專題08 銳角三角函數(shù)的應(yīng)用（中考數(shù)學(xué)特色專題訓(xùn)練卷）（解析版）

專題08銳角三角函數(shù)的應(yīng)用（中考數(shù)學(xué)特色專題訓(xùn)練卷）1．（2021?蘭州）避雷針是用來(lái)保護(hù)建筑物、高大樹(shù)木等避免雷擊的裝置．如圖，小陶同學(xué)要測(cè)量垂直于地面的大樓BC頂部避雷針CD的長(zhǎng)度（B，C，D三點(diǎn)共線），在水平地面A點(diǎn)測(cè)得∠CAB＝53°，∠DAB＝58°，A點(diǎn)與大樓底部B點(diǎn)的距離AB＝20m，求避雷針CD的長(zhǎng)度．（結(jié)果精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）【思路點(diǎn)撥】解直角三角形求出BC，BD，根據(jù)CD＝BD﹣BC求解即可．【解答過(guò)程】解：在Rt△ABD中，∵tan∠BAD=BD∴1.60=BD∴BD＝32（米），在Rt△CAB中，∵tan∠CAB=BC∴1.33=BC∴BC＝26.6（米），∴CD＝BD﹣BC＝5.4（米）．答：避雷針DC的長(zhǎng)度為5.4米．2．（2021?錦州）如圖，山坡上有一棵豎直的樹(shù)AB，坡面上點(diǎn)D處放置高度為1.6m的測(cè)傾器CD，測(cè)傾器的頂部C與樹(shù)底部B恰好在同一水平線上（即BC∥MN），此時(shí)測(cè)得樹(shù)頂部A的仰角為50°．已知山坡的坡度i＝1：3（即坡面上點(diǎn)B處的鉛直高度BN與水平寬度MN的比），求樹(shù)AB的高度（結(jié)果精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）【思路點(diǎn)撥】先求出BC＝4.8m，再由銳角三角函數(shù)定義即可求解．【解答過(guò)程】解：∵山坡BM的坡度i＝1：3，∴i＝1：3＝tanM，∵BC∥MN，∴∠CBD＝∠M，∴tan∠CBD=CDBC=tanM＝1∴BC＝3CD＝4.8（m），在Rt△ABC中，tan∠ACB=ABBC∴AB≈1.19BC＝1.19×4.8≈5.7（m），即樹(shù)AB的高度約為5.7m．3．（2021?泰州）如圖，游客從旅游景區(qū)山腳下的地面A處出發(fā)，沿坡角α＝30°的斜坡AB步行50m至山坡B處，乘直立電梯上升30m至C處，再乘纜車沿長(zhǎng)為180m的索道CD至山頂D處，此時(shí)觀測(cè)C處的俯角為19°30′，索道CD看作在一條直線上．求山頂D的高度．（精確到1m，sin19°30′≈0.33，cos19°30′≈0.94，tan19°30′≈0.35）【思路點(diǎn)撥】通過(guò)作垂線，構(gòu)造直角三角形，利用直角三角形的邊角關(guān)系分別求出DE，F(xiàn)G即可．【解答過(guò)程】解：如圖，過(guò)點(diǎn)C、B分別作CE⊥DG，BF⊥DG垂足為E、F，延長(zhǎng)CB交AG于點(diǎn)H，由題意可知，∠DCE＝19°30′，CD＝180m，BC＝EF＝30m，在Rt△ABH中，∠α＝30°，AB＝50m，∴BH=12AB＝25（m）＝在Rt△DCE中，∠DCE＝19°30′，CD＝180m，∴DE＝sin∠DCE?CD≈0.33×180＝59.4（m），∴DG＝DE+EF+FG＝59.4+30+25＝114.4≈114（m），答：山頂D的高度約為114m．4．（2021?巴中）學(xué)校運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的四角各有一盞探照燈，其中一盞探照燈B的位置如圖所示，已知坡長(zhǎng)AC＝12m，坡角α為30°，燈光受燈罩的影響，最遠(yuǎn)端的光線與地面的夾角β為27°，最近端的光線恰好與地面交于坡面的底端C處，且與地面的夾角為60°，A、B、C、D在同一平面上．（結(jié)果精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51，3≈1.73（1）求燈桿AB的高度；（2）求CD的長(zhǎng)度．