人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè) 第6章 §6.1 分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理 同步課時(shí)講練（原卷版）

第第頁(yè)§6.1分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理第1課時(shí)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理及其簡(jiǎn)單應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理.2.會(huì)用這兩個(gè)原理分析和解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際計(jì)數(shù)問(wèn)題．知識(shí)點(diǎn)一分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理完成一件事有兩類(lèi)不同方案，在第1類(lèi)方案中有m種不同的方法，在第2類(lèi)方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法．知識(shí)點(diǎn)二分步乘法計(jì)數(shù)原理完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m×n種不同的方法．思考如何區(qū)分“完成一件事”是分類(lèi)還是分步？答案區(qū)分“完成一件事”是分類(lèi)還是分步，關(guān)鍵看一步能否完成這件事，若能完成，則是分類(lèi)，否則，是分步．1．在分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理中，兩類(lèi)不同方案中的方法可以相同．(×)2．在分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理中，每類(lèi)方案中的方法都能完成這件事．(√)3．在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，事情若是分兩步完成，那么其中任何一個(gè)單獨(dú)的步驟都不能完成這件事，只有兩個(gè)步驟都完成后，這件事情才算完成．(√)4．從甲地經(jīng)丙地到乙地是分步問(wèn)題．(√)一、分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理例1設(shè)集合A＝{1,2,3,4}，m，n∈A，則方程eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1表示焦點(diǎn)位于x軸上的橢圓有()A．6個(gè)B．8個(gè)C．12個(gè)D．16個(gè)延伸探究1．條件不變，結(jié)論變?yōu)椤皠t方程eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1表示焦點(diǎn)位于y軸上的橢圓”有()A．6個(gè)B．8個(gè)C．12個(gè)D．16個(gè)2.條件變?yōu)椤霸O(shè)集合A＝{1,2,3,4,5}，m，n∈A”，其他條件不變，有()A．8個(gè)B．10個(gè)C．12個(gè)D．16個(gè)反思感悟應(yīng)用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理應(yīng)注意如下問(wèn)題(1)明確題目中所指的“完成一件事”是什么事，完成這件事可以有哪些方法，怎樣才算是完成這件事．(2)無(wú)論哪類(lèi)方案中的哪種方法都可以獨(dú)立完成這件事，而不需要再用到其他的方法，即各類(lèi)方法之間是互斥的，并列的，獨(dú)立的．跟蹤訓(xùn)練1某校高三共有三個(gè)班，各班人數(shù)如下表：男生人數(shù)女生人數(shù)總?cè)藬?shù)高三(1)班302050高三(2)班303060高三(3)班352055(1)從三個(gè)班中任選1名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會(huì)主席，有多少種不同的選法？(2)從高三(1)班、(2)班男生中或從高三(3)班女生中選1名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會(huì)生活部部長(zhǎng)，有多少種不同的選法？二、分步乘法計(jì)數(shù)原理例2已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)表示平面上的點(diǎn)(a，b∈M)．問(wèn)：(1)P(a，b)可表示平面上多少個(gè)不同的點(diǎn)？(2)P(a，b)可表示平面上多少個(gè)第二象限的點(diǎn)？