2023-2024學年浙江省臺州市八年級（上）期末數(shù)學試卷（含詳細答案解析）

2023-2024學年浙江省臺州市八年級（上）期末數(shù)學試卷

一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.如圖所示是第19屆杭州亞運會的運動圖標，屬于軸對稱圖形的是（）

2.已知一個三角形兩邊長分別為2,6,則第三邊長可以為（

A.3B.4C.7D.9

3.從〃邊形一個頂點引出的對角線條數(shù)是（）

A.nB.it—1C.71—2D.Xi—3

4.下列運算結果正確的是（）

A.a2-a4=a8B.（a4）2=a8C.a6a2=a3D.(6a2)2=6a4

5.如圖，AD是△ABC的角平分線，DELAC,垂足為E,

S^ABD=3,則AB的長為（）

A.1

B.1.5

C.2

D.3

6.下列數(shù)據(jù)不能確定△ABC形狀和大小的是（)

A.AB=6,Z.C=60°,Z-B—40°B.AB=5BC=3,"=90°

C.ZC=60°,乙B=70°,LA=50°D.AB=7,BC=5,AC=10

7.下列分式變形從左到右一定成立的是（)

Abb+ccbb—cbbe八beb

A.-=——B.-=——C—=—D.———

aa+caa—caetcQ.CCL

8.P是△ABC內一點，PD1BC,PELAB,PF1AC,垂足分別為DE,F,且PD=PE=PF,則點尸

是）

A.三邊垂直平分線的交點B.三條角平分線的交點

C.三條高所在直線的交點D.三條中線的交點

9.面積相等的正方形ABC。與長方形AHGE按如圖疊放，已知=DC

a,DE=b,BH=c,則下列等式成立的是()

F

A.ab+be=ac

B.ac+be=ab

C.ab+be=a2ABH

D.ac+be=a2

10.如圖，在△ABC中，AB=AOBC,作高線CE,角平分線BP,中線AD,三者

兩兩相交于點G,H,/,則下列說法正確的是()

A.zlACE一定為等腰三角形

B.A48F一定為等腰三角形

C.ACFG一定為等腰三角形

D.AGH1一定為等腰三角形

二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分。

11.計算：2-1=.

12.在平面直角坐標系中，點P(l,-7)關于x軸對稱的點的坐標是.

13.分式方程2；的解為____.

x+52%

14.如圖，把長方形ABCO沿對角線8。折疊，點C和點C是對應點，若

AABC=36°,貝

15.若(％+a)(x+b)=/+血％-5對任意尤恒成立，其中a,6,機均為整數(shù)，則〃?的值為.

16.一副三角板如圖疊放，ZC=^DFE=90°,乙4=30。，ZD=45°,AC=DE,AC,DE互相平分于點

。，點尸在邊AB上，邊AC,EP交于點H,邊AB,OE交于點G.

(l)zXF￡=；

(2)若GF=a,則2”=(用含a的代數(shù)式表示).

E

三、解答題：本題共8小題，共66分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

17.（本小題6分）

(1)計算：(x+3)(%—3)+9；

（2）因式分解：2/+4x+2.

18.（本小題6分）

如圖，在AaBC中，AB=AC,BD=CD,點尸為射線AD上一點，連接PB,PC.

（1）求證：AP1BC；

(2)求證：PB=PC.

19.（本小題6分）

先化簡，再求值：（1-2）一出二，請你從-2,-1,0,I中選取適當?shù)臄?shù)代入求值.

a+2，（a+2）z

20.（本小題8分）

如圖，在正方形網(wǎng)格中，點A,B,C均為網(wǎng)格線交點，請按要求作圖，作圖過程僅使用無刻度的直尺，保

留作圖痕跡，無需說明理由.

（1）如圖1,作出AABC關于直線對稱的圖形；

（2）如圖2,在直線AW上求作點尸，使得乙4PM=NBPN.

