2024年高考押題預(yù)測(cè)數(shù)學(xué)（理）試題（全國(guó)卷1）含解析

絕密★啟用前

2024年高考押題預(yù)測(cè)卷【全國(guó)卷】

理科.數(shù)學(xué)01

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在木試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（選擇題共60分）

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的。

1.已知集合A={x[—l<x<2},2={y|y=log3（4+3）},則A-8=（）

A.(-2,1)B.(fl)C.[1,2)D.(l,+oo)

3+4i

2，(3-i)2-1)

11.1.11.

A.—B.—1C.——iD.-+-i

22222

3.如圖，在平行四邊形A3CD中，E為線段3c的中點(diǎn)，AB=3,AD=2也,/BAD=45°,則AC.AE=（）

A.20B.22C.24D.25

4.在-吹]（〃eN+）的展開式中，所有的二項(xiàng)式系數(shù)之和為32,則所有項(xiàng)系數(shù)和為（）

A.32B.-32C.0D.1

則cos?+兀)Tin|

5.已知直線/：2x+3y-l=0的傾斜角為巴

99-66

A.—B.一C.—D.——

13131313

6.如圖，現(xiàn)有棱長(zhǎng)為6cm的正方體玉石缺失了一個(gè)角，缺失部分為正三棱錐A-E/G,且及￡G分別為

棱A4A練AR靠近4的四等分點(diǎn)，若將該玉石打磨成一個(gè)球形飾品，則該球形飾品的體積的最大值為

()

A.273兀cn?B.3671cm3

2

廠125733n”3

C.--------兀cmD.7271cm3

2

15f

7.a=031,,/?=log312,c=log26,<7=則有（）

A.a>b>cB.b>a>d

C.c>a>bD.b>c>a

8.純電動(dòng)汽車是以車載電源為動(dòng)力，用電機(jī)驅(qū)動(dòng)車輪行駛，符合道路交通、安全法規(guī)各項(xiàng)要求的車輛，它

使用存儲(chǔ)在電池中的電來發(fā)動(dòng).因其對(duì)環(huán)境影響較小，逐漸成為當(dāng)今世界的乘用車的發(fā)展方向.研究發(fā)

現(xiàn)電池的容量隨放電電流的大小而改變，1898年P(guān)eukert提出鉛酸電池的容量C、放電時(shí)間，和放電電流

/之間關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)公式：C=I",其中幾為與蓄電池結(jié)構(gòu)有關(guān)的常數(shù)（稱為Peukert常數(shù)），在電池容

量不變的條件下，當(dāng)放電電流為7.5A時(shí)，放電時(shí)間為60h；當(dāng)放電電流為25A時(shí)，放電時(shí)間為15h,則

該蓄電池的Peukert常數(shù)％約為（參考數(shù)據(jù)：1g2?0.301,1g3?0.477）（）

A.1.12B.1.13

C.1.14D.1.15

\PA\

9.已知點(diǎn)A（3,0）,點(diǎn)尸是拋物線C:9=4x上任一點(diǎn)，尸為拋物線C的焦點(diǎn)，則含土的最小值為（）

PF+1

A2西口2a「后c屈

L.-----kJ.-----

17171717

11111

10.設(shè)S"為等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，82023=200,6012=10，貝U—+——+—+…+------+-------=()

%。2〃3”2022”2023

A.20B.10C.5D.2

22

11.已知雙曲線=1（。>0,6>0）的焦點(diǎn)恰好為矩形43。的長(zhǎng)邊中點(diǎn)，且該矩形的頂點(diǎn)都在雙曲

ab

線上，矩形的長(zhǎng)寬比為2:1,則雙曲線的離心率為（）

A.2+272B.3+2&C.1+3D.20-2

12.己知函數(shù)〃尤)=2*-依-6恰有一個(gè)零點(diǎn)看,5.b>k>0,則％的取值范圍為()

第二部分(非選擇題共90分)

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分

13.有5位大學(xué)生要分配到AB,C三個(gè)單位實(shí)習(xí)，每位學(xué)生只能到一個(gè)單位實(shí)習(xí)，每個(gè)單位至少要接收一位

學(xué)生實(shí)習(xí)，已知這5位學(xué)生中的甲同學(xué)分配在A單位實(shí)習(xí)，則這5位學(xué)生實(shí)習(xí)的不同分配方案有

種.(用數(shù)字作答)

14.定義在R上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為r(x),且有/(-3)=-12,〃_司+〃力=0,且對(duì)任意xeR都有

/⑺>3,則使得/(e*)-3e，—320成立的x的取值范圍是.