反思感悟利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解題的一般思路(1)分步：將完成這件事的過(guò)程分成若干步．(2)計(jì)數(shù)：求出每一步中的方法數(shù)．(3)結(jié)論：將每一步中的方法數(shù)相乘得最終結(jié)果．跟蹤訓(xùn)練2從－1,0,1,2這四個(gè)數(shù)中選三個(gè)不同的數(shù)作為函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的系數(shù)，可組成不同的二次函數(shù)共______個(gè)，其中不同的偶函數(shù)共________個(gè)．(用數(shù)字作答)三、兩個(gè)原理的綜合應(yīng)用例3現(xiàn)有5幅不同的國(guó)畫(huà)，2幅不同的油畫(huà)，7幅不同的水彩畫(huà)．(1)從中任選一幅畫(huà)布置房間，有幾種不同的選法？(2)從這些國(guó)畫(huà)、油畫(huà)、水彩畫(huà)中各選一幅布置房間，有幾種不同的選法？(3)從這些畫(huà)中選出兩幅不同種類(lèi)的畫(huà)布置房間，有幾種不同的選法？反思感悟使用兩個(gè)原理的原則使用兩個(gè)原理解題時(shí)，一定要從“分類(lèi)”“分步”的角度入手，“分類(lèi)”是對(duì)于較復(fù)雜應(yīng)用問(wèn)題的元素分成互相排斥的幾類(lèi)，逐類(lèi)解決，用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理；“分步”就是把問(wèn)題分化為幾個(gè)互相關(guān)聯(lián)的步驟，然后逐步解決，這時(shí)可用分步乘法計(jì)數(shù)原理．跟蹤訓(xùn)練3如圖，甲地到乙地有3條公路可走，從乙地到丙地有2條公路可走，從甲地不經(jīng)過(guò)乙地到丙地有2條水路可走．從甲地到丙地共有多少種不同的走法？1．從A地到B地，可乘汽車(chē)、火車(chē)、輪船三種交通工具，如果一天內(nèi)汽車(chē)發(fā)3次，火車(chē)發(fā)4次，輪船發(fā)2次，那么一天內(nèi)乘坐這三種交通工具的不同走法數(shù)為()A．1＋1＋1＝3B．3＋4＋2＝9C．3×4×2＝24D．以上都不對(duì)2．從3名女同學(xué)和2名男同學(xué)中選出一人主持本班一次班會(huì)，則不同的選法種數(shù)為()A．6B．5C．3D．23．現(xiàn)有四件不同款式的上衣與三條不同顏色的長(zhǎng)褲，如果選一條長(zhǎng)褲與一件上衣配成一套，那么不同的選法種數(shù)為()A．7B．64C．12D．814．用1,2,3這三個(gè)數(shù)字能寫(xiě)出________個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的兩位偶數(shù)．5．一個(gè)袋子里放有6個(gè)球，另一個(gè)袋子里放有8個(gè)球，每個(gè)球各不相同，從兩個(gè)袋子里各取一個(gè)球，共有________種不同的取法．1．知識(shí)清單：(1)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理．(2)分步乘法計(jì)數(shù)原理．2．方法歸納：分類(lèi)討論．3．常見(jiàn)誤區(qū)：“分類(lèi)”與“分步”不清，導(dǎo)致計(jì)數(shù)錯(cuò)誤．1．某同學(xué)從4本不同的科普雜志，3本不同的文摘雜志，2本不同的娛樂(lè)新聞雜志中任選一本閱讀，則不同的選法共有()A．24種B．9種C．3種D．26種2．圖書(shū)館的書(shū)架有3層，第1層有3本不同的數(shù)學(xué)書(shū)，第2層有5本不同的語(yǔ)文書(shū)，第3層有8本不同的英語(yǔ)書(shū)，現(xiàn)從中任取1本書(shū)，則不同的取法共有()A．120種B．16種C．64種D．39種3．已知x∈{2,3,7}，y∈{－31，－24,4}，則(x，y)可表示不同的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是()A．1B．3C．6D．94．從集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取兩個(gè)互不相等的數(shù)a，b組成復(fù)數(shù)a＋bi，其中虛數(shù)有()A．30個(gè)B．42個(gè)C．36個(gè)D．35個(gè)5．滿(mǎn)足a，b∈{－1,0,1,2}，且關(guān)于x的方程ax2＋2x＋b＝0有實(shí)數(shù)解的有序?qū)崝?shù)對(duì)(a，b)的個(gè)數(shù)為()A．14B．13C．12D．106．一個(gè)禮堂有4個(gè)門(mén)，若從任一個(gè)門(mén)進(jìn)，從任一個(gè)門(mén)出，共有不同走法________種．7．