2024年全國卷高考文數(shù)模擬試題及答案

文科數(shù)學(xué)試題

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考場號、座位號、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

考試時間為120分鐘，滿分150分

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的。

1.已知M,N是全集U的非空子集，且MlCuN,則

A.NUMB.M=NC.CuMUCuND.N口CUM

2.若復(fù)數(shù)z滿足（l+i）z=—2+i,則z=

A1,3.R1,3.r31.n31.

B.—2+51c-7+T'D.萬一51

3.已知非零平面向量a,b,那么“a〃b”是“|a-b|=|a|一歷|”的

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.已知實數(shù)支.滿足不等式組了+?22,則z=2x+y的最小值為

A.2B.3C.4D.6

5.記AABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為。",八。=44=6,口=5，則4（:邊上的高為

O

6.已知某物種，年后的種群數(shù)量》近似滿足函數(shù)模型：?=加-'（部＞o）.自2023年初

起，經(jīng)過n年后（“GN，）,當(dāng)該物種的種群數(shù)量不足2023年初的20%時，〃的最小值為（參考

數(shù)據(jù):In5^1.6094）

A.1OB.llC.12D.13

一輪復(fù)習(xí)聯(lián)考（三）全國卷文科數(shù)學(xué)試題第1頁（共4頁）

7.關(guān)于三條不同直線a,6"以及兩個不同平面7,3,下面命題正確的是

A.若a〃九6〃八則a〃6B.若?！▂,6J_7,則b_La

C.若&〃則aUD.若aU7,bU7,且則Z±y

8.已知函數(shù)/（z）=在區(qū)間［0,門上是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是

A.(—8,2]B.(—8,0]C.[2,+8)D.[0,+8)

9.函數(shù)，（工）=5由（21+8（卬>0）的圖象向左平移微個單位長度得到函數(shù)8（工）的圖象，若函數(shù)

o

g（z）是偶函數(shù)，則夕的最小值為

八兀c六c57r—2冗

A.-B.-C.-D.—

6363

10.過點（2,0）作曲線/（7）=11的兩條切線，切點分別為（小，f（⑥）），（％2，/（12）），則

XiX2=

A.—2B.-1C.lD.2

11.已知數(shù)列｛?！保那啊椇蜑?.,若〃=1,%+1=25.（管￡!>1?），則有

A.數(shù)列｛-｝為等差數(shù)列B.數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列

C.數(shù)列｛S“｝為等差數(shù)列D.數(shù)列｛S”｝為等比數(shù)列

12.已知函數(shù)/（工）是定義域為R的非常數(shù)函數(shù),f（z+l）為偶函數(shù),八4一工）=八工），則

A.函數(shù)”工）為偶函數(shù)B./（z）關(guān)于點（1,0）中心對稱

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

10g2（%+1），1>。，

13.已知函數(shù)/（4）=則，（-5）的值為________.

f（力+2）,%<0,

14.已知a滿足sina+2cosa=09則tan2a=.

15.若各項均不為0的數(shù)列｛a.｝滿足S=_且a1=4,則"23=

a”a”十1乙---------

16.在棱長為4的正方體ABCD-A.B.C.D.中，P為的中點，過直線A.C作與平面

PBC平行的截面，則該截面的面積為.

一輪復(fù)習(xí)聯(lián)考（三）全國卷文科數(shù)學(xué)試題第2頁（共4頁）

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17?21題為

必考題，每個試題考生都必須作答。第22.23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。

（一）必考題：60分。

17.（12分）已知等比數(shù)列｛*｝的前〃項和為S.,且說=30,S,=30.

（D求數(shù)列｛6｝的通項公式;

（2）若圖=log2a”+1+a”，求數(shù)列出“｝的前〃項和T”.

18.（12分）已知向量/?=,/(x)=m,n.

（1）求函數(shù)/（z）的單調(diào)增區(qū)間;

⑵若f（3Z）—l=0（3>0）在0,4上有唯一解，求S的取值范圍.

0

19.（12分）如圖，棱臺ABCD-A'B'C'D'中，AA'=BB'=CC'=DD'=^，底面ABCD是邊

長為4的正方形，底面A'B'C'D'是邊長為2的正方形，連接AC',BD,DC'.

（1）證明：AC'_LBD；

（2）求三棱錐D—BCC'的體積.

20.（12分）如圖，在平面凸四邊形ABCD中，AB=2BC=2,AD=CD,NADC=?,M為BC

U

邊的中點.

（1）若NABC=M，求△ACD的面積;

O

（2）求DM的最大值.

