2024屆甘肅省高三下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2甘肅省2024屆高三下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題1.集合中的最大負(fù)角為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)椋约现械淖畲筘?fù)角為.故選：C.2.復(fù)數(shù)分別對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)，若將按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意，所以，所以.故選：A.3.已知直角斜邊的中點(diǎn)為O，且，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)辄c(diǎn)是直角斜邊的中點(diǎn)，且，所以，則為等邊三角形，，又因?yàn)槭侵苯侨切危?，所以，向量在向量上的投影向量為?故選：B.4.北京時(shí)間2023年12月18日23時(shí)59分，甘肅省臨夏州積石山縣發(fā)生里氏6.2級(jí)地震，震源深度10公里．面對(duì)突發(fā)災(zāi)情，社會(huì)各界和愛(ài)心人士發(fā)揚(yáng)“一方有難、八方支援”的中華民族團(tuán)結(jié)互助、無(wú)私奉獻(xiàn)的大愛(ài)精神，幫助災(zāi)區(qū)群眾渡過(guò)難關(guān)．震級(jí)是以地震儀測(cè)定的每次地震活動(dòng)釋放的能量多少來(lái)確定的，我國(guó)目前使用的震級(jí)標(biāo)準(zhǔn)，是國(guó)際上通用的里氏分級(jí)表，共分9個(gè)等級(jí)．能量E與里氏震級(jí)M的對(duì)應(yīng)關(guān)系為，試估計(jì)里氏震級(jí)每上升兩級(jí)，能量是原來(lái)的（）A.100倍 B.512倍 C.1000倍 D.1012倍〖答案〗C〖解析〗由，設(shè)，則，即，.故選：C.5.數(shù)列的前n項(xiàng)和為，設(shè)甲：;乙：為等差數(shù)列．則甲是乙的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗對(duì)于等差數(shù)列，顯然有，這說(shuō)明了甲是乙的必要條件；設(shè)等差數(shù)列：，共有項(xiàng)，，我們按如下方式重新排列等差數(shù)列中的數(shù)字：，此時(shí)該數(shù)列不是等差數(shù)列，但是它的前項(xiàng)和依然滿(mǎn)足，綜上所述，甲是乙的必要不充分條件.故選：B.6.如果集合U存在一組兩兩不交（兩個(gè)集合交集為空集時(shí)，稱(chēng)為不交）的非空子集,且滿(mǎn)足,那么稱(chēng)子集組構(gòu)成集合U的一個(gè)k劃分．若集合I中含有4個(gè)元素，則集合I的所有劃分的個(gè)數(shù)為（）A.7個(gè) B.9個(gè) C.10個(gè) D.14個(gè)〖答案〗D〖解析〗不妨設(shè)，則：的2劃分有，，，，，，；的3劃分有，，，，，；的4劃分只有.綜上，的劃分共有個(gè)，D正確.故選：D.7.計(jì)算（）A.2 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?故選：D.8.已知定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足,且當(dāng)時(shí)，,若，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，所以的圖象關(guān)于成軸對(duì)稱(chēng)，注意到當(dāng)時(shí)，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可得在上為增函數(shù)，故在上為增函數(shù)，所以距離越遠(yuǎn)值越大，因?yàn)?，距離最遠(yuǎn)的為，故最大，而，且，所以，綜上所述，.故選：A.二、選擇題9.甘肅省人民政府于2021年9月11日印發(fā)實(shí)施《甘肅省深化高等學(xué)?？荚囌猩C合改革實(shí)施方案》，規(guī)定“從2021年秋季入學(xué)的普通高中一年級(jí)學(xué)生開(kāi)始，實(shí)行基于統(tǒng)一高考和高中學(xué)業(yè)水平考試成績(jī)、參考綜合素質(zhì)評(píng)價(jià)的高?？