（19題結(jié)構(gòu)）2024高考數(shù)學(xué)模擬卷03-沖刺2024年高考數(shù)學(xué)考前必刷題（新高考）解析版

第頁2024高考數(shù)學(xué)模擬卷03（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）絕密☆啟用前注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第Ⅰ卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．某射擊運(yùn)動員連續(xù)射擊10次，命中環(huán)數(shù)如下表：命中球數(shù)78910頻數(shù)2341則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別為（）A．4，4 B．3.5，4 C．8.5，9 D．9，9【答案】C【分析】根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義求解.【詳解】由已知該運(yùn)動員射中7環(huán)2次，8環(huán)3次，9環(huán)4次，10環(huán)1次，射中9環(huán)的次數(shù)最多，所以命中環(huán)數(shù)的眾數(shù)為，將所有數(shù)據(jù)按從小到大排列可得，所以命中環(huán)數(shù)的中位數(shù)為，故選：C.2．已知橢圓：的離心率為，則（

）A． B．1 C．3 D．4【答案】C【分析】利用橢圓的性質(zhì)計算即可.【詳解】由題意可知.故選：C3．在中國文化中，竹子被用來象征高潔、堅韌、不屈的品質(zhì).竹子在中國的歷史可以追溯到遠(yuǎn)古時代，早在新石器時代晚期，人類就已經(jīng)開始使用竹子了.竹子可以用來加工成日用品，比如竹簡、竹簽、竹扇、竹筐、竹筒等.現(xiàn)有某飲料廠共研發(fā)了九種容積不同的竹筒用來罐裝飲料，這九種竹筒的容積（單位：L）依次成等差數(shù)列，若，，則（

）A．5.4 B．6.3 C．7.2 D．13.5【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)得，進(jìn)一步利用進(jìn)行求解即可．【詳解】為等差數(shù)列，，故．故選：C．4．已知圓柱中，AD，BC分別是上、下底面的兩條直徑，且，若是弧BC的中點，是線段AB的中點，則（

）A．四點不共面 B．四點共面C．為直角三角形 D．為直角三角形【答案】D【分析】根據(jù)圓柱中的直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系，逐項判斷即可得結(jié)論.【詳解】因為點，而平面，結(jié)合圓柱結(jié)構(gòu)，所以平面，故四點不共面；圓柱中，AD，BC分別是上、下底面的兩條直徑，且，若是弧BC的中點，是線段AB的中點，故，所以，故；連接，則依題有為在平面內(nèi)的射影，在平面內(nèi)顯然與不垂直，故與不垂直；，則為直角三角形，故選：．5．過點的直線與圓相切于點，則（

）A．4 B．16 C． D．17【答案】B【分析】利用數(shù)量積公式，轉(zhuǎn)化為求切線長問題.【詳解】圓，即圓的圓心為，半徑，點到圓心的距離，所以，.故選：B6．已知是雙曲線右支上的動點，是雙曲線的左、右焦點，則的最小值為（

）A．12 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)可得雙曲線定義，得，再由結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】因為是雙曲線右支上的動點，由雙曲線定義，得，則，當(dāng)且僅當(dāng)取得最小值．故選：C.7．現(xiàn)將《西游記》、《紅樓夢》、《水滸傳》、《三國演義》、《史記》、《資治通鑒》6本不同的書籍分發(fā)給甲乙丙3人，每人至少分得1本，已知《西游記》分發(fā)給了甲，則不同的分發(fā)方式種數(shù)是（

）A．180 B．150 C．120 D．210【答案】A【分析】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①將6本不同的書籍分為3組，每組至少1本，②將《西游記》所在的組分發(fā)給了甲，剩下2組任意分配，由分步計數(shù)原理計算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①將6本不同的書籍分為3組，每組至少1本，若分為4、1、1的三組，有種分組方法，若分為3，2，1的三組，有種分組方法，若分為2，2，2的三組，有種分組方法，共有種分組方法，②將《西游記》所在的組分發(fā)給了甲，剩下2組任意分配，有2種情況，則有種分發(fā)方式．故選：A．8．在等邊三角形的三邊上各取一點，，，滿足，，，則三角形的面積的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先求出，設(shè)，，在、分別利用正弦定理表示出、，從而得到，利用三角恒等變換公式及輔助角公式求出的最大值，即可求出三角形面積最大值.【詳解】因為，，，所以，設(shè)，，則，，，在中由正弦定理，即，所以，在中由正弦定理，即，所以，所以（其中），所以，則，即三角形的面積的最大值是.故選：A【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵是用含的式子表示出、，再利用三角恒等變換公式及輔助角公式求出.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．在復(fù)平面內(nèi)，下列說法正確的是（