【思路點(diǎn)撥】（1）延長(zhǎng)BA交CG于點(diǎn)E，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出AE，根據(jù)正切的定義求出CE，再根據(jù)正切的定義求出BE，計(jì)算即可；（2）根據(jù)正切的定義求出DE，進(jìn)而求出CD．【解答過(guò)程】解：（1）延長(zhǎng)BA交CG于點(diǎn)E，則BE⊥CG，在Rt△ACE中，∠ACE＝30°，AC＝12m，∴AE=12AC=12×12＝6（m），CE＝AC?cosα＝12×在Rt△BCE中，∠BCE＝60°，∴BE＝CE?tan∠BCE＝63×3=18∴AB＝BE﹣AE＝18﹣6＝12（m）；（2）在Rt△BDE中，∠BDE＝27°，∴CD＝DE﹣CE=BEtan∠BDE-65．（2021?青島）某校數(shù)學(xué)社團(tuán)開(kāi)展“探索生活中的數(shù)學(xué)”研學(xué)活動(dòng)，準(zhǔn)備測(cè)量一棟大樓BC的高度．如圖所示，其中觀景平臺(tái)斜坡DE的長(zhǎng)是20米，坡角為37°，斜坡DE底部D與大樓底端C的距離CD為74米，與地面CD垂直的路燈AE的高度是3米，從樓頂B測(cè)得路燈AE頂端A處的俯角是42.6°．試求大樓BC的高度．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈34，sin42.6°≈17【思路點(diǎn)撥】延長(zhǎng)AE交CD延長(zhǎng)線于M，過(guò)A作AN⊥BC于N，則四邊形AMCN是矩形，得NC＝AM，AN＝MC，由銳角三角函數(shù)定義求出EM、DM的長(zhǎng)，得出AN的長(zhǎng)，然后由銳角三角函數(shù)求出BN的長(zhǎng)，即可求解．【解答過(guò)程】解：延長(zhǎng)AE交CD延長(zhǎng)線于M，過(guò)A作AN⊥BC于N，如圖所示：則四邊形AMCN是矩形，∴NC＝AM，AN＝MC，在Rt△EMD中，∠EDM＝37°，∵sin∠EDM=EMED，cos∠EDM∴EM＝ED×sin37°≈20×35=12（米），DM＝ED×cos37°≈20∴AN＝MC＝CD+DM＝74+16＝90（米），在Rt△ANB中，∠BAN＝42.6°，∵tan∠BAN=BN∴BN＝AN×tan42.6°≈90×910∴BC＝BN+AE+EN＝81+3+12＝96（米），答：大樓BC的高度約為96米．6．（2021?內(nèi)江）在一次課外活動(dòng)中，某數(shù)學(xué)興趣小組測(cè)量一棵樹(shù)CD的高度．如圖所示，測(cè)得斜坡BE的坡度i＝1：4，坡底AE的長(zhǎng)為8米，在B處測(cè)得樹(shù)CD頂部D的仰角為30°，在E處測(cè)得樹(shù)CD頂部D的仰角為60°，求樹(shù)高CD．（結(jié)果保留根號(hào)）【思路點(diǎn)撥】作BF⊥CD于點(diǎn)F，設(shè)DF＝x米，在直角△DBF中利用三角函數(shù)用x表示出BF的長(zhǎng)，在直角△DCE中表示出CE的長(zhǎng)，然后根據(jù)BF﹣CE＝AE即可列方程求得x的值，進(jìn)而求得CD的長(zhǎng)．【解答過(guò)程】解：作BF⊥CD于點(diǎn)F，根據(jù)題意可得ABFC是矩形，∴CF＝AB，∵斜坡BE的坡度i＝1：4，坡底AE的長(zhǎng)為8米，∴AB＝2，∴CF＝2，設(shè)DF＝x米，在Rt△DBF中，tan∠DBF=DF則BF=DFtan在直角△DCE中，DC＝x+CF＝（2+x）米，在直角△DCE中，tan∠DEC=DC∴EC=33（x∵BF﹣CE＝AE，即3x-33（x+2）＝解得：x＝43+1則CD＝43+1+2＝（43+答：CD的高度是（43+37．（2021?河池）如圖，小明同學(xué)在民族廣場(chǎng)A處放風(fēng)箏，風(fēng)箏位于B處，風(fēng)箏線AB長(zhǎng)為100m，從A處看風(fēng)箏的仰角為30°，小明的父母從C處看風(fēng)箏的仰角為50°．