荚囌猩Ｊ健?，即：統(tǒng)一高考科目為語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)3門(mén)，使用全國(guó)統(tǒng)一試卷，不分文理科；選擇性考試中首選科目為物理或歷史；再選科目為思想政治、地理、化學(xué)、生物學(xué)（從4門(mén)中選擇2門(mén)）．某市一高中學(xué)校為科學(xué)設(shè)定學(xué)校設(shè)置組合的種類(lèi)，在高一年級(jí)進(jìn)行了一次預(yù)選科，結(jié)果顯示全年級(jí)選物理的學(xué)生占，選物理后再選政治的占，選歷史后再選政治的占，則（）A.若記“選政治”為事件A，則B.若記“選政治”為事件A，“選物理”為事件B，則C.從全年級(jí)的學(xué)生中任選5人，記選政治的人數(shù)為隨機(jī)變量X，則D.從全年級(jí)的學(xué)生中任選100人，記選政治的人數(shù)為隨機(jī)變量X，則〖答案〗AD〖解析〗記“選政治”為事件A，“選物理”為事件B，則“選歷史”為事件，由題意可知：，故B錯(cuò)誤；對(duì)于A：由全概率公式可知：，故A正確；對(duì)于C：若從全年級(jí)的學(xué)生中任選5人，可知，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：若從全年級(jí)的學(xué)生中任選100人，可知，所以，故D正確；故選：AD.10.如圖所示，長(zhǎng)方體的表面積為6，，則（）A.該長(zhǎng)方體不可能為正方體B.該長(zhǎng)體體積的最大值為1C.若長(zhǎng)方體下底面的一條邊長(zhǎng)為2，則三棱錐的體積為D.該長(zhǎng)方體外接球表面積的最小值為〖答案〗BD〖解析〗設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬分別為，因?yàn)殚L(zhǎng)方體的表面積為6，所以，，對(duì)于A，若，滿(mǎn)足，所以該長(zhǎng)方體可能為正方體，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，所以，解得：，即，所以長(zhǎng)方體體積的最大值為，故B正確；對(duì)于C，若長(zhǎng)方體下底面的一條邊長(zhǎng)為2，設(shè)，則，解得：，此時(shí)長(zhǎng)方體的體積為，因?yàn)槿忮F，，，三棱錐的體積，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，長(zhǎng)方體外接球的半徑為，，所以，所以長(zhǎng)方體外接球表面積為，因?yàn)?，所以則，令，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以,故D正確.故選：BD.11.拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對(duì)稱(chēng)軸的方向射出．已知拋物線的焦點(diǎn)為F,一條光線從沿平行x軸的直線方向射出，與拋物線交于點(diǎn)P,經(jīng)過(guò)點(diǎn)P反射后，與拋物線交于另一點(diǎn)Q,經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q反射后，沿直線進(jìn)入光源接收器，則（）A.當(dāng)點(diǎn)P,Q的橫坐標(biāo)之積為1時(shí)，拋物線的方程為B.當(dāng),且時(shí)，直線的方程為C.當(dāng)直線間的最小距離為8時(shí)，該光線經(jīng)過(guò)的路程為12D.點(diǎn)M為拋物線的準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別為，當(dāng)時(shí)，有恒成立．〖答案〗ABD〖解析〗設(shè)直線:，，聯(lián)立，，，，，，.對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，解得，此時(shí)拋物線的方程為，A正確.對(duì)于B，①，因?yàn)樵趻佄锞€上，，所以，點(diǎn)也在直線上，所以，即，代入①可得，所以直線的方程為，即，B正確.對(duì)于C，由題意直線間的距離為，可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到等號(hào)，因?yàn)橹本€間的最小距離為8，所以，解得.