廣東省茂名市五校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二年級(jí)下冊(cè)3月聯(lián)考試題數(shù)學(xué)

2023—2024學(xué)年度茂名市五校聯(lián)盟高二聯(lián)考

數(shù)學(xué)試題

本試卷共4頁(yè)，19題.全卷滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的

指定位置.

2,選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫(xiě)在試

題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.

3.非選擇題的作答：用簽字筆直接寫(xiě)在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫(xiě)在試題卷、草稿紙和答題卡

上的非答題區(qū)域均無(wú)效.

4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交.

一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的）

1.已知直線/的方程為Gx+y-l=0,則直線/的傾斜角為（）

2.已知等比數(shù)列應(yīng)｝中，。29=4%，等差數(shù)列也｝中，"+d=%，則數(shù)列也｝的前9項(xiàng)和Sg=（）

A.9B.18C.36D.72

3.若函數(shù)/（x）=ln（x-4）+b在（0,/（0））處的切線方程為尸X,則不等式Qj（x-l）,,1的解集為（）

A.-,eB.-,1C.[l,e]D,[2,e+1]

4.已知圓C:（x—3）2+3-4/=9,直線/：（加+3.—（加+2）夕+加=0.則直線/被圓。截得的弦長(zhǎng)的最小

值為（）

A.V10B.2V2C.^6D.2V7

3兀

5.如圖，二面角。一/一月等于一,48是棱/上兩點(diǎn)，8D,ZC分別在半平面a,P內(nèi)，ACLl,BDLl,且

4

AB=AC=2,BD=^,則（）

A.V14B.2V2C.2V3D.4

6.雙曲線與一匕=1（4>0]>0）的左、右焦點(diǎn)分別為大、鳥(niǎo)，點(diǎn)又是雙曲線左支上一點(diǎn)，/片兒/=90’，

ab~

直線九小'2交雙曲線的另一支于點(diǎn)N,|〃N|=2|NK|,則雙曲線的離心率為（）

A.2B.逐C.3D.9

7.已知e22.71828是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，設(shè)a=6——,b=五一一,c=e無(wú)T—ln2,則（）

ee

K.a<b<cB.h<a<c

C.b<c<aD.c<a<h

8.已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為/,其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的表面積為36兀，且3”/“4五，則該正四棱

錐體積的最大值是（）

8164

A.18B.—C.—D.27

43

二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要

求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）

9.正方體48c的棱長(zhǎng)為2,E,￡G分別為8C,CC”64的中點(diǎn)，則（）

A.直線DD]與直線AF垂直

B.直線4G與平面/所平行

9

C.平面AEF截正方體所得的截面面積為一

2

D.點(diǎn)&和點(diǎn)D到平面AEF的距離不相等

10.已知_/（x）=ox-e",xeR,則（）

Aj（x）的值域?yàn)镽

8.4#0時(shí)，/（》）恒有極值點(diǎn)

C.g（x）=/（x）-"（左70）恒有零點(diǎn)

口.對(duì)于彳6&/（。，（1-6）以恒成立

11.如圖，已知直線/與拋物線V=2px（p>0）交于48兩點(diǎn)，且。4_1。8,。。，48交48于點(diǎn)。，則

（）

A.若點(diǎn)。的坐標(biāo)為（2/），則

B.直線/恒過(guò)定點(diǎn)（p,0）

C.點(diǎn)D的軌跡方程為爐+/-2px=0（x^0）

D.AAOB的面積的最小值為422

三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）

12.已知函數(shù)f（x）=￡￡?），若方程/（X）—左=。有2個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)左的取值范圍是.

13.下圖是瑞典數(shù)學(xué)家科赫在1904年構(gòu)造的能夠描述雪花形狀的圖案，圖形的作法是：從一正三角形開(kāi)始，把

每條邊三等分，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊，反復(fù)進(jìn)行這一過(guò)程，就得到

一條“雪花”狀的曲線.

若第1個(gè)圖中的三角形的周長(zhǎng)為1,則第〃個(gè)圖形的周長(zhǎng)為

若第1個(gè)圖中的三角形的面積為1,則第〃個(gè)圖形的面積為.

14.已知用（事,必）,乂（》2，%）是圓。：。一3）2+3—4）2=4上的兩個(gè)不同的點(diǎn)，若|朋乂|=2后，則

\X1+凹|+L+必|的取值范圍為.

四、解答題本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.

