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立體幾何
考點(diǎn)21空間幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖、表面積和體積
題組一
一、選擇題
1.[2023全國(guó)卷乙,5分]如圖,網(wǎng)格紙上繪制的是一個(gè)零件的三視圖,網(wǎng)格小
正方形的邊長(zhǎng)為1,則該零件的表面積為(D)
[解析]作出該零件的直觀圖如圖所示,該零件可看作是長(zhǎng)、寬、高分別為2,2,
3的長(zhǎng)方體去掉一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為2,1,1的長(zhǎng)方體所得,其表面積為
2x(2x2+2x3+2x3)-2x7x1=30,故選D.
2.[2023天津,5分]在三棱錐P-ABC中,線段PC上的點(diǎn)M滿足=
-PC,線段上的點(diǎn)N滿足PN=-PB,則三棱錐P-AMN和三棱錐
P-ABC的體積之比為(B)
A.3B.fC.=D.3
9939
[解析]如圖,因?yàn)镻M=/C,PN=^PB,所以學(xué)生==
VVSdS
PM-PN_12_2grp,P-AMN_A-PMN_~3/\PMN'_/^PMN_2/甘出門
PCPB=3~3用/=~V=飛三(縣十°
JJ=2",VP-ABCVA-PBC寸△PBC'd7=,MPBC=p”
第1頁(yè)
為點(diǎn)A到平面PBC的距離,因?yàn)槠矫鍼MN和平面PBC重合,所以點(diǎn)A到
平面PMN的距離也為d).故選B.
3.[2022全國(guó)卷甲,5分]如圖,網(wǎng)格紙上繪制的是一個(gè)多面體的三視圖,網(wǎng)格
小正方形的邊長(zhǎng)為1,則該多面體的體積為(B)
[解析]三視圖對(duì)應(yīng)的幾何體是放倒的直四棱柱,如圖,直四棱柱的高為2,底
面是上底為2,下底為4,高為2的梯形,所以體積▽=5h=三*(2+4)*
2x2=72.故選B.(提醒:要是沒想起是放倒的直四棱柱,也可切割成一個(gè)
正方體+三棱柱來求解)
4.[2022新高考卷I,5分]南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題,
其中一部分水蓄入某水庫(kù).已知該水庫(kù)水位為海拔748.5m時(shí),相應(yīng)水面的面積
為7400km2;水位為海拔75Z5m時(shí),相應(yīng)水面的面積為7&ZOkm2.將該水
第2頁(yè)
庫(kù)在這兩個(gè)水位間的形狀看作一個(gè)棱臺(tái),則該水庫(kù)水位從海拔748.5m上升到
757.5m時(shí),增加的水量約為265)(C)
A.1.0x709m3B.1.2x109m3C.1.4x1CPxx\3D.7.6xIO9m3
[解析]由已知得該棱臺(tái)的高為157.5-7485=9(m),所以該棱臺(tái)的體積V=
gx9x(140+yJ140x180+180)x106=60x(16+x7^~60x
6995
(76+3x2,65)義10=1.437義10?7.4x7^(m),故選C.
5.[2021新高考卷I,5分]已知圓錐的底面半徑為Q,其側(cè)面展開圖為一個(gè)半圓,
則該圓錐的母線長(zhǎng)為(B)
A.2B.R5C.4D.
[解析]設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為/,因?yàn)樵搱A錐的底面半徑為d5,所以2nxd,=n/,
解得/=R5,故選B.
【方法技巧】利用圓錐的底面周長(zhǎng)等于其側(cè)面展開圖的弧長(zhǎng)建立等量關(guān)系.
6.[2021全國(guó)卷甲,5分]在一個(gè)正方體中,過頂點(diǎn)A的三條棱的中點(diǎn)分別為E,
F,G.該正方體截去三棱錐A-EFG后,所得多面體的三視圖中,正視圖如圖
所示,則相應(yīng)的側(cè)視圖是(D)
7.[2021北京,4分]某四面體的三視圖如圖所示,該四面體的表面積為(A)
第3頁(yè)
第7題圖
8.[2021浙江,4分]某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該幾何體的
體積(單位:cm,)是(A)
俯視圖
第4頁(yè)
俯視圖
A.1B.3C.當(dāng)D.W?
22
[解析]解法一由三視圖可知,該幾何體是一個(gè)底面為等腰梯形的直四棱柱,其
中底面等腰梯形的底邊長(zhǎng)分別為42R5,高為白,該四棱柱的高為1,所以
該幾何體的體積V==x(?+R5)x[x7=3.故選A.
解法二由三視圖可知,該幾何體是由底面為等腰直角三角形(腰長(zhǎng)為2)的直
三棱柱截去一個(gè)底面為等腰直角三角形(腰長(zhǎng)為1)的直三棱柱后得到的,所
以該幾何體的體積V==x/x—xI?x7=9.故選A.
【方法技巧】解決三視圖問題,一般根據(jù)三視圖還原出幾何體的直觀圖,然后
直接計(jì)算或從補(bǔ)形的角度進(jìn)行計(jì)算.