此時(shí)的方程為，光線經(jīng)過(guò)的路程為，C不正確.對(duì)于D，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，此時(shí)，，，.，所以，D正確.故選：ABD三、填空題12.某公司人力資源部為了解員工的工作積極性和對(duì)待公司改革態(tài)度的關(guān)系，調(diào)查了75名員工，得到以下列聯(lián)表：支持改革情況工作態(tài)度合計(jì)積極欠積極支持402060不支持51015合計(jì)453075根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果，認(rèn)為“平時(shí)工作態(tài)度積極和支持公司改革有關(guān)”犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)__________．附：,其中．0.100.050.0050.0012.7063.8417.87910.828〖答案〗〖解析〗設(shè)零假設(shè)：平時(shí)工作態(tài)度積極和支持公司改革無(wú)關(guān)，，故認(rèn)為“平時(shí)工作態(tài)度積極和支持公司改革有關(guān)”犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò).故〖答案〗：.13.過(guò)圓外一點(diǎn)向圓O引兩條切線和（其中A,B為切點(diǎn)），使得，則實(shí)數(shù)a,b滿(mǎn)足的等量關(guān)系為_(kāi)_________，的取值范圍為_(kāi)_________．〖答案〗〖解析〗如圖，易知：，由，可得：，在中，，所以，所以點(diǎn)表示以原點(diǎn)為圓心，半徑為圓，表示到直線距離的倍，而原點(diǎn)到直線距離為：，所以到直線距離的最大值為，最小值為，所以.故〖答案〗為：；.14.的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，點(diǎn)P為的垂心，若已知，記線段的長(zhǎng)度分別為x，y，z，則__________．〖答案〗〖解析〗由，知是銳角三角形.如圖，記是的三條高，點(diǎn)分別在線段上，則是線段的交點(diǎn).由于，故，這里是的外接圓半徑，所以，同理，.故.故〖答案〗為：.四、解答題15.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；（2）若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且在上為減函數(shù)，求ω的取值范圍．解：（1）因?yàn)?，所以，故，且，從而，此時(shí)函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程，即.（2），，因?yàn)樵谏蠟闇p函數(shù)，所以在上恒成立，即在上恒成立，也就是在上恒成立，注意到，且當(dāng)時(shí)，有，所以當(dāng)且僅當(dāng)滿(mǎn)足題意，解得，也就是說(shuō)ω的取值范圍為.16.如圖1，菱形的邊長(zhǎng)為,將其沿折疊形成如圖2所示的三棱錐．（1）證明：三棱錐中，;（2）當(dāng)點(diǎn)A在平面的投影為的重心時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值．（1）證明：記的中點(diǎn)為，由菱形的性質(zhì)，有，，所以，.而和在平面內(nèi)交于點(diǎn)，故垂直于平面.又因?yàn)樵谄矫鎯?nèi)，所以.（2）解：設(shè)的重心為點(diǎn)，則垂直于平面.這表明直線與平面所成角等于，故所求正弦值即為的值.由于，，故，.從而，故.所以直線與平面所成角的正弦值是.17.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，求；（3）證明：．（1）解：因?yàn)棰伲?dāng)時(shí)，②，所以①②得到，即，又，滿(mǎn)足，所以.（2）解：因?yàn)?，所?（3）證明：因?yàn)?，所以，?18.民間諺語(yǔ)“楊柳兒活，抽陀螺；楊柳兒背，放空竹；楊柳兒死，踢毽子”，體現(xiàn)隨著季節(jié)變化，可以進(jìn)行不同健身活動(dòng)，其中踢毽子在我國(guó)流傳很廣，有著悠久的歷史．據(jù)考證，踢毽子起源于中國(guó)漢代，盛行于六朝、隋、唐．