15.（本小題滿分13分）

某市為了了解人們對(duì)“中國(guó)夢(mèng)''的偉大構(gòu)想的認(rèn)知程度，針對(duì)本市不同年齡和不同職業(yè)的人舉辦了一次“一帶一

路''知識(shí)競(jìng)賽，滿分100分（95分及以上為認(rèn)知程度高），結(jié)果認(rèn)知程度高的有機(jī)人，按年齡分成5組，其中

第一組：［20,25）,第二組：［25,30）,第三組：［30,35）,第四組：［35,40）,第五組［40,45］,得到如圖所

示的頻率分布直方圖，已知第一組有10人.

S

O.S

。

s

S

O.

年齡/歲

的值并估計(jì)這m人年齡的第80百分位數(shù);

（2）現(xiàn)從以上各組中用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取20人，擔(dān)任本市的“中國(guó)夢(mèng)”宣傳使者.

①若有甲（年齡38）,乙（年齡40）兩人已確定入選宣傳使者，現(xiàn)計(jì)劃從第四組和第五組被抽到的使者中，

再隨機(jī)抽取2名作為組長(zhǎng)，求甲、乙兩人至少有一人被選上的概率；

②若第四組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為37和*,第五組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為43

2

和1,據(jù)此估計(jì)這機(jī)人中35?45歲所有人的年齡的方差.

16.（本小題滿分15分）

己知數(shù)列｛勺｝滿足：q=2,all+l-an=2".

（1）求數(shù)列｛可｝的通項(xiàng)公式；

（2）若數(shù)列抄“｝的首項(xiàng)為1,其前〃項(xiàng)和S“滿足“S用一（〃+l）S"="（；"，證明：若

j2bl2b,2b

V〃eN,—L+—+…+—n

%a2an

17.（本小題滿分15分）

如圖所示，在四棱錐P—中，側(cè)面0底面/8C0,0/=尸。=JI,4，/3。，底面Z8C。為直

角梯形，其中8C〃ZO,Z8_L4D,Z8=8C=1,。為的中點(diǎn).

（1）求直線P8與平面P。。所成角的余弦值；

（2）求8點(diǎn)到平面尸C0的距離；

（3）線段PQ上是否存在一點(diǎn)0,使得二面角。-ZC-。的余弦值為巫？若存在，求出筆的值；若不

3QD

存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

18.（本小題滿分17分）

已知橢圓。：三+=l（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為片，工，該橢圓的離心率為g,且橢圓上動(dòng)點(diǎn)河與點(diǎn)

2

CTb

耳的最大距離為3.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）如圖，若直線/與x軸、橢圓。順次交于尸,0,R（點(diǎn)尸在橢圓左頂點(diǎn)的左側(cè)），且NPFQ+NPF\R=無(wú)，

求AR。片面積的最大值.

19.（本小題滿分17分）

已知函數(shù)/（x）=alnx-2ax+—（a>0）.

（1）討論/（x）的單調(diào)性；

（2）若/（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)不》2（%尸當(dāng)），且不等式/（玉）+/（%）</1（丑產(chǎn)）恒成立，求實(shí)數(shù)幾的取值

范圍.

2023—2024學(xué)年度茂名市五校聯(lián)盟高二聯(lián)考

數(shù)學(xué)參考答案及解析

一、選擇題

i.c【考點(diǎn)】直線的傾斜角與斜率(容易題)

【解析】由直線I：y/3x+y—1=0得丁=—yfix4-1,

.?/=—百，得傾斜角為g.故選C.

2.B【考點(diǎn)】等差、等比數(shù)列的基本定義、公式與性質(zhì)

(容易題)

【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)得出9=代=4。5，，%=4,由等差數(shù)列的性質(zhì)得

(a}+4)x9-、山

2=…=%=4,二5=---=18.嘆選B.

3.C【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的幾何意義，解對(duì)數(shù)函數(shù)不等式(容易題)

【解析】由/(x)=ln(x-a)+b,得/"(x)=」一，

x-a

/(o)=g)+b=o1

由題意得“/、1，得，C，

r(o)=—=1w=o

/(x)=ln(x+l),.\0?1o0.,Inx,1，解得L,x,e.故選C.