9.[2020天津,5分]若棱長(zhǎng)為R3的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上,貝IJ該球
的表面積為(c)
A.72nB.24TlC.36nD.744n
[解析]設(shè)外接球的半徑為H,易知2H=V3xR3=6,所以H=3,于是表
面積S=4nH2=36n,故選C.
【方法技巧】多面體與球切、接問題的常見求解方法
(1)涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時(shí),一般過球心及多面體的特殊點(diǎn)(一
般為接、切點(diǎn))或線作截面,把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題進(jìn)行求解.
(2)若球面上四點(diǎn)P出,C構(gòu)成的三條線段PA,PC兩兩垂直,且
PA=a,PB=b,PC=c,一般把幾何體“補(bǔ)形”成一個(gè)球內(nèi)接長(zhǎng)方體,根
4R2=a2+b2+c2(其中H為外接球的半徑)求解.
(3)正方體的內(nèi)切球的直徑等于正方體的棱長(zhǎng).
(4)球和正方體的棱相切時(shí),球的直徑等于正方體的面對(duì)角線長(zhǎng).
第5頁(yè)
10.[2020北京,4分]某三棱柱的底面為正三角形,其三視圖如圖所示,該三
棱柱的表面積為(D)
側(cè)(左)視圖
俯視圖
A.6+y/~3B.6+R3C.72+43D.72+R3
[解析]將三視圖還原為直觀圖(圖略),知該三棱柱是正三棱柱,其高為2,底
面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,正三棱柱的上、下兩個(gè)底面的面積均為=x2x
2xsin6^=^x2x2xy=43,三個(gè)側(cè)面的面積均為2x2=4,故其表面積
為R3+12,選D.
11.[2020全國(guó)卷III,5分]如圖為某幾何體的三視圖,則該幾何體的表面積是
(C)
第11題圖
A.6+R5B.4+H5C.6+R3D.4+R3
第6頁(yè)
[解析]由三視圖知該幾何體為如圖所示的三棱錐P-ABC,其中PA_L平面
ABC,AB1AC,AB=AC=AP=2,故其表面積S=(^x2x2)x3+jx
⑵512xsin6(T=6+R3.
12.[2019浙江,4分]祖隨是我國(guó)南北朝時(shí)代的偉大科學(xué)家,他提出的“塞勢(shì)
既同,則積不容異”稱為祖唾原理,利用該原理可以得到柱體的體積公式
V出*=Sh,其中S是柱體的底面積,h是柱體的高.若某柱體的三視圖如圖所示
(單位:cm),則該柱體的體積(單位:cm,是(B)
A.158B.162C.182D.324
[解析]由三視圖可知,該幾何體是一個(gè)直五棱柱,所以其體積V=^x(4x3+
2x3+6x6)x6=762.故選B.
二、填空題
13.[2023新高考卷I,5分]在正四棱臺(tái)ABC。一A7口7。7。7中,AB=2,
AJB7=7,AA7=VN則該棱臺(tái)的體積為學(xué).
O
[解析]解法一如圖所示,設(shè)點(diǎn)O7,0分別為正四棱臺(tái)ABC。-A7B7C7DZ±,
下底面的中心,連接B]D7,BD,則點(diǎn)O7,0分別為BjDj,BD的中點(diǎn),連接O7O,
則。Q即正四棱臺(tái)ABC。一A757c7。7的高,過點(diǎn)B/作BiE1BD,垂足為
第7頁(yè)
E,則為E=O,。.因?yàn)锳B=2,A]B]=7,所以08=V2,O7B7=1,所以
BE=OB-OE=OB-。7_67=3,又AA[=45,所以887=/,,口店=
YBB-E2=6三=圣所以oq=1,所以V正四棱臺(tái)ABCD-A7B£M=
-X[22+72+=運(yùn).
326
解法二如圖,將正四棱臺(tái)ABC。-AjBjC1D1補(bǔ)形成正四棱錐P-ABCD,
因?yàn)锳B=2,A]B]=1,AB//A7B7,所以A7,B7,C7,D7分別
為PA,PB,PC,PD的中點(diǎn),又A7A=45,所以PA=R5,即PB=R5.連
接,取8。的中點(diǎn)為。,連接P。,則P。1平面ABCD,易知B。=4N所
以P。=y/PB2-BO2=汴,所以正四棱臺(tái)ABC。一A757c7。7的高為當(dāng),
所以V正四棱臺(tái)ABCO-A,B7c7。7=/⑵+N+、22X72)*萬=丁,(或者
V四棱錐P-ABCD=-x22XV6=—,V四棱錐p-A]BJCIDJ=%y四棱錐p-^BCD,所
==
以V正四棱臺(tái)ABCO-A,B,CJDJV四棱錐p-ABCD一.四棱錐p-人jB7C;D;
Z~8vV四棱錐P_ABCD_=-^X-~—=—~>
第8頁(yè)
p
14.[2023新高考卷II,5分]底面邊長(zhǎng)為4的正四棱錐被平行于其底面的平面
所截,截去一個(gè)底面邊長(zhǎng)為2,高為3的正四棱錐,所得棱臺(tái)的體積為28.
