人教版高中數(shù)學(xué)選修二專題4.5 數(shù)學(xué)歸納法（A卷基礎(chǔ)篇）【解析版】

專題4.5數(shù)學(xué)歸納法（A卷基礎(chǔ)篇）（人教A版第二冊,浙江專用）參考答案與試題解析第Ⅰ卷（選擇題）一．選擇題（共10小題，滿分50分，每小題5分）1．（2020·吉林吉林市·高二期末（理））用數(shù)學(xué)歸納法證明等式，時(shí)，由到時(shí)，等式左邊應(yīng)添加的項(xiàng)是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】因?yàn)橐C明等式的左邊是連續(xù)正整數(shù)，所以當(dāng)由到時(shí)，等式左邊增加了，故選C.2．（2020·全國高二課時(shí)練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證的不等式是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】∵，，∴所取的第一個(gè)正整數(shù)為2，又，故第一步應(yīng)驗(yàn)證．故選：B3．（2020·上海市新場中學(xué)高二月考）用數(shù)學(xué)歸納法證明等式時(shí)，當(dāng)時(shí)，左邊等于（）A．1 B． C． D．【答案】C【解析】用數(shù)學(xué)歸納法證明：，在驗(yàn)證時(shí)，令代入左邊的代數(shù)式，得到左邊.故選：C4．（2020·陜西寶雞市·高二期末（理））用數(shù)學(xué)歸納法證明，則當(dāng)時(shí)，左端應(yīng)在的基礎(chǔ)上加上（）A． B．C． D．【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，等式左端，當(dāng)時(shí)，等式左端，增加了項(xiàng)．故選：C．5．（2020·上海浦東新區(qū)·華師大二附中高一期末）用數(shù)學(xué)歸納法證明，成立.那么，“當(dāng)時(shí)，命題成立”是“對時(shí)，命題成立”的（）A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【答案】B【解析】“當(dāng)時(shí)，命題成立”不能推出“對時(shí)，命題成立”，“對時(shí)，命題成立”可以推出“當(dāng)時(shí)，命題成立”，所以“當(dāng)時(shí)，命題成立”是“對時(shí)，命題成立”的必要不充分/故選：B6．（2020·吉林白城市·白城一中高二期末（理））用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，從到，不等式左邊需添加的項(xiàng)是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，所假設(shè)的不等式為，當(dāng)時(shí)，要證明的不等式為，故需添加的項(xiàng)為：，故選：B.7．（2020·全國高三專題練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的過程中，由遞推到時(shí)，不等式左邊（）A．增加了一項(xiàng)B．增加了兩項(xiàng)，C．增加了A中的一項(xiàng)，但又減少了另一項(xiàng)D．增加了B中的兩項(xiàng)，但又減少了另一項(xiàng)【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，左邊，當(dāng)時(shí)，左邊，所以，由遞推到時(shí)，不等式左邊增加了，；減少了；故選D8．（2020·梧州高級中學(xué)高二期中（理））已知n為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，若已假設(shè)為偶數(shù))時(shí)命題為真，則還需要用歸納假設(shè)再證（）時(shí)等式成立（）A． B． C． D．【答案】B【解析】若已假設(shè)n=k(k≥2，k為偶數(shù))時(shí)命題為真，因?yàn)閚只能取偶數(shù)，所以還需要證明n=k+2成立.、故選B.9．（2020·上海高二課時(shí)練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明命題“當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，能被整除”，在證明正確后，歸納假設(shè)應(yīng)寫成（）．A．假設(shè)時(shí)命題成立B．假設(shè)時(shí)命題成立C．假設(shè)時(shí)命題成立D．假設(shè)時(shí)命題成立【答案】D【解析】此題所成立的數(shù)是所有的正奇數(shù)，根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟要求，第二步所取的值的范圍應(yīng)從開始取值所有奇數(shù)，即．故選：D．10．（2020·上海高二課時(shí)練習(xí)）在用數(shù)學(xué)歸納法求證：的過程中，從“到”左邊需增乘的代數(shù)式為（）．A． B． C． D．【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，左邊，當(dāng)時(shí)，左邊，則.故選：D.第Ⅱ卷（非選擇題）二．填空題（共7小題，單空每小題4分，兩空每小題6分，共36分）11．（2020·全國高二課時(shí)練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明命題“1++…+(n∈N+，且n≥2)”時(shí)，第一步要證明的結(jié)論是________.【答案】【解析】因?yàn)閚≥2，所以第一步要證的是當(dāng)n=2時(shí)結(jié)論成立，即1+.故答案為：12．（2020·全國高二課時(shí)練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明關(guān)于的恒等式，當(dāng)時(shí)，表達(dá)式為，則當(dāng)時(shí)，表達(dá)式為_______.