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文檔簡介
計算難點分類綜r六大考點)
易錯基礎計算強化
L計算:
(1)(-3)-|-8|-2X(-4);
(2)42-(-1)2024+3+(-J).
2.計算:
111Q
(1)-14-(-2)3x-16x+1).
(2)-22-2X[(-3)2—3+
3.計算:
⑴1q3等1
(2)宅+A焦+書)十(一《)一竽
(3)-I4-(1-0.5)x|x[2-(-3)2].
4.計算
921
---
452
11
(2)(—5x2]+(-2x3)2—(-1)2;
(3)—I5x[―32x(-.)2-2]+(一芻;
⑷(一32X(一25)-(-7)2x6-吉+得).
二.運算符號的機敏運用。
5.若使得算式-1口0.5的值最小時,則“口”中填入的運算符號是()
A.+B.-C.XD.4-
6.請在運算式“6口3口5口9”中的口內(nèi),分別填入+,X,9中的一個符號(不重復使用),使
計算所得的結(jié)果最大,則這個最大的結(jié)果為.
三.數(shù)值轉(zhuǎn)化機
7.如圖是一個數(shù)值轉(zhuǎn)換機的示意圖,則輸入的數(shù)為
8.如圖,是一個運算程序的示意圖,若開頭輸入龍的值為25,則第2024次輸出的結(jié)果為
四.新定義
9.已知“!”是一種運算符號,并且1!=1,2!=1X2,3!=1X2X3,4!=1X2X3X4,則
2024!
2024!--------'
10.若規(guī)定“十”的運算過程表示為:〃十。=1#-24如3十I1=[x3-2X1=-1.
,1
(1)貝!J(-6)十.
1
(2)若(2x-l)?-%=3?x,求x的值.
11.用定義一種新運算:對于任意有理數(shù)〃和規(guī)定〃%=9?2+2〃。+〃.
如:1*3=1X32+2X1X3+1=16
(1)求2*(-2)的值;
1
(2)若2*%=771,(4%)*3=71(其中X為有理數(shù)),試比較相,〃的大小;
(3)若[(^^)*(—3)]**=〃+4,求。的值.
12.對于有理數(shù)〃、Z?定義一種新運算“兇”,規(guī)定=|〃|+依
(1)計算2合3的值;
(2)當〃、b在數(shù)軸上的位置如圖所示時,化簡。;
(3)已知?!?,4③〃=12+〃,求〃的值.
boa
13.用“N”規(guī)定一種新運算:對于任意有理數(shù)。和6,規(guī)定0(8)5=/6+2仍+6,例如:1區(qū)3=P義
3+2X1X3+3=12.
(1)求2(g)(-1)的值;
(2)若3(g)(x-1)=16,求尤的值;
X
(3)已知x為有理數(shù),設機=工區(qū))2,n=30-,試比較相、〃的大小.
4
五.閱讀類--自學力量的培育
14.閱讀理解:
材料一:對于一個四位正整數(shù)M,假如千位數(shù)字與十位數(shù)字之和減去百位數(shù)字與個位數(shù)字之和的
差是6的倍數(shù),則稱這個四位數(shù)為“順數(shù)”;
材料二:對于一個四位正整數(shù)N,假如把各個數(shù)位上的數(shù)字重新排列,必將得到一個最大的四位
數(shù)和一個最小的四位數(shù),把最大的四位數(shù)與最小的四位數(shù)的差叫做極差,記為/(N).
例如7353;
(7+5)-(3+3)=6,6+6=1,
;.7353是“順數(shù)”,f(7353)=7533-3357=4176.
(1)推斷1372與9614是否是順數(shù),若是“順數(shù)”,懇求出它的極差;
(2)若一個十位數(shù)字為2,百位數(shù)字為6的“順數(shù)”N加上其個位數(shù)字的2倍能被13整除,且
個位數(shù)字小于5,求滿足條件的“順數(shù)”N的極差/(N)的值.
15.閱讀下列材料:
1111
計算:一+(---+-),
243412
解法一:原式=蕓+?克弓+蕓+^=/義3一蕓X4+蕓*12=芬
解法二:原式=蕓+0-/+張)=蕓+條=去'6=/
解法二:原式的倒數(shù)=《一;+白)+蕓=G-/+=)X24=gX24—,x24+白X24=4.