21.（本小題8分）

2023年臺州馬拉松比賽于12月3日舉行，各位跑友齊聚山海水城、和合圣地，以跑者之勢再現(xiàn)力量之美.

小明參與“半程馬拉松”（約21國n）項目，前以平均速度流m/h完成，之后身體競技狀態(tài)提升，以

的平均速度完成剩下賽程，最終比原計劃提前l(fā)lmin到達目的地.求小明前10k7n的平均速度.

22.（本小題10分）

如圖1,一款液壓櫥柜支撐桿可以將柜門停在任意角度，取物更方便.圖2為示意圖，為柜壁，ON為柜

門，點A,B為支撐桿擺臂固定點，點尸為滾輪，PA,P8均為支撐桿擺臂，且PA=PB=15cm,為使?jié)L輪

受力均勻，保障其使用壽命，安裝時只需保證02=OB即可.

（1）求證：0P平分乙4OB；

（2）因空間受限，在擺臂夾角（乙4PB）任意角度下，柜門展開角（4M0N）均不能大于60。，則安裝支撐桿時,

OA長度至少為何值才能實現(xiàn)?

多角度

圖1圖2備用圖

23.（本小題10分）

為探究“十位上的數(shù)和為10,個位上的數(shù)相同”的兩個數(shù)乘積的規(guī)律，現(xiàn)得到如下等式:

26x86=22x100+36,

37x77=28x100+49,

45x65=29x100+25,

53x53=28x100+9,

64x44=28x100+16,

(1)55X55結果的后兩位為；

(2)設其中一個數(shù)的十位上的數(shù)為°,個位上的數(shù)為b(a,b均為小于10的正整數(shù))，請用含a,。的代數(shù)式分

別表示上述兩個數(shù)，并說明兩個數(shù)乘積的后兩位等于匕2；

(3)若兩個數(shù)的十位上的數(shù)相同，個位上的數(shù)和為10,設其中一個數(shù)的個位上的數(shù)為c(c為小于10的正整

數(shù))，則這兩個數(shù)乘積的后兩位等于(用含c的代數(shù)式表示).

24.(本小題12分)

如圖1,在△ABC中，AB=AC,在邊AB上取點。，連接C。，在邊AC延長線上取點E,使得4E=AD+

CD.

(1)若BD=2,CE=1,則CD=；

(2)如圖2,當CD14B,CD=a時，求四邊形BDCE的面積(用含。的代數(shù)式表示)；

(3)設NA=a,^ACD=/?,

①乙BCD=(用含a,S的代數(shù)式表示)；

②求證：乙CBE=與

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：B,C,。選項中的圖形都不能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠

互相重合，所以不是軸對稱圖形；

A選項中的圖形能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱

圖形.

故選：A.

根據(jù)軸對稱圖形的定義進行逐一判斷即可.

本題主要考查了軸對稱圖形，如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖

形就叫做軸對稱圖形.

2.【答案】C

【解析】解：設第三邊長是X,

**?6—2<%<6+2,

???4V%<8,

.??第三邊長可以為7.

故選：C.

三角形三邊關系定理：三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于第三邊，設第三邊長是x,由此

得到4<久<8,即可得到答案.

本題考查三角形三邊關系，關鍵是掌握三角形三邊關系定理.

3.【答案】D

【解析】解：從〃邊形一個頂點引出的對角線條數(shù)是0-3).

故選：D.

w邊形從一個頂點出發(fā)可引出O-3)條對角線，由此即可得到答案.

本題考查多邊形的對角線，關鍵是掌握：〃邊形從一個頂點出發(fā)可引出0-3)條對角線.

4.【答案】B

【解析】解：A「a2.a4=a6,...此選項的計算錯誤，故此選項不符合題意；

(a，2=。8,...此選項的計算正確，故此選項符合題意；

C.「a6+a2=a3...此選項的計算錯誤，故此選項不符合題意;

Dy(6a2)2=36a3.?.此選項的計算錯誤，故此選項不符合題意；

故選：B.

