④．其中正確命題的個(gè)數(shù)有（

）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)2．已知，是兩個(gè)不同的平面，l，m是兩條不同的直線，則下列說法正確的是（

）A．若，，則B．若，，則C．若，，則，則D．若，，，，則3．若直線a不平行于平面，且，則下列結(jié)論成立的是（

）．A．內(nèi)的所有直線與a是異面直線 B．內(nèi)不存在與a平行的直線C．內(nèi)存在唯一一條直線與a平行 D．內(nèi)的所有直線與a都相交4．已知直線和，平面，且，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．已知，，是三個(gè)不同的平面，，是兩條不同的直線，且，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件二、填空題6．已知平面α∥β∥γ，兩條直線l、m分別與平面α、β、γ相交于點(diǎn)A、B、C與D、E、F.已知AB＝6，則AC＝7．如圖，平面α平面β，△PAB所在的平面與α，β分別交于CD和AB，若PC=2，CA=3，CD=1，則AB=.

8．如圖，在正方體中，，E為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上，若平面，則.9．A是所在平面外一點(diǎn)，M是的重心，N是的中線AF上的點(diǎn)，并且平面BCD，當(dāng)時(shí)，．

10．在空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別邊上的中點(diǎn)，則直線EG和FH的位置關(guān)系是．三、解答題11．如圖，四棱錐中，底面．底面為菱形，且，，E，M，N分別為棱的中點(diǎn)．F為上的動(dòng)點(diǎn)，(1)求證：平面；(2)若三棱錐的體積為2，求棱的長．

12．如圖，在長方體中，E，M，N分別是的中點(diǎn)，求證：平面.

13．如圖，四棱錐的底面為平