D

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21.(12分)已知函數(shù)/(x)=x(alnz—z—1),其中a￡R.

(1)當(dāng)a=l時，求證"(z)在(0,+8)上單調(diào)遞減；

(2)若f(x)+z=0有兩個不相等的實數(shù)根不，以，求實數(shù)a的取值范圍.

(二)選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題

計分。

22.［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程1(10分)

(X=5sina,

在直角坐標(biāo)系zOy中，曲線C的參數(shù)方程為(a為參數(shù))，以原點。為極點,工軸

y=3cosa

非負半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線/的極坐標(biāo)方程為p

sin[e-?

(1)求曲線C的普通方程；

(2)直線2與曲線C交于兩點，P(—l,2),求IIPAI-IPBI|的值.

23.［選修4—5：不等式選講］(10分)

(D求不等式|工一1|+|工一2|15的解集;

(2)已知a",CGR+,且a+6+c=l,求證:

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1.D【解析】因為M,N是全集U的非空子集，且MNCuN,所以韋恩圖為:

由韋恩圖可知，D正確.故選D.

2.B【解析】因為（1+Dz=—2+>所以2=子?=^^=匚尸=—5?故選B-

3.B【解析】由孱一bl=lai—及向量的減法法則，可得向量。與b平行且同向；若?！╞,可得向量a"平行且同

向或者反向,因此或〃嚴是“|a—1=此I—B］”的必要不充分條件.故選B.

4.B【解析】畫出可行域，如圖陰影部分所示，當(dāng)z=0時，畫出初始目標(biāo)函數(shù)表示的直線2了+a=（）,平移目標(biāo)函數(shù)

后，當(dāng)直線過點C（L1）時*取得最小值,？mm=2Xl+l=3.故選B.

5.D【解析】由62=>+1—2accosB=28,得6=2夕，設(shè)AC邊上的高為九，因為S—BC=；acsmB=，所

…,acsinB6v21,,,,,“6v21,,、山一

以A=一,—=［^,即artAAC邊上的高為.故選D.

6.D【解析】根據(jù)題意得2023年初。=0）時種群數(shù)量為大。?e「"，所以由，=左。?心』。.石<20%?k0?a"，，化

簡得e—<!，則?>81n5~12.9,又因為"CN',所以"的最小值為13.故選D.

0

7.B【解析】對于A,因為與同一平面平行的兩條直線的位置關(guān)系可以是平行，相交，異面，故不能確定兩直線位置

關(guān)系是平行，故A錯誤;對于B,若?！ň?，八則故B正確；對于C,若a〃九7，氏則a與尸可能相交，平

行或者包含，故C錯誤;對于D,由線面垂直的判定定理知,一條直線垂直于一個平面中的兩條相交直線時，線與

面垂直，本選項不能確定a.6相交，故D不正確.故選B.

（1'Ji

8.B【解析】因為函數(shù)〃了）=可在區(qū)間［0,口上是減函數(shù)，令g（z）=s2—。了*則函數(shù)g（了）=—一°工在區(qū)

間［0,1］上是增函數(shù)，所以則a40.故選B.

9.C【解析】函數(shù)/（了）=$也（2了+中）的圖象向左平移三個單位長度，得g（z）=sin121+丁十句的圖象，又函數(shù)

/7T7Tjr.b7T

々（了）是偶函數(shù),則有1'+3=歸兀+萬（歸ez）,解得（p=kTi因為e〉。,所以當(dāng)k=\時，W取最小值石.

故選c.

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10.A【解析】由題意得/'(z)=(;r+l)e"過點(2,0)作曲線/(z)=zeH的兩條切線，設(shè)切點坐標(biāo)為(￡。，￡。1。)，

貝！J(io+1)-=-----，即(與一210—2)e%=0,由于—?！?,故加一2久()-2=0,A=12>0,由題意可知,J:2

比0一/

為萬一2久0—2=0的兩個解，故久1+久2=2,久1比2=-2.故選A.

