高等代數(下)期終考精彩試題及問題詳解(C卷)

高等代數(下)期末考試試卷(C卷)

一.選擇題(每空2分，共12分)

1.(D)下列集合哪一個是Rn的子空間

(A){(a,0,....,0,a)1a,aGR,aa}

1nIn1n

(B){(a,aa)\aeZ,i=1,...,n]

12ni

(C){(a,aa)|X〃=1,QGH}

12ii

i=l

(D){(a,aa)|Xa=0,〃GR}

12〃ii

z=l

2.(B)令&=(z,x2,x3)是H3的任意向量.下列哪一個映射o是R3的線性變換

(A))=1+a,其中aw0是4的固定向量

(B)c(2,)=(2x-x+x,x+x,-x)

123233

(C)0(1)=(x,X2,)

123

(D))=(x+1,x,0)

12

3.(C)如果V,V是線性空間V的兩個子空間，且dim(V)=3,dim(7)=2,

1212

dim(V?V)1,那么dim(V+V)為

1212

(A)2(B)3(C)4(D)5

4.(C)若4階方陣A的初等因子為(/+3＞，+3,2.則A的不變因子是

(A)1,(+3),(+2),(/+3〉；

(B)1,1,(+3)(+2),(/+2)(/+3》；

(C)1,1,(+3),(/+2)(/+3＞；

(D)1,1,(+2),(/+2)(/+3＞；

5.(B)設矩陣A的全部不同特征值為入，入，…，入，則下列哪一說法與A可對角化不等

12s

價

(A)A有n個線性無關的特征向量；

(B)R@E-A)=n(z=l,2,...s)(其中〃為九的重數)；

iiii

(C)兒的特征子空間V的維數dim(V)=A.的重數(i=l,2,...,s)；

iA,.A..i

(D)A的最小多項式均是數域P上互素的一次因式的乘積；

6.(D)在實數域R中，由全體4階反對稱矩陣所構成的線性空間W的維數為

(A)10;(B)4；(C)9；(D)6；.

二.填空題(每空2分，共18分)

1、已知“是數域P上的一個固定的數，而皿={(。,十)|xGP,i=2,,n}

n'i

是尸"+i的一個子空間,則〃dim(W)=

2.設是22的兩個線性變換，定義如下

b(x,y)=(—2x+y,0),t(x,y)=(-3y,x+y)(Vx,yeP)

則)=

q00

3.已知九E—A的標準形為0X0,則A的特征多項式

,00九(九一2)7

|XE-A|=X2(X-2),A的最小多項式為

(\3、

4.設4=則向量是A的屬于特征值的特征向量.

2，

2V7

00、(200、

5.若A=001與B=0yo相似，則X

o-ij

,01x)0

6.設三階實對稱矩陣A的特征值九=九=1,九=3,則R(3E-A)=

123

三.判斷題(對的打"V“，錯的打"X"，每小題2分，共10分)

1.對于矩陣的加法和數瓶匕={8出,=8,BeR，*"}是"的子空間()

2.任一實對稱矩陣A都與對角陣A既相似又合同)

3.設。是數域P上線性空間V的線性變換,W是一維o-子空間，那么W中任何

一個非零向量都是。屬于特征值九的特征向量.)

4.在歐幾里得空間V中，保持任兩個非零向量的夾角不變的線性變換b必為

正交變換.()

5.A(X)與B(X)等價當且僅當它們有相同的行列式因子.()

四.計算題(共3小題，33分)

1設，,和1勺是線性空間上的兩組基，。是上的線性變換，已知

s(e,e)=(e-2e,2e+e)(h,h)=(e+e,2e+3e)

121212121212

(1)求o在基e,e下的矩陣A；(2)求基e,e到基力，h的過渡矩陣X；

121212

(3)求b在/2],々下的矩陣。.(7分)

2.設a,a,a是3維歐氏空間V的一組基，這組基的度量矩陣為

123

T-12、

-12-1

J-16，

(1)令Y+a,求||；

(2)若P=a+a+ka與丫正交，求上的值.(10分)

123

3.設二次型/(x,x,x)=2x2+2x2+2x2-2xx-2xx-2xx,

123123121323

(1)寫出二次型所確定的矩陣；

(2)用正交線性替換將二次型化為標準形；

(3)求二次型的秩；

(4)判斷二次型的正定性.(16分)

五.證明題(每題9分，共27分)

1.設V與V分別是齊次方程組工+%+...+X=0,x=x=...=%=x的解空間，

1212n12n-1n

證明：Pn=V十V

12.

2.證明：若A是實對稱矩陣，則R"中分別屬于A的不同特征值九,口的特征向量a,B必

正交

3.設V是一個n維歐氏空間，b是V的一個對稱變換，證明：值域。(V)是核GT(0)的

正交補.