[解析]如圖所示,正四棱錐P-ABCD的底面邊長(zhǎng)為4,用平行于底面的平面
截去一個(gè)底面邊長(zhǎng)為2,高為3的正四棱錐后,得到正四棱臺(tái)
A'B'C'D'-ABCD,且48=2,=。分別為正四棱臺(tái)
A'B'C'D'-ABCD±,下底面的中心,H',H分別為48的中點(diǎn),
連接PO,PHQH'OH,貝|JPO,=3,OH,=7,OH=2易知
△PO'H'-APOH,所以器=需,即磊=]解得PO=6,所以
rUUrirUZ
OO'=PO-PO'=3,所以該正四棱臺(tái)的體積V=gx3x(N+2X4+
42)=28.(提示:臺(tái)體的體積V=^(S7+倔瓦+SJ,其中h為臺(tái)體的
高,S八Sz分別為臺(tái)體的上、下底面積)
15.(2021全國(guó)卷甲,5分)已知一個(gè)圓錐的底面半徑為6,其體積為30n,
則該圓錐的側(cè)面積為39n.
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[解析]設(shè)該圓錐的高為h,則由已知條件可得3xnx62xh=3/i,解得h=
則圓錐的母線長(zhǎng)為%2+62=嚀了手=子,故該圓錐的側(cè)面積為nx6x
—=39n.
2
【方法技巧】圓錐的體積公式為V圓錐=gnr2h,圓錐的側(cè)面積公式為5側(cè)=
nr/,其中r為圓錐的底面半徑,h為圓錐的高,/為圓錐的母線長(zhǎng).
16.[2020浙江,4分]已知圓錐的側(cè)面積(單位:cm?)為2n,且它的側(cè)面
展開圖是一個(gè)半圓,則這個(gè)圓錐的底面半徑(單位:cm)是L
[解析]解法一設(shè)該圓錐的母線長(zhǎng)為/,因?yàn)閳A錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓,其面
積為2n,所以3口/二為,解得/=2,所以該半圓的弧長(zhǎng)為2n.設(shè)該圓錐
的底面半徑為H,貝1J2nH=21,解得H=1.
解法二設(shè)該圓錐的底面半徑為R,則該圓錐側(cè)面展開圖中的圓弧的弧長(zhǎng)為
2nR.因?yàn)閭?cè)面展開圖是一個(gè)半圓,設(shè)該半圓的半徑為r,則nr=2nH,即
r=2R,所以側(cè)面展開圖的面積為《2H-2nR=2nR2=2n,解得H=7.
17.[2020新高考卷II,5分]棱長(zhǎng)為2的正方體ABC。—AjBjCjD1
中,M,N分別為棱7,AB的中點(diǎn),則三棱錐A7-DjMN的體積為1.
[解析]如圖,易知V三棱錐ALO,MN=V三棱錐,由正方體的結(jié)構(gòu)特征,
知。陽7,平面A7MN,所以。7A7為三棱錐。7-A7MN的高.因
為分別為棱的中點(diǎn),所以=2X2—TX7X7-^X
2--x7x2=-,所以V三棱錐人[_DJMN=V三棱錐口:_A,MN=^X
73
jMNxDjAJ=-x-x2=1.
【方法技巧】求空間幾何體體積的常用方法
(1)公式法:直接根據(jù)常見柱、錐、臺(tái)等規(guī)則幾何體的體積公式計(jì)算.
第10頁(yè)
(2)等積法:根據(jù)體積計(jì)算公式,通過轉(zhuǎn)換空間幾何體的底面和高使得體積計(jì)
算更容易,或是求出一些體積比等.
(3)割補(bǔ)法:把不能直接計(jì)算體積的空間幾何體進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆指罨蜓a(bǔ)形,轉(zhuǎn)化
為可計(jì)算體積的幾何體.
18.[2020江蘇,5分]如圖,六角螺帽毛坯是由一個(gè)正六棱柱挖去一個(gè)圓柱所
構(gòu)成的.已知螺帽的底面正六邊形邊長(zhǎng)為2cm,高為2cm,內(nèi)孔半徑為0.5cm,
則此六角螺帽毛坯的體積是33二gcn^.
[解析]正六棱柱的體積為6X^X22X2=7R3(cm3),圓柱的體積為nx
0.52x2=^cm3),則該六角螺帽毛坯的體積為(72/3一夕cn^.
19.[2019江蘇,5分]如圖,長(zhǎng)方體ABC。一A787c7。7的體積是120,E
為CC7的中點(diǎn),則三棱錐E-BCD的體積是10.
[解析]因?yàn)殚L(zhǎng)方體ABC?!狝757c7。7的體積是120,所以CO:。
S四邊形ABCD=72。,又E是CC7的中點(diǎn),所以三棱錐E-BCD的體積
E-BCD=3EC.SABCD=5x"Ms四邊形ABC。=120=10.