A根據(jù)同底數(shù)幕相乘法則進行計算，然后判斷即可；

3.根據(jù)幕的乘方法則進行計算，然后判斷即可；

C.根據(jù)同底數(shù)幕相除法則進行計算，然后判斷即可；

D根據(jù)積的乘方和累的乘方法則進行計算，然后判斷即可.

本題主要考查了整式的有關運算，解題關鍵是熟練掌握同底數(shù)幕相乘除法則、幕的乘方和積的乘方法則.

5.【答案】D

【解析】解：過點。作于點幾力、

???4D是△ABC的角平分線，DE1AC,/\

DE=DF,

???DE=2,BD

：.DF=2,

S^ABD=3,

1

：.-AB-DF=3,

1

-ABX2=3,

解得28=3.

故選：D.

過點。作DFLAB于點孔根據(jù)角平分線的性質得DE=DF=2,根據(jù)三角形的面積公式計算AB即可.

本題考查了角平分線的性質，熟練掌握角平分線的性質是解題的關鍵.

6.【答案】C

【解析】解：當28=6,ZC=60°,NB=40。時，根據(jù)A4S,可以得到△ABC是確定的，故選項A不符合

題意；

當4B=5,BC=3,NC=90。時，根據(jù)HL可以得到△28C是確定的，故選項3不符合題意；

當4c=60。，Z.B=70°,乙4=50。時，無法確定△2BC,故選項C符合題意；

當4B=7,BC=5,4c=10。時，根據(jù)SSS,可以得到△ABC是確定的，故選項。不符合題意；

故選：C.

根據(jù)各個選項中的條件和全等三角形的判定方法，可以解答本題.

本題考查全等三角形的判定，解答本題的關鍵是明確題意，利用全等三角形的判定方法解答.

7.【答案】D

【解析】解：A、空，原變形錯誤，故此選項不符合題意；

aa+c

B,原變形錯誤，故此選項不符合題意；

aa—c

C、當c=0時，原變形錯誤，故此選項不符合題意；

D、"原變形正確，故此選項符合題意?

故選：D.

分別根據(jù)分式的基本性質判斷即可.

本題考查了分式的基本性質，熟練掌握分式的基本性質是解題的關鍵.

8.【答案】B

【解析】解：P到三條距離相等，即PO=PE=PF,

著

BDC

連接尸A、PB、PC,

?.?PD—PE,

PB是4BC的角平分線，

同理PA、PC分另ij是NB4C,N&C8的角平分線，

故尸是△ABC角平分線交點，

故選：B.

根據(jù)角平分線性質推出即可.

本題考查了角平分線性質，能熟記角平分線性質的內容是解答本題的關鍵，注意：在角的內部，到角的兩

邊距離相等的點在角的平分線上；角平分線上的點到角兩邊的距離相等.

9.【答案】A

【解析】解：???四邊形是正方形，AB=a,

AB=BC=CD=AD=a,

???四邊形AHGE是長方形，BH=c,DE=b,

AE=HG=AD-DE=a-b,AH=AB+BH=a+c,

???正方形ABCD的面積=AB2=a2,

長方形AHGE的面積=AE?AH=(a—b)(a+c')=a2+ac—ab—be,

?.?正方形ABCD的面積=長方形AHGE的面積,

a2=a2+ac—ab—be,

ab+be=ac.

故選：A.

根據(jù)正方形和矩形的性質得到AB=BC=CD=4D=a,AE=a-b,AH=a+c,進而求出正方形

ABCD的面積和長方形AHGE的面積，根據(jù)正方形ABC。的面積=長方形AHGE的面積列出等式，化簡即

可得到答案.

本題考查了正方形的性質，矩形的性質，熟練掌握正方形的性質和矩形的性質是解題的關鍵.