答案

幻燈片1

高等代數（下）期末考試C卷解答

二、選擇題（2X6=12分）

1、（D）下列集合哪一個是Rn的子空間

，0,...)1手

(A){(a]0,aa,aeR,aa

(B){(a,a,a)1tzeZ,z=1n

12ni

)|X〃=1,G￡R}

(C){(a,a,a

12nii

i=l

(D){(a,a,a=0,aeR}

12nii

i=l

幻燈片2

一、選擇題(2X6=12分)

2、(B)令。=(x,x,x)是R3的任意向量，

123

下列哪一個映射是R3的線性變換。

(A)o(&)=1+a,其中aw0是上的固定向量

(B))=(2x-x+x,x+x,-x)

123233

(C)0化)=(X,%2,X3)

123

(D)o化)=(x+l,x,0)

12

3、(C)如果VjV是線性空間V的兩個子空間，且

dim(v)=3,dim(V)=2,dim(V?V)1,

1.、212

則dim(V+V)為

12

(A)2(B)3(C)4(D)5

幻燈片3

一、選擇題(2X6=12分)

4、(C)若4階方陣A的初等因子為(/+3)2,/+3,/+2

則4的不變因子是

(A)1,1+2,1+3,(/+3)2

(8)1,1,(/+2)(/+3),(/+2)(/+3)2

(O1,1,(；+3),(/+2)(/+3>

(。)1,1,(/+2),(/+2)(/+3>

幻燈片4

一、選擇題(2X6=12分)

5、(B)設矩陣A的全部不同特征值為九A九

12s

則下列哪一說法與A可對角化不等價：

(A)A有n個線性無關的特征向量；

(B)7?(XE-A)=w,(i=l,2,…s)，鎮(zhèn)中w為九的重數)

(C)九M特征子空間V的維數dim(V九俗重數

(D)A的最小多項式均是數域P上互素的一次因式的乘積

6、(D)在實數域R中，由全體4階反對稱矩陣所構成

的線性空間W的維數為

(A)10;(B)4；(C)9；(D)6；

3+2+1

幻燈片5

二、填空題(每空2分，共18分)

1、已知0是數域P上的一個固定的數，而

W-{(a,x,,x)\x&P,i=l,,n}

1ni

是的一個子空間，則|?二°,dimW二

2(。,x,,x)=(2a,2x,,2x)GW

1n1n

=2a=q=a=0

…■…

￡=(0,0,1,0,0)(i=2,3,...,〃+l)

是W的一個基。

幻燈片6

二、填空題(每空2分，共18分)

2、設是22的兩個線性變換，定義如下：

b(x,y)=(-2x+y,0),t(x,y)=(-3y,x+y)(Vx,yeP)

則Tcr(x,y)=(0,—2x+y)

TCT(X,y)=T(-2X+y,0)=(0,-2x+y)

或o(x,y)=(x,y)[：t(x,y)=(x,y)[：)

"田=小"；oI-33

=(x,y)：)=(0,-2x+y)

幻燈片7

二、填空題（每空2分，共18分）

’100、

3、已知大E-A的標準形為0X0

,00A,(A,-2)?

則A的特征多項式是九2（九-2）

X(l-2)

A的最小多項式是

|A,E-A|=DCO=dQ）dQ）…dQ）

n階復數方陣A的最小多項式m口）正是A的

A

第n個不變因子（P35J

幻燈片8

二、填空題（每空2分，共18分）

設&=［；

4

的特征向量。

[200、1200、

5、若4=001與B=0y0相似，則

[olx,

也o-b

x=o,y=1

|A=—2=怛|=—2y=>y=1

Zr（A）=2+x=?r（B）=l+y=>x=0

幻燈片9

二、填空題(每空2分，共18分)

6、設三階實對稱矩陣A的特征值入=入=1,X=3

123

貝!JR(3E-A)=2

實對稱矩陣必可對角化，所以

V也即(E-A)X=O解空間的維數為2,

1

故R(E-4)=1

匕也即(3E-A)X=0解空間的維數為1,

,故R(3E-A)=2

幻燈片10

三、判別題(對的打錯的打"X”，2X5=10分)

1、對于矩陣的加法和數乘，Vo={B\B'=B,BeR.*.}

是R"*"的子空間(V)

2、任一實對稱矩陣A都與一對角陣既相似又合同(V)

3、設◎是數域P上線性空間V的線性變換，W是一維

。一子空間，那么W中任何一個非零向量都是°的

屬于特征值k的特征向量(")