題組二
一、選擇題
1.[2023全國(guó)卷甲,5分]在三棱錐P—ABC中,△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊
三角形,PA=PB=2,PC3,則該棱錐的體積為(A)
A.1B.VjC.2D.3
第11頁(yè)
[解析]如圖,取的中點(diǎn)。,連接P。,CD,因?yàn)椤鰽BC是邊長(zhǎng)為2的
等邊三角形,PA=PB=2,所以PD_LAB,CD1AB,所以P。=
CD=7飛,又PC=d石,所以?。2+。。2=?。2,所以PD_LC。,又
ABQCD=D,ABCDU平面ABC,所以P。_L平面ABC,所以
VP-ABC=gxS.BexPD=gx2x義=1,故選A.
BL-------------A
2.[2022浙江,4分]某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該幾何體
的體積(單位:cm3)是(口
T11?T11?
正視圖側(cè)視圖
俯視圖
A.22n
[解析]由三視圖知,該幾何體是由半球體、圓柱體、圓臺(tái)組合而成的,其中半
球的半徑為1,圓柱的底面半徑為1,高為2,圓臺(tái)的上、下底面的半徑分別
為1和2,高為2,所以該幾何體的體積為nxl3+nx72x2+
(n(72+7x2+/)x2=gn,故選C.
3.[2022新高考卷II,5分]已知正三棱臺(tái)的高為1,上、下底面邊長(zhǎng)分別為
W3和R3,其頂點(diǎn)都在同一球面上,則該球的表面積為(A)
第12頁(yè)
A.IOOYIB.128nC.144nD.792n
[解析]由題意,得正三棱臺(tái)上、下底面的外接圓的半徑分別為[x曰xW3=3,
[x產(chǎn)xH3=4.設(shè)該棱臺(tái)上、下底面的外接圓的圓心分別為。7,。2,連接
07。2,則。7。2=7,其外接球的球心。在直線。]。2上.設(shè)球。的半徑為R,當(dāng)
球心。在線段。7。2上時(shí),R2=32+OO2J=42+U-ooJ)2,解得0。7=
4(舍去);當(dāng)球心。不在線段。7。2上時(shí),R2=42+OOj=32+U+
。。2尸,解得。。2=3,所以尺2=25,所以該球的表面積為
4nH,=10OXY.故選A.
4.[2022全國(guó)卷甲,5分]甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等,側(cè)面展開圖的圓心角
之和為2n,側(cè)面積分別為S,和S,,體積分別為匕和匕.若器=2,則把=
(C)
A.V?B,R5mD.—
4
S
[解析]因?yàn)榧?、乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等,所以結(jié)合占=2可知,甲、乙兩個(gè)
圓錐側(cè)面展開圖的圓心角之比是27.不妨設(shè)兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為/=3,甲、
乙兩個(gè)圓錐的底面半徑分別為「7,r2,高分別為切力2,則由題意知,兩個(gè)圓
錐的側(cè)面展開圖剛好可以拼成一個(gè)周長(zhǎng)為611的圓,所以
2
2nr7=4n,2nr2=2n,得r7=2,r2=7.由勾股定理得,=V/-r5=
?瓦上=4百F=R,,所以答=*粵=*=?力.故選c.
M乙觸22/2
5.[2022北京,4分]已知正三棱錐P-ABC的六條棱長(zhǎng)均為6,S是
△ABC及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合.設(shè)集合下={QeSIPQ<5},則T表示的
區(qū)域的面積為(B)
A.手B.nC.2nD.5n
[解析]設(shè)。為△ABC的中心,連接PO,AO,在正三角形ABC中,AO=
22
|XyX6=2^1,在RtaPOA中,PO=y/PA-AO=^36-12=
R石,當(dāng)PQ=5時(shí),連接。Q,根據(jù)勾股定理可得OQ=YPQ2-PO2=7,
第13頁(yè)
易知點(diǎn)Q的軌跡是以。為圓心,半徑為1的圓,由于集合了={(2€5|y(2三
5},故集合下表示的區(qū)域的面積為n,故選B.
6.[2022天津,5分]如圖,“十字歇山”是由兩個(gè)直三棱柱重疊后的景象,重
疊后的底面為正方形,直三棱柱的底面形狀是頂角為12(T、腰為3的等腰三
角形,則該幾何體的體積為(D)
A.23B.24C.26D.27
[解析]如圖,八HCD,△FEB,△IDE心GBC均是頂角為72c、腰為3
的等腰三角形,易得其高均為9,底面BCOE是邊長(zhǎng)為W3的正方形,所以
V三棱柱=2X,V四棱錐A-BCDE=1X3y/~3xW5x|=y,
V=2V三棱柱一V四棱錐A_BCDE=2x曰一9=27.故選D.
7.[2021新高考卷II,5分]正四棱臺(tái)的上、下底面的邊長(zhǎng)分別為2,4,側(cè)棱
長(zhǎng)為2,則其體積為(D)
A.56B.2&J2C.—D.—
33
[解析]如圖所示,在正四棱臺(tái)ABCD-A汨7c7。7中,點(diǎn)。7,。分別為上、
下底面的中心,連接。A,。7A7,。。7,則由題意可知。7。,底面ABC。,
。4=2/5,。747=,之過點(diǎn)47作入7£7/。。7,交入。于點(diǎn)£1,則人7e,底
面ABCD,四邊形OEA7。7為矩形,。巴=。747=V,所以AE=R5-
V2=V2,因?yàn)锳A7=2,所以AjE=OjO=^AA^-AE2=45,即正四棱
第14頁(yè)
臺(tái)的高為d,,所以正四棱臺(tái)的體積V=:x(42+N+?42x22)xd^=等.