所以原式=1.
(1)上述得到的結(jié)果不同,你認為解法是錯誤的;
111
(2)計算:(]—彳+石)X36=;
(3)請你選擇合適的解法計算:(-2:0)+G+條-4-音),
16.本學期我們學習了“有理數(shù)乘方”運算,知道乘方的結(jié)果叫做“哥”,下面介紹一種有關“累”
的新運算.
定義:,”與/QWO,如w都是正整數(shù))叫做同底數(shù)幕,同底數(shù)塞除法記作個+a”.
(當?shù)?1時,am-i-an=am-n
運算法則如下:泗+(1"=、當m=n時,am^an=1.
<時,mn
Inaa=nlm
依據(jù)“同底數(shù)累除法”的運算法則,回答下列問題:
(1)填空:(》3+(1)2=,524-54=;
(2)假如尤>0,且2戶%22x+5=J,求出x的值;
(3)假如(x-2)2K2+(尤一2)戶7=1,請直接寫出X的值.
17.【概念學習】
規(guī)定:求若干個相同的有理數(shù)(均不等于0)的除法運算叫做除方,如2+2+2,(-3)+(-3)
+(-3)+(-3)等.類比有理數(shù)的乘方,我們把2?2+2記作2③,讀作“2的圈3次方”,
(-3)+(-3)+(-3)+(-3)記作(-3)④,讀作“-3的圈4次方”,一般地,把a+a+a…+a
n個a
(aWO)記作a?,讀作“a的圈”次方
【初步探究】
(1)直接寫出計算結(jié)果:2限,(-1)⑤=;
(2)關于除方,下列說法錯誤的是
A.任何非零數(shù)的圈2次方都等于1;
B.對于任何正整數(shù)“,1@=1;
C.3?=4?;
D.負數(shù)的圈奇數(shù)次方結(jié)果是負數(shù),負數(shù)的圈偶數(shù)次方結(jié)果是正數(shù).
【深化思考】
我們知道,有理數(shù)的減法運算可以轉(zhuǎn)化為加法運算,除法運算可以轉(zhuǎn)化為乘法運算,有理數(shù)的除
方運算如何轉(zhuǎn)化為乘方運算呢?
(1)試一試:仿照上面的算式,將下列運算結(jié)果直接寫成幕的形式.
(2)想一想:將一個非零有理數(shù)。的圈”次方寫成幕的形式等于;
(3)算一算:12?+(-1)@X(-2)?-(-1)⑥+33.
18.探究規(guī)律,完成相關題目
沸羊羊說:“我定義了一種新的運算,叫米(加乘)運算
然后他寫出了一些依據(jù)※(加乘)運算的運算法則進行運算的算式:
(+5)米(+2)=+7;(-3)米(-5)=+8;
(-3)米(+4)=-7;(+5)米(-6)=-11;
0米(+8)=8;(-6)※0=6.
智羊羊看了這些算式后說:“我知道你定義的米(加乘)運算的運算法則了
聰慧的你也明白了嗎?
(1)歸納※(加乘)運算的運算法則:
兩數(shù)進行米(加乘)運算時,.
特殊地,。和任何數(shù)進行米(加乘)運算,或任何數(shù)和0進行米(加乘)運算,.
(2)計算:(-2)米[0米(-1)]=.(括號的作用與它在有理數(shù)運算中的作用全都)
(3)我們知道加法有交換律和結(jié)合律,這兩種運算律在有理數(shù)的米(加乘)運算中還適用嗎?請
你任選一個運算律,推斷它在※(加乘)運算中是否適用,并舉例驗證.(舉一個例子即可)
六.類比推理--規(guī)律類的鑰匙
19.類比推理是一種重要的推理方法,依據(jù)兩種事物在某些特征上相像,得出它們在其他特征上也
可能相像的結(jié)論.閱讀感知:在異分母的分數(shù)的加減法中,往往先化作同分母,然后分子相加減,
例如:我們將上述計算過程倒過來,得到;=工=;—"
232X33X26662x323
這一恒等變形過程在數(shù)學中叫做裂項.類似地,對于1可以用裂項的方法變形為:-1=11
4X64X624
1
類比上述方法,解決以下問題.