W=L(a),aGX)GWnoG)=、a

V&=kaEW,自wO

o(己)=o(to)=feyG)=左Ga)=九(ja)=九自

幻燈片11

4、在歐幾里得空間V中，保持任兩個非零向量的夾角

不變的線性變換必為正交變換（X）

保持任意兩個非零向量的夾角不變的線性變換未必

是正交變換。如：令Aa=2a,VaeV

（Aa,AP）（2a,20）（a,P）

顯然A是線性變換,且峭雨=囪函=麗

但（4a,AP）=（2a,2P）=4（x,P）

所以A不是正交變換。

但有——

實數域R上歐氏空間V的線性變換A是正交變換

oVa^V,有|Aa|二|a|

幻燈片12

三、判別題(對的打”錯的打"X”，2X5=10分)

5、4(入)與3(九)等價當且僅當它們有相同的行列式因子(J)

四、計算題(7+10+16=33分)

1、設l，氣和、內2是線性空間R軸兩組基，o是尺2的

線性變換，已知：

s(e,e)=(e-2e,2e+e),(h,h)=(e+e,2e+3e)

121212I2122

(1)求O在基：氣下的矩陣A；

(2)求由基U到基［口的過渡矩陣n；

(3)求O在基"」］下的矩陣8。

122_

解:(1)s(e,e)=(e-2e,2e+e)=(e,e)：?

121212121

12

0在基1叱下的矩陣A=

-21

幻燈片13

幻燈片14

四、計算題（7+10+16=33分）

2、設氣,%,%是3維歐氏空間V的一組基,這組基的

（1-12、

度量矩陣為：-12-1

I2-16,

(1)令丫=%+%,求|y|

(2)若P=$+ka與Y正交,求上的值。

23

'?1-12Y0

解：(1)G,Y)=(110)-12-11=1=11=1

6人。,

,2-1

（1）之解法二：（Y，Y）=(a+a,a+a)

二(a,a)+(a,a)+(a,a)+(a,a)=1-1-1+2=1

11.i.2122

（Y，丫）=1

幻燈片15

四、計算題(7+10+16=33分)

2、設a,a,a是3維歐氏空間V的一組基，這組基的

123

‘1-12、

度量矩陣為：-12-1

12-16,

(1)^y=a+a2,求|y|

(2)若B=&+夜，+g3與Y正交，求k的值。

解：⑵(1-12

(p,y)=(l1女)一12—11=1+無=0=%=—1

、2-1

幻燈片16

四、計算題(7+10+16=33分)

3、設二次型/(x,x)=2x2+2x2+2x2-2x尤-2xx—lxx

123123121323

(1)寫出二次型所確定的矩陣；

(2)用正交線性替換將二次型化為標準形；

(3)求二次型的秩；

(4)判斷二次型的正定性。

(

'2-1T)X、

1

解：(1)二次型/(X,x,x)=(x,x,x)-12-1X

1231232

1-1-12,(x

、37

'2-1-P

所以二次型的矩陣是：A=-12-1

-12,

幻燈片17

四、計算題(7+10+16=33分)

3、設二次型/(x,x)=2x2+2x2+2x2-2x尤-2xx—lxx

123123121323

(1)寫出二次型所確定的矩陣；

(2)用正交線性替換將二次型化為標準形；

(3)求二次型的秩；

(4)判斷二次型的正定性。

A,-211

解：(2)|九E-A|=1Z-21=九(九-3)2

11大-2

A的特征值為：,=0,九2=入=3.

對、=0,解方程向(0E-A1X=0

得一基礎解系：(1,1,1)，

幻燈片18

四、計算題(7+10+16=33分)

3、設二次型/(x,x)=2x2+2x2+2x2-2x尤-2xx—lxx

123123121323

(1)寫出二次型所確定的矩陣；

(2)用正交線性替換將二次型化為標準形；

(3)求二次型的秩；

(4)判斷二次型的正定性。

解：(2).....

對入=X=3,解方程組(3E-A)X=0

23

得一?礎解系：a=(-1,1,0),a=(-l,0,J

23

把a單位化，把a,a正交規(guī)范化，得

123

P]=三=金(--1，2)

幻燈片19

四、計算題(7+10+16=33分)

3、設二次型f(.x,x,x)=2X2+2A-Z+2X2-2XX-2XX-2XX

12312312I323

(1)寫出二次型所確定的矩陣；

(2)用正交線性替換將二次型化為標準形；

(3)求二次型的秩；

(4)判斷二次型的正定性。

解：(2)..........令T=(0，P,B)

123

作正交變換：X=TY

則二次型化為標準形：/無2，/)=3,+3J2

(3)由(2)知二次型的秩為2；

(4)由(2)知二次型是半正定的。

幻燈片20

五、證明題(每題9分，共27分)

1、設V］與V分別是齊次方程組5+%+…+X,=0,

和x,=x,=...=x=x的解空間，證明p?=y十丫

12n-1n12.

證明：方程%+%+...+%=0,

12n

的一個基礎解系也即V］的一個基是