故選D.
8.[2021天津,5分]兩個(gè)圓錐的底面是一個(gè)球的同一截面,頂點(diǎn)均在球面上,若
球的體積為子,兩個(gè)圓錐的高之比為7:3,則這兩個(gè)圓錐的體積之和為(B)
A.3nB.4nC.9nD.72n
[解析]設(shè)球的半徑為R,則有g(shù)nRS=等,解得R=2,設(shè)兩個(gè)圓錐的高分別為
h,3h,由題意可知h+3h=2R=4,解得h=7,即兩個(gè)圓錐的高分別為1,3,則
球心到圓錐的底面的距離d=R-h=7.設(shè)這兩個(gè)圓錐的底面半徑為r,根據(jù)球
的截面性質(zhì)得尺2=#+/,即4=7+1,解得廠=/瓦故兩個(gè)圓錐的體積之
和為(口1①+3h)=gnx3x4=4n,故選B.
9.[2020全國(guó)卷I,5分]已知A為球。的球面上的三個(gè)點(diǎn),O。,為
△ABC的外接圓.若。O7的面積為4n,AB=BC=AC=OO7)則球O
的表面積為(A)
A.64nB.48nC.36nD.32n
[解析]如圖所示,設(shè)球。的半徑為H,OO7的半徑為廣,因?yàn)镺O7的面積為
4n,所以4n=nr2,解得r=2,又AB=BC=AC=。。7,所以
藕=2r,解得=故。。7=2/3,所以氏2=。。號(hào)+產(chǎn)=
(R3)2+N=16,所以球0的表面積S=411H2=64n.故選A.
第15頁(yè)
【方法技巧】求解球的表面積問題的關(guān)鍵在于過好雙關(guān):一是“方程關(guān)”,能
借用圖形,利用已知三角形的外接圓的面積,得三角形的邊長(zhǎng),從而由勾股定
理求出R2的值;二是“公式關(guān)”,能應(yīng)用球的表面積公式S=4nR2求其表面
積.
10.[2020全國(guó)卷II,5分]已知△ABC是面積為岑的等邊三角形,且其頂點(diǎn)
都在球。的球面上.若球。的表面積為16n,則。到平面ABC的距離為(C)
A.VjB,-C.1D.—
22
[解析]由等邊三角形ABC的面積為岑,得手AB2=岑,得AB=3,則
△△8。的外接圓半徑r=各產(chǎn)48=¥入8=43.設(shè)球的半徑為H,則由
球的表面積為76n,得4nH2=75n,得R=2,則球心。到平面ABC
的距離d=、H2—r2=7,故選C.
【方法技巧】(1)若等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為a,則△ABC的面積為
%2;(2)球的截面的性質(zhì):若球的半徑為H,截面圓的半徑為r,則球心
到截面的距離d={R2-r2.
11.[2020全國(guó)卷I,5分]埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一,它的形
狀可視為一個(gè)正四棱錐(如圖所示).以該四棱錐的高為邊長(zhǎng)的正方形面積等于
該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積,則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的
邊長(zhǎng)的比值為(C)
第16頁(yè)
V5+1布+7
A.D.
2
[解析]設(shè)正四棱錐的高為h,底面正方形的邊長(zhǎng)為2a,斜高為m,依題意得
h2=\2axm,即h2=am①,易知/12+。2=巾2②,由①②得m=
7+V5
1+75rrirum~~9~a7+v54小、由c
/0,所以五=天=7—故選c-
12.[2020浙江,4分]某幾何體的三視圖(單位:cm)如圖所示,則該幾何體
的體積(單位:cm3)是(A)
俯視圖
774
A.-B.—C.3D.6
33
[解析]由三視圖可知,該幾何體是三棱柱和三棱錐的組合體,結(jié)合圖中數(shù)據(jù)可
得該幾何體的體積V=^x2x7x2+-^x^x2x7x7=^(cm5),故選A.
二、填空題
第17頁(yè)
13.[2023全國(guó)卷甲,5分]在正方體ABC。一A7口7。7。7中,AB=4,O
為AC7的中點(diǎn),若該正方體的棱與球。的球面有公共點(diǎn),則球。的半徑的取
值范圍是⑶設(shè)工.
[解析]由該正方體的棱與球O的球面有公共點(diǎn),可知球O的半徑應(yīng)介于該正方
體的棱切球半徑和外接球半徑之間(包含棱切球半徑和外接球半徑).設(shè)該正方
體的棱切球半徑為r,因?yàn)锳B=4,所以力=?X4,所以r=R5;設(shè)
該正方體的外接球半徑為R,因?yàn)锳B=4,所以(ZH)2=42+42+42,所
以H=R3.所以球。的半徑的取值范圍是[R2R3.