1
【類比探究】(1)猜想并寫出:,,、=;
71X(71+1)
【理解運用】(2)類比裂項的方法,計算:------+++…+
1X2-----2X3-----3X4-------------99X100
【遷移應用】(3)探究并計算:
20王老師在節(jié)數(shù)學課上講解了二道例題
/------------------------------------------------------------------------------------------\
利用運”撐有時能進行簡便計算.
例I98x12?(IOO-2)x12-1200-24-H76r0
的2-I6x233?17x233=(-16?17)x233=233.
X/
請你參考黑板上王老師的講解,用運算律簡便計算:
(1)99X15;
413
(2)999X118-+999X(-i)-999x|.
21.“轉(zhuǎn)化”是一種解決問題的常用策略,有時畫圖可以掛念我們找到轉(zhuǎn)化的方法.例如借助圖①,
11111
可以把算式1+3+5+7+9+11轉(zhuǎn)化為62=36.請你觀看圖②,可以把算式5+]+E+/+£+
11
直+亞轉(zhuǎn)化為
圖①
22.觀看下列等式:
第1個等式:a\—二1-4;
第2個等式:a2=2^3=-
第3個等式:〃3=U^=J_J;
第4個等式:4Z4=77F=7—i*
T1ZXDT"D
請解答下列問題:
(1)按以上規(guī)律寫出:第〃個等式即=(〃為正整數(shù));
(2)求〃1+〃2+〃3+。4+…+。100的值;
(3)探究計算:+++-I-
1X4----4X7----7X10-----------2024X2023
一.易錯基礎計算強化
1.計算:
(1)(-3)-|-8|-2X(-4);
(2)42-(-1)2024+3+(-1).
試題分析:(1)先算確定值,有理數(shù)的乘法,再算加減即可;
(2)先算乘方,有理數(shù)的除法,再算加減即可.
答案詳解:解:(1)(-3)-|-8|-2X(-4)
=-3-8+8
=-11+8
=-3;
(2)42-(-1)2024+3+(-1)
=16-1+3X(-3)
=16-1-9
=15-9
=6.
2.計算:
111Q
(1)一14一(-2)3Xq-16x(]-]+g).
1
(2)-22-2X[(-3/—3+
試題分析:(1)先算乘方,再算乘法,最終算加減法即可;
(2)先算乘方和括號內(nèi)的式子,然后計算括號外的乘法,最終算減法即可.
c111Q
答案詳解:解:(1)—14—(―2>x4-16x(2-4+2)
1113
--14-(-8)x-r—16x+16x-r—16x不
q,4&
=-14+2-8+4-6
=-22;
c1
(2)_22_2X[(_3)2_3+引
=-4-2X(9-3X2)
-4-2X(9-6)
=-4-2X3
=-4-6
=-10.
3.計算:
1531
⑵宅+A4+5)+(%)一竽
(3)-I4-(1-0.5)x|x[2-(-3)2].
試題分析:(1)依據(jù)有理數(shù)的加減法可以解答本題;
(2)先把除法轉(zhuǎn)化為乘法,然后乘法安排律即可解答本題;
(3)依據(jù)有理數(shù)的乘方、有理數(shù)的乘法和減法可以解答本題.
1qQ1
答案詳解:解:(1)一'一(+4)—(一引+(—])
一一1+(--)+-+(--)
~2十14,十2十14,
-(一2++[(-[)+(-')]
=1+(--x)
⑵危+A焦+£)+(-/)-竽
535724
X(一爭22
124812~7~
=5,24、?3,24、5,24、7(24、22
J-2X(----y-)+4X(---y-)-X(---^~)+12x一萬
10I,18、J51/八/22、
=-—+(-—)+—+(-2)+(--)
=一7;
(3)-I4-(1-0.5)x|x[2-(-3)2]
=-x|x(2-9)
=-1-1x(-7)
=-1+?
4.計算
921
---
452
11
(2)(—5X2^4-(—2X3)2—(―I)2;
(3)—I5x[―32X(一令之-2]+(―芻;
⑷(一9x(—25)—(一7)2x(專一/+焉).
試題分析:(1)依據(jù)有理數(shù)的加減法可以解答本題;
(2)依據(jù)有理數(shù)的乘方、有理數(shù)的乘除法和減法可以解答本題;
(3)依據(jù)有理數(shù)的乘方、有理數(shù)的乘除法和減法可以解答本題;
(4)依據(jù)有理數(shù)的乘方、有理數(shù)的乘法和減法可以解答本題.