10.【答案】D

【解析】解：如圖，

牘：\

BDC

???CE是高線，

???乙AEC=90°,

若△ACE為等腰三角形，則瓦4=EC,

???乙EAC=Z.ECA=45°,

而題設中心44c并不一'定是45。，

故選項A不符合題意；

AB=AC>BC,

若△ABF為等腰三角形，貝IJF/=FB,

??.Z,FAB=4FBA=Z.1,

???角平分線BF,

z.1=Z.2,Z.ABC=Z.ACB=2Z1,

???5Z1=180°,

??.Z.1=36°=^BAC,

而題設中心44c并不一定是36。,

故選項3不符合題意，同理選項C不符合題意；

???AB=AC,中線AO,

AD1BC,

???角平分線8尸，CE是高線，

Z/GH=/.EGB=90°-zl,Z.GIH=90°-Z2=90°-zl,

即N/G”=乙GIH,

IH=HG,

■?.AGH/一定為等腰三角形，

故選項。符合題意.

故選：D.

根據(jù)等腰三角形的性質，直角三角形的性質，角平分線的定義求得N/G”=NEGB=9(T—N1,4GH=

90°-Z2=90--zl,推出N/GH=NG/H,即可判斷選項。符合題意.

本題考查了等腰三角形的性質，直角三角形的性質，角平分線的定義.

11.【答案】j

【解析】【分析】

本題考查負整數(shù)指數(shù)幕的運算.幕的負整數(shù)指數(shù)運算，先把底數(shù)化成其倒數(shù)，然后將負整數(shù)指數(shù)幕當成正

的進行計算.

【解答】

解：2-1=與另.故答案為之

根據(jù)塞的負整數(shù)指數(shù)運算法則進行計算即可.

12.【答案】(1,7)

【解析】解：點PQ,-7)關于無軸對稱的點的坐標是(1,7),

故答案為：(1,7).

根據(jù)關于尤軸對稱的點的橫坐標相等，縱坐標互為相反數(shù)，可得答案.

本題考查了關于x軸對稱的點的坐標，利用關于x軸對稱的點的橫坐標相等，縱坐標互為相反數(shù)是解題關

鍵.

13.【答案】x=1

【解析】解：原方程去分母得：6%=%+5,

解得：x=1,

檢驗：將久=1代入2x(%+5)得2x1X6=120,

故原方程的解為久=1,

故答案為：x=1.

利用去分母將原方程化為整式方程，解得X的值后進行檢驗即可.

本題考查解分式方程，熟練掌握解方程的方法是解題的關鍵.

14.【答案】63°

【解析】解：由折疊的性質可知，

乙C'BD=/LCBD,乙C'DB=(CDB,

???^ABCf=36°,^ABCr+乙C'BD+Z.CBD=90°,

???乙C'BD=Z.CBD=27°,

???Z.C=90°,

???乙CBD+乙CDB=90°,

???乙CDB=63°,

???乙BDC'=63°,

故答案為：63°.

根據(jù)折疊的性質和直角三角形的性質，可以計算出的度數(shù)，從而可以得到4BDC'的度數(shù).

本題考查折疊的性質、直角三角形的性質，解答本題的關鍵是明確題意，利用數(shù)形結合的思想解答.

15.【答案】±4

【解析】解：(%+a)(%+b)

=x2+bx+ax+ab

=x2+(a+b)x+ab,

(%+a)(%+b)=/+mx—5,

a+b=m,ab=—5,

va,匕均為整數(shù)，

(Z—1,b————1,b=5,

???a+b=±4,

va+h=m,

???m=±4,

故答案為：±4.

先根據(jù)多項式乘多項式法則進行計算得Q+b=m,ab=-5,然后根據(jù)a,b,機均為整數(shù)，分類討論,

求出m的值即可.

本題主要考查了多項式乘多項式，解題關鍵是熟練掌握多項式乘多項式法則，并能夠分情況進行討論.