某市高中學(xué)校為弘揚(yáng)傳統(tǒng)文化，增強(qiáng)學(xué)生身體素質(zhì)，在高一年級(jí)開(kāi)展了“人人參與”“團(tuán)隊(duì)競(jìng)賽”的踢毽子活動(dòng)．在“人人參與”的環(huán)節(jié)中記錄高一年級(jí)700名學(xué)生每人每分鐘踢毽子的次數(shù)，從中抽取100名學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，如圖所示，得到樣本的頻率分布直方圖．將踢毽子每分鐘次數(shù)樣本數(shù)據(jù)第60百分位數(shù)（精確到1），記為“達(dá)標(biāo)”的指標(biāo)界值．（1）請(qǐng)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，求高一年級(jí)學(xué)生踢毽子“達(dá)標(biāo)”的指標(biāo)界值；（2）“團(tuán)體競(jìng)賽”規(guī)則為，每班選出由3名選手組成的代表隊(duì)參賽，上場(chǎng)的甲、乙、丙3人，由甲將毽子等可能的踢給另外兩人中的1人，接到毽子的人再等可能的踢向另外兩人中的1人，如此不停的傳下去，直到有選手沒(méi)有接到毽子則比賽結(jié)束，記錄此時(shí)的傳踢個(gè)數(shù)作為團(tuán)隊(duì)成績(jī)．記第次傳踢之前毽子在甲的概率為，易知．求第6次傳踢前，毽子傳到甲的概率，并討論第i次傳踢前（且）毽子在甲、乙、丙三人中哪一人的概率最大．解：（1）設(shè)高一年級(jí)學(xué)生踢毽子“達(dá)標(biāo)”的指標(biāo)界值為，由于前四組的頻率之和為，前五組的頻率之和為，可得，依題意有：，即.（2）設(shè)第i次傳踢之前毽子在乙、丙的概率為，則有，，所以，即有，所以為等比數(shù)列，其中首項(xiàng)為，公比為，所以，即，故，為偶數(shù)時(shí)，，毽子在乙、丙的概率較大，為奇數(shù)時(shí)，，毽子在甲概率較大.19.曲線的曲率是描述幾何彎曲程度的量，曲率越大，曲線的彎曲程度越大．曲線在點(diǎn)M處的曲率（其中表示函數(shù)在點(diǎn)M處的導(dǎo)數(shù)，表示導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)M處的導(dǎo)數(shù)）．在曲線上點(diǎn)M處的法線（過(guò)該點(diǎn)且垂直于該點(diǎn)處的切線的直線為曲線在此處的法線）指向曲線凹的一側(cè)上取一點(diǎn)D,使得，則稱(chēng)以D為圓心，以為半徑的圓為曲線在M處的曲率圓，因?yàn)榇饲蕡A與曲線弧度密切程度非常好，且再?zèng)]有圓能介于此圓與曲線之間而與曲線相切，所以又稱(chēng)此圓為曲線在此處的密切圓．（1）求出曲線在點(diǎn)處的曲率，并在曲線的圖象上找一個(gè)點(diǎn)E，使曲線在點(diǎn)E處的曲率與曲線在點(diǎn)處的曲率相同；（2）若要在曲線上支凹側(cè)放置圓使其能在處與曲線相切且半徑最大，求圓的方程；（3）在（2）的條件下，在圓上任取一點(diǎn)P，曲線上任取關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)A，B，求的最大值．解：（1）曲線在點(diǎn)附近滿(mǎn)足，進(jìn)一步有，，故其曲率.在處，，所以曲線在點(diǎn)處的曲率為.考慮曲線上的點(diǎn)，曲線在該點(diǎn)附近滿(mǎn)足，進(jìn)一步有，，故其曲率.在處，，所以曲線在點(diǎn)處的曲率亦為.（2）設(shè)的方程為，，由條件知，由和組成的方程組只有一個(gè)解.將其聯(lián)立，得到，即，即.若，則原方程組還有另一個(gè)解，矛盾.而時(shí)，我們有，從而，，故，這表明原方程組只有一個(gè)解.所以所求的半徑最大的圓的方程為.（3）首先有.設(shè)，則我們又有，，故.當(dāng)，時(shí)，.所以的最大值是.甘肅省2024屆高三下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題1.集合中的最大負(fù)角為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，所以集合中的最大?fù)角為.故選：C.2.復(fù)數(shù)分別對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)，若將按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意，所以，所以.