921
---
答案詳解:452
4655_8__30
20+20+20-20
12
--
2O
3
---
5
1
22
-
4(-1
9
-16X-6
34
9
-136-
4
91
1
--136X-X±
436
1
--
3
4
---
3
7
^2
^(-
43
-1X-X--
92
3
=-IX(-4-2)X(-少
=-IX(-6)X(-1)
=-9;
(4)(一32x(-25)一(-7)2x6-殺+))
1631
=%x(-25)-49X+—)
2571449
=(-1)-49x:+49x》49x白
=(-1)-42+今21-1
1
=-33-.
2
二.運算符號的機敏運用。
5.若使得算式-1口0.5的值最小時,則“口”中填入的運算符號是()
A.+B.-C.XD.4-
試題分析:將運算符號放入方框,計算即可作出推斷.
答案詳解:解:-1+0.5=-0.5;-1-0.5=-1.5;-1X0.5=-0.5;-1+0.5=-2,
則使得算式-1口0.5的值最小時,則“口”中填入的運算符號是令,
所以選:D.
6.請在運算式“6口3口5口9”中的□內(nèi),分別填入+,X,個中的一個符號(不重復使用),使
計算所得的結(jié)果最大,則這個最大的結(jié)果為48.
試題分析:利用有理數(shù)的混合運算推想計算出.
答案詳解:解:6-3+5X9=48,
所以答案是:48.
三.數(shù)值轉(zhuǎn)化機
7.如圖是一個數(shù)值轉(zhuǎn)換機的示意圖,則輸入的數(shù)為3或-5.
試題分析:依據(jù)程序圖,利用有理數(shù)的乘方和有理數(shù)的加法法則進行解答即可.
答案詳解:W:V42=16,(-4)2=16,
輸入的數(shù)x+l=±4.
:3+1=4,-5+1=-4,
.?.輸入的數(shù)x為:3或-5.
所以答案是:3或-5.
8.如圖,是一個運算程序的示意圖,若開頭輸入x的值為25,則第2024次輸出的結(jié)果為
由此可得結(jié)論.
答案詳解:解:由題意得:
第一次輸入25,輸出結(jié)果為:5;
其次次輸入5,輸出結(jié)果為:1;
第三次輸入1,輸出結(jié)果為:5;
第四次輸入5,輸出結(jié)果為:1;
第五次輸入1,輸出結(jié)果為:5;
.??從第一次開頭輸出的結(jié)果以5,1為循環(huán)節(jié)循環(huán),
:2024+2=1011,
.?.第2024次輸出的結(jié)果為:1.
所以答案是:1.
四.新定義
20241
9.己知"!”是一種運算符號,并且1!=1,2!=1X2,3!=1X2X3,4!=1X2X3X4,…,則----:
2024!
2024.
試題分析:依據(jù)題意,可以計算出所求式子的值.
答案詳解:解:由題意可得,
2024!1X2X3X---X2024
=2024,
2024!1X2X3X--X2024
所以答案是:2024.
11
10.若規(guī)定“十”的運算過程表示為:。十。=加-24如3十1=/3-2*1=-1.
1
(1)貝I」(-6)十鼻=-3.
1
(2)若(2%-1)十.=3十%,求x的值.
試題分析:(1)依據(jù)規(guī)定的運算列式計算;
(2)依據(jù)規(guī)定的運算列方程,解出一元一次方程.
1
答案詳解:解:(1)(-6)?-
=□X(-6)-2x
=-2-1
=-3,
所以答案是:-3;
1
(2)(2x7)十y=3十%,
111
—x(2x-1)-2x平=方x3-2x
323f
21
—x—o—x=1-2x
33f
21
—x-x+2x=l+o,
33
4
--
5
11.用“”定義一種新運算:對于任意有理數(shù)〃和/?,規(guī)定〃%=〃。2+2而+4.
如:1*3=1X32+2X1X3+1=16
(1)求2*(-2)的值;
1
(2)若2*%=771,(4%)*3=71(其中%為有理數(shù)),試比較相,〃的大??;
(3)若[(等)*(-3)]**=a+4,求a的值.
試題分析:(1)依據(jù)給定定義式,代入數(shù)據(jù)求值即可;
(2)依據(jù)給定定義式,表示出機和",做差后即可得出結(jié)論;
(3)重復套用定義式,得出關于。的一元一次方程,解方程求出。值即可.