）A．若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則B．若復(fù)數(shù)滿足，則C．若，則或D．若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)對應(yīng)點的集合是以坐標(biāo)原點為中心，焦點在軸上的橢圓【答案】ABC【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的基本概念、四則運(yùn)算、幾何意義即可得出結(jié)果【詳解】解：復(fù)數(shù)，因為，所以，故選項A正確；設(shè)，若復(fù)數(shù)滿足，則，即，所以，故選項B正確；設(shè)，，則．因為，且，所以．若，則，所以或，故選項C正確；由復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)對應(yīng)點的集合是一條線段，故選項D錯誤．故選：ABC10．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（

）A．B．若，則函數(shù)的對稱中心為C．若函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，則的取值范圍為D．若函數(shù)在內(nèi)沒有最值，則的取值范圍為【答案】ACD【分析】借助圖象可得的值，再結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)逐項判斷即可得.【詳解】對A：由題意可知，，由，可得，因為，所以，故選項A正確；對B：若，則，令，則，所以函數(shù)的對稱中心為，故選項B不正確；對C：因為，令，得，根據(jù)的部分圖象可知，所以，即，因為，所以，故選項C正確；對D：由選項C可知，，在上單調(diào)遞增．因為在內(nèi)沒有最值，所以,又，可得，故選項D正確.故選：ACD．11．已知函數(shù)的定義域為，對任意都有，且，則下列說法正確的是（

）A． B．為奇函數(shù)C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)題意運(yùn)用賦值代入法計算，結(jié)合函數(shù)的奇偶性、周期性逐一驗證選項可得答案.【詳解】令，則，所以，令，則，，故A錯誤；要證為奇函數(shù)，只需證，即，令，則，，令，則，所以成立，故B正確；令，則，，所以為偶函數(shù)，由B可知，，所以，則有，故C正確；由C可知，又為偶函數(shù)，所以，則周期為2，，，所以，故D正確.故選：BCD【點睛】結(jié)論點睛：（1）若為奇函數(shù)，則滿足，若為偶函數(shù)，則滿足；（2）若為周期函數(shù)，且周期為，則滿足；（3）若關(guān)于點對稱，且關(guān)于直線對稱，則為周期函數(shù)，周期為.第Ⅱ卷三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知集合，若，則實數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】根據(jù)題意求集合，根據(jù)分析求解.【詳解】由題意可知：，因為，則，所以實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.13．一個三棱錐形木料，其中是邊長為的等邊三角形，底面，二面角的大小為，則點A到平面PBC的距離為．若將木料削成以A為頂點的圓錐，且圓錐的底面在側(cè)面PBC內(nèi)，則圓錐體積的最大值為．【答案】【分析】畫出圖形后結(jié)合等體積法可計算點A到平面PBC的距離，在三角形中，找出以為圓心的最大的圓，即可得圓錐體積的最大值.【詳解】取中點，連接，由底面，則即為二面角的平面角，故，由是邊長為的等邊三角形，故，故，，由、平面，故、，又，故，則，則，設(shè)點A到平面PBC的距離為，則有，即，即，作于點，由，，故為中點，作于點，則有,即，故圓錐體積的最大值為.故答案為：；.14．已知，若對于任意的，不等式立，則的最小值為.【答案】【分析】將不等式轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性得，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)判定的最大值計算即可.【詳解】原不等式等價于，由題意可知，且時，有令，即此時單調(diào)遞減，則有，令，易知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以.故答案為：【點睛】思路點睛：對于導(dǎo)數(shù)不等式恒成立問題，觀察式子結(jié)構(gòu)不方便分離參數(shù)，所以嘗試通過構(gòu)造同類型函數(shù)來解決問題.本題通過構(gòu)造研究其單調(diào)性得出在條件下恒成立，再研究函數(shù)的單調(diào)性與最值即可.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）已知數(shù)列的前n項和為，滿足（且），．(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)設(shè)數(shù)列滿足，證明：．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）由移項可得數(shù)列公比為，即可證明；（2）由（1）求出通項后，再由對數(shù)運(yùn)算求出，最后用裂項相消法證明不等式即可.【詳解】（1）證明：因為，所以，即，又，所以，即有，所以數(shù)列為等比數(shù)列.（2）證明：由（1）可知，首項，所以，所以，.16．（15分）在四棱錐中，平面底面，．

(1)是否一定成立？若是，請證明，若不是，請給出理由；(2)若是正三角形，且是正三棱錐，，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】(1)不一定，理由見解析(2)【分析】（1）過點作的垂線交于點，由面面垂直的性質(zhì)得到底面，舉出反例當(dāng)，即點與點重合時，均可得得到.（2）依題意可得點為的中點，再由線面垂直的性質(zhì)得到，從而得到平面，設(shè)，則為的中點，作，則底面，如圖建立空間直角坐標(biāo)，利用空間向量法計算可得.【詳解】（1）因為平面底面，過點作的垂線交于點，又平面底面，平面，所以底面，若，則點與點重合，即底面，所以垂直平面內(nèi)任意直線，即與無論何種位置關(guān)系，都有，所以不一定成立.