故選：A.3.已知直角斜邊的中點(diǎn)為O，且，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)辄c(diǎn)是直角斜邊的中點(diǎn)，且，所以，則為等邊三角形，，又因?yàn)槭侵苯侨切?，所以，所以，向量在向量上的投影向量為?故選：B.4.北京時(shí)間2023年12月18日23時(shí)59分，甘肅省臨夏州積石山縣發(fā)生里氏6.2級(jí)地震，震源深度10公里．面對(duì)突發(fā)災(zāi)情，社會(huì)各界和愛(ài)心人士發(fā)揚(yáng)“一方有難、八方支援”的中華民族團(tuán)結(jié)互助、無(wú)私奉獻(xiàn)的大愛(ài)精神，幫助災(zāi)區(qū)群眾渡過(guò)難關(guān)．震級(jí)是以地震儀測(cè)定的每次地震活動(dòng)釋放的能量多少來(lái)確定的，我國(guó)目前使用的震級(jí)標(biāo)準(zhǔn)，是國(guó)際上通用的里氏分級(jí)表，共分9個(gè)等級(jí)．能量E與里氏震級(jí)M的對(duì)應(yīng)關(guān)系為，試估計(jì)里氏震級(jí)每上升兩級(jí)，能量是原來(lái)的（）A.100倍 B.512倍 C.1000倍 D.1012倍〖答案〗C〖解析〗由，設(shè)，則，即，.故選：C.5.數(shù)列的前n項(xiàng)和為，設(shè)甲：;乙：為等差數(shù)列．則甲是乙的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗對(duì)于等差數(shù)列，顯然有，這說(shuō)明了甲是乙的必要條件；設(shè)等差數(shù)列：，共有項(xiàng)，，我們按如下方式重新排列等差數(shù)列中的數(shù)字：，此時(shí)該數(shù)列不是等差數(shù)列，但是它的前項(xiàng)和依然滿(mǎn)足，綜上所述，甲是乙的必要不充分條件.故選：B.6.如果集合U存在一組兩兩不交（兩個(gè)集合交集為空集時(shí)，稱(chēng)為不交）的非空子集,且滿(mǎn)足,那么稱(chēng)子集組構(gòu)成集合U的一個(gè)k劃分．若集合I中含有4個(gè)元素，則集合I的所有劃分的個(gè)數(shù)為（）A.7個(gè) B.9個(gè) C.10個(gè) D.14個(gè)〖答案〗D〖解析〗不妨設(shè)，則：的2劃分有，，，，，，；的3劃分有，，，，，；的4劃分只有.綜上，的劃分共有個(gè)，D正確.故選：D.7.計(jì)算（）A.2 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?故選：D.8.已知定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足,且當(dāng)時(shí)，,若，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)椋缘膱D象關(guān)于成軸對(duì)稱(chēng)，注意到當(dāng)時(shí)，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可得在上為增函數(shù)，故在上為增函數(shù)，所以距離越遠(yuǎn)值越大，因?yàn)?，距離最遠(yuǎn)的為，故最大，而，且，所以，綜上所述，.故選：A.二、選擇題9.甘肅省人民政府于2021年9月11日印發(fā)實(shí)施《甘肅省深化高等學(xué)校考試招生綜合改革實(shí)施方案》，規(guī)定“從2021年秋季入學(xué)的普通高中一年級(jí)學(xué)生開(kāi)始，實(shí)行基于統(tǒng)一高考和高中學(xué)業(yè)水平考試成績(jī)、參考綜合素質(zhì)評(píng)價(jià)的高校考試招生模式”，即：統(tǒng)一高考科目為語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)3門(mén)，使用全國(guó)統(tǒng)一試卷，不分文理科；選擇性考試中首選科目為物理或歷史；再選科目為思想政治、地理、化學(xué)、生物學(xué)（從4門(mén)中選擇2門(mén)）．某市一高中學(xué)校為科學(xué)設(shè)定學(xué)校設(shè)置組合的種類(lèi)，在高一年級(jí)進(jìn)行了一次預(yù)選科，結(jié)果顯示全年級(jí)選物理的學(xué)生占，選物理后再選政治的占，選歷史后再選政治的占，則（）A.