答案詳解:解:(1)2*(-2)=2X(-2)I2+2X2X(-2)+2=2.
(2)m=2*x=2x2+2X2x+2=2x2+4x+2,n=(-x)*3=X32+2X(-%)X3+1x=4x,
4444
m-〃=2/+4%+2-4X=2J^+2^2,
故m>n.
(3)(——a+1)*(-3)=^1x(-3)O2+2xrz號+lx(-3)+n竽4-1=2。+2,(2a+2)*1-=(2a+2)
22222
1°1Q/JQ
X(一)+2X(2a+2)X亍+(2〃+2)=-5—I-
2222
即a+4=2。+小解得:a=—
答:當[(嬰)*(-3)]q=a+4時,a的值為一支
12.對于有理數(shù)a、b定義一種新運算規(guī)定。頜=同+|例-|。-外
(1)計算283的值;
(2)當a、6在數(shù)軸上的位置如圖所示時,化簡a(g)b;
(3)已知aVO,a=12+a,求a的值.
I______________I______|__________
b0a
試題分析:(1)原式利用題中的新定義計算即可求出值;
(2)原式利用題中的新定義化簡,依據(jù)確定值的代數(shù)意義得到結(jié)果即可;
(3)原式利用題中的新定義得到關于〃的方程,解方程即可求解.
答案詳解:解:(1)依據(jù)題中的新定義得:原式=2+3-|2-31=2+3-1=4;
(2)由〃,。在數(shù)軸上位置,可得
貝!Ja?b=\a\+\b\-\a-b\=a-b-a+b=O;
(3)\*a<0,a?a=-a-a-0=12+?,
解得a=-4.
故〃的值為-4.
13.用“0”規(guī)定一種新運算:對于任意有理數(shù)a和6,規(guī)定4(8)匕=/》+2。6+%,例如:103=12X
3+2X1X3+3=12.
(1)求2③(-1)的值;
(2)若3笆)(x-1)=16,求尤的值;
X
(3)已知尤為有理數(shù),設施=x(g)2,n—30~,試比較相、”的大小.
4
試題分析:(1)依據(jù)新運算開放,再求出即可;
(2)先依據(jù)新運算開放,再解一元一次方程即可;
(3)先依據(jù)新運算開放,再求出m、n,即可得出答案.
答案詳解:解:(1)20(-1)
=22X(-1)+2X2X(-1)+(-1)
=4X(-1)-4+(-1)
=-4-4-1
=-9;
(2)由3⑤(x-1)=16,
可得9(x-1)+6(x-1)+(x-1)=16,
解得x=2;
(3)由"z=x(g)2,得,”=2/+4x+2,
X
由H=30-,得n=4x,
4
*.'m-n=2x1+2>0,
'?m>n.
五.閱讀類--自學力量的培育
14.閱讀理解:
材料一:對于一個四位正整數(shù)假如千位數(shù)字與十位數(shù)字之和減去百位數(shù)字與個位數(shù)字之和的
差是6的倍數(shù),則稱這個四位數(shù)為“順數(shù)”;
材料二:對于一個四位正整數(shù)N,假如把各個數(shù)位上的數(shù)字重新排列,必將得到一個最大的四位
數(shù)和一個最小的四位數(shù),把最大的四位數(shù)與最小的四位數(shù)的差叫做極差,記為/(N).
例如7353;
(7+5)-(3+3)=6,64-6=1,
.?.7353是“順數(shù)”,f(7353)=7533-3357=4176.
(1)推斷1372與9614是否是順數(shù),若是“順數(shù)”,懇求出它的極差;
(2)若一個十位數(shù)字為2,百位數(shù)字為6的“順數(shù)”N加上其個位數(shù)字的2倍能被13整除,且
個位數(shù)字小于5,求滿足條件的“順數(shù)”N的極差/(N)的值.
試題分析:(1)先依據(jù)“順數(shù)”的定義推斷,依據(jù)極差的定義即可求解;
(2)設N=1000a+600+20+b,且1W.W9,0W6W4,依據(jù)“順數(shù)”的定義可求得a-6=-2,依
據(jù)1WW9,0W6W4,確定a,6的值,依據(jù)N加上其個位數(shù)字的2倍能被13整除,求出N的
值,進而求出極差.