11.D【解析】由題意，數(shù)列｛〃”｝的前n項和滿足Q〃+i=2S〃(7?eN*),當(dāng)時，a”=2S“—i,兩式相減，可得an+i

—%=2(S〃一S"_i)=2%,可得an=3%,即2」=3(〃>2)，又由“1=1,當(dāng)n=l時，Q2=2SI=2,所以巴■=

ClnQ1

2,所以數(shù)列｛%｝的通項公式為%=故數(shù)列｛-｝既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列，所以A、B選

[2?3〃-2,幾>2,

項錯誤；當(dāng)n>2時，S〃=；Q“+I=3"T,又由n=l時，Si=沏=1,符合上式，所以數(shù)列｛a〃｝的前n項和為S*=

S

3"T.又由'工=3,所以數(shù)列｛S,,｝為公比為3的等比數(shù)列，故D正確.C錯誤.故選D.

bl

12,A【解析】因為/'(z+1)為偶函數(shù)，所以/(￡+1)=/(一了+1),所以/(了)的圖象關(guān)于直線工=1對稱，

/(z+2)=/(—工).又因為/生)不是常數(shù)函數(shù),/(z)不恒等于0,所以/(1)不關(guān)于點(1,0)中心對稱，B錯誤；

因為/(4—z)=/(z),所以/(2+z)=/(2—z),所以/(z)的圖象關(guān)于直線z=2對稱.所以由

(/(2—z)=/(z+2)，A(5、

得/'(￡+2)=/(z),所以〃了)是周期為2的函數(shù)，故/。：+2：,C錯

[/(■z+2)=/(—z),"U

〃(z+2)=/O),

誤,D錯誤，由得八一z)=/(z),所以/(￡)為偶函數(shù)，A正確.故選A.

1—(―+2)=/(—x)?

13,1【解析】由題意可得：/(—5)=/(—3)=/'(—l)=/(l)=log22=l.

4/口_.2tana2X(-2)4

14.—【角牛析】由sinQ+2cos。=0,得tanQ=-2,貝ljtan2a=---z—=.

31—tan%1—43

15.-^-【解析】根據(jù)題意可得:%—a“+i=a”+w"，則'一'=1,故數(shù)列是首項為2,公差為1的等差數(shù)

2024a?+ia?(a?)

歹lj,則一=?z+1,a?=,1，故02023=77^7-

a?〃十1Z0Z4

16.876【解析】取AB.DiG的中點，分別記為乂。，連接人'.防3(?<,'-旦\4.因為A1P〃NCi，AiP=

Ng,所以四邊形AjPGN是平行四邊形，所以AiN〃PCi，AiN=PC?因為PM〃CC】.PM=CC1,所以四

邊形PMC。是平行四邊形，所以MC〃PCi,MC=PCi,所以AiN〃MC,AiN=MC,所以四邊形A.MCN

是平行四邊豚因為PCl〃AlN,PClU平面A|MCN,A|NU平面A|MCN,所以PQ〃平面AjJWCN,同理可

證PB〃平面AiMCN,因為PC1口回8=「產(chǎn)仁，28(=平面1>8的，所以平面13口。1〃平面41乂。?^,因此過直

線AC作與平面PBC1平行的截面，即是平行四邊形A1MCN,連接MN,作AiH_LMN于點H,由A1M=

A】N=V42+22=2-/5,MN=+N=442，可得H=(2\/5")2(2^2")"=2奈)，所以S△AIMN=萬X

MNXAiH=；X4"X2遮=4而，所以平行四邊形AiMCN的面積為2s^.=8而.

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17.解：（1）設(shè)等比數(shù)列｛a一的公比為q,依題意qWl,

<21(g4—1)=30,

于是<a(1—q4)解得％=2,q=2,.....................................................................................................................3分

―.............=30,

1—q

所以數(shù)列｛aj的通項公式為即=aiqki=2X2”T=2〃?..........................................................................................6分

(2)由(1)知，勾=log2a”+i+a”=log22"+i+2”=相+1+2”,.................................................................................8分

2+(7?+1)〃+=2=T+2”+-2.

所以T12分

n2

所以/'(久)=帆?〃=2sin21一己)+V^sin[2久一f)..............................................................................................1分

=1-cos(2久一看)+V5~sin[2x-；]=2sin(2i—1)+1......................................................................................3分

由-5+2%冗《2久一■!"<5+2%冗花GZ,....................................................................................................................4分

所以了（其）的單調(diào)增區(qū)間為一言+匹考+匹"GZ...........................................................................................6分

(

(2)由f(vx)—1=0,得2sin(2cojr—?)+1=1,得sin1231-?1=0,7分

由9分

因為/（⑦1）-1=0（s〉0）在0,上有唯一解,

ll>\>72(f)TZ7T"..

所以oW——@<兀，..........................................................................11分

解得;Ws<2,故S的取值范圍是.......................................................12分

乙LJJ

19.（1）證明：如圖，連接AC交BD于點O.