14.[2023全國(guó)卷乙,5分]已知點(diǎn)S,A,B,。均在半徑為2的球面上,
△ABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形,SA_L平面ABC,則SA=Z
[解析]解法一
如圖,設(shè)△ABC的外接圓圓心為。7,連接。74,因?yàn)椤鰽BC是邊長(zhǎng)為3的
等邊三角形,所以其外接圓半徑r=。74=:*9*3=4瓦
將三棱錐S-ABC補(bǔ)形為正三棱柱SBJCJ-ABC,由題意知SA為側(cè)棱,
設(shè)球心為O,連接。。7,。A,則。O7,平面ABC,且OO7=^SA.
又球的半徑H=OA=2,OA2=OO^+OjA2,所以4=;SA2+3,得
SA=2.
解法二
如圖,設(shè)△ABC的外接圓圓心為。7,連接。7人,因?yàn)椤鰽BC是邊長(zhǎng)為3的
等邊三角形,所以其外接圓半徑r=O7A=5x[x3=d3.
設(shè)三棱錐S-ABC的外接球球心為。,連接。07,則0。71平面ABC.又
SA_L平面ABC,所以O(shè)O7〃SA,連接。S,OA,由題意知。S=
第18頁(yè)
0A=2.過。作SA的垂線,設(shè)垂足為H,則四邊形A。70H為矩形,所以
0。7=AH,由OS=0A可知H為SA的中點(diǎn),則0。7=AH=^SA.
所以在Rta。。7A中,由勾股定理可得042=。。彳+。42,即4=
^SA2+3,得SA=2.
15.[2021全國(guó)卷乙,5分]以圖①為正視圖,在圖②③④⑤中選兩個(gè)分別作為
側(cè)視圖和俯視圖,組成某個(gè)三棱錐的三視圖,則所選側(cè)視圖和俯視圖的編號(hào)依
次為③④(答案不唯一,②⑨也可)(寫出符合要求的一組答案即可).
H—2―?1H—2-?)
圖④圖⑤
[解析]根據(jù)“長(zhǎng)對(duì)正,高平齊,寬相等”及題圖中數(shù)據(jù),可知②③只能是側(cè)視
圖,④⑤只能是俯視圖.若需組成某個(gè)三棱錐的三視圖,則所選側(cè)視圖和俯視圖
的編號(hào)依次是③④或②⑤.若是③④,則三棱錐如圖1中A-BCD;若是②⑤,
則三棱錐如圖2中E-HFG.
16.[2019天津,5分]已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形,側(cè)棱長(zhǎng)均為
若圓柱的一個(gè)底面的圓周經(jīng)過四棱錐四條側(cè)棱的中點(diǎn),另一個(gè)底面的圓心為四棱
錐底面的中心,則該圓柱的體積為5.
第19頁(yè)
[解析]由題意得圓柱的高為四棱錐高的一半,底面圓的直徑為以四棱錐側(cè)棱的
四個(gè)中點(diǎn)為頂點(diǎn)的正方形的對(duì)角線,易求得圓柱的底面圓的直徑為1,高為1,
所以該圓柱的體積V=IIXX7=號(hào).
17.[2019全國(guó)卷III,5分]學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐,利用如打印技術(shù)制作模型.
如圖,該模型為長(zhǎng)方體ABC。-AjBjC1D1挖去四棱錐。一EFGH后所得
的幾何體,其中。為長(zhǎng)方體的中心,E,F,G,H分別為所在棱的中點(diǎn),
3
AB=BC=6cm,AA7=4cm.3D打印所用原料密度為0.9g/cm.不考慮
打印損耗,制作該模型所需原料的質(zhì)量為msg.
[解析]長(zhǎng)方體ABCD-A757c7。7的體積V]=6x6x4=744(cm5),而四
棱錐。一EFGH的底面積為矩形BB7c7c面積的一半,高為長(zhǎng)的一半,
所以四棱錐。一EFGH的體積V2=:X[X4X6X3=72(cm5),所以長(zhǎng)方
體ABC。-AjB7C7DJ挖去四棱錐。一EFGH后所得幾何體的體積V=
V1-V2=732(cm3),所以制作該模型所需原料的質(zhì)量為J32x0.9=
778.8(g).
【易錯(cuò)點(diǎn)撥】本題的易錯(cuò)點(diǎn)有三處:一是把四棱錐的體積公式與四棱柱的體積
公式搞混,導(dǎo)致求四棱錐O-EFGH的體積時(shí)漏乘少二是此題涉及質(zhì)量的
計(jì)算,考生在求完體積后,容易漏乘原料密度,導(dǎo)致所求得的結(jié)果出錯(cuò);三是
將計(jì)算模型幾何體的體積錯(cuò)誤計(jì)算為幾何體的表面積,從先打印所用原料的
密度的單位就可以發(fā)現(xiàn)計(jì)算的應(yīng)該是體積而不是表面積.此類與實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合
的試題,只要仔細(xì)審題,并找準(zhǔn)題眼,就可避開命題人所設(shè)置的陷阱.
