《高等數(shù)學(xué)下冊(cè) 第3版》-劉金林 第9章（多元微分）習(xí)題解答

PAGE46-習(xí)題解答習(xí)題9.11．畫(huà)出下列平面點(diǎn)集D的圖形，指出它們的邊界，說(shuō)明它們是開(kāi)區(qū)域還是閉區(qū)域，有界還是無(wú)界．（1）D：；解D的圖形略．D的邊界為．D為閉區(qū)域且為無(wú)界區(qū)域．（2）D：；解D的圖形略．D的邊界為．D為閉區(qū)域且為有界區(qū)域．（3）D：；解D的圖形略．D的邊界為．D既不是閉區(qū)域也不是開(kāi)區(qū)域，但D為有界區(qū)域．（4）D：．解D的圖形略．D的邊界為．D為開(kāi)區(qū)域，且為有界區(qū)域．2．用不等式組表示下列曲線圍成的閉區(qū)域D：（1）D由圍成；解D：．（2）D由圍成．解D：．3．求下列各函數(shù)的定義域：（1）；解要使表達(dá)式有意義，必須故所求函數(shù)的定義域?yàn)椋?）；解要使表達(dá)式有意義，必須故所求函數(shù)的定義域?yàn)椋?）（）；解要使表達(dá)式有意義，必須故所求函數(shù)的定義域?yàn)椋?）．解要使表達(dá)式有意義，必須故所求函數(shù)的定義域?yàn)?．設(shè)，求、及．解由得，．．5．設(shè)，求．解設(shè)，則，，所以，從而．6．求下列函數(shù)極限：（1）；解由連續(xù)性，原式＝＝．（2）；解由連續(xù)性，原式＝＝．（3）；解令xy=t,則原式＝＝＝（4）；解令x2+y2=t,則原式＝＝（5）；解原式＝＝＝＝．（6）．解原式==(令x2+y2=t)=．7．證明下列極限不存在：（1）；證明因?yàn)楫?dāng)沿直線趨于時(shí)，，它是隨的值的不同而改變的，所以極限不存在．（2）．證明因?yàn)楫?dāng)沿直線趨于時(shí)，，當(dāng)沿直線趨于時(shí)，，由于，所以極限不存在．8．指出下列函數(shù)在何處間斷：（1）；解函數(shù)在處間斷．（2）．解函數(shù)在上每一個(gè)點(diǎn)處間斷．習(xí)題9.21．求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)：（1）；解，；（2）；解，；（3）；解，.（4）；解（5）；解，；（6）；解，；（7）；解，，；（8）．解，，．2．計(jì)算下列各題：（1）設(shè)，求和；解＝，＝，將點(diǎn)（1，2）代入上面結(jié)果，得，．（2）設(shè)，求；解取對(duì)數(shù)得,上式兩邊對(duì)y求導(dǎo)得，所以，將點(diǎn)（1，1）代入上面結(jié)果，得．（3）設(shè)，求；解∵，∴＝．（4）設(shè)，求及．解，，∴．．3．設(shè)，證明：．證明：，，．4．設(shè)，其中可導(dǎo)，證明：．證明即．5．曲線在點(diǎn)（，1，）處的切線對(duì)軸的傾角是多少？解設(shè)該切線與軸的傾角為，∴由偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義得，從而．6．證明：函數(shù)在點(diǎn)（0，0）處連續(xù)，但及不存在．證明∵∴在點(diǎn)（0，0）處連續(xù)．又=不存在，=不存在．7．求下列函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，，．（1）；解，∴，，；（2）；解，，，，．（3）；解，，∴，，；（4）．解，，∴，，．8．設(shè)，求，，．解，，，從而，，．9．設(shè)，試證：．證明：，，，由對(duì)稱(chēng)性得，，∴．原式得證．習(xí)題9.31．求下列函數(shù)的全微分：（1）；解，∴（2）；解，∴（3）（）；解，∴．（4）；解，∴；（5）；解，，∴；（6）．解，，，∴．2．計(jì)算下列函數(shù)在給定點(diǎn)處的全微分（1），；解，，∴（2），．解，，=+.3．求函數(shù)當(dāng)?shù)娜隽亢腿⒎郑?，，全增量?．設(shè)可導(dǎo)，求下列函數(shù)的全微分：（1）；解令，則，，∴．（2）．解令，則，∴．5．計(jì)算下列近似值：（1）；解取，令，，，，于是，，．原式＝．（2）．解取，令，，，，于是，，．原式＝．6．設(shè)有邊長(zhǎng)為m與m的矩形，當(dāng)邊增加5cm而邊減少10cm，求此矩形對(duì)角線增量的近似值．解設(shè)矩形對(duì)角線長(zhǎng)為z，則有．把，，代入，得．即此矩形對(duì)角線增量的近似值約為-5cm．