15.在平面直角坐標(biāo)系中，尸的坐標(biāo)滿足(fJ+2),feR,已知圓C:(x-3F+y2=1,過尸作圓C的兩條切

線，切點(diǎn)分別為A,2,當(dāng)NAP6最大時(shí)，圓C關(guān)于點(diǎn)尸對(duì)稱的圓的方程為.

16.如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-AqG。中，AB=3,BC=CCX=2,M,N分別為BC,CC；的中點(diǎn)，點(diǎn)P在

矩形BCC,B｝內(nèi)運(yùn)動(dòng)(包括邊界)，若4尸〃平面AMN,則4尸取最小值時(shí),三棱錐P-MA.B的體積為

三、解答題：本大題共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21題為必考題，每個(gè)試

題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(-)必考題：共60分.

17.(12分)已知在四邊形ABCD中，△姒)為銳角三角形，對(duì)角線AC與8。相交于點(diǎn)。,

AD=2,AC^4,BD=y/6,ZABD=-.

4

⑴求AB;

⑵求四邊形ABC。面積的最大值.

18.(12分)遠(yuǎn)程桌面連接是一種常見的遠(yuǎn)程操作電腦的方法，除了windows系統(tǒng)中可以使用內(nèi)置的應(yīng)用程

序，通過輸入IP地址等連接到他人電腦，也可以通過向日葵，anyviewer等遠(yuǎn)程桌面軟件，雙方一起打

開軟件，通過軟件隨機(jī)產(chǎn)生的對(duì)接碼，安全的遠(yuǎn)程訪問和控制另一臺(tái)電腦.某遠(yuǎn)程桌面軟件的對(duì)接碼是

一個(gè)由“1,2,3”這3個(gè)數(shù)字組成的五位數(shù)，每個(gè)數(shù)字至少出現(xiàn)一次.

(1)求滿足條件的對(duì)接碼的個(gè)數(shù)；

(2)若對(duì)接碼中數(shù)字1出現(xiàn)的次數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

19.（12分）如圖，在直角梯形A8CD中，AB//CD,ZABC=90°,AB=3DC=3BC,DEJ.AB于E,

沿。E將VADE折起，使得點(diǎn)A到點(diǎn)尸位置，ZPEB=90°,N是棱8C上的動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)8,C不重合).

(1)判斷在棱尸3上是否存在一點(diǎn)M,使平面項(xiàng)平面P3C,若存在，求正;若不存在，說明理由;

(2)當(dāng)點(diǎn)凡N分別是尸8,8C的中點(diǎn)時(shí)，求平面ERV和平面PDE的夾角的余弦值.

22

20.(12分)已知橢圓C:：+%=l(a>6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為小鳥，拋物線「：9=4x的焦點(diǎn)與F?重

合，若點(diǎn)尸為橢圓C和拋物線「在第一象限的一個(gè)公共點(diǎn)，且,尸。鳥的面積為逅，其中。為坐標(biāo)原點(diǎn).

3

(1)求橢圓C的方程；

⑵過橢圓C的上頂點(diǎn)8作兩條互相垂直的直線，分別交橢圓C于點(diǎn)3E,求忸4+忸E|的最大值.

21.(12分)已知函數(shù)g(x)=g(x2+2alnx-4).

⑴討論函數(shù)y=g(x)的單調(diào)性；

⑵設(shè)函數(shù)〃x)=g(x)-4x+2,若函數(shù)y=〃x)的導(dǎo)函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)％x2(^<x2),證明：

/(^)+/(%)Ina

2>3.

2----2

(-)選考題：共10分.請(qǐng)考生在22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.

選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

22.(10分)在直角坐標(biāo)系xQy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，X軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線/的極坐標(biāo)

22,22)

方程為pcos0+2psin0-9A/2=0,曲線C的極坐標(biāo)方程為yocos6+4/?sin6=4.

