離心率的求法 高三數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)

專題突破離心率的求法（一）回顧復(fù)習(xí)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程圖像a、b、c的關(guān)系離心率定義離心率求法一離心率求法二xyyxyx回顧復(fù)習(xí)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程圖像a、b、c的關(guān)系離心率定義離心率求法一離心率求法二雙曲線yxyx回顧復(fù)習(xí)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程圖像a、b、c的關(guān)系離心率定義離心率求法一離心率求法二雙曲線yxyx一、以漸近線為指向求離心率例1

已知雙曲線兩漸近線的夾角為60°，則雙曲線的離心率為________.思維切入雙曲線的兩漸近線有兩種情況，焦點(diǎn)位置也有兩種情況，分別討論即可.解析

由題意知，雙曲線的漸近線存在兩種情況.當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，若其中一條漸近線的傾斜角為60°，如圖1所示；若其中一條漸近線的傾斜角為30°，如圖2所示.點(diǎn)評(píng)

雙曲線的離心率與漸近線方程之間有著密切的聯(lián)系，可以借助

進(jìn)行互求.一般地，如果已知雙曲線離心率的值求漸近線方程，或者已知漸近線方程，求離心率的值，都會(huì)有兩解(焦點(diǎn)在x軸上和焦點(diǎn)在y軸上兩種情況)，不能忘記分類討論.

二、以焦點(diǎn)三角形為指向求離心率例2如圖，F(xiàn)1和F2分別是雙曲線

(a>0，b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，A和B是以O(shè)為圓心，|OF1|為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個(gè)交點(diǎn)，且△F2AB是等邊三角形，則雙曲線的離心率為________.思維切入

連接AF1，在△F1AF2中利用雙曲線的定義可求解.解析

方法一如圖，連接AF1，由△F2AB是等邊三角形，知∠AF2F1＝30°.易知△AF1F2為直角三角形，方法二如圖，連接AF1，易得∠F1AF2＝90°，β＝∠F1F2A＝30°，α＝∠F2F1A＝60°，于是離心率點(diǎn)評(píng)

涉及到焦點(diǎn)三角形的題目往往利用圓錐曲線的定義求得的

值.三、尋求齊次方程求離心率思維切入

通過2|AB|＝3|BC|，得到a，b，c的關(guān)系式，再由b2＝c2－a2，得到a和c的關(guān)系式，同時(shí)除以a2，即可得到關(guān)于e的一元二次方程，求得e.2又2|AB|＝3|BC|，即2b2＝3ac，∴2(c2－a2)＝3ac，兩邊同除以a2并整理得2e2－3e－2＝0，解得e＝2(負(fù)值舍去).點(diǎn)評(píng)求圓錐曲線的離心率，就是求a和c的值或a和c的關(guān)系，然后根據(jù)離心率的定義求得.但在多數(shù)情況下，由于受到題目已知條件的限制，很難或不可能求出a和c的值，只能將條件整理成關(guān)于a和c的關(guān)系式，進(jìn)而求得

的值，其關(guān)鍵是善于利用定義以及圖形中的幾何關(guān)系來建立關(guān)于參數(shù)a，b，c的關(guān)系式，結(jié)合