答案詳解:解:(1)V(1+7)-(3+2)=3,34-6=1,
.,.1372不是“順數(shù)”,/(1372)=7321-1237=6084,
,/(9+1)-(6+4)=0,0+6=0,
.,.9614是順數(shù),f(9614)=9641-1469=8172;
(2)設N=1000a+600+20+"且lWaW9,
-4W-bWO
*.*(〃+2)-(6+。)=-4+〃-b,
-7W-4+〃-0W5,
,:N為“順數(shù)”,
???(為6的倍數(shù),
-4+a-b=-6或-4+a-b=0,
.\a-b=-2或a-0=4,
1°若a-b=-2時,
當。=0時,〃=-2不符合題意,
當。=1是,a=-1不符合題意,
當。=2是,〃=0不符合題意,
當6=3是,。=1,此時N=1000+600+20+3=1623,N+26=1623+2X3=1629,
當6=4是,a=2,此時N=2000+600+20+4=2624,N+26=2624+2X4=2632,
???N加上其個位數(shù)字的2倍能被13整除,
Z.N=1623,N=2624不符合題意,
2°若a-b=4時,
當6=0時,。=4,此時N=4000+600+20+0=4620,N+26=4620+2X0=4620,
當6=1是,。=5,此時N=5000+600+20+1=5621,N+26=5621+2X1=5623,
當6=2是,a=6,止匕時N=6000+600+20+2=6622,N+26=6622+2X2=6626,
當6=3是,a=7,此時N=7000+600+20+3=7623,N+26=7623+2X3=7629,
當6=4是,。=8,止匕時N=8000+600+20+4=8624,N+2b=8624+2X4=8632,
???N加上其個位數(shù)字的2倍能被13整除,
;.N=8624,
止匕時了(8624)=8642-2468=6174.
15.閱讀下列材料:
、―1111
計算:一+(---+-),
243412
解法一:原式=吉+一蕓+上+蕓+去=/x3-蕓X4+蕓X12=!1?
解法二:原式=克+4—>否=克十條=蕓X6="
解法二:原式的倒數(shù)=(4—]+與)+蕓=G-]+白)X24=gX24—,x24+白x24=4.
所以原式=1.
(1)上述得到的結(jié)果不同,你認為解法一是錯誤的;
111
(2)計算:(2—4+召)x36=15;
(3)請你選擇合適的解法計算:(-W")+6+總-奈一言)?
試題分析:(1)有理理數(shù)的除法沒有安排律,據(jù)此可推斷;
(2)利用乘法的安排律進行求解即可;
(3)仿照解法三進行解答即可.
答案詳解:解:(1)除法沒有安排律,故解法一錯誤,
所以答案是:一;
Ill
⑵(2-4+6^X36
111
=5x36—x36+zx36
z~4ro
=18-9+6
=15,
所以答案是:15;
3235
(3)原式的倒數(shù)=(一+—————(-2l0)
7151021
35
—————)X(-210)
1021
2226
=yX(-210)+含X(-210)一擊X(-210)一芯X(-210)
=-90-28+63+50
=-5,
210八(7十151021J-5,
16.本學期我們學習了“有理數(shù)乘方”運算,知道乘方的結(jié)果叫做“嘉”,下面介紹一種有關“塞”
的新運算.
定義:/與/(〃W0,m,〃都是正整數(shù))叫做同底數(shù)塞,同底數(shù)幕除法記作冊
(當m>n時,aman=am~n
運算法則如下:0m當m=n時,am^an=1.
[當nVn時,a7n+a九=
依據(jù)“同底數(shù)幕除法”的運算法則,回答下列問題:
(1)填空:(33+(32=;,52-54=^;
(2)假如尤>0,且2戶4+22X+5=需求出X的值;
(3)假如(X-2)2戶2+(尤一2)戶7=1,請直接寫出X的值.
試題分析:(1)依據(jù)同底數(shù)塞的除法法則計算可得;
(2)依據(jù)同底數(shù)募的除法法則列出方程:x+l=3,解之可得;
(3)分三種狀況:①非零數(shù)零指數(shù)基等于1;②1的任何次乘方都等于1;③-1的偶次乘方等于
1可得.