若在如圖1的電路中，只合上一個(gè)開(kāi)關(guān)可以接通電路，有________種不同的方法；在如圖2的電路中，合上兩個(gè)開(kāi)關(guān)可以接通電路，有________種不同的方法．8．用1,2,3這3個(gè)數(shù)字可寫(xiě)出沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的整數(shù)有________個(gè)．9．有一項(xiàng)活動(dòng)，需從3位教師、8名男同學(xué)和5名女同學(xué)中選人參加．(1)若只需1人參加，則有多少種不同的選法？(2)若需教師、男同學(xué)、女同學(xué)各1人參加，則有多少種不同的選法？10．若直線(xiàn)方程Ax＋By＝0中的A，B可以從0,1,2,3,5這五個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)不同的數(shù)字，則方程所表示的不同直線(xiàn)共有多少條？11．某班小張等4位同學(xué)報(bào)名參加A，B，C三個(gè)課外活動(dòng)小組，每位同學(xué)限報(bào)其中一個(gè)小組，且小張不能報(bào)A小組，則不同的報(bào)名方法有()A．27種B．36種C．54種D．81種12．(多選)已知集合A＝{－1,2,3,4}，m，n∈A，則對(duì)于方程eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1的說(shuō)法正確的是()A．可表示3個(gè)不同的圓B．可表示6個(gè)不同的橢圓C．可表示3個(gè)不同的雙曲線(xiàn)D．表示焦點(diǎn)位于x軸上的橢圓有3個(gè)13.如圖所示，小圓圈表示網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點(diǎn)，結(jié)點(diǎn)之間的線(xiàn)段表示它們有網(wǎng)線(xiàn)相連，連線(xiàn)標(biāo)注的數(shù)字表示該段網(wǎng)線(xiàn)單位時(shí)間內(nèi)可以通過(guò)的最大信息量．現(xiàn)從結(jié)點(diǎn)A向結(jié)點(diǎn)B傳遞信息，信息可以分開(kāi)沿不同的路線(xiàn)同時(shí)傳遞，則單位時(shí)間內(nèi)傳遞的最大信息量為()A．26B．24C．20D．1914．從1,2,3,4,5五個(gè)數(shù)中任取3個(gè)，可組成不同的等差數(shù)列的個(gè)數(shù)為()A．2B．4C．6D．815．設(shè)m∈{1,2,3,4}，n∈{－12，－8，－4，－2}，則函數(shù)f(x)＝x3＋mx＋n在區(qū)間[1,2]上有零點(diǎn)的概率是________．16．“漸升數(shù)”是指每個(gè)數(shù)字比它左邊的數(shù)字大的正整數(shù)(如1458)，若把四位“漸升數(shù)”按從小到大的順序排列，求第30個(gè)“漸升數(shù)”．第2課時(shí)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)1.進(jìn)一步理解分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理的區(qū)別.2.會(huì)正確應(yīng)用這兩個(gè)計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù)．知識(shí)點(diǎn)一兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理相同點(diǎn)回答的都是有關(guān)做一件事的不同方法種數(shù)的問(wèn)題不同點(diǎn)針對(duì)的是“分類(lèi)”問(wèn)題不同點(diǎn)各種方法相互獨(dú)立，用其中任何一種方法都可以做完這件事各個(gè)步驟中的方法互相依存，只有每一個(gè)步驟都完成才算做完這件事知識(shí)點(diǎn)二兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決計(jì)數(shù)問(wèn)題時(shí)，最重要的是在開(kāi)始計(jì)算之前要仔細(xì)分析兩點(diǎn)：一、要完成的“一件事”是什么；二、需要分類(lèi)還是需要分步．(1)分類(lèi)要做到“不重不漏”，分類(lèi)后再分別對(duì)每一類(lèi)進(jìn)行計(jì)數(shù)，最后用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理求和，得到總數(shù)．(2)分步要做到“步驟完整”，即完成了所有步驟，恰好完成任務(wù)．分類(lèi)后再計(jì)算每一步的方法數(shù)，最后根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，把完成每一步的方法數(shù)相乘，得到總數(shù)．