（1）風(fēng)箏離地面多少m？（2）A、C相距多少m？（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位，參考數(shù)據(jù)：sin30°＝0.5，cos30°≈0.8660，tan30°≈0.5774，sin50°≈0.7760，cos50°≈0.6428，tan50°≈1.1918）【思路點(diǎn)撥】（1）過(guò)B作BD⊥AC于D，由含30°角的直角三角形的性質(zhì)即可求解；（2）由銳角三角函數(shù)定義求出CD、AD的長(zhǎng)，即可求解．【解答過(guò)程】解：（1）過(guò)B作BD⊥AC于D，如圖所示：則∠ADB＝∠CDB＝90°，∵∠BAD＝30°，∴BD=12AB＝50（即風(fēng)箏離地面50m；（2）由（1）得：BD＝50m，在Rt△BCD中，∠BCD＝50°，∵tan∠BCD=BDCD∴CD≈BD1.1918=50在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，∵tan∠BAD=BDAD∴AD≈500.5774≈86.60∴AC＝AD+CD≈41.95+86.60≈128.6（m），即A、C相距約128.6m．8．（2021?丹東）如圖，一架無(wú)人機(jī)在空中A處觀測(cè)到山頂B的仰角為36.87°，山頂B在水中的倒影C的俯角為63.44°，此時(shí)無(wú)人機(jī)距水面的距離AD＝50米，求點(diǎn)B到水面距離BM的高度．（參考數(shù)據(jù)：sin36.87°≈0.60，cos36.87°≈0.80，tan36.87°≈0.75，sin63.44°≈0.89，cos63.44°≈0.45，tan63.44°≈2.00）【思路點(diǎn)撥】過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BM交于點(diǎn)H，由題意可得：AD＝HM＝50，設(shè)BM＝x，在Rt△ABH中，AH=BHtan36.87°，在Rt△AHC中，AH=CHtan63.44°，進(jìn)而可根據(jù)【解答過(guò)程】解：過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BM交于點(diǎn)H，由題意可得：AD＝HM＝50米，設(shè)BM＝x米，則MC＝BM＝x米∵BH＝BM﹣HM∴BH＝（x﹣50）米，∴在Rt△ABH中，AH∵HC＝HM+MC∴HC＝（50+x）米，在Rt△AHC中，AH=∴43解得x＝110，即BM＝110米，答：點(diǎn)B到水面距離BM的高度約為110米．9．（2021?朝陽(yáng)）一數(shù)學(xué)興趣小組去測(cè)量一棵周圍有圍欄保護(hù)的古樹(shù)的高，在G處放置一個(gè)小平面鏡，當(dāng)一位同學(xué)站在F點(diǎn)時(shí)，恰好在小平面鏡內(nèi)看到這棵古樹(shù)的頂端A的像，此時(shí)測(cè)得FG＝3m，這位同學(xué)向古樹(shù)方向前進(jìn)了9m后到達(dá)點(diǎn)D，在D處安置一高度為1m的測(cè)角儀CD，此時(shí)測(cè)得樹(shù)頂A的仰角為30°，已知這位同學(xué)的眼睛與地面的距離EF＝1.5m，點(diǎn)B，D，G，F(xiàn)在同一水平直線上，且AB，CD，EF均垂直于BF，求這棵古樹(shù)AB的高．（小平面鏡的大小和厚度忽略不計(jì)，結(jié)果保留根號(hào)）【思路點(diǎn)撥】過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，則CH＝BD，BH＝CD＝1m，由銳角三角函數(shù)定義求出BD＝CH=3AH，再證△EFG∽△ABG，得EFAB=FGBG，求出AH＝（【解答過(guò)程】解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，則CH＝BD，BH＝CD＝1m，由題意得：DF＝9m，∴DG＝DF﹣FG＝6（m），在Rt△ACH中，∠ACH＝30°，∵tan∠ACH=AHCH=∴BD＝CH=3AH∵EF⊥FB，AB⊥FB，∴∠EFG＝∠ABG＝90°．