(1)求直線/的直角坐標(biāo)方程和曲線C的參數(shù)方程；

(2)若點(diǎn)尸為曲線C上任意一點(diǎn)，點(diǎn)尸到直線/的距離為d,求d的取值范圍.

選修4-5：不等式選講

23.(10分)已知函數(shù)〃》)=,-。|+歸-1|的最小值為3,其中a>0.

⑴求不等式的解集；

⑵若關(guān)于x的方程=云+1有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)6的取值范圍.

2024年高考押題預(yù)測(cè)卷【全國(guó)卷】

數(shù)學(xué)?（理科01）全解全析

第一部分（選擇題共60分）

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的。

123456789101112

CBBDBBBDADCA

1.【答案】C

【解析】由五+3N3,故y=k>g3（?+3）Nl,故8=卜江訓(xùn)，

即AC3={M1（尤<2}.

故選：C.

2.【答案】B

刀3+4i_3+4i_（3+4i）（4+3i）25i1.

［角率析］（3-i）2-8-6i_2（4-3i）（4+3i）-50-21）

故選:B.

3.【答案】B

【解析】由題意可得AC=AB+AD，AE=AB+BE=AB+^AD,

所以AC?AE=（AB+A￡>）?（AB+gADJ

-231-2

=AB+-ABAD+-AD

22

因?yàn)锳B=3,AD=2&,ZBAD=45°,所以AB?=幺仞？=8,AT>=6，

所以AC-AE=22.

故選：B

4.【答案】D

【解析】依題，C；+C；+—+C：=2"=32,解得〃=5,則二項(xiàng)式信-五［的所有項(xiàng)系數(shù)之和為俏-%'1=1.

故選：D.

5.【答案】B

【解析】由題意可知，tanO=-|,北生兀

「2V13

sin6_2sin0=-------sm"=---------

1313

貝!J<cos63,解得<或,（舍）,

22a3岳'A3岳

sin0+cos0=1cos6=---------cose=-------

所以cos(8+兀)?sin—e]=-cos26=一1.

故選：B

6.【答案】B

3

【解析】由題意4石=4/=4G=E，設(shè)點(diǎn)A到平面石尸G的距離為d,

lfU￡F=EG=FG=—

2

2“Y

c_13A/2(3。F18^

T~16

/

由瞑-AG/=〃-EFG，W—X—X—X—X—=—Xd,解得d=,

322223162

棱長(zhǎng)為6的正方體的正方體的內(nèi)切球的半徑為3,

棱長(zhǎng)為6的正方體體對(duì)角線的長(zhǎng)度為6石,

因?yàn)?6一且=也>3,

22

所以所求球形體積最大時(shí)即為棱長(zhǎng)為6的正方體的正方體的內(nèi)切球,

則該球形飾品的體積的最大值為:兀X33=3671cm3.

故選：B.

7.【答案】B

【解析】a=0.3115<0.31°=l,所以0<a<l,d=n<0,

b=log312=1+log34>2,c=log26=1+log23>2,

(ln4+ln2Y

又因?yàn)閘og34In4/n212J(ln2⑸

2

log23ln3-ln3ln3-ln3(ln3)

所以h<c,d<a<b<c.

故選：B.

8.【答案】D

【解析】由題意知C=7.5'x60=25'xl5,

所以=［=4,兩邊取以10為底的對(duì)數(shù)，得21g5=2愴2,

21g22x0.301

所以八?1.15

l-lg31-0.477

故選：D.

9.【答案】A

【解析】由題意得/。,0),拋物線C的準(zhǔn)線方程為尸-1,

設(shè)尸(x,y),則歸典=x+l,|P川=耳一3)2+/=耳_3)2+4彳=&2_2式+9,

|PA|_VX2-2X+9

?|PF|+rx+2-

令x+2=〃，則x=〃-2,由％NO,得〃之2,

PA

所以，1i=J(〃-2)2—2(4—2)+9=J〃2_6〃+]7=/n__A+i,

|PF|+I〃jn[42〃

令，=2,則Ov/LV1，所以^L=J17儲(chǔ)一6.+l=J17(O-』]+—,

〃2|PF|+1'I17)17

311Q

故當(dāng)x即X=￡時(shí)，向IP上AI取得最小值7A等/4.

故選：A.