思考分類(lèi)“不重不漏”的含義是什么？答案“不重”即各類(lèi)之間沒(méi)有交叉點(diǎn)，“不漏”即各類(lèi)的并集是全集．1．一個(gè)科技小組中有4名女同學(xué)、5名男同學(xué)，從中任選1名同學(xué)參加學(xué)科競(jìng)賽，共有不同的選派方法______種，若從中任選1名女同學(xué)和1名男同學(xué)參加學(xué)科競(jìng)賽，共有不同的選派方法______種．2．有一排四個(gè)信號(hào)顯示窗，每個(gè)窗可亮紅燈、綠燈或不亮燈，則這排信號(hào)顯示窗所發(fā)出的信號(hào)種數(shù)是________．3．十字路口來(lái)往的車(chē)輛，如果不允許回頭，共有________種行車(chē)路線(xiàn)．4．多項(xiàng)式(a1＋a2＋a3)(b1＋b2)＋(a4＋a5)(b3＋b4)展開(kāi)式共有________項(xiàng)．一、組數(shù)問(wèn)題例1用0,1,2,3,4五個(gè)數(shù)字．(1)可以排成多少個(gè)三位數(shù)字的電話(huà)號(hào)碼？(2)可以排成多少個(gè)三位數(shù)？(3)可以排成多少個(gè)能被2整除的無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？延伸探究由本例中的五個(gè)數(shù)字可組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)？反思感悟?qū)τ诮M數(shù)問(wèn)題，應(yīng)掌握以下原則(1)明確特殊位置或特殊數(shù)字，是我們采用“分類(lèi)”還是“分步”的關(guān)鍵．一般按特殊位置(末位或首位)分類(lèi)，分類(lèi)中再按特殊位置(特殊元素)優(yōu)先的策略分步完成，如果正面分類(lèi)較多，可采用間接法求解．(2)要注意數(shù)字“0”不能排在兩位數(shù)或兩位數(shù)以上的數(shù)的最高位．跟蹤訓(xùn)練1用0,1,2,3,4,5可以組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字且比2000大的四位偶數(shù)？二、占位模型中標(biāo)準(zhǔn)的選擇例2(1)4名同學(xué)選報(bào)跑步、跳高、跳遠(yuǎn)三個(gè)項(xiàng)目，每人報(bào)一項(xiàng)，共有多少種報(bào)名方法？(2)4名同學(xué)選報(bào)跑步、跳高、跳遠(yuǎn)三個(gè)項(xiàng)目，每項(xiàng)限報(bào)一人，且每人至多報(bào)一項(xiàng)，共有多少種報(bào)名方法？(3)4名同學(xué)爭(zhēng)奪跑步、跳高、跳遠(yuǎn)三項(xiàng)冠軍，共有多少種可能的結(jié)果？反思感悟在占位模型中選擇按元素還是按位置進(jìn)行分解的標(biāo)準(zhǔn)是“唯一性”，即元素是否選、選是否只選一次，位置是否占、占是否只占一次．解題時(shí)一般選擇具有“唯一性”的對(duì)象進(jìn)行分解．跟蹤訓(xùn)練2某市汽車(chē)牌照號(hào)碼可以上網(wǎng)自編，但規(guī)定從左數(shù)第2個(gè)號(hào)碼只能從字母B，C，D中選擇，其他四個(gè)號(hào)碼可以從0～9這10個(gè)數(shù)字中選擇(數(shù)字可以重復(fù))．若某車(chē)主第1個(gè)號(hào)碼(從左到右)只想在數(shù)字3,5,6,8,9中選擇，其他號(hào)碼只想在1,3,6,9中選擇，則他可選的車(chē)牌號(hào)碼的所有可能情況有()A．180種B．360種C．720種D．960種三、涂色問(wèn)題例3將紅、黃、藍(lán)、白、黑五種顏色涂在如圖所示“田”字形的4個(gè)小方格內(nèi)，每格涂一種顏色，相鄰兩格涂不同的顏色，如果顏色可以反復(fù)使用，共有多少種不同的涂色方法？延伸探究本例中的區(qū)域改為如圖所示，其他條件均不變，則不同的涂法共有多少種？反思感悟解決涂色問(wèn)題的一般思路(1)按區(qū)域的不同，以區(qū)域?yàn)橹鞣植接?jì)數(shù)，用分步乘法計(jì)數(shù)原理分析．(2)以顏色為主分類(lèi)討論，適用于“區(qū)域、點(diǎn)、線(xiàn)段”等問(wèn)題，用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理分析．(3)將空間問(wèn)題平面化，轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域的涂色問(wèn)題．跟蹤訓(xùn)練3如圖所示，將四棱錐S－ABCD的每一個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端點(diǎn)異色，現(xiàn)有5種顏色可供使用，求不同的染色方法．