4.D【考點(diǎn)】直線恒過(guò)定點(diǎn)，直線與圓相交的弦長(zhǎng)(取材于課本P103改編，中檔題)

【解析】直線/：(機(jī)+3卜—(〃?+2?+加=0.恒過(guò)定點(diǎn)產(chǎn)(2,3),當(dāng)。尸中時(shí)，圓心C到直線/的距離最大

為d=|C尸|=啦，此時(shí)，直線/被圓C截得的弦長(zhǎng)最小，最小值為2戶7=2近?故選D.

5.A【考點(diǎn)】二面角的平面角定義，向量法求距離(課本P41習(xí)題改編，中檔題)

37r

【解析】由二面角的平面角的定義知(6D,ZC)=i，

.-.55-ZC=V2x2xsin—=-2,由

4

I,得衣國(guó)=0,苑瓦i=。,又

DC^DB+BA+AC,:\DC^(DB+BA+AC)2=DB2+BA+AC2+2DBBA+2DBAC+2BAAC^\4

???|比卜池.故選A.

6.B【考點(diǎn)】雙曲線的定義、離心率

【解析】設(shè)|NK|=X,則|腦V|=2X,|朋段=3X,由雙曲線的定義得|班|一|加用=2%故|M|=3x-2a；

由|N用一加用=2。，故|NK|=x+2a,在RMA/巴中，|明「+|心葉=山見(jiàn)2,即

9x2+(3x-2a)2=4c2,@,在RMMN中，|叫『+|可『=|明|2,即4/+(3x-2a)2=(x+2a>,②,

由②得x=3。，代入①得20a2=4/,故e=±=J?.故選B.

3a

7.A【考點(diǎn)】構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小(較難題)

【解析】設(shè)/(X)=6-±,/'(X)=T^=-L

e2yxe

2

e21(ep2

當(dāng)XE0,—J'(x)>0J(x)單調(diào)遞增；當(dāng)XE丁，+。J'(x)<0J(x)單調(diào)遞減一<2<3，

\47\474

Y11

--?/(2)>/(3),即b>a,又?.,e*>X+1,XH1,；.e應(yīng)t>后，令g(x)=—lnx,g'(x)=----,當(dāng)

eex

22

xe(0,e),g'(x)<0J(x)單調(diào)遞減；故g(2)>g(e)=0,即一>ln2,r.一一<-ln2,故c>b,故c>b>a.

ee

故選A.

8.C【考點(diǎn)】空間幾何體的基本計(jì)算公式，導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值(較難題)

【解析】???球的表面積為36兀，所以球的半徑&=3,設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2a,高為/?,則/2=2/+外,

32=2/+(3—。)2,所以6力=/2,2/=/2—02,二正四棱錐的體積

11,2I213(24_/2]

y=—Sh=—x4a2x/?=-xI2--x-=9ZE,當(dāng)

33336J6

3*,/,,2瓶時(shí)，r>0,當(dāng)2、笈</,,4五時(shí).，/'<0,二當(dāng)/=2卡時(shí)，正四棱錐的體積/取最大值，最大值

64

為一.故選C.

3

二、多選題

9.BC【考點(diǎn)】幾何法、向量法與坐標(biāo)法在解決立體幾何的位置關(guān)系、求距離中的應(yīng)用(課本P48習(xí)題改編，

中檔題)

【解析】-：DyD//CXC,而G。與//顯然不垂直，，。乙與力/不垂直，A錯(cuò)；取用6中點(diǎn)〃，連接

A\H,GH,BC],由G,E1分別是8A，8C,CG中點(diǎn)，嗎HG//BC、〃EF，又

HE//BB、//AAVHE=BB,=AA],A.HEA是平行四邊形，.?.4H//AE，

AEr\EF=E,:.4H〃平面AEF,HG〃平面/EF,

而4〃^^〃6=〃,，平面4〃6〃平面力打，又46<=平面4〃6,二46〃平面4所.8正確；由正方

體性質(zhì)，連接ED1,ZA，則截面Z"即為四邊形/E五2,它是等腰梯形，

4R=2亞,EF=6,。尸=4E=有，等腰梯形的高為八=](有了—2五;近=半，截面面積為

5=|x(V2+2V2)x^=|,C正確；設(shè)4。門(mén)/。|=。，易知。是《。的中點(diǎn)，；?4，。兩點(diǎn)到平面

AEFD,的距離相等.D不正確.故選BC.