若記“選政治”為事件A，則B.若記“選政治”為事件A，“選物理”為事件B，則C.從全年級(jí)的學(xué)生中任選5人，記選政治的人數(shù)為隨機(jī)變量X，則D.從全年級(jí)的學(xué)生中任選100人，記選政治的人數(shù)為隨機(jī)變量X，則〖答案〗AD〖解析〗記“選政治”為事件A，“選物理”為事件B，則“選歷史”為事件，由題意可知：，故B錯(cuò)誤；對(duì)于A：由全概率公式可知：，故A正確；對(duì)于C：若從全年級(jí)的學(xué)生中任選5人，可知，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：若從全年級(jí)的學(xué)生中任選100人，可知，所以，故D正確；故選：AD.10.如圖所示，長(zhǎng)方體的表面積為6，，則（）A.該長(zhǎng)方體不可能為正方體B.該長(zhǎng)體體積的最大值為1C.若長(zhǎng)方體下底面的一條邊長(zhǎng)為2，則三棱錐的體積為D.該長(zhǎng)方體外接球表面積的最小值為〖答案〗BD〖解析〗設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬分別為，因?yàn)殚L(zhǎng)方體的表面積為6，所以，，對(duì)于A，若，滿(mǎn)足，所以該長(zhǎng)方體可能為正方體，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，所以，解得：，即，所以長(zhǎng)方體體積的最大值為，故B正確；對(duì)于C，若長(zhǎng)方體下底面的一條邊長(zhǎng)為2，設(shè)，則，解得：，此時(shí)長(zhǎng)方體的體積為，因?yàn)槿忮F，，，三棱錐的體積，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，長(zhǎng)方體外接球的半徑為，，所以，所以長(zhǎng)方體外接球表面積為，因?yàn)?，所以則，令，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以,故D正確.故選：BD.11.拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對(duì)稱(chēng)軸的方向射出．已知拋物線的焦點(diǎn)為F,一條光線從沿平行x軸的直線方向射出，與拋物線交于點(diǎn)P,經(jīng)過(guò)點(diǎn)P反射后，與拋物線交于另一點(diǎn)Q,經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q反射后，沿直線進(jìn)入光源接收器，則（）A.當(dāng)點(diǎn)P,Q的橫坐標(biāo)之積為1時(shí)，拋物線的方程為B.當(dāng),且時(shí)，直線的方程為C.當(dāng)直線間的最小距離為8時(shí)，該光線經(jīng)過(guò)的路程為12D.點(diǎn)M為拋物線的準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別為，當(dāng)時(shí)，有恒成立．〖答案〗ABD〖解析〗設(shè)直線:，，聯(lián)立，，，，，，.對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，解得，此時(shí)拋物線的方程為，A正確.對(duì)于B，①，因?yàn)樵趻佄锞€上，，所以，點(diǎn)也在直線上，所以，即，代入①可得，所以直線的方程為，即，B正確.對(duì)于C，由題意直線間的距離為，可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到等號(hào)，因?yàn)橹本€間的最小距離為8，所以，解得.此時(shí)的方程為，光線經(jīng)過(guò)的路程為，C不正確.對(duì)于D，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，此時(shí)，，，.，所以，D正確.故選：ABD三、填空題12.某公司人力資源部為了解員工的工作積極性和對(duì)待公司改革態(tài)度的關(guān)系，調(diào)查了75名員工，得到以下列聯(lián)表：支持改革情況工作態(tài)度合計(jì)積極欠積極支持402060不支持51015合計(jì)453075根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果，認(rèn)為“平時(shí)工作態(tài)度積極和支持公司改革有關(guān)”犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)__________．