由反射角等于入射角得∠EGF＝∠AGB，∴△EFG∽△ABG，∴EFAB即1.5AH解得：AH＝（8+43）m，∴AB＝AH+BH＝（9+43）m，即這棵古樹(shù)的高AB為（9+43）m．10．（2021?盤錦）如圖，小華遙控?zé)o人機(jī)從A處飛行到對(duì)面大廈MN的頂端M，無(wú)人機(jī)飛行方向與水平方向的夾角為37°，小華在A點(diǎn)測(cè)得大廈底部N的俯角為31°，兩樓之間一棵樹(shù)EF的頂點(diǎn)E恰好在視線AN上，已知樹(shù)的高度為6m，且FNFB=12，樓AB，MN，樹(shù)EF均垂直于地面，問(wèn)：無(wú)人機(jī)飛行的距離AM約是多少米？（結(jié)果保留整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，【思路點(diǎn)撥】過(guò)A作AC⊥MN于C，zm△EFN∽△ABN，得AB＝3EF＝18（m），則CN＝18m，再由銳角三角函數(shù)定義求出AC≈30（m），然后在Rt△ACM中，由銳角三角函數(shù)定義求出AM的長(zhǎng)即可．【解答過(guò)程】解：過(guò)A作AC⊥MN于C，如圖所示：則CN＝AB，AC＝BN，∵FNFB∴FNBN由題意得：EF＝6m，AB⊥BN，EF⊥BN，∴AB∥EF，∴△EFN∽△ABN，∴EFAB∴AB＝3EF＝18（m），∴CN＝18m，在Rt△ACN中，tan∠CAN=CNAC=∴AC≈53CN=53×18在Rt△ACM中，cos∠MAC=ACAM=∴AM=54AC=54即無(wú)人機(jī)飛行的距離AM約是38m．11．（2021?興安盟）如圖，在山坡AP的坡腳A處豎有一根電線桿AB（即AB⊥MN），為固定電線桿，在地面C處和坡面D處各裝一根引拉線BC和BD，它們的長(zhǎng)度相等，測(cè)得AC＝6米，tan∠BCA=43，∠PAN＝30°，求點(diǎn)D到【思路點(diǎn)撥】過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，根據(jù)正切的定義求出AB，根據(jù)勾股定理求出BC，根據(jù)正切的定義用x表示出DE，根據(jù)勾股定理列方程，解方程得到答案．【解答過(guò)程】解：過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，tan∠BCA=AB則AB6解得：AB＝8（米），由勾股定理得：BC=AC由題意得：BD＝BC＝10米，∵AB⊥MN，DE⊥AB，∴DE∥AN，∴∠EDA＝∠PAN＝30°，設(shè)AE為x米，在Rt△ADE中，∠AED＝90°，∠EDA＝30°，tan∠EDA=AE∴DE=AEtan在Rt△BDE中，BE2+ED2＝BD2，即（8﹣x）2+（3x）2＝102，整理得：x2﹣4x﹣9＝0，解得：x1，＝2+13，x2＝2-∴DE=3x＝（23答：點(diǎn)D到AB的距離為（23+12．（2021?柳州）在一次海上救援中，兩艘專業(yè)救助船A、B同時(shí)收到某事故漁船P的求救訊息，已知此時(shí)救助船B在A的正北方向，事故漁船P在救助船A的北偏西30°方向上，在救助船B的西南方向上，且事故漁船P與救助船A相距120海里．（1）求收到求救訊息時(shí)事故漁船P與救助船B之間的距離（結(jié)果保留根號(hào)）；（2）求救助船A、B分別以40海里/小時(shí)，30海里/小時(shí)的速度同時(shí)出發(fā)，勻速直線前往事故漁船P處搜救，試通過(guò)計(jì)算判斷哪艘船先到達(dá)．【思路點(diǎn)撥】（1）作PC⊥AB于C，則∠PCA＝∠PCB＝90°，由題意得：PA＝120海里，∠A＝30°，∠BPC＝45°，由直角三角形的性質(zhì)得出PC=12PA＝60海里，△BCP是等腰直角三角形，得出PB=2PC＝（2）求出救助船A、B所用的時(shí)間，即可得出結(jié)論．