16.【答案】75°|a

【解析】解：(1)連接。尸，

???^DFE=90°,4=45。，

NE=ND=45°,

DF=EF,

■：AC=DE,AC,OE互相平分于點O,

11

OD=OE=OA=OC=豺C,

??.OD=OA,OF=OD=OE=^DE,Z.OFE=乙OFD="DFE=

45°,

OF=OA,

???Z.OFA=NA=30°,

???乙AFE=^LOFA+AOFE=30°+45°=75°,

故答案為：75°.

(2)???DF=EF,OD=OE,

???OF1DE,

???乙GOF=90°,

???Z.OFG=30°,

1i

??.OG=^GF=^a,(OGF=90°-Z.OFG=60°,

???/.GOA=乙OGF一=60°-30°=30°,

??.Z.GOA=Zi4,

???AG=OG=1a,

v^AFE=75°,24=30°,

??.AAHF=180°-^AFE-AA=180°-75°-30°=75°,

???^AHF=4/FE,

13

??.AH=AF=AG-VGF=^a+a=^a,

3

a

故答案為:2-

(1)連接OR由4OFE=90°,4。=45°,得乙E=4D=45°,則DF=EF,由AC=OE,AC,DE互相平

分于點O,推導出。。=。4OF=OD=OE=^DE,^OFE=^OFD=^DFE=45",則。F=。4所

以4。凡4=乙4=30°,求得乙4FE=4。凡4+乙OFE=75。，于是得到問題的答案；

(2)由DF=EF,OD=OE,證明。Fd.DE,則NGOF=90。，而NOFG=30。，所以。G=；GF=；a,再證

1

a

明4G04==30°,則AG=OG2-由乙4FE=75°,乙4=30°,求得乙4HF=75°,貝I」乙4HF二

3

a

2LAFE,所以4H=AF2-于是得到問題的答案.

此題重點考查三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和、直角三角形的兩個銳角互余、等腰三角

形的判定與性質等知識，連接。憶并且證明。F=。4是解題的關鍵.

17.【答案】解：(1)(%+3)(%-3)+9

=——9+9

二產(chǎn)；

(2)2/+4%+2

=2(/+2%+1)

=2(%+1產(chǎn)

【解析】(1)先利用平方差公式，再合并同類項即可求出答案；

(2)先提取公因式，再利用完全平方公式即可.

本題考查了平方差公式和提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握運算法則和這些公式是關鍵.

18.【答案】證明:(1)在和△4CD中,

AB=AC

BD=CD,

AD=AD

??.△ABD慫△ACD(SSS),

???Z-ADB=乙ADC,

???乙ADB+乙ADC=180°,

???^ADB=90°,

???AD1BC,

WAP1BC；

(2)■■-^ABD^hACD,

???(BAD=Z.CAD,

在△ABP和△ACP中，

AB=AC

乙BAD=/-CAD,

AP=AP

??.△ABP慫△ACP(S/S),

??.PB=PC.

【解析】(1)利用SSS證明△aBDgAACD,根據(jù)全等三角形的性質及平角定義求出N4DB=90。，根據(jù)垂

直定義即可得解；

(2)根據(jù)全等三角形的性質得出NBAD=ACAD,利用SAS即可證明4ABP^^ACP,根據(jù)全等三角形的性

質即可得解.

此題考查了全等三角形的判定與性質，熟記全等三角形的判定與性質是解題的關鍵.

19.【答案】解：(1一言尸懸

a+2-3(Q+2)2

a+2(a+l)(a—1)

a—1(Q+2)2

a+2(a+1)(Q—1)

a+2

=a+1"

。+1。0,CL—1。0,

:?a豐—2,-1,1j

二當a=0時，原式=魯|=2.

【解析】先根據(jù)分式混合運算的法則把原式進行化簡，再選取合適的。的值代入進行計算即可.

本題考查的是分式的化簡求值，熟知分式混合運算的法則是解題的關鍵.