10.【答案】D

【解析】法一：因?yàn)椋?｝是等比數(shù)列，設(shè)其公比為4,由題意得4*1,

所以數(shù)列,I是首項(xiàng)為工，公比為L(zhǎng)的等比數(shù)列.

則邑期="產(chǎn)）="產(chǎn)7=200，=%產(chǎn)=10.

1-qq—1

設(shè)數(shù)列［1］的前”項(xiàng)和為1,

]一,]x2023~

則T1/(產(chǎn)7：1網(wǎng)產(chǎn)7=邑。23=200：2.

a

q-iioi2q-i娠)i2i。。

q

一

法二：設(shè)數(shù)列]'J的前〃項(xiàng)和為，，則《023+'+'+'+…+J-+」,

[J%”2〃3”4^2022”2023

2(%+外+/+包+…+%022+%023)=2$2023400_

-4,^23-2.

2即0

。1〃2023“1012

故選：D.

11.【答案】C

【解析】解法一：由題可得，矩形A3C。的寬為2c（c>0）,則長(zhǎng)為4c,

雙曲線E以矩形長(zhǎng)邊中點(diǎn)為焦點(diǎn)，過頂點(diǎn)A5CD,如圖所示,

則C（c,2c）,代入雙曲線E的方程，得=1，即。2（廿一4片）=//.

又因?yàn)閏2=H+凡所以（標(biāo)+⑹伊一叱六合洛即5+/—4//=o,

〃h1

等式兩邊同時(shí)除以片〃得_4-+勺-4=0.

ba

A21

設(shè)F=/>0,貝！|一4一+/—4=0,即，2一4/一4=0,

a2t

解得，=2+2A/^或，=2-2a（不合題意，舍去），即勺=2+2A/^,

a

所以e=￡=Jl+勺=^/1+2+2A/2=1+A/2.

故選：C.

解法二：連接。；,由題意知C(c,2c),則|C詞=2c,|耳閶=2c,\CF[\=2y/2c,

則由雙曲線的定義知|WHC閭=2。，即2缶-2c=2°，。=(0-l)c,

所以雙曲線的離心率e=-=V2+1.

12.【答案】A

【解析】由〃x)=?？傻貌?"+6,要使外“恰有一個(gè)零點(diǎn)，只需函數(shù)g(x)=2'的圖象與直線＞=履+6相

切.

設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(內(nèi),2。由g(x)=2，，可得g'(x)=2，ln2,則切線方程為y-2%=2』ln2(x-x0),即

y=(2而In2)x+2』(1一/In2),

故需使％=2-ln2,6=2^(l-xoln2).

由b＞上＞0可得2%(1一玉出2)＞2%1112,解得與＜\^2.

故選：A

第二部分(非選擇題共90分)

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分

13.【答案】50

【解析】根據(jù)特殊元素“甲同學(xué)”分類討論，

當(dāng)A單位只有甲時(shí)，其余四人分配到民C,不同分配方案有C：C；A；+C：C；=14種；

當(dāng)A單位不只有甲時(shí)，其余四人分配到A氏C,不同分配方案有啖/A；=36種;

A2

合計(jì)有50種不同分配方案,

故答案為：50.

14.【答案】［ln3,+a))

【解析】由〃r)+〃x)=0知是奇函數(shù)，，〃3)=—〃-3)=12,

設(shè)g(x)=/(x)-3x,則g(3)=〃3)-3x3=12-9=3,g〈x)=r(x)-3>0,

二g(x)在R上單調(diào)遞增，由/(e，)-3e*-3to得/(e，)-3e，23,

即g(e，"g⑶，得尤21n3,x的取值范圍是［ln3,+e).

故答案為：［ln3,+e)

15.【答案】(x+2)2+(y-5『=l

【解析】依題意，點(diǎn)尸的軌跡為直線/：y=x+2上，顯然NAP3=2NCP8,要/AP3最大，當(dāng)且僅當(dāng)NCP8

最大，

在Rt^C附中，sinZCPB=,而正弦函數(shù)y=sinx在(0譚)上單調(diào)遞增，

III廠。I2

則只需sinNCP?最大，即圓心。到點(diǎn)尸的距離最小，因此CP，/,又圓心0(3,0),

此時(shí)直線CP的方程為y=-x+3,由-。解得點(diǎn)P*1)，

［y=-x+322

于是圓心C關(guān)于點(diǎn)尸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-2,5),所以圓C關(guān)于點(diǎn)尸對(duì)稱的圓的方程為(x+2)2+(y-5)2=l.