四、種植問(wèn)題例4將3種作物全部種植在如圖所示的5塊試驗(yàn)田中，每塊種植一種作物，且相鄰的試驗(yàn)田不能種同一種作物，則不同的種植方法共有________種．反思感悟種植問(wèn)題按種植的順序分步進(jìn)行，用分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù)或按種植品種恰當(dāng)選取情況分類(lèi)，用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù)．跟蹤訓(xùn)練4從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4種蔬菜品種中選出3種，分別種在不同土質(zhì)的三塊土地上，其中黃瓜必須種植，求有多少種不同的種植方法．1．現(xiàn)有6名同學(xué)去聽(tīng)同時(shí)進(jìn)行的5個(gè)課外知識(shí)講座，每名同學(xué)可自由選擇其中的一個(gè)講座，則不同選法的種數(shù)是()A．56B．65C.eq\f(5×6×5×4×3×2,2)D．6×5×4×3×22．如果x，y∈N，且1≤x≤3，x＋y<7，則滿(mǎn)足條件的不同的有序自然數(shù)對(duì)(x，y)的個(gè)數(shù)是()A．5B．12C．15D．43．已知集合S＝{a1，a2}，T＝{b1，b2}，則從集合S到T的對(duì)應(yīng)關(guān)系共有()A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)4.如圖所示，用6種不同的顏色給圖中的4個(gè)格子涂色，每個(gè)格子涂一種顏色，要求相鄰的兩個(gè)格子顏色不同，則不同的涂色方法共有________種．(用數(shù)字作答)5.如圖所示，在連接正八邊形的三個(gè)頂點(diǎn)而成的三角形中與正八邊形有公共邊的三角形有________個(gè)．1．知識(shí)清單：(1)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系．(2)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用：組數(shù)問(wèn)題、占位模型中標(biāo)準(zhǔn)的選擇、涂色問(wèn)題及種植問(wèn)題．2．方法歸納：分類(lèi)討論、正難則反．3．常見(jiàn)誤區(qū)：分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)不明確，會(huì)出現(xiàn)重復(fù)或遺漏問(wèn)題．1．把3封信投到4個(gè)信箱，所有可能的投法共有()A．24種B．4種C．43種D．34種2．由數(shù)字1,2,3組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字的整數(shù)中，偶數(shù)的個(gè)數(shù)為()A．15B．12C．10D．53.一植物園的參觀路徑如圖所示，若要全部參觀并且路線(xiàn)不重復(fù)，則不同的參觀路線(xiàn)共有()A．6種B．8種C．36種D．48種4．中國(guó)有十二生肖，又叫十二屬相，每一個(gè)人的出生年份對(duì)應(yīng)了十二種動(dòng)物(鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬)中的一種，現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個(gè)，甲同學(xué)喜歡牛和馬，乙同學(xué)喜歡牛、狗和羊，丙同學(xué)哪個(gè)吉祥物都喜歡，三位同學(xué)按甲、乙、丙的順序依次選一個(gè)作為禮物，如果讓三位同學(xué)選取的禮物都滿(mǎn)意，那么不同的選法有()A．360種B．50種C．60種D．90種5．有6種不同的顏色，給圖中的6個(gè)區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不同色，則不同的涂色方法共有()A．4320種B．2880種C．1440種D．720種6.如圖所示，在A，B間有4個(gè)焊接點(diǎn)，若焊接點(diǎn)脫落，則可能導(dǎo)致線(xiàn)路不通，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)A，B之間線(xiàn)路不通，則焊接點(diǎn)脫落的不同情況有________種．7．有10本不同的數(shù)學(xué)書(shū)，9本不同的語(yǔ)文書(shū)，8本不同的英語(yǔ)書(shū)，從中任取兩本不同類(lèi)的書(shū)，共有________種不同的取法．8．某運(yùn)動(dòng)會(huì)上，8名男運(yùn)動(dòng)員參加100米決賽，其中甲、乙、丙三人必須在1,2,3,4,5,6,7,8八條跑道的奇數(shù)號(hào)跑道上，則安排這8名運(yùn)動(dòng)員比賽的方式共有________種．9．(1)有8本不同的書(shū)