7．有一用水泥砌成的無(wú)蓋長(zhǎng)方體水池，它的外形長(zhǎng)5m、寬4m、高3m，又它的四壁及底的厚度均為20cm，求所用水泥的近似值．解設(shè)長(zhǎng)方體水池長(zhǎng)、寬、高分別為x,y,z米，水池的體積．把，，代入，得．即所用水泥的近似值為14.8m3．8．利用函數(shù)證明：商的相對(duì)誤差等于被除數(shù)及除數(shù)的相對(duì)誤差之和．證明將，，的相對(duì)誤差為．即商的相對(duì)誤差等于被除數(shù)及除數(shù)的相對(duì)誤差之和．習(xí)題9.41．設(shè)，而，求全導(dǎo)數(shù)．解．2．設(shè)，而，求全導(dǎo)數(shù)．解．3．設(shè)，而，求全導(dǎo)數(shù)．解．4．設(shè)，而，求和．解；．5．設(shè)，而，求和．解；．6．設(shè)，求和．解令則，；．7．設(shè)，其中及可導(dǎo)，求．解令，則，，，∴．8．求下列函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，其中具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)：（1）；解，．（2）；解，，．（3）；解，．（4）．解，，．9．設(shè)，其中為可導(dǎo)函數(shù)，證明：．證明令，則，，所以．10．設(shè)，其中具有二階導(dǎo)數(shù)，求，，．解令，則，所以，，．11．求下列函數(shù)的，，（其中具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)）：（1）；解由得，所以，，（2）．解由得，，所以，，．12．設(shè)函數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，在極坐標(biāo)變換，下，證明二維拉普拉斯式：．證明由得,所以，將上述的表達(dá)式代入，得=．證畢．13．設(shè)，具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求．解由得，所以習(xí)題9.51．設(shè)由方程確定，求．解令，即，，所以，2．設(shè)由方程確定，求及．解令，則，所以，將x=0代入原方程得y=1.從而，∴．3．求下列方程所確定的隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和：（1）；解令，則，，，所以，.（2）．解令，即,，，，所以，.4．設(shè)所確定的函數(shù)為，求．解令，則，，，所以，，所以．5．設(shè)函數(shù)由方程確定，求全微分．解令，則，，，所以，，因此．6．設(shè)是由方程所確定的函數(shù)，其中具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，證明：．解記，令，則，，，所以．7．設(shè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，證明由方程所確定的函數(shù)滿(mǎn)足．證明令，則，，，所以．8．設(shè)函數(shù)由方程確定，求、．解令，則，，，所以，,注意到z是x、y的函數(shù)，將再對(duì)x求偏導(dǎo)，得.注意到z是x、y的函數(shù)，將再對(duì)y求偏導(dǎo)，得9．設(shè)函數(shù)由方程確定，求．解解令，則，，，所以，,將x=0,y=0代入得z=2，點(diǎn)（0，0，2）處，注意到z是x、y的函數(shù)，將再對(duì)y求偏導(dǎo)，得,將x=0,y=0，z=2及代入得．10．設(shè)下列方程組確定了函數(shù)，，求和：（1）；解方程組的兩端對(duì)求偏導(dǎo)，得當(dāng)時(shí)，解得，；（2）．解在方程組中，等式兩邊取微分得，當(dāng)時(shí)，解得，，所以，．11．設(shè)二元隱函數(shù)，由方程組確定，求，，和．解方程組兩端分別對(duì)求偏導(dǎo)，得，當(dāng)時(shí)，解得，，；方程組的兩端分別對(duì)求偏導(dǎo)，得，當(dāng)時(shí)，解得，．12．設(shè)，而，由方程組確定，求及．解方程組中各等式兩端分別求全微分，得，當(dāng)時(shí)，從上式中解出和，得，從而，，，．∴＝，＝．習(xí)題9.61．求下列空間曲線在指定點(diǎn)處的切線方程和法平面方程（1）曲線，點(diǎn)；解因?yàn)辄c(diǎn)對(duì)應(yīng)參數(shù)，而，，，故點(diǎn)處曲線切線的方向向量為，所求切線方程為；法平面方程為，即．