故答案為：(x+2『+(y-5)2=l

【解析】取8月的中點(diǎn)E,4G的中點(diǎn)尸，連接斯，\E,A.F,

則易得￡F//AW,\FHAM,

因?yàn)镋/U平面AW,MNu平面⑷W7V,故所〃平面AMN,

同理：〃平面AMN,又4尸￡尸=尸,A尸,EFu平面A]EF,

所以平面AE///平面⑷VW,又4尸〃平面AMN,

所以APu平面AEF,即點(diǎn)尸在平面AXEF與平面BCCE的交線EF上,

當(dāng)APLE尸時(shí)，A/取最小值.

易知4^=4/=8^=麗，故當(dāng)AJ取最小值時(shí)，P為EF的中點(diǎn)，

133

此時(shí)一尸EW的面積ZPBM=-xlx-=--

133

=V=XX3=

則L-MABA,-PBM344,

3

故答案為：—.

4

三、解答題：本大題共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21題為必考題，每個(gè)試

題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(-)必考題：共60分.

17.（12分）

【解析】(1)

JTAB2+8￡）2-A￡>24笈+6-4

由余弦定理可得cos廠

2ABBD2巫AB

化簡(jiǎn)為AB?-2括AB+2=0,解得43=退+1或6-1，

(A/3-1)2+4-6

2-2追

當(dāng)AB=石-1時(shí)因?yàn)閏os/BAD=<0,與△鈿￡?為銳角三角形不符合，故

2X2X(G—1)2X2X(73-1)

43=6+1.

（2）作AE,CF垂直8。于E,尸，設(shè)/AQB=/1,

S

貝IABCD=S^0+8CBD=^BDAE+^BDCF=^BD（AOsinZl+COsinZl）=^BDACsinZ1,當(dāng)

sinZl=l^>Zl=90o^>AC±BD,四邊形面積最大，最大面積為gx4x#=2#.

18.（12分）

【解析】（1）當(dāng)對(duì)接碼中一個(gè)數(shù)字出現(xiàn)3次，另外兩個(gè)數(shù)字各出現(xiàn)1次時(shí)，

代將小C3A53X5X4X3X2X1

種數(shù)為：1r3x2x1=6。,

當(dāng)對(duì)接的中兩個(gè)數(shù)字各出現(xiàn)2次，另外一個(gè)數(shù)字出現(xiàn)1次時(shí),

種數(shù)為：［碧3x5x4x3x2xl“

--------------二90,

2xlx2xl

所有滿足條件的對(duì)接碼的個(gè)數(shù)為150.

（2）隨機(jī)變量X的取值為1,2,3,其分布為:

—?C武C；A；

AAA武_6_2,

P(X=1)=3^"=；尸(X=2)=

ig150-15-5

A(

尸(x=3)=9=2'

')15015

故X的分布列為:

X123

722

p

15715

7775

故磯X)=lx石+2x1+3x石=§

19.(12分)

【解析】（1）存在，誓=：

DrJ

理由如下：由PE_L￡B,PELED,EB\\ED=E,EB,EDu平面EBCD,

所以尸E_L平面￡BCO,又3Cu平面EBCD,

故PE工BC,又BCLBE,PE\BE=E,PE,BEu平面PEB,故3C_Z平面P￡B,

又3Cu平面PBC,故平面PBC_L平面尸EB,又平面PBC平面尸EB=P3,

平面PEB,作加,尸臺(tái)，則EM_L平面PBC,又9u平面EW,

故平面磯W_L平面PBC,由題意，不妨設(shè)AB=3￡)C=33C=3,

則HPEB中,PE=2,EB=l.BP=君，由等面積得出=石x所以EM=專,

22

則小卜㈢十所以軟g

(2)以E為原點(diǎn)，EB,ED,EP分別為無，＞,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

由⑴5(1,0,0),P(0,0,2),唱，。，1

硒=糙,。］‘g小可,

設(shè)平面EFN的法向量為m=(x,y,z),

m-EF=—x+z=0

2

由,,取機(jī)=(2,-4,-1),

mEN=x+—y=0

2

易知平面PDE的法向量為〃=(1,0,0),

22歷

設(shè)平面E7W和平面PD￡1的夾角為。，故cos6=cos{m,n)\=\—j==

v2121

20.(12分)

【解析】（1）設(shè)尸（如％）,由尸=4無,得焦點(diǎn)月（1,0）,則耳（-1,0）.