附：,其中．0.100.050.0050.0012.7063.8417.87910.828〖答案〗〖解析〗設(shè)零假設(shè)：平時(shí)工作態(tài)度積極和支持公司改革無(wú)關(guān)，，故認(rèn)為“平時(shí)工作態(tài)度積極和支持公司改革有關(guān)”犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò).故〖答案〗：.13.過(guò)圓外一點(diǎn)向圓O引兩條切線和（其中A,B為切點(diǎn)），使得，則實(shí)數(shù)a,b滿(mǎn)足的等量關(guān)系為_(kāi)_________，的取值范圍為_(kāi)_________．〖答案〗〖解析〗如圖，易知：，由，可得：，在中，，所以，所以點(diǎn)表示以原點(diǎn)為圓心，半徑為圓，表示到直線距離的倍，而原點(diǎn)到直線距離為：，所以到直線距離的最大值為，最小值為，所以.故〖答案〗為：；.14.的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，點(diǎn)P為的垂心，若已知，記線段的長(zhǎng)度分別為x，y，z，則__________．〖答案〗〖解析〗由，知是銳角三角形.如圖，記是的三條高，點(diǎn)分別在線段上，則是線段的交點(diǎn).由于，故，這里是的外接圓半徑，所以，同理，.故.故〖答案〗為：.四、解答題15.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；（2）若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且在上為減函數(shù)，求ω的取值范圍．解：（1）因?yàn)椋?，故，且，從而，此時(shí)函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程，即.（2），，因?yàn)樵谏蠟闇p函數(shù)，所以在上恒成立，即在上恒成立，也就是在上恒成立，注意到，且當(dāng)時(shí)，有，所以當(dāng)且僅當(dāng)滿(mǎn)足題意，解得，也就是說(shuō)ω的取值范圍為.16.如圖1，菱形的邊長(zhǎng)為,將其沿折疊形成如圖2所示的三棱錐．（1）證明：三棱錐中，;（2）當(dāng)點(diǎn)A在平面的投影為的重心時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值．（1）證明：記的中點(diǎn)為，由菱形的性質(zhì)，有，，所以，.而和在平面內(nèi)交于點(diǎn)，故垂直于平面.又因?yàn)樵谄矫鎯?nèi)，所以.（2）解：設(shè)的重心為點(diǎn)，則垂直于平面.這表明直線與平面所成角等于，故所求正弦值即為的值.由于，，故，.從而，故.所以直線與平面所成角的正弦值是.17.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，求；（3）證明：．（1）解：因?yàn)棰?，?dāng)時(shí)，②，所以①②得到，即，又，滿(mǎn)足，所以.（2）解：因?yàn)椋?（3）證明：因?yàn)?，所以，?18.民間諺語(yǔ)“楊柳兒活，抽陀螺；楊柳兒背，放空竹；楊柳兒死，踢毽子”，體現(xiàn)隨著季節(jié)變化，可以進(jìn)行不同健身活動(dòng)，其中踢毽子在我國(guó)流傳很廣，有著悠久的歷史．據(jù)考證，踢毽子起源于中國(guó)漢代，盛行于六朝、隋、唐．某市高中學(xué)校為弘揚(yáng)傳統(tǒng)文化，增強(qiáng)學(xué)生身體素質(zhì)，在高一年級(jí)開(kāi)展了“人人參與”“團(tuán)隊(duì)競(jìng)賽”的踢毽子活動(dòng)．在“人人參與”的環(huán)節(jié)中記錄高一年級(jí)700名學(xué)生每人每分鐘踢毽子的次數(shù)，從中抽取100名學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，如圖所示，得到樣本的頻率分布直方圖．將踢毽子每分鐘次數(shù)樣本數(shù)據(jù)第60百分位數(shù)（精確到1），記為“達(dá)標(biāo)”的指標(biāo)界值．（