（2）曲線，對(duì)應(yīng)于的點(diǎn)；解參數(shù)對(duì)應(yīng)曲線上的切點(diǎn)為，而，，，故點(diǎn)處曲線切線的方向向量為，所求切線方程為；法平面方程為，即．（3）曲線，點(diǎn)；解因?yàn)榍嬖邳c(diǎn)處的法向量為，曲面在點(diǎn)處的法向量為，所以，曲線在點(diǎn)處的切向量為．故所求切線方程為；法平面方程為，即；（4）曲線，點(diǎn)．解因?yàn)榍嬖邳c(diǎn)處的法向量為，曲面在點(diǎn)處的法向量為，所以，曲線在點(diǎn)處的切向量為．故所求切線方程為；法平面方程為，即．2．求曲線上的點(diǎn)，使該點(diǎn)的切線平行于平面．解設(shè)所求的切點(diǎn)為P，該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為，則，，，故點(diǎn)P處切線的方向向量為，平面的法向量為，由切線平行于平面得T；即，故所求的切點(diǎn)為．3．求下列曲面在指定點(diǎn)處的切平面方程和法線方程：（1），點(diǎn)；解（1）令，則，故曲面在點(diǎn)處的切平面的法向量為，切平面方程為，即；法線方程為．（2），點(diǎn)．解令，得，故曲面在點(diǎn)處的切平面的法向量為，切平面方程為，即；法線方程為．4．求曲面在點(diǎn)處的指向朝上的法向量的方向余弦．解令，得，故曲面在點(diǎn)處的指向朝上的法向量為方向余弦：，，．5．在曲面上求一點(diǎn)，使該點(diǎn)的切平面平行于平面．解令，設(shè)切點(diǎn)為，則切點(diǎn)處切平面的法向量為，由題意得，解上述方程組得，，，因此所求點(diǎn)為．6．求曲面上同時(shí)垂直于平面與的切平面方程．解令，設(shè)切點(diǎn)為，則切點(diǎn)處切平面的法向量為，又同時(shí)垂直于兩已知平面的法向量為n1=(1,1,0)×（1，0，0）=（1，-1，0）由題意得，解上述方程組得，因此所求切平面為，即，亦即．7．證明：曲面在任一點(diǎn)處的切平面都平行于直線，其中F具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)．解令，任一點(diǎn)為P0，則，點(diǎn)P0處切平面的法向量為，∵∴該曲面任一點(diǎn)處的切平面都平行于已知直線．8．證明：曲面上任一點(diǎn)處切平面與三個(gè)坐標(biāo)面圍成的立體的體積為一定值．證由題意知，令，則點(diǎn)處切平面的法向量為，所求切平面為，即，此平面在三條坐標(biāo)軸上的截距分別為體積習(xí)題9.71．求函數(shù)在點(diǎn)處的梯度．解；．．2．求函數(shù)在點(diǎn)處的梯度，并問(wèn)該函數(shù)在哪一點(diǎn)處函數(shù)的梯度為．解點(diǎn)處．令＝0得，所求點(diǎn)為．3．設(shè)的各個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)，為常數(shù)，證明：（1）；證明∵∴，證畢．（2）．證明∵∴，證畢．4．求函數(shù)在點(diǎn)處沿與軸正向成角的方向的方向?qū)?shù)．解的方向余弦為，．且，，所以．5．求函數(shù)在點(diǎn)處沿從點(diǎn)到點(diǎn)的方向的方向?qū)?shù)．解的方向余弦為，．且，，所以．6．求函數(shù)在點(diǎn)處沿曲線在這點(diǎn)的內(nèi)法線方向的方向?qū)?shù)．解兩邊對(duì)x求導(dǎo)得，點(diǎn)（3，4）處內(nèi)法線方向的方向余弦為，．且，，所以．7．設(shè)函數(shù)，（1）求函數(shù)在點(diǎn)處沿函數(shù)在該點(diǎn)的梯度方向的方向?qū)?shù)；（2）問(wèn)函數(shù)在點(diǎn)處沿什么方向的方向?qū)?shù)為最小？方向?qū)?shù)的最小值為多少？解（1）點(diǎn)(1,0)處＝,所求方向?qū)?shù)＝|gradz｜=.(2)沿方向的方向?qū)?shù)為最小,方向?qū)?shù)的最小值為．8．求在點(diǎn)A（1，1，2）處，沿從點(diǎn)A到點(diǎn)B（2，，1）的方向的方向?qū)?shù)．解，其方向余弦為，，．又點(diǎn)A（1，1，2）處，，，所以．9．