10.BCD【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)法在研究函數(shù)中的應(yīng)用(最值、極點(diǎn)、函數(shù)的零點(diǎn)、恒成立等問(wèn)題)(中檔偏難題)

【解析】對(duì)于A：令f=ax,則8。)=/-6'應(yīng)'(1)=1-3,/€區(qū)，當(dāng)fe(-8,0),g'(/)>0,g(f)單調(diào)遞增；

當(dāng)t€(O,+e),g'(f)<0且。)單調(diào)遞減.；.g(。,,g(O)=-1,.-./(x)的值域不為R,故工不正確；對(duì)于B：

由A選項(xiàng)可知，當(dāng)4*0時(shí)，x=0是/(x)的極值點(diǎn)，故8正確；對(duì)于C：???g(x)=/(x)-&伏#0)有零

X

點(diǎn)，即6-e"=!有根，當(dāng)a=0時(shí)，/(x)=l與函數(shù)y=&圖象恒有交點(diǎn)，當(dāng)。工0時(shí)，由選項(xiàng)/知

XX

/Wmax=/(0)=-l；且/(X)在(一雙。)上單增,在(0,+8)上單減，當(dāng)左>0時(shí);函數(shù)歹=幺圖象在第四

X

象限與/(X)有交點(diǎn)，當(dāng)％<0時(shí)，函數(shù)丁=幺圖象在第三象限與/(X)有交點(diǎn)，，/(x)與函數(shù)丁=與圖象恒

XX

有交點(diǎn)，故C正確；對(duì)于。：若/(x)<(l-e)辦

,則ox-e<tr<(1-e)辦oe"...ear,,(?.?e'...ex

當(dāng)x=l時(shí)，等號(hào)成立)，當(dāng)彳=一,貝!lea=e=eax，

a

故D正確.故選BCD.

H.ACD【考點(diǎn)】直線與拋物線的位置關(guān)系綜合，直線過(guò)定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡，最值問(wèn)題(課本尸146習(xí)題改編，

中檔偏難題)

【解析】對(duì)于A:vO(2,l),.,.％Q0=g,由OOLZ8,

=-

^AB2,.\lAB'y=-2x+5,聯(lián)立j/=2px,消去x,

4

有/+勿一5p=0,記Z（X|,y）,8（%2,%）,則%丁2=-5p,由。Z_L06,得％?自B=---=T，

凹y2

p=|,故/正確；對(duì)于BCD：可設(shè)如：x=〃U+/，聯(lián)立_/=2px,消去x,有y2_2pmy_2Pt=0,

4n2

2

則乂+%=2Pm,丫必=-2pt,由kOA-kOB=----=1W4p-2pt=Q,：.t=2p,：.lAB:x=my+2p,過(guò)

凹外

定點(diǎn)M（2p,0）,故8不正確；由0。，48,二。在以。河為直徑的圓：（x—p）2+V=p2上運(yùn)動(dòng)（原點(diǎn)除

外），故C正確；此時(shí)：lAB:x=my+2p,過(guò)定點(diǎn)

朋■（22,0）,乂+%=2夕加,PM=,Su.=；-2p?|乂一%|=2/（乂+歹2）2-4凹%=2PLJ〃+4..4加

,故。正確.故選ACD.

三、填空題

12.0〈加＜1或加〉4el【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、方程的根的個(gè)數(shù)（P104習(xí)題改編，中檔題）

【解析】由題意/'卜）=：（2；［3）,,//）=6（2萬(wàn)；1）在（__0）上單調(diào)遞增,在（0#上單調(diào)

遞減，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且當(dāng)X——8時(shí)，歹—0；當(dāng)X=0時(shí)，

/（X）極大值=/（0）=1；當(dāng)X從1的左側(cè)無(wú)限趨近于1時(shí)，V-；當(dāng)X從1的右側(cè)無(wú)限趨近于1時(shí)，V-+8;

當(dāng)Xf+e時(shí)，丁-＞+8；/（幻極小值=/15=4/，函數(shù)/?（x）=e'（2x；l）的大致圖象如圖所示,

.??滿足題意的左的取值范圍是0（根＜1或加〉41?故答案為0＜加＜1或加〉4￡.