題組三
一、選擇題
第20頁(yè)
1.[2022全國(guó)卷乙,5分]已知球。的半徑為1,四棱錐的頂點(diǎn)為。,底面的四
個(gè)頂點(diǎn)均在球。的球面上,則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí),其高為(C)
7。心
A.-7B.-C.—D.—
3232
[解析]該四棱錐的體積最大即該四棱錐底面所在圓面和頂點(diǎn)。組成的圓錐體積
最大.設(shè)圓錐的高為h(O<h<7),底面半徑為r,則圓錐的體積V=qn產(chǎn)h=
^nU-h2)h,則口=京(7-3標(biāo)),令口=0,得h=圣所以V=(n(7—
在(“孑)上單調(diào)遞增,在(今,7)上單調(diào)遞減,所以當(dāng)h=F時(shí),四棱錐的
體積最大,故選C.
2.[2022新高考卷I,5分]已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為/,其各頂點(diǎn)都在同一球
面上.若該球的體積為36n,且3W/WW3,則該正四棱錐體積的取值范圍
是(C)
卜rrc811.r2781127641r,ccF
A.[78,jB.—]C.r[7下]D.[18,27\
[解析]設(shè)該球的球心為O,半徑為H,正四棱錐的底邊長(zhǎng)為a,高為h,依題
[2=h2+3a)2,
意,得36n=gnH3,解得H=3.由題意可得{2解得
后①一尺戶+苧產(chǎn),
hJ工
{2R6'所以正四棱錐的體積v=-a2h=-(22—5X[=[(2—
CrcJJIoOIo
22l2--
a=18't
?(3w/wW》,所以「=毅一5=夕3(4一鄉(xiāng)(3三/三3/3),令
ioyo4yo
V=0,得/=R石,所以當(dāng)3<I<R石時(shí),V'>0-,當(dāng)2^~6<1<W3
時(shí),V1<o,所以函數(shù)V=§(2-。(3W/WW3在[3R8上單調(diào)遞增,
在(RMW3上單調(diào)遞減,又當(dāng)1=3時(shí),v=^;當(dāng)/=R%時(shí),v=^;
當(dāng)/=W3時(shí),v=g所以該正四棱錐的體積的取值范圍是自爭(zhēng).故選c.
3.[2021新高考卷II,5分]北斗三號(hào)全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國(guó)航天事業(yè)的重要
成果.在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中,地球靜止同步軌道衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面,
軌道高度為36000km(軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的最短距離),把地球
第21頁(yè)
看成一個(gè)球心為0,半徑r為6400km的球,其上點(diǎn)A的緯度是指0A與赤
道所在平面所成角的度數(shù),地球表面能直接觀測(cè)到的一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)
星的點(diǎn)的緯度的最大值記為a,該衛(wèi)星信號(hào)覆蓋的地球表面面積5=
(7-cosa)(單位:km2),則S占地球表面積的百分比約為(C)
A.26%B.34%C.42%D.50%
[解析]如圖所示,圓。的半徑為6400km點(diǎn)P是衛(wèi)星所在位置,由題意可知
0P=36000+6400=42400(km),PA與圓0相切,切點(diǎn)為A,則
^POA=a,所以cosa=^=?*=[,所以衛(wèi)星信號(hào)覆蓋的地球表面
902
面積S=211r2(7一芻=^Tir2,則S占地球表面積的百分比為弗jx
100P/Q~42%,故選C.
4.[2021北京,4分]對(duì)24小時(shí)內(nèi)降落在平地上的積水厚度(單位:mm)進(jìn)
行如下定義:
小明用一個(gè)圓錐形容器接了24小時(shí)的雨水,如圖所示,則這一天的雨水屬于
哪個(gè)等級(jí)(B)
A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨
第22頁(yè)
[解析]作出截面圖如圖所示,設(shè)圓錐形容器中水面的半徑為rmm,則喘=黑,
/L/C/
所以r=50,所以24小時(shí)所接雨水的體積V=[,n義502x75Qmm3.設(shè)底面
半徑為700mm的圓柱的高為hmm,由題意可知,;nx50x75O=nx
JO^xh,得八=725,即這一天的積水厚度為72.5mm,屬于中雨.故選B.
二、填空題
5.[2020全國(guó)卷III,5分]已知圓錐的底面半徑為1,母線長(zhǎng)為3,則該圓錐內(nèi)
半徑最大的球的體積為4n.
[解析]易知半徑最大的球即為該圓錐的內(nèi)切球.圓錐PE及其內(nèi)切球。如圖所示,
設(shè)內(nèi)切球的半徑為R,貝sinNBPE=焉=器=1所以O(shè)P=3H,所以
UrrDJ
PE=4R=YPB2—BE2=732—72=RN所以H=手,所以內(nèi)切球的體積
V=^nR3=^n,即該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為.