D'C

一輪復(fù)習(xí)聯(lián)考（三）全國卷文科數(shù)學(xué)答案第3頁（共6頁）

由題意可知該幾何體為正四棱臺，在正方形ABCD中，BDLAC.....................................................................1分

取A'C'中點。'，連接。0',易知。?！沟酌鍭BCD.

因為BDU平面ABCD,所以O(shè)O'_LBD,.............................................................................................................2分

因為4€?['|0。'=0,4000'（=平面八（?。4',

所以BD,平面ACC'A'..........................................................................................................................................3分

而AC'U平面ACC'A',所以AC'_LBD..............................................................................................................4分

（2）?：SABCD=y<4X4=8,.................................................................................................................................6分

因為底面ABCD是邊長為4的正方形，底面A'B'C'D'是邊長為2的正方形，所以底面ABCD、底面A'B'C'D

的對角線長的一半分別為...............................................................8分

設(shè)C'H_LAC,垂足為H,所以高C'H=7(75)2-(272-^2)2=43,10分

118/3

所以VD-BCC，=VU-BCD=^BCD,CzJJ——X8X=~~~..........................................................................12分

20.解：(1)在△ABC中，由余弦定理，得AC?=AB2+BCZ—2ABXBCXcosy=4+1-2X2X1Xf-y1=7.-

..................................................................................................................................................................................2分

取AC中點N,連接DN,MN,

■：AD=CD,AD±CD,N為AC的中點，

：.DN±AC,DN=^-AC......................................................................................................................................4分

117,

則△AC。的面積S^ACD=萬XACXQN==了..............................................5分

(2)設(shè)NABC=Q,NBAC=￡.

???M,N分別為邊BC,AC的中點，

:.MN〃AB,MN=;AB=1,/MNC=NBAC=1...........................................................................................6分

在△ABC中，由余弦定理，得AC2=AB2+BC2—2AB?BC?cosa=5—4cosa........................................7分

由正弦定理父=生，

sinasinp

/日.八BC?sinasina八

得sm￡=———=.................................................................................................................................8n分

210210

在△MDN中,cos/MND=cos(/MNC+/CND)=cosf/?+-1-j=—sin￡,

一輪復(fù)習(xí)聯(lián)考（三）全國卷文科數(shù)學(xué)答案第4頁（共6頁）

由余弦定理，得DM2=MN2+DN2—2MN-DN-cosZMND

=l+4AC2+2Xlx4-ACXsinB

42'

|]sinQ

=1+—X(5—4cosa)+2X1X—ACX■.

4NACz

9,.

=——cosa-psina,.............................................................................

4

=-^-+72-sin(Q—孑]，其中0＜。＜兀，

當(dāng)Q—孑=。即7r時，DM有最大值：

.?.DM長度的最大值為箕里................................................................12分

21.(1)證明x—x—1)=axlnx—JC2—x的定義域為(0,+8),

當(dāng)a=1時,/''(1)=In久一2a..........................................................................................................................................1分

11—2T

設(shè)g(JC)=In久一21，貝I]g'(1)=———2=--------,

xx

由g（i）=0,得久=5,當(dāng)0〈zV!時，/（了）＞0；當(dāng)1〉:時，『（￡）＜0.

.?送⑴在卜力上單調(diào)遞增年^^+可上單調(diào)遞減，............................................3分

.,.g（z）的最大值為gt）=ln1=一國2—1＜0,

.?.g（x）V0,即/'（z）＜0在（0,+8）上恒成立，...................................................4分

，/（￡）在（0,+8）上單調(diào)遞減...................................................................5分

（2）解：由/（l）+久=0,得ax\nx—x2=0.當(dāng)Q=0時，得比2=0,此時兩根相等，不滿足題意，故a卉0,

Qlni=i=-----=——.......................................................................................................................................................6分

xa

、「/、In久/、、r.t,/、1-InJC

設(shè)4（比）=---（尤＞0），貝?。?（1）=------2，

xJC

由無'（1）=0,得1=e,

當(dāng)久G（0,e）時,。（無）＞0,函數(shù)九（無）單調(diào)遞增，

當(dāng)zG（e,+8）時，//（K）＜0,函數(shù)/i（久）單調(diào)遞減,................................................8分

有極大值也是最大值/z（e）=L.

e

當(dāng)0＜久＜1時，4（x）＜0,當(dāng)x〉l時，/i（1）＞0,且1-十8時，九（z）fo........................................................10分

要使/（7）+工=0有兩個不同的實數(shù)根71，了2,則0＜L＜,,