【考點(diǎn)】等比數(shù)列的應(yīng)用，遞推公式（尸55習(xí)題改編，中檔題）

⑴55⑺

【解析】記第〃個(gè)圖形為匕，三角形的邊長(zhǎng)為4,邊數(shù)為“，周長(zhǎng)為4,面積為s”,片有4條邊，邊長(zhǎng)為

]/1\1

有&=44條邊，邊長(zhǎng)為%=—q;4有&=424條邊，邊長(zhǎng)為/=卜6；.?.%=上%?即

33

a=f-1ar,h=4b/即"=*4"，當(dāng)?shù)?個(gè)圖中的三角形的周長(zhǎng)為1時(shí)，即

n1311'〃〃-1"1

%=1，4=3,二.乙=見(jiàn)"=（；）X3X4"T=（：）,由圖形可知匕是在匕_1每條邊上生成一個(gè)小三角形，即

S"=S“_]+bn_｝乂與a：「即S「S『i=*a；.b…S,f—Sn_2=曰（rnA-bn_2,--->S2-S]-b]>利

用累加法可得s“—s、=&a>如+《3?bn_2+…+其??。瑪?shù)列｛q｝是以;為公比的等比數(shù)列，數(shù)列也｝

z24

故皴

是

列

lb以

<Q"-

是以4為公比的等比數(shù)列,kl〃9為公比的等比數(shù)列，當(dāng)?shù)?個(gè)圖中的三角形面積為1時(shí),

5=1,即日d=1，此時(shí)q2=華,加=挈,弓有4=3條邊，則

W-1、

4年第

也_|+a,"也一2+起?仇

5

9

〃一1、

3083.4丫一n-\

：.S-S,=-x1-，諄=二-不舊.故答案為

"15

K)7

14.[10,18]【考點(diǎn)】動(dòng)點(diǎn)的軌跡、活用點(diǎn)到直線距離公式、圓上的點(diǎn)到直線距離的最值問(wèn)題（較難題）

【解析】?.?|削|=2直,.?.弦A/N的中點(diǎn)P的軌跡為以。為圓心，半徑尸=｛4—（后>=及的圓,

卜2+8|)|百+乂||%+%|

■.?\x+y\+\x+y\=y/2

li22V2J572V2表示M、N到直線x+y=O的距離之和,

即：等于"N的中點(diǎn)尸到直線x+y=O的距離|P*的2倍，-：\CH\-^.\PH\,,\CH\+r,即

乎,,M，,逑..?.IQ,>+必|+昆+%]”18.故答案為[10,18].

三、解答題

15.【考點(diǎn)】由頻率分布直方圖估計(jì)數(shù)據(jù)的數(shù)字特征、

古典概型、從分層隨機(jī)抽樣的平均數(shù)與方差估計(jì)總

體平均數(shù)與方差（容易題）

解：（1）由題意，竺=5x0.01,所以加=200.

m

設(shè)第80百分位數(shù)為

因?yàn)?.01x5+0.07x5+0.06x5=0.7<0.8,0.01

x5+0.07x5+0.06x5+0.04x5=0.9>0.8,

故第80百分位數(shù)位于第四組：［35,40）內(nèi)，

由0.05+0.35+0.3+(。-35)x0.04=0.8,解得:

a=37.5,

所以第80百分位數(shù)為37.5.

（2）①由題意得，第四組應(yīng)抽取4人，記為

甲，第五組抽取2人，記為。，乙，

樣本空間為：。={3,B）,（A,C）,（A,甲），（4,乙），（4D）,（B,C）,（B,甲）,（B,

乙），（B,D）,（C,甲），（C,乙），（C,D）,（甲，乙），（甲，D）,（乙，D）},共15個(gè)樣

本點(diǎn).）

設(shè)事件河="甲、乙兩人至少一人被選上“，

則用■={（A,甲），（4乙），（8,甲），（B,乙），（C,甲），

（C,乙），（甲，乙），（甲，D）,（乙，D）},共有9個(gè)樣本點(diǎn).

所"（,"）、=品n（M二}十3

②設(shè)第四組、第五組的宣傳使者的年齡的平均數(shù)分

別為亍4,亍5，方差分別為

則"=37,浜=43,s；=g,s；=1,

設(shè)第四組和第五組所有宣傳使者的年齡平均數(shù)為彳，方差為一.

則，

22

5s：+（%一可之+2x55+（%5-7）^=10=

因此，第四組和第五組所有宣傳使者的年齡方差為10,

據(jù)此，可估計(jì)這機(jī)人中年齡在35~45歲的所有人的年齡方差約為10.