求函數(shù)在點(diǎn)A（1，1，2）處，沿曲線在點(diǎn)A處的切線正方向（對(duì)應(yīng)于增大的方向）的方向?qū)?shù)．解點(diǎn)A（對(duì)應(yīng)t=1）處，其方向余弦為，，．又點(diǎn)A（1，1，2）處，，，所以．10．設(shè)為球面上點(diǎn)A處指向朝上的法向量，求在點(diǎn)A處沿的方向?qū)?shù)．解,令，則球面在點(diǎn)A處的法向量可取為，其方向余弦為，，．由于的指向向上，是銳角，，故應(yīng)取，，．又點(diǎn)A處因?yàn)椋裕?1．設(shè)，（1）求函數(shù)在點(diǎn)處沿梯度方向的方向?qū)?shù)；（2）問(wèn)函數(shù)在點(diǎn)處沿什么方向的方向?qū)?shù)為最大？方向?qū)?shù)的最大值為多少？解（1）點(diǎn)處，所求方向?qū)?shù)為（2）沿方向的方向?qū)?shù)為最大，方向?qū)?shù)的最大值為．習(xí)題9.81．設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù)，且，試判斷是否為函數(shù)的極值，為什么？解不是．由極限保號(hào)性，在（0，0）附近有>0,從而，由此不能推出或．2．求函數(shù)的駐點(diǎn)．解解方程組得駐點(diǎn)為（1，1），（0，0）．3．設(shè)函數(shù)由方程所確定，求的駐點(diǎn)．解令，則，．解方程組得駐點(diǎn)為（1，1）．4．求下列函數(shù)的極值：（1）；解解方程組得駐點(diǎn)為．函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)為，，．在點(diǎn)處，，，，因?yàn)椋?，所以函?shù)在該點(diǎn)有極小值．（2）；解解方程組得駐點(diǎn)為．函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)為，，．在點(diǎn)處，，，，因?yàn)?，，所以函?shù)在該點(diǎn)有極大值；．在點(diǎn)處，，，，因?yàn)椋皇菢O值．（3）；解解方程組得駐點(diǎn)為，（）．函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)為，，．在點(diǎn)處，，，，因?yàn)?，，函?shù)極大值．在點(diǎn)處，，，，，不是極值．（4）（）；解解方程組得駐點(diǎn)為．函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)為，，．在點(diǎn)處，，，，因?yàn)?，極小值．（5）（）．解解方程組得駐點(diǎn)為．函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)為，，．在點(diǎn)處，，，，因?yàn)?，，所以函?shù)在該點(diǎn)極大值．5．求函數(shù)在閉區(qū)域D：，，上的最大值與最小值．解先解方程組得函數(shù)在D內(nèi)的駐點(diǎn)為，函數(shù)值．在閉區(qū)域D的邊界及）上，函數(shù)．在閉區(qū)域D的邊界（）上，函數(shù)令，得，．．最大值為M=，最小值．6．有一寬為24厘米的長(zhǎng)方形鐵板，把它兩邊折起來(lái)做成斷面為等腰梯形的水槽，問(wèn)怎樣的折法才能使斷面的面積最大？解設(shè)折起來(lái)的邊長(zhǎng)為xcm,傾角為，則斷面的面積為，即（）令解得，根據(jù)題意可知，兩邊折起8厘米，邊的傾斜角為時(shí)面積最大．7．在平面上求一點(diǎn)，使它到及三直線的距離平方之和為最小．解設(shè)所求點(diǎn)為,距離平方之和為，則，即，令得，由實(shí)際意義知，所求點(diǎn)為．8．用拉格朗日乘數(shù)法求下列條件極值的可能極值點(diǎn)：（1）目標(biāo)函數(shù)，約束條件；解作拉格朗日函數(shù)，令，解之得：∴可能極值點(diǎn)為．（2）目標(biāo)函數(shù)，約束條件，．解作拉格朗日函數(shù)，令，解之得：∴可能極值點(diǎn)為．9．求內(nèi)接于半徑為的球且體積最大的圓柱體的高．解設(shè)圓柱體的高為h,半徑為r,則，圓柱體的體積．令，令，解之得：∴根據(jù)題意可知，所求圓柱體的高為．10．某廠要造一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體水箱，已知它的底部造價(jià)為每平方米18元，側(cè)面造價(jià)均為每平方米6元，設(shè)計(jì)的總造價(jià)為216元，問(wèn)如何選擇它的尺寸，才能使水箱容積最大？