【解答過(guò)程】解：（1）作PC⊥AB于C，如圖所示：則∠PCA＝∠PCB＝90°，由題意得：PA＝120海里，∠A＝30°，∠CBP＝45°，在Rt△ACP中，∵∠CAP＝30°，∠PCA＝90°，∴PC=12PA＝在Rt△BCP中，∵∠PCB＝90°，∠CBP＝45°，sin∠CBP=PC∴PB=PCsin45°答：收到求救訊息時(shí)事故漁船P與救助船B之間的距離為602海里；（2）∵PA＝120海里，PB＝602海里，救助船A，B分別以40海里/小時(shí)、30海里/小時(shí)的速度同時(shí)出發(fā)，∴救助船A所用的時(shí)間為12040=3（小時(shí)），救助船B所用的時(shí)間為602∵3＞22，∴救助船B先到達(dá)．13．（2021?撫順）某景區(qū)A、B兩個(gè)景點(diǎn)位于湖泊兩側(cè)，游客從景點(diǎn)A到景點(diǎn)B必須經(jīng)過(guò)C處才能到達(dá)．觀測(cè)得景點(diǎn)B在景點(diǎn)A的北偏東30°，從景點(diǎn)A出發(fā)向正北方向步行600米到達(dá)C處，測(cè)得景點(diǎn)B在C的北偏東75°方向．（1）求景點(diǎn)B和C處之間的距離；（結(jié)果保留根號(hào)）（2）當(dāng)?shù)卣疄榱吮憬萦慰陀斡[，打算修建一條從景點(diǎn)A到景點(diǎn)B的筆直的跨湖大橋．大橋修建后，從景點(diǎn)A到景點(diǎn)B比原來(lái)少走多少米？（結(jié)果保留整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：2≈1.414，3≈【思路點(diǎn)撥】（1）通過(guò)作輔助線，構(gòu)造直角三角形，在Rt△ACD中，可求出CD、AD，根據(jù)外角的性質(zhì)可求出∠B的度數(shù)，在Rt△BCD中求出BC即可；（2）計(jì)算AC+BC和AB的長(zhǎng)，計(jì)算可得答案．【解答過(guò)程】解：（1）過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，由題意得，∠A＝30°，∠BCE＝75°，AC＝600m，在Rt△ACD中，∠A＝30°，AC＝600，∴CD=12AC＝300（AD=32AC＝3003（∵∠BCE＝75°＝∠A+∠B，∴∠B＝75°﹣∠A＝45°，∴CD＝BD＝300（m），BC=2CD＝3002（m答：景點(diǎn)B和C處之間的距離為3002m；（2）由題意得．AC+BC＝（600+3002）m，AB＝AD+BD＝（300+3003）m，AC+BC﹣AB＝（600+3002）﹣（300+3003）≈204.6≈205（m），答：大橋修建后，從景點(diǎn)A到景點(diǎn)B比原來(lái)少走約205m．14．（2021?本溪）如圖，某地政府為解決當(dāng)?shù)剞r(nóng)戶網(wǎng)絡(luò)銷售農(nóng)特產(chǎn)品物流不暢問(wèn)題，計(jì)劃打通一條東西方向的隧道AB．無(wú)人機(jī)從點(diǎn)A的正上方點(diǎn)C，沿正東方向以8m/s的速度飛行15s到達(dá)點(diǎn)D，測(cè)得A的俯角為60°，然后以同樣的速度沿正東方向又飛行50s到達(dá)點(diǎn)E，測(cè)得點(diǎn)B的俯角為37°．（1）求無(wú)人機(jī)的高度AC（結(jié)果保留根號(hào)）；（2）求AB的長(zhǎng)度（結(jié)果精確到1m）．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，3≈1.73【思路點(diǎn)撥】（1）利用正切函數(shù)即可求出AC的長(zhǎng)；（2）過(guò)點(diǎn)B作BF⊥CD于點(diǎn)F，則四邊形ABFC是矩形，得到BF＝AC＝1203，AB＝CF，在△BEF中利用正切函數(shù)即可求得EF，進(jìn)而即可求得AB＝CF＝CE﹣EF≈243米．