答案詳解:解:⑴(孑+4)2=4,52+54=9=9
11
所以答案是:;
(2)由于x〉0,
所以x+4<2x+5,
2x+5
歷以2*+4+2=22X+5-(X+4)=產(chǎn)I,
又由于於今,
所以x+l=3,
解得x=2;
(3)由題意知,①2x+2-(x+7)=0,
解得:x=5;
②x-2=1,
解得:x=3;
③x-2=-1且2x+2與尤+7為偶數(shù),
解得:x=l;
綜上,x=5,尤=3,x—1.
17.【概念學習】
規(guī)定:求若干個相同的有理數(shù)(均不等于0)的除法運算叫做除方,如2+2+2,(-3)+(-3)
+(-3)+(-3)等.類比有理數(shù)的乘方,我們把292+2記作2③,讀作“2的圈3次方”,
(-3)4-(-3)4-(-3)4-(-3)記作(-3)④,讀作“-3的圈4次方”,一般地,把a-ap…十a(chǎn)
n個a
(aWO)記作a?,讀作%的圈“次方”.
【初步探究】
(1)直接寫出計算結(jié)果:2限5,(―f?=-8
(2)關于除方,下列說法錯誤的是C
A.任何非零數(shù)的圈2次方都等于1;
B.對于任何正整數(shù)”,1?=1;
C.3④=4③;
D.負數(shù)的圈奇數(shù)次方結(jié)果是負數(shù),負數(shù)的圈偶數(shù)次方結(jié)果是正數(shù).
【深化思考】
我們知道,有理數(shù)的減法運算可以轉(zhuǎn)化為加法運算,除法運算可以轉(zhuǎn)化為乘法運算,有理數(shù)的除
方運算如何轉(zhuǎn)化為乘方運算呢?
(1)試一試:仿照上面的算式,將下列運算結(jié)果直接寫成事的形式.
(-3)?=;5?=電4;(_1)?=(-2)8.
(2)想一想:將一個非零有理數(shù)a的圈n次方寫成幕的形式等于產(chǎn);
(3)算一算:12?+(-1)?X(-2)⑤-(―號)?4-33.
試題分析:【概念學習】
(1)分別按公式進行計算即可;
(2)依據(jù)定義依次判定即可;
【深化思考】
(1)把除法化為乘法,第一個數(shù)不變,從其次個數(shù)開頭依次變?yōu)榈箶?shù),由此分別得出結(jié)果;
(2)結(jié)果前兩個數(shù)相除為1,第三個數(shù)及后面的數(shù)變?yōu)榻駝t“?二^義弓)"一1;
(3)將其次問的規(guī)律代入計算,留意運算挨次.
答案詳解:解:【概念學習】
(1)2③=2+2+2=
(-1)⑤=(一)+(-1)+(-1)4-(-1)4-(-1)=14-(-1)+(-1)+(-1)=
乙乙乙乙乙乙乙乙乙
11
(-2)4-(-1):(-1)=-8
所以答案是:-8;
(2)4任何非零數(shù)的圈2次方就是兩個相同數(shù)相除,所以都等于1;所以選項A正確;
B、由于多少個1相除都是1,所以對于任何正整數(shù)”,1?都等于1;所以選項8正確;
C、3④=34-3+3+3=1,4③=4+4+4=J,貝!]3④W4③;所以選項C錯誤;
D,負數(shù)的圈奇數(shù)次方,相當于奇數(shù)個負數(shù)相除,則結(jié)果是負數(shù),負數(shù)的圈偶數(shù)次方,相當于偶
數(shù)個負數(shù)相除,則結(jié)果是正數(shù).所以選項。正確;
本題選擇說法錯誤的,所以選C;
【深化思考】
(1)(-3)"'=(-3)4-(-3)4-(-3)4-(-3)=1x(-32=(—32;
5⑥=5+5+5+5+5+5=(1)4;
同理得:(一/?=(-2)8;
所以答案是:(―32;(J),;(-2)8;
(2)a?=由葉2;
(3)d+(-1)@X(-2)(-1)⑥),
=144+(-3)2X(-1)3-(-3)44-33,
11
=144xix(-^)-814-27,
1
=16X(一。-3,
O
=-2-3,
=-5.