由以,%=半，得：xlx%=手，解得%=半，代入拋物線方程;/=4x，得，即稱半

所以2a=|?引+|尸耳|==4,即〃=2,所以6=5/3，

22

所以橢圓C的方程為又+上=1.

43

（2）設(shè)直線OE的方程為＞=丘+"加片石），。（西,乂），\BD\=dlt\BE\=d2.

聯(lián)立｛了<='消去y整理得（4左2+3）/+8切a+4%2-12=0,

y=kx+m,

8km4m2-12

所以再+%=-

4V+3，工也=442+3

因?yàn)?D_L瓦;，所以出^5后二。，又網(wǎng)0,百），所以5。=（%,乂-山）,5￡1=（%2，%-/），

所以石工2+（%-6）卜2-6）=0,XyX2+（kxY+m-y[3^（kx2+根―6）=0,

即（1+產(chǎn)）Xi%+左（根+%）+（加_6）=0,

|2=0,化簡(jiǎn)得7根2—6百根—3=0.

即2）■空詈

因?yàn)閙wA/3,所以加=—1.,此時(shí)x1+x2=576

7（4產(chǎn)+3），""—49（4左之+3），

7

所以|￡）同=|百一司，J1+/=J（X[+々）2—4石%2，J1+左之

「~|2

8限4576卡_迪（49…（1+刊

---------+4-------------

V|_7（4）t2+3）J49（4產(chǎn)+3）7Y（g+3『

令叱+3=止3）,則|葉卓嚴(yán)薩5=手尸方

當(dāng)且僅當(dāng)r=3,即后=0時(shí)，等號(hào)成立.

因?yàn)榱?/=0目2,所以4+d2V北可目」竺普,

當(dāng)且僅當(dāng)4=4#=。時(shí)，等號(hào)成立，

故怛。+忸目的最大值為史答.

21.(12分)

【解析】(1)由已知函數(shù)y=g(x)的定義域?yàn)?。,+8),又g，(x)=x+@=W^^

XX

當(dāng)a20時(shí)，g'(x)>0,函數(shù)g(x)在(0,+8)上是增函數(shù);

當(dāng)a<0時(shí)，g'(%)=x=\f--ax=-\/-a(舍去)，

所以當(dāng)x>QT時(shí)g'(x)>0,函數(shù)g(x)在(G\+8)上是增函數(shù)；

當(dāng)0<x<yj時(shí)g'(x)<。，函數(shù)g(x)在僅,^/工)上是減函數(shù)；

綜上所述：當(dāng)a"時(shí)，函數(shù)g(x)在(0,+。)上單調(diào)遞增；

當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)g(尤)在+(?)上單調(diào)遞增，在僅，，可上單調(diào)遞減.

(2)由已知/(x)=g(x)—4x+2,即/(x)=—+2?lnx-4)-4x+2=—x2+alnx-4x,

r”口\aX2-4x+4Z

可得/(x)=x+——4A=---------，

XX

函數(shù)/(%)有兩個(gè)極值點(diǎn)石,%(%<%2)，即％2—4x+a=0在(。,+。)上有兩個(gè)不等實(shí)根，

/、9[h(0]=a>0

令/z(x)=x-4x+a,只需4<0，故°<。<4，

又占+巧=4,xlx2=a,

所以/（%）+/（%）=+a\nx1-4x,+~x；+alnx2一

+ana

=—4（石+%）+a（inxj+lnx2）~（片+%；）=^-a—8,

要證“再）+“切>則-5,

22

即證alna-a-8>lna-10,a￡（0,4）,

只需證（1—a）lna+a—2<0,a￡（0,4）,

令加(〃)=—+a-2,〃?0,4),

\—a1

貝！Jm'(a)=—InaH-----F1=ln〃,

aa

令〃(a)=加