《復(fù)變函數(shù)與積分變換》(華中科技大學(xué)第二版)高等教育出版社課件-第三章

一、復(fù)積分則稱為復(fù)變函數(shù)1、設(shè)復(fù)平面上的連續(xù)曲線段C

的方程為，令為起點(diǎn)，為終點(diǎn)，即在C上的曲線積分；若C是封閉曲線那么稱圍線積分。(方向默認(rèn)是逆時(shí)針)若在C上連續(xù)，2、性質(zhì)3、曲線積分的計(jì)算設(shè)C

的方程為則解例：求，其中C從i到2+i的直線段。C

的方程為：解例：求，其中C為：(1)從0到1+i的直線段；(2)從0到1的直線段再?gòu)?到1+i的直線段(2)將C

分成兩段和練習(xí)1、求，其中C為：(1)從-1到1

的直線段；(2)從-1到1的上半圓周。2、求，其中C為：3、證明其中C為圓心為a的圓。答案1、2、二、柯西積分定理(圍線積分定理)解析且連續(xù)到C，那么1、定理當(dāng)C是閉曲線時(shí)，若在C內(nèi)也就是說(shuō)若在C內(nèi)有奇點(diǎn)，則一般情況下。如但由有得故與路徑無(wú)關(guān)2、推論若在區(qū)域D內(nèi)解析(可微)，則對(duì)于D內(nèi)的任一條從到連續(xù)曲線段C，有與路徑無(wú)關(guān)；即其結(jié)果只依賴于起點(diǎn)和終點(diǎn)。于是若，則此時(shí)的曲線積分變成定積分。解例：求，其中C從i到2+i的直線段。C

的方程為：另解在不含原點(diǎn)的區(qū)域解析，故三、柯西積分公式的區(qū)域解析，且連續(xù)到邊界C，那么定理1當(dāng)C是閉曲線時(shí)，若在C內(nèi)此公式的用法：顯然在C內(nèi)有奇點(diǎn)a，此時(shí)可利用上面公式求得圍線積分的值。例：求解被積函數(shù)有三個(gè)奇點(diǎn)：其中在內(nèi)。

例：求解被積函數(shù)有四個(gè)奇點(diǎn)：其中在內(nèi)。

練習(xí)1、求2、求3、設(shè)求答案1、3、2、定理2對(duì)于柯西積分公式還可以兩邊同時(shí)對(duì)t求n階導(dǎo)數(shù):這時(shí)在C內(nèi)有奇點(diǎn)a，此時(shí)可利用上面公式求得圍線積分的值。此公式的用法：例：求解例：求解練習(xí)1、求2、求其中C為圓：答案1、2、于是有定理3若在C內(nèi)有n個(gè)奇點(diǎn)，則可以每個(gè)奇點(diǎn)為圓心做n個(gè)互不相交的圓例：求解被積函數(shù)有兩個(gè)奇點(diǎn)：全部都在內(nèi)。

原式例：求解被積函數(shù)有兩個(gè)奇點(diǎn)：全部都在內(nèi)。

原式練習(xí)1、求2、求其中C為圓：3、求答案1、2、3、四、調(diào)和函數(shù)與解析函數(shù)是解析函數(shù)。1、若二元實(shí)函數(shù)滿足則稱為調(diào)和函數(shù)。2、定理若是調(diào)和函數(shù)，則必存在另一調(diào)和函數(shù)，使得此時(shí)稱為的共軛調(diào)和函數(shù)。是解析函數(shù)，求法：3、若已知調(diào)和函數(shù)，如何求其共軛調(diào)和函數(shù)？所以必滿足C-R條件，即：因?yàn)橥ㄟ^(guò)上面兩個(gè)微分方程便可求出。解例證明是調(diào)和函數(shù)，并求共軛調(diào)和函數(shù)和。因?yàn)椋收{(diào)和。由C-R條件有得并求共軛調(diào)和函數(shù)和。練習(xí)證是調(diào)和函數(shù)，解由C-R條件有得調(diào)和，并求共軛調(diào)和函數(shù)；練習(xí)1、證明