18.探究規(guī)律,完成相關題目
沸羊羊說:“我定義了一種新的運算,叫※(加乘)運算
然后他寫出了一些依據(jù)※(加乘)運算的運算法則進行運算的算式:
(+5)※(+2)=+7;(-3)米(-5)=+8;
(-3)米(+4)=-7;(+5)米(-6)=-11;
0米(+8)=8;(-6)※0=6.
智羊羊看了這些算式后說:“我知道你定義的※(加乘)運算的運算法則了
聰慧的你也明白了嗎?
(1)歸納※(加乘)運算的運算法則:
兩數(shù)進行米(加乘)運算時,同號得正,異號得負,并把確定值相加.
特殊地,0和任何數(shù)進行※(加乘)運算,或任何數(shù)和0進行※(加乘)運算,等于這個數(shù)的
確定值.
(2)計算:(-2)米[0米(-1)1=-3.(括號的作用與它在有理數(shù)運算中的作用全都)
(3)我們知道加法有交換律和結(jié)合律,這兩種運算律在有理數(shù)的※(加乘)運算中還適用嗎?請
你任選一個運算律,推斷它在※(加乘)運算中是否適用,并舉例驗證.(舉一個例子即可)
試題分析:(1)首先依據(jù)※(加乘)運算的運算法則進行運算的算式,歸納出※(加乘)運算的
運算法則即可;然后依據(jù):0米(+8)=8;(-6)米0=6,可得:0和任何數(shù)進行米(加乘)運
算,或任何數(shù)和0進行米(加乘)運算,等于這個數(shù)的確定值.
(2)依據(jù)(1)中總結(jié)出的※(加乘)運算的運算法則,以及有理數(shù)的混合運算的運算方法,求
出(-2)米[。米(-1)]的值是多少即可.
(3)加法有交換律和結(jié)合律,這兩種運算律在有理數(shù)的米(加乘)運算中還適用,并舉例驗證加
法交換律適用即可.
答案詳解:解:⑴歸納※(加乘)運算的運算法則:
兩數(shù)進行米(加乘)運算時,同號得正,異號得負,并把確定值相加.
特殊地,0和任何數(shù)進行※(加乘)運算,或任何數(shù)和0進行※(加乘)運算,等于這個數(shù)的確
定值.
(2)(-2)米[0米(-1)]
=(-2)米1
=-3
(3)加法交換律和加法結(jié)合律在有理數(shù)的米(加乘)運算中還適用.
由米(加乘)運算的運算法則可知:
(+5)米(+2)=+7,
(+2)米(+5)=+7,
所以(+5)米(+2)=(+2)米(+5),
即加法交換律在有理數(shù)的米(加乘)運算中還適用.
所以答案是:同號得正,異號得負,并把確定值相加;等于這個數(shù)的確定值;-3.
六.類比推理--規(guī)律類的鑰匙
19.類比推理是一種重要的推理方法,依據(jù)兩種事物在某些特征上相像,得出它們在其他特征上也
可能相像的結(jié)論.閱讀感知:在異分母的分數(shù)的加減法中,往往先化作同分母,然后分子相加減,
例如:;一J=3—2=="我們將上述計算過程倒過來,得到;=*=;—3
232X33X26662x323
這一恒等變形過程在數(shù)學中叫做裂項.類似地,對于1可以用裂項的方法變形為:-1=11
4X64X624
1).類比上述方法,解決以下問題.
111
【類比探究】(1)猜想并寫出:
nx(n+l)n7i+l
1111
【理解運用】(2)類比裂項的方法,計算:---+----+----++;
1X22X33X499X100
11111
【遷移應用】(3)探究并計算:+—-++--+…+--------------
-1x3-3x5-5x7-7x9-2024X2023
試題分析:(1)依據(jù)題目中的例子,可以寫出相應的猜想;
(2)依據(jù)式子的特點,接受裂項抵消法可以解答本題;
(3)將題目中的式子變形,然后裂項抵消即可解答本題.
11
答案詳解:解:
nx(n+l)nn+1
1
所以答案是:-
nn+1
⑵由⑴易得:(1一}+焉一》+(,》+…+焉一y^)
=1-77+77-0++,,,+99-100
100
99
100;
11111
++++...+
-1X3-3X5-5X7-7X9-2024X2023
22222
X(---+----+----+----+…+----------)
1X33X55X77X92024x2023
111111111
X(1-3+3-5+5_7+7_9+-"+2024-2023)
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