【解答過(guò)程】解：（1）由題意，CD＝8×15＝120（m），在Rt△ACD中，tan∠ADC=AC∴AC＝CD?tan∠ADC＝CD?tan60°＝120×3=1203（答：無(wú)人機(jī)的高度AC是1203米；（2）過(guò)點(diǎn)B作BF⊥CD于點(diǎn)F，則四邊形ABFC是矩形，∴BF＝AC＝1203，AB＝CF，在Rt△BEF中，tan∠BEF=BF∴EF=BFtan37°=∵CE＝8×（15+50）＝520（m），∴AB＝CF＝CE﹣EF＝520﹣276.8≈243（米），答：隧道AB的長(zhǎng)度約為243米．15．（2021?鹽城）某種落地?zé)羧鐖D1所示，AB為立桿，其高為84cm；BC為支桿，它可繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，其中BC長(zhǎng)為54cm；DE為懸桿，滑動(dòng)懸桿可調(diào)節(jié)CD的長(zhǎng)度．支桿BC與懸桿DE之間的夾角∠BCD為60°．（1）如圖2，當(dāng)支桿BC與地面垂直，且CD的長(zhǎng)為50cm時(shí)，求燈泡懸掛點(diǎn)D距離地面的高度；（2）在圖2所示的狀態(tài)下，將支桿BC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)20°，同時(shí)調(diào)節(jié)CD的長(zhǎng)（如圖3），此時(shí)測(cè)得燈泡懸掛點(diǎn)D到地面的距離為90cm，求CD的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到1cm，參考數(shù)據(jù)：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）【思路點(diǎn)撥】（1）利用銳角三角函數(shù)可求CF的長(zhǎng)，即可求解；（2）由銳角三角函數(shù)可求CN的長(zhǎng)，由線段和差關(guān)系可求MN的長(zhǎng)，CM的長(zhǎng)，由銳角三角函數(shù)可求CD的長(zhǎng)．【解答過(guò)程】解：（1）過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于F，∵∠FCD＝60°，∠CFD＝90°，∴FC＝CD×cos60°＝50×12=25∴FA＝AB+BC﹣CF＝84+54﹣25＝113（cm），答：燈泡懸掛點(diǎn)D距離地面的高度為113cm；（2）如圖3，過(guò)點(diǎn)C作CG垂直于地面于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)B作BN⊥CG于N，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥CG于M，∵BC＝54cm，∴CN＝BC×cos20°＝54×0.94＝50.76（cm），∴MN＝CN+MG﹣CG＝50.76+90﹣50.76﹣84＝6（cm），∴CM＝CN﹣MN＝44.76（cm），∴CD=CMcos40°=答：CD的長(zhǎng)為58cm．16．（2021?鞍山）小明和小華約定一同去公園游玩，公園有南北兩個(gè)門，北門A在南門B的正北方向，小明自公園北門A處出發(fā)，沿南偏東30°方向前往游樂(lè)場(chǎng)D處；小華自南門B處出發(fā)，沿正東方向行走150m到達(dá)C處，再沿北偏東22.6°方向前往游樂(lè)場(chǎng)D處與小明匯合（如圖所示），兩人所走的路程相同．求公園北門A與南門B之間的距離．