20.【答案】解:(1)如圖所示，△4B'C即為所求；

(2)如圖所示，點尸即為所求.

【解析】(1)分別作出點A、B關于直線MN的對稱點，再與點C首尾順次連接即可；

(2)作點A關于直線的對稱點A',連接A'B,與直線MV的交點即為所求點P.

本題主要考查作圖-軸對稱變換，解題的關鍵是掌握軸對稱變換的定義與性質，并據(jù)此得出變換后的對應

點.

21.【答案】解：?.?小明前10b"的平均速度為川m//i,

二小明原計劃所用的時間為：4(%),

V

依題意得：至+昔=4-巳，

解這個方程得：V=10,

檢驗后知道。=10是原方程的根.

???小明前10hw的平均速度是10km/h.

答：小明前10加7的平均速度是lOkm/h.

【解析】根據(jù)小明前10碗的平均速度為Mm",可得原計劃所用的時間為§(%),依題意可知前10批所

用的時間為￥(八)，后iihw所用的時間為￡(八)，最終比原計劃提前的時間為葛(%),然后根據(jù)“前10切7

所用的時間+后llhw所用的時間=原計劃所用的時間-比原計劃提前的時間”列出方程，再解方程求出v即

可.

此題主要考查了分式方程的應用，理解題意，找出等量關系“前10歷篦所用的時間+后llhw所用的時間=原

計劃所用的時間-比原計劃提前的時間”，并列出方程是解決問題的關鍵.

22.【答案】(1)證明：OAP^WLOBPdp,

PA=PB

OA=OB,

OP=OP

???△OAP^AOBP(SSS),

???Z-AOP=(BOP,

...。尸平分乙4。氏

(2)解：由題意，當4P_L0P時，NMON的度數(shù)最大,

???柜門展開角乙MON不能大于60。,

???/MON最大為60。，

當4MON=60°,APIOP時，如圖：

M

由(1)知OP平分N20B,

AAOP=30°,

OA=2PA=30cm,

???。4長度至少為30c機才能實現(xiàn).

【解析】(1)由sss可證明△oapgAOBP,由全等三角形的性質可得出結論；

(2)由⑴知0尸平分乙408,證出乙4OP=30。，則可得出答案.

本題考查了全等三角形的判定與性質，直角三角形的性質，角平分線的定義，熟練掌握相關性質及定理是

解題的關鍵.

23.【答案】302510c-02

【解析】解:(1)55X55=(5X5+5)X100+5X5=3025,

故答案為：3025.

(2)???十位上的數(shù)為a,個位上的數(shù)為b,

這個兩位數(shù)表示為(10a+b),

則另一個兩位數(shù)為10(10-a)+b=(100-10a+b),

.■.這兩個兩位數(shù)的乘積為(10a+6)(100—10a+b)=100(10a—a2+b)+b2,

兩個數(shù)乘積的后兩位等于廿.

(3)設十位上的數(shù)為m,

二這個兩位數(shù)表示為(10m+c),

則另一個兩位數(shù)為10m+(10—c)=(10m+10—c),

.?.這兩個兩位數(shù)的乘積為(106+c)(10m+10—c)=100(m2+m)+10c—c2,

兩個數(shù)乘積的后兩位等于(10c-c2),

故答案為：(10c-c2).

(1)55x55=(5x5+5)x100+5x5=3025.

(2)由十位上的數(shù)為a,個位上的數(shù)為6,得這個兩位數(shù)表示為(10a+b),則另一個兩位數(shù)為10(10-a)+

b=(100—10a+力)，故這兩個兩位數(shù)的乘積為(10a+d)(100—10a+b)=100(10a—a2+b)+h2,所

以兩個數(shù)乘積的后兩位等于

(3)設十位上的數(shù)為相，得這個兩位數(shù)表示為(lOnz+c),則另一個兩位數(shù)為10m+(10-c)=(10m+

10-c),故這兩個兩位數(shù)的乘積為(10zn+c)(10m+10