（2）因為是正三角形，則點為的中點，由（1）底面，又底面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，又是正三棱錐，即為等邊三角形，設(shè)，則為的中點，作，則底面，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，設(shè)平面的法向量為，則，取，所以，所以平面與平面夾角的余弦值為.

17．（15分）某工廠生產(chǎn)某種元件，其質(zhì)量按測試指標(biāo)劃分為：指標(biāo)大于或等于82為合格品，小于82為次品，現(xiàn)抽取這種元件100件進(jìn)行檢測，檢測結(jié)果統(tǒng)計如下表：測試指標(biāo)元件數(shù)（件）121836304(1)現(xiàn)從這100件樣品中隨機(jī)抽取2件，若其中一件為合格品，求另一件也為合格品的概率；(2)關(guān)于隨機(jī)變量，俄國數(shù)學(xué)家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若隨機(jī)變量X具有數(shù)學(xué)期望，方差，則對任意正數(shù)，均有成立.（i）若，證明：；（ii）利用該結(jié)論表示即使分布未知，隨機(jī)變量的取值范圍落在期望左右的一定范圍內(nèi)的概率是有界的.若該工廠聲稱本廠元件合格率為90%，那么根據(jù)所給樣本數(shù)據(jù)，請結(jié)合“切比雪夫不等式”說明該工廠所提供的合格率是否可信？（注：當(dāng)隨機(jī)事件A發(fā)生的概率小于0.05時，可稱事件A為小概率事件）【答案】(1)(2)（i）證明見解析；（ii）不可信.【分析】（1）由條件概率的公式進(jìn)行求解即可；（2）（i）由求出，再結(jié)合切比雪夫不等式即可證明；（ii）設(shè)隨機(jī)抽取100件產(chǎn)品中合格品的件數(shù)為，，由切比雪夫不等式判斷出，進(jìn)而可得出結(jié)論.【詳解】（1）記事件為抽到一件合格品，事件為抽到兩個合格品，（2）（i）由題：若，則又所以或由切比雪夫不等式可知，所以；（ii）設(shè)隨機(jī)抽取100件產(chǎn)品中合格品的件數(shù)為，假設(shè)廠家關(guān)于產(chǎn)品合格率為的說法成立，則，所以，由切比雪夫不等式知，，即在假設(shè)下100個元件中合格品為70個的概率不超過0.0225，此概率極小，由小概率原理可知，一般來說在一次試驗中是不會發(fā)生的，據(jù)此我們有理由推斷工廠的合格率不可信.18．（17分）已知點在拋物線上，為拋物線上兩個動點，不垂直軸，為焦點，且滿足．(1)求的值，并證明：線段的垂直平分線過定點；(2)設(shè)（1）中定點為，當(dāng)?shù)拿娣e最大時，求直線的方程．【答案】(1)，證明見解析(2)【分析】（1）代入點的坐標(biāo)可得拋物線方程，聯(lián)立方程，利用垂直和平分求出垂直平分線的方程可得答案；（2）先求出弦長和高，表示出三角形的面積，利用導(dǎo)數(shù)求解可得答案.【詳解】（1）將點代入拋物線方程，可得，解得，所以拋物線方程為，設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立方程，消去得，，由韋達(dá)定理得，根據(jù)拋物線定義：，可得，此時，解得或，設(shè)的中點坐標(biāo)為，則，可得的垂直平分線方程為：，將代入整理得：，故的垂直平分線過定點．（2）由（1）可得，且點到直線的距離，則的面積為，可得，

設(shè)，設(shè)，則令，解得；令，解得；則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．所以當(dāng)時，的面積取最大值，此時，即．此時.【點睛】方法點睛：圓錐曲線中的最值問題求解方法：先把目標(biāo)式表示出來，根據(jù)目標(biāo)式的特點選擇合適的方法進(jìn)行求解，常用方法有：①二次函數(shù)法：利用換元法，目標(biāo)式化成二次型，結(jié)合二次函數(shù)求解；②基本不等式法：把目標(biāo)式化成能使用基本不等式的結(jié)構(gòu)，利用基本不等式求解；③導(dǎo)數(shù)法：求解導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解最值.19．（17分）羅爾定理是高等代數(shù)中微積分的三大定理之一，它與導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的零點有關(guān)，是由法國數(shù)學(xué)家米歇爾·羅爾于1691年提出的．它的表達(dá)如下：如果函數(shù)滿足在閉區(qū)間連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且，那么在區(qū)間內(nèi)至少存在一點，使得．(1)運(yùn)用羅爾定理證明：若函數(shù)在區(qū)間連續(xù)，在區(qū)間上可導(dǎo)，則存在，使得．(2)已知函數(shù)，若對于區(qū)間內(nèi)任意兩個不相等的實數(shù)，都有成立，求實數(shù)的取值范圍．(3)證明：當(dāng)時，有．【答案】(1)證明見解析；(2)；(3)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)給定條件，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合羅爾定理推導(dǎo)即得.（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用（1）的結(jié)論建立