《高等數(shù)學(xué)下冊 第2版》 課件 D10-1常數(shù)項級數(shù)

無窮級數(shù)無窮級數(shù)是研究函數(shù)的工具表示函數(shù)研究性質(zhì)數(shù)值計算第十章機動

目錄上頁下頁返回結(jié)束常數(shù)項級數(shù)的概念與性質(zhì)一、常數(shù)項級數(shù)的概念

二、無窮級數(shù)的基本性質(zhì)三、級數(shù)收斂的必要條件第一節(jié)第十章機動

目錄上頁下頁返回結(jié)束一、常數(shù)項級數(shù)的概念

機動

目錄上頁下頁返回結(jié)束定義：給定一個數(shù)列即稱上式為無窮級數(shù)，其中第

n

項叫做級數(shù)的一般項.將各項依次相加,簡記為一般情況：機動

目錄上頁下頁返回結(jié)束級數(shù)的前

n

項和稱為級數(shù)的部分和.機動

目錄上頁下頁返回結(jié)束稱為級數(shù)的部分和數(shù)列級數(shù)斂散性的概念:則稱級數(shù)收斂，并稱S

為級數(shù)的和,記作當(dāng)級數(shù)收斂時,稱差值為級數(shù)的余項.則稱級數(shù)發(fā)散.顯然機動

目錄上頁下頁返回結(jié)束當(dāng)時，如果部分和數(shù)列的極限存在，即例1.討論等比級數(shù)

(又稱幾何級數(shù))(q

稱為公比)的斂散性.解:1)若從而因此級數(shù)收斂,從而則部分和因此級數(shù)發(fā)散.其和為機動

目錄上頁下頁返回結(jié)束2).若因此級數(shù)發(fā)散;因此n為奇數(shù)n為偶數(shù)從而結(jié)論：時,收斂，時,發(fā)散.則級數(shù)成為不存在,因此級數(shù)發(fā)散.

等比級數(shù)和為機動

目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.判別下列級數(shù)的斂散性:解:(1)所以級數(shù)(1)發(fā)散;技巧:利用“拆項相消”求和機動

目錄上頁下頁返回結(jié)束(2)所以級數(shù)(2)收斂,其和為1.技巧:利用“拆項相消”求和機動

目錄上頁下頁返回結(jié)束例3.判別解:

所以調(diào)和級數(shù)發(fā)散;的斂散性。調(diào)和級數(shù)機動

目錄上頁下頁返回結(jié)束二、無窮級數(shù)的基本性質(zhì)性質(zhì)1.

若級數(shù)收斂于S,則各項乘以常數(shù)

c

所得級數(shù)也收斂,說明:級數(shù)各項乘以非零常數(shù)后其斂散性不變.即其和為cS.性質(zhì)2.

設(shè)有兩個收斂級數(shù)則級數(shù)也收斂,其和為機動

目錄上頁下頁返回結(jié)束說明:(2)若兩級數(shù)中一個收斂一個發(fā)散,則必發(fā)散.但若二級數(shù)都發(fā)散,不一定發(fā)散.例如,

(1)性質(zhì)2表明收斂級數(shù)可逐項相加或減.(用反證法可證)機動

目錄上頁下頁返回結(jié)束性質(zhì)3.在級數(shù)前面加上或去掉有限項,不會影響級數(shù)的斂散性.性質(zhì)4.收斂級數(shù)加括弧后所成的級數(shù)仍收斂于原級數(shù)的和.推論:

若加括弧后的級數(shù)發(fā)散,則原級數(shù)必發(fā)散.注意:

收斂級數(shù)去括弧后所成的級數(shù)不一定收斂.發(fā)散.用反證法可證機動

目錄上頁下頁返回結(jié)束例4.判斷級數(shù)的斂散性:解:

考慮加括號后的級數(shù)發(fā)散,從而原級數(shù)發(fā)散.機動

目錄上頁下頁返回結(jié)束三、級數(shù)收斂的必要條件

如果級數(shù)則必有證:

機動

目錄上頁下頁返回結(jié)束收斂，結(jié)論收斂發(fā)散可能收斂可能發(fā)散調(diào)和級數(shù)雖然但此級數(shù)發(fā)散.機動

目錄上頁下頁返回結(jié)束例如,其一般項為不趨于0,因此這個級數(shù)發(fā)散.例