（結(jié)果取整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：sin22.6°≈513，cos22.6°≈1213，tan22.6°≈【思路點(diǎn)撥】作DE⊥AB于E，CF⊥DE于F，易得四邊形BCFE是矩形，則BE＝CF，EF＝BC＝150m，設(shè)DF＝xm，則DE＝（x+150）m，在Rt△ADE中利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到AD＝2DE＝2（x+150）m，在Rt△DCF中，CD=DFsin22.6°≈135xm，根據(jù)題意得到2（x+150）=13x5+【解答過(guò)程】解：作DE⊥AB于E，CF⊥DE于F，∵BC⊥AB，∴四邊形BCFE是矩形，∴BE＝CF，EF＝BC＝150m，設(shè)DF＝xm，則DE＝（x+150）m，在Rt△ADE中，∠BAD＝30°，∴AD＝2DE＝2（x+150）m，在Rt△DCF中，∠FCD＝22.6°，∴CD=DFsin∵AD＝CD+BC，∴2（x+150）=13x解得x＝250（m），∴DF＝250m，∴DE＝250+150＝400m，∴AD＝2DE＝800m，∴CD＝800﹣150＝650m，由勾股定理得AE=AD2-DBE＝CF=CD2∴AB＝AE+BE＝4003+600≈1293（m答：公園北門A與南門B之間的距離約為1293m．17．（2021?營(yíng)口）小張?jiān)缙鹪谝粭l東西走向的筆直馬路上晨跑，他在A處時(shí)，D處學(xué)校和E處圖書館都在他的東北方向，當(dāng)小張沿正東方向跑了600m到達(dá)B處時(shí)，E處圖書館在他的北偏東15°方向，然后他由B處繼續(xù)向正東方向跑600m到達(dá)C處，此時(shí)D處學(xué)校在他的北偏西63.4°方向，求D處學(xué)校和E處圖書館之間的距離．（結(jié)果保留整數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：sin63.4°≈0.9，cos63.4°≈0.4，tan63.4°≈2.0，2≈1.4，3≈1.7，6【思路點(diǎn)撥】過(guò)D作DM⊥AC于M，過(guò)B作BN⊥AE于N，設(shè)MD＝x，在直角三角形中，利用三角函數(shù)即可x表示出AM與CM，根據(jù)AC＝AM+CM即可列方程，從而求得MD的長(zhǎng)，進(jìn)一步求得AD的長(zhǎng)，在直角三角形中，利用三角函數(shù)即可求出AN與NE，即可求得DN，從而求得DE．【解答過(guò)程】解：過(guò)D作DM⊥AC于M，設(shè)MD＝x，在Rt△MAD中，∠MAD＝45°，∴△ADM是等腰直角三角形，∴AM＝MD＝x，∴AD=2x在Rt△MCD中，∠MDC＝63.4°，∴MC≈2MD＝2x，∵AC＝600+600＝1200，∴x+2x＝1200，解得：x＝400，∴MD＝400m，∴AD=2MD＝4002過(guò)B作BN⊥AE于N，∵∠EAB＝45°，∠EBC＝75°，∴∠E＝30°，在Rt△ABN中，∠NAB＝45°，AB＝600，∴BN＝AN=22AB＝300∴DN＝AD﹣AN＝4002-3002=100在Rt△NBE中，∠E＝30°，∴NE=3BN=3×3002∴DE＝NE﹣DN＝3006-1002≈580（即D處學(xué)校和E處圖書館之間的距離約是580m．18．（2021?資陽(yáng)）資陽(yáng)市為實(shí)現(xiàn)5G網(wǎng)絡(luò)全覆蓋，2020﹣2025年擬建設(shè)5G基站七千個(gè)．如圖，在坡度為i＝1：2.4的斜坡CB上有一建成的基站塔AB，基站塔與水平地面垂直，小芮在坡腳C測(cè)得塔頂A的仰角為45°，然后她沿坡面CB行走13米到達(dá)D處，在D處測(cè)得塔頂A的仰角為53°．（點(diǎn)A、B、C、D均在同一平面內(nèi)）（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈45，cos53°≈35（1）求D處的豎直高度；（2）求基站塔AB的高．【思路點(diǎn)撥】（1）通過(guò)作輔助線，利用斜坡CB的坡度為i＝1：2.4，CD＝13，由勾股定理可求出答案；（2）設(shè)出DE的長(zhǎng)，根據(jù)坡度表示BE，進(jìn)而表示出CF，由于△ACF是等腰直角三角形，可表示BE，在△ADE中由銳角三角函數(shù)可列方程求出DE，進(jìn)而求出AB．