解設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為米，體積為米3，則．問(wèn)題歸結(jié)為求在條件下的極值．作拉格朗日函數(shù)，令，解之得：．由題意可知的最大值一定存在，所以最大值只能在唯一駐點(diǎn)取得，即當(dāng)長(zhǎng)、寬、高分別取2m、2m、3m時(shí)，長(zhǎng)方體的體積最大．11．在曲線，上求一點(diǎn)，使該點(diǎn)到面的距離最短．解作拉格朗日函數(shù)，令，解之得：∴所求點(diǎn)為*12．在某次實(shí)驗(yàn)中測(cè)得五組數(shù)據(jù)如下表所示01240.511.523試用最小二乘法建立與之間的經(jīng)驗(yàn)公式．解經(jīng)驗(yàn)公式為，本題，，，，，，，所以和之間的經(jīng)驗(yàn)公式為*13．根據(jù)實(shí)驗(yàn)測(cè)得變量和的組數(shù)據(jù)為（），假定與之間的經(jīng)驗(yàn)公式為，試用最小二乘法求所滿(mǎn)足的方程組．解對(duì)于，令，則得線性型經(jīng)驗(yàn)公式為；記．由二元函數(shù)極值的必要條件得，整理得方程組．*習(xí)題9.91．求在點(diǎn)處的一階和二階泰勒公式．解因?yàn)?，，，，，，，，，，，，，，，令，，，函?shù)的一階泰勒公式為，其中函數(shù)的二階泰勒公式為其中2．求在點(diǎn)的二階泰勒公式．解因?yàn)?，，，，，，，，，，，，，，，令，，，函?shù)的二階泰勒公式為其中．3．利用二階泰勒公式，近似計(jì)算的值．解設(shè)，則，，，，，，，，令，，，，則有．即．總習(xí)題91.選擇題（1）=（）．A．B．C．D．解原式=,∴選D.（2）設(shè)函數(shù)，則①在（0，0）處連續(xù)．②在（0，0）處的偏導(dǎo)數(shù)存在．③在（0，0）處可微．上述三條結(jié)論中正確的是（）．A．①和②B．②和③C．①和③D．①、②和③解因?yàn)椋?，從而，在?，0）處連續(xù)．又=，=，不存在，∴在（0，0）處不可微．∴選A.（3）設(shè)在點(diǎn)具有偏導(dǎo)數(shù)，且和在點(diǎn)都取得極值，則一定是的（）．A．極大值點(diǎn)B．極小值點(diǎn)C．駐點(diǎn)D．連續(xù)點(diǎn)解由極限必要條件得，∴選C．（4）函數(shù)有，且，則（）．A．B．C．D．解，，又，∴,故有，所以，∴選B.（5）下列結(jié)論中正確的是（）．A．若和存在，則B．若和存在，則C．若和存在，則在處不一定連續(xù)D．若沿軸正向的方向?qū)?shù)存在，則存在解A錯(cuò)，因?yàn)槠珜?dǎo)數(shù)存在不能推到函數(shù)可微！，B錯(cuò)，因?yàn)橛珊痛嬖?，不能得到．D錯(cuò)，因?yàn)橛裳剌S正向的方向?qū)?shù)存在，不能得到存在．∴選C．2.填空題（1）設(shè)函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，則．解由時(shí)得，所以，∴．（2）曲線上點(diǎn)處的切線方程為．解曲線即為，而，，，故點(diǎn)處曲線切線的方向向量為，所求切線方程為；（3）設(shè)是函數(shù)的全微分，則．解由題意由得．（4）設(shè)曲面在點(diǎn)處的法線垂直于平面，則．解令，則點(diǎn)處的法向量為，由題意得，解得，，，因此所求點(diǎn)為．（5）設(shè)函數(shù)，，都是由方程所確定的具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，則．解由利用隱函數(shù)求導(dǎo)法得，，．∴（）（）（＝－1.3.設(shè),求．解,∴=．4.設(shè)，且可微，求．證令，則有，，因此．5.已知，其中由方程確定，求．解令，則，∴6.設(shè)由方程確定，求，．解令，則，，，所以．7.設(shè)方程組確定了函數(shù)，，求和．解方程組的兩端對(duì)求偏導(dǎo)，得當(dāng)時(shí)，解得，．8.設(shè)，其中具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求．解，∴9.設(shè)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，，，且，