【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，表達(dá)式左側(cè)為：，表達(dá)式右側(cè)為：，則當(dāng)時(shí)，表達(dá)式為.故答案為：.13．（2020·全國高二課時(shí)練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證的等式是________．【答案】【解析】由題知等式的左邊有項(xiàng)，右邊有項(xiàng)，且，因此第一步應(yīng)驗(yàn)證時(shí)的等式，此時(shí)左邊，右邊，故答案為：．14．（2020·浙江高三其他模擬）用數(shù)學(xué)歸納法證明：，第一步應(yīng)驗(yàn)證的等式是__________；從“”到“”左邊需增加的等式是_________.【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，應(yīng)當(dāng)驗(yàn)證的第一個(gè)式子是，從“”到“”左邊需增加的式子是15．（2020·上海高二課時(shí)練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明：“對任意奇數(shù)n，命題成立”時(shí)，第二步論證應(yīng)該是假設(shè)______命題成立，再證______時(shí)，命題也成立.【答案】【解析】依題意用數(shù)學(xué)歸納法證明：“對任意奇數(shù)n，命題成立”，由于為奇數(shù)，所以第二步論證應(yīng)該是假設(shè)命題成立，再證時(shí)命題也成立.故答案為：；16．（2018·浙江寧波市·余姚中學(xué)高二期中）已知為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明“”時(shí)，第一步的驗(yàn)證為________________________；若已假設(shè)（且為偶數(shù)）時(shí)等式成立，則還需要用歸納假設(shè)證________時(shí)等式成立.【答案】當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，等式成立；【解析】對在為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明歸納基礎(chǔ)，因?yàn)闉檎紨?shù)，則基礎(chǔ)，當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，等式成立；歸納假設(shè)，當(dāng)（且為偶數(shù)）時(shí)，成立由于是所有正偶數(shù)，則歸納推廣，應(yīng)到下一個(gè)數(shù)為時(shí)，等式成立故答案為：(1).當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，等式成立；(2).17．（2020·江蘇蘇州市·高二期中）在數(shù)列中，a1=1，，則a3=______，an=_______.【答案】【解析】第一空：因?yàn)?，，所以，；第二空：由第一空可知：，所以可得，因?yàn)椋?，，，所以猜想，?shù)學(xué)歸納法證明如下：（1）當(dāng)時(shí)，顯然；（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)成立，即，當(dāng)時(shí)，綜合（1）（2），所以，故答案為：；三．解答題（共5小題，滿分64分，18--20每小題12分，21,22每小題14分）18．（2020·上海高二課時(shí)練習(xí)）在證明，由到的變化過程中，左邊增加的部分是什么，右邊增加的部分是什么？【答案】；【解析】時(shí)，左邊為，時(shí)，變?yōu)?，故由到的變化過程中，左邊增加的都分是；時(shí)，右邊為，時(shí)，變?yōu)椋疫呍黾拥牟糠质?故答案為：；.19．（2020·上海高二課時(shí)練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明：對任意正整數(shù)能被9整除．【答案】見解析【解析】證明：（1）當(dāng)時(shí)，，能被9整除，故當(dāng)時(shí)，能被9整除．（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)，命題成立，即能被9整除，則當(dāng)時(shí)，也能被9整除.綜合(1)(2)可得,對任意正整數(shù)能被9整除．20．（2020·旬邑縣中學(xué)高二月考（理））已知數(shù)列滿足，.（1）求、；（2）猜想數(shù)列通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法給出證明.【答案】（1），；（2）,證明見解析.【解析】（1），；（2）猜想數(shù)列通項(xiàng)公式，證明如下：當(dāng)時(shí)，，，所以成立；假設(shè)時(shí)成立，即，當(dāng)時(shí)，，∴時(shí)，成立，綜上，由①②得：.21．（2016·廣東揭陽市·高二月考）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，并且滿足．猜想的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明．【答案】【解析】（1）解：分別令，得，∵，∴，猜想：，由①可知，當(dāng)時(shí)②①-②得，即當(dāng)時(shí)∵，∴，（ii）假設(shè)當(dāng)時(shí)，，那么當(dāng)時(shí)，,∵，∴，∴，即當(dāng)時(shí)也成立．∴，顯然時(shí)，也成立，故對于一切，均有．22．（2016·廣西桂林市·高二期中）在數(shù)列{an}中，a1=1且（1）求出，，；（2）歸納出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明