16.【考點(diǎn)】等差、等比數(shù)列的基本概念；累加法、法求數(shù)列的通項(xiàng)公式；錯(cuò)位相減法求和、數(shù)列的單調(diào)性（中檔

題）

n

解：(1)va?+1-an=2,a}=2,

?1?%=%+3-％)+(%-％)+…+(4-2-??-!)+(??-%)

=2+2'+22+---+2"-2+2"-'

⑵證明：由…+內(nèi)=用得普T]+…

二數(shù)列｛｝｝是以首項(xiàng)為1,公差為g的等差數(shù)列，

,r,S,.1I八〃+1?〃(〃+1)

則」=1+-(〃_]=——，D即s=-^——L.

n2'"2"2

〃(〃+1)3=〃,

當(dāng)〃…2時(shí),

22

4=1也符合該式，

23n

4----pH-----H-------1--------

12

222”T

-1T123n'

122122232"

1十,1111n

作差得一北=1H--1--+—H---F--j----

2222232""2"

2=2-9，則I=4-〃+2

2"2"2'i

n+2〃+3?+1八

???&T---=>0,

2"2"

???數(shù)列億｝在〃eN*上單調(diào)遞增，（7；L=4=1，

2b.2b,

即1+___=_+...+組

a2

17.【考點(diǎn)】向量法求線面角、二面角、點(diǎn)面距、探究性

問(wèn)題（中檔題）

解：（1）在△尸力。中，。4=尸。,。為4。的中點(diǎn)，

POLAD.

又???側(cè)面尸4），底面Z8CD,平面尸4）c平面

ABCD=AD,POu平面PAD，

P01平面488.

在△&7）中，PA1PD,PA=PD=V2,.-.AD=2.

在直角梯形/BCD中，。為力。的中點(diǎn)，.,.OZ=BC=1,，OC_LZ￡>.

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

則尸(0,0,1),/(0,-1,0),8(1,0,0),

OA±OP,OA±OC,OPcOC=O,:.04J_平面POC.

：.OA=（0-1,0）為平面POC的法向量，設(shè)PB與平面POC所成角為e,

_P_B_O_A73

貝ijsin。=cos(PB,OA

而忤-3，

PB與平面POC所成角的余弦值為逅

3

(2)vPS=(l,-l,-l),

設(shè)平面PCD的法向量為日=（x,y,z）

uCP=-x+z=0

，則<—.取衩=(1,1,1).

u?PD=y-z=0

|麗臼一百

則3點(diǎn)到平面PCD的距離d=

（3）假設(shè)存在，且設(shè)聞=4而（Q,A.1）.

PD=(0,1,-1),:.而-而=PQ=(0,4-4),

.?.詼=(0,幾,1_4.0(0,4,1_4).

設(shè)平面C40的法向量為比=(x“y,zj,

m-AC=x.+y,=0

則一一/、/、，

tn?AQ=(4+1)必+(1—%)Z]=0

取Z[=1+2,得加=(1—2,丸―1,2+1),

而平面％。的一個(gè)法向量為元=（0,0,1）,

?.?二面角。一工。一。的余弦值為如，

3

.加S伍昨輻

|4+1|任

J（l-4）2+（"1）2+（4+］）23,

整理化簡(jiǎn)，得3/12—i（M+3=0.解得4=^或4=3（舍去），

二線段尸。上存在滿足題意的點(diǎn)。，且需

18.【考點(diǎn)】橢圓的基本概念與性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系綜合問(wèn)題，基本不等式求最值（中檔偏難題）

11

解：（1）?橢圓的離心率為一,，e=c-=—,即a=2c.

2a2

橢圓上動(dòng)點(diǎn)M與點(diǎn)片的最大距離為3,/.a+c=3.

a=2,c=1,/.b=-\/3>

橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程為：《+匕=1.

43

（2）設(shè)。（再,必）,及〉2，%）,由⑴知，片（一1,0）,

?;NPF、Q+/PF、R=式，：./CQR+卜防=0

六j+六J=0,整理得芯為+/必+X+%=0.

設(shè)直線P0的方程為X=my+〃（加*0），

聯(lián)立《2I2，得(3加之+4)y2+6加〃y+3〃2—12=0,

A=36〃/〃2_4(3加2+4)(3〃2一⑵>0,

rr<3m2+4，

6mn3n2-12

%+%=一病百。必=*"*=+"'%=加乃+〃'

玉必+弘+Y+%=2叩曲+(〃+1)(弘+%)=o，

...2〃?.”衛(wèi)+(〃+1)］一6mn

=0,

3/+4''\3m2+4

,/mw0,/.〃二一4.

???直線尸。的方程為x=〃U—4.