6.[2020新高考卷I,5分]已知直四棱柱ABC。-A757c7。7的棱長(zhǎng)均為2,
ZBAD=6(T.以O(shè)7為球心,,5為半徑的球面與側(cè)面BCC7B7的交線長(zhǎng)為
V5n
第23頁(yè)
[解析]如圖,連接口7。7,易知AB7。7。7為正三角形,所以口7。7=。7。7=
2.分別取B7c7,887eg的中點(diǎn)M,G,H,連接。,則
易得。jG=DjH=y/22+I2=V5,D7M1B7c7,且。7M=.由題意
知G,H分別是BB1,CC1與球面的交點(diǎn).在側(cè)面BCC汨z內(nèi)任取一點(diǎn)P,使
22
MP=連接。7P,則。iP=^D1M+MP=4"3產(chǎn)+"7)2=J三連
接MG,MH,易得MG=MH=寸5,故可知以M為圓心,V,為半徑的圓
弧GH為球面與側(cè)面BCC7口7的交線.由NBjMG=ACjMH=450知
NGMH=9(T,所以GH的長(zhǎng)為;x2nxd,=苧.
7.[2019全國(guó)卷II,5分]中國(guó)有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.
印信的形狀多為長(zhǎng)方體、正方體或圓柱體,但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信
形狀是“半正多面體”(圖1).半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍
成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.圖2是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面
體,它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上,且此正方體的棱長(zhǎng)為1.則該半
正多面體共有組個(gè)面,其棱長(zhǎng)為喔二(本題第一空2分,第二空3分)
第24頁(yè)
[解析]由題圖1可知從上數(shù)第一層與第三層各有9個(gè)面,共18個(gè)面,第二層
有8個(gè)面,所以該半正多面體共有面18+8=26(個(gè)).
如題圖2,設(shè)該半正多面體的棱長(zhǎng)為x,則AB=BE=x,延長(zhǎng),與FE的
延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G,延長(zhǎng)BC,交正方體的棱長(zhǎng)于點(diǎn)H,由半正多面體的對(duì)稱性可知,
△BGE為等腰直角三角形,所以BG=CH=yX,所以GH=2x[x+
x=(V2+7)x,又正方體的棱長(zhǎng)為1,所以GH=7,所以(45+7)x=7,解得
x=V2-7,即該半正多面體的棱長(zhǎng)為45-7.
三、解答題
8.[2023全國(guó)卷乙,12分]如圖,在三棱錐P—ABC
中,AB1BC,AB=2,BC=2>/2,PB=PC=y/~6,BP,AP,BC的中點(diǎn)分
別為。,E,O,點(diǎn)F在AC上,BF1AO.
(1)求證:EF〃平面A。。.
第25頁(yè)
[答案]如圖,以B為坐標(biāo)原點(diǎn),乃。所在直線分別為x,y軸,建立平面直
T
角坐標(biāo)系,則B。。),A(2,O),c(aR5),o(oNg,AO=(—z/5).
設(shè)AF=2AC,則易得F(-2入+.
因?yàn)?尸1AO,所以康■AO=0,
所以(一22+2,RK)(-2N5)=0,解得入=(,所以F為AC的中點(diǎn).
又EQ分別為AP,BP的中點(diǎn),所以EF〃PC,OD〃PC,所以EF//OD,
又0。U平面ADO,EF(J平面ADO,所以EF〃平面AOO.
A
(2)若NPOF=12CF,求三棱錐P-ABC的體積產(chǎn)
[答案]由⑴得FO//AB,
因?yàn)锳B1BC,所以尸。1BC.
又PO_LBC,所以NPOF是二面角P—BC—F的平面角,
所以二面角P-BC-F的大小為120P.
設(shè)點(diǎn)P到平面ABC的距離為h,則h=PO-sin(18(T-12&)=PO?sin6(T,
在△PBC中,由PB=PC='Z,BC=2y/2,得PO=2,
所以h=Vj,
所以三棱錐P-ABC的體積Vp_ABC=等AABCxh=(xTx2xR5x
3.
9.[2022全國(guó)卷乙,12分]如圖,四面體ABC。中,ADLCD,AD=
CD,ZADB=ZBDC,E為AC的中點(diǎn).
第26頁(yè)
D
F
A
(1)證明:平面BE。_L平面AC。;
[答案]因?yàn)锳D=CD,NADB=NBDC,DB=DB,
所以△ADB三△COB,所以BA=_BC.
又E1為AC的中點(diǎn),所以AC_LBE,AC1DE,
因?yàn)锽EDDE=E,且BE,DEC平面BED,所以AC1平面BED,
又ACC平面ACD,所以平面BED1平面ACD.
(2)設(shè)入8=_6。=2,/入。8=6),點(diǎn)尸在8。上,當(dāng)△AFC的面積最
小時(shí),求三棱錐F-ABC的體積.
[答案]由⑴可知,AC1平面BED.連接EF,因?yàn)镋FU平面BED,所以
AC_LEF,當(dāng)△AFC的面積最小時(shí),點(diǎn)尸到直線AC的距離最小,即EF
的長(zhǎng)度最小.
因?yàn)锳B=_BC=2,NACB=6),所以△ABC為正三角形,則AC=2,
BE—>!3,AE=1.
因?yàn)锳D=CD,AD_LCD,所以△ADC為等腰直角三角形,所以
DE=7.
所以。E2+BE2=BD2,則DE1BE.
在&△BED中,當(dāng)EF的長(zhǎng)度最小時(shí),EF1BD,EF=吟獸=".
DL)Z
由射影定理
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