【解答過(guò)程】解：（1）如圖，延長(zhǎng)AB與水平線交于F，過(guò)D作DM⊥CF，M為垂足，過(guò)D作DE⊥AF，E為垂足，連接AC，AD，∵斜坡CB的坡度為i＝1：2.4，∴DMCM即DMCM設(shè)DM＝5k米，則CM＝12k米，在Rt△CDM中，CD＝13米，由勾股定理得，CM2+DM2＝CD2，即（5k）2+（12k）2＝132，解得k＝1，∴DM＝5（米），CM＝12（米），答：D處的豎直高度為5米；（2）斜坡CB的坡度為i＝1：2.4，設(shè)DE＝12a米，則BE＝5a米，又∵∠ACF＝45°，∴AF＝CF＝（12+12a）米，∴AE＝AF﹣EF＝12+12a﹣5＝（7+12a）米，在Rt△ADE中，DE＝12a米，AE＝（7+12a）米，∵tan∠ADE＝tan53°≈4∴7+12a解得a=7∴DE＝12a＝21（米），AE＝7+12a＝28（米），BE＝5a=35∴AB＝AE﹣BE＝28-35答：基站塔AB的高為77419．（2021?綏化）一種可折疊的醫(yī)療器械放置在水平地面上，這種醫(yī)療器械的側(cè)面結(jié)構(gòu)如圖實(shí)線所示，底座為△ABC，點(diǎn)B、C、D在同一條直線上，測(cè)得∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，AB＝32cm，∠BDE＝75°，其中一段支撐桿CD＝84cm，另一段支撐桿DE＝70cm．求支撐桿上的點(diǎn)E到水平地面的距離EF是多少？（用四舍五入法對(duì)結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，3≈1.732【思路點(diǎn)撥】方法一：過(guò)點(diǎn)D作DM⊥EF于M，過(guò)點(diǎn)D作DN⊥BA交BA延長(zhǎng)線于N，證四邊形MFND是矩形，利用特殊角三角函數(shù)求EF即可；方法二：過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BA交BA延長(zhǎng)線于H，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥HD延長(zhǎng)線于G，證四邊形EGHF是矩形，利用特殊角三角函數(shù)求EF即可．【解答過(guò)程】解：方法一：如圖1，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥EF于M，過(guò)點(diǎn)D作DN⊥BA交BA延長(zhǎng)線于N，在Rt△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝32（cm），∴BC＝AB?cos60°＝32×12=16∵DC＝84（cm），∴BD＝DC+BC＝84+16＝100（cm），∵∠F＝90°，∠DMF＝90°，∴DM∥FN，∴∠MDB＝∠ABC＝60°，在Rt△BDN中，sin∠DBN＝sin60°=DN∴DN=32×100＝503∵∠F＝90°，∠N＝90°，∠DMF＝90°，∴四邊形MFND是矩形，∴DN＝MF＝503，∵∠BDE＝75°，∠MDB＝60°，∴∠EDM＝∠BDE﹣∠MDB＝75°﹣60°＝15°，∵DE＝70（cm），∴ME＝DE?sin∠EDM＝70×sin15°≈18.2（cm），∴EF＝ME+MF＝503+18.2≈104.8≈105（cm答：支撐桿上的點(diǎn)E到水平地面的距離EF大約是105cm．方法二：如圖2，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BA交BA延長(zhǎng)線于H，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥HD延長(zhǎng)線于G，在Rt△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝32（cm），∴BC＝AB?cos60°＝32×12=16∵DC＝84（cm），∴BD＝DC+BC＝