2024屆上海市聯(lián)考數(shù)學(xué)高三年級(jí)上冊(cè)期末檢測(cè)試題含解析

2024屆上海市12校聯(lián)考數(shù)學(xué)高三上期末檢測(cè)試題

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。

3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

22

1.雙曲線C：^-21=1（?>0,。>0）的離心率是3,焦點(diǎn)到漸近線的距離為則雙曲線C的焦距為（）

cTh2

A.3B.372C.6D.6>/2

2.已知一*—=a+2i（aeR）,i為虛數(shù)單位，則。=（）

l-2i

A.6B.3C.1D.5

3.有一改形塔幾何體由若干個(gè)正方體構(gòu)成，構(gòu)成方式如圖所示，上層正方體下底面的四個(gè)頂點(diǎn)是下層正方體上底面各

邊的中點(diǎn).已知最底層正方體的棱長為8,如果改形塔的最上層正方體的邊長小于1,那么該塔形中正方體的個(gè)數(shù)至少

是（）

71

A.8B.7C.6D.4

4.閱讀名著，品味人生，是中華民族的優(yōu)良傳統(tǒng).學(xué)生李華計(jì)劃在高一年級(jí)每周星期一至星期五的每天閱讀半個(gè)小時(shí)

中國四大名著：《紅樓夢(mèng)》、《三國演義》、《水滸傳》及《西游記》，其中每天閱讀一種，每種至少閱讀一次，則每周不

同的閱讀計(jì)劃共有（）

A.120種B.240種C.480種D.600種

5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的7=3,則輸出的i=（）

開始

/=0

結(jié)束

A.9B.31C.15D.63

6.已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）

2

1

-

正（主）視圖側(cè)（左）視圖

7,若復(fù)數(shù)z=t以（匕wRi為虛數(shù)單位）的實(shí)部與虛部相等，則。的值為（）

2+i

A.3B.±3C.-3D.+73

8.如圖，正三棱柱ABC-44G各條棱的長度均相等，。為人4的中點(diǎn)，M,N分別是線段和線段CC的動(dòng)點(diǎn)

（含端點(diǎn)），且滿足BM=GN,當(dāng)M,N運(yùn)動(dòng)時(shí)，下列結(jié)論中不正確的是

A.在ADMN內(nèi)總存在與平面ABC平行的線段

B.平面DMN_L平面BCC&I

C.三棱錐OMN的體積為定值

D.ADMN可能為直角三角形

9.在平面直角坐標(biāo)系X0V中，已知點(diǎn)4（0,-2）,N（l,0）,若動(dòng)點(diǎn)M滿足瑞1=e,則OMON的取值范圍是

（）

A.[0,2]

C.[-2,2]D.[-2V2,2V2]

10.將函數(shù)/（x）=cosx的圖象先向右平移*萬個(gè)單位長度，在把所得函數(shù)圖象的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?

6co

7734

縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)g（x）的圖象，若函數(shù)g（x）在（代,J）上沒有零點(diǎn)，則切的取值范圍是（）

22

77Q

A.

2Q

(。目53』]D.(0,1]

r2

11.雙曲線上—y2=l的漸近線方程是（)

4

B.>=±逑'x

A.y=±『C.y=±-D.y=±2x

32

12.已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，4=7,S3=9,貝!）4=（）

A.25B.32C.35D.40

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.（2x-球的展開式中X?的系數(shù)為（用具體數(shù)據(jù)作答）.

14.已知數(shù)列｛an｝滿足a,+2a2+3%+…+nan=2",則an=.

/\3x2F1,x<0,?,、

15.已知函數(shù)/（x）=X,若關(guān)于》的方程/（力+/（—力=0恰有四個(gè)不同的解，則實(shí)數(shù)”的取值范

21nx-6x,x>0

圍是.

16.已知三棱錐尸—ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球。的球面上，PA=PB=PC,A3=2,BC=y[5,AC=3,E,F

3

分別為AC,/歸的中點(diǎn)，EF=g則球。的體積為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）運(yùn)輸一批海鮮，可在汽車、火車、飛機(jī)三種運(yùn)輸工具中選擇，它們的速度分別為60千米〃卜時(shí)、120千米

/小時(shí)、600千米/小時(shí)，修干年的運(yùn)費(fèi)分別為20元、10元、50元.這批海鮮在運(yùn)輸過程中每小時(shí)的損耗為元（相>0）,

運(yùn)輸?shù)穆烦虨镾（千米）.設(shè)用汽車、火車、飛機(jī)三種運(yùn)輸工具運(yùn)輸時(shí)各自的總費(fèi)用（包括運(yùn)費(fèi)和損耗費(fèi)）分別為y（元）、

y2（元"%（元）.

（1）請(qǐng)分別寫出月、%、%的表達(dá)式；

（2）試確定使用哪種運(yùn)輸工具總費(fèi)用最省.

18.（12分）已知ab€R,設(shè)函數(shù)=/-ox-byjx2+1

（/）若6=0,求戶短的單調(diào)區(qū)間：

（〃）當(dāng)xW時(shí)，/㈤的最小值為0,求a+的最大值.注：e=2.7/82&..為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

19.（12分）如圖，在四棱錐P-A3C。中，側(cè)面P4O為等邊三角形，且垂直于底面ABC。，

AB=BC=\,ABAD=ZABC=9Q,ZADC=45，”,N分別是AD,P。的中點(diǎn).

BAC

(1)證明：平面。MN//平面Q4B；

2

(2)已知點(diǎn)E在棱PC上且CE=§CP,求直線NE與平面Q鉆所成角的余弦值.

20.(12分)已知頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)的拋物線r的焦點(diǎn)F在)'軸正半軸上，圓心在直線y=上的圓E與X軸相切，

且E,尸關(guān)于點(diǎn)M(—1,0)對(duì)稱.

(1)求E和『的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過點(diǎn)M的直線/與E交于AB,與「交于C,D,求證：|CD|＞五|AB].

21.(12分)如圖，在四棱錐中，底面ABC。為菱形，料，底面ABC。，NRW=60。，AB=PA=4,E是

帖的中點(diǎn)，AC,80交于點(diǎn)O.

(1)求證：OE〃平面尸8C；

(2)求三棱錐E-PBD的體積.

22.(10分)數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，且S-2.數(shù)列也｝滿足a=log24,其前“項(xiàng)和為a

(1)求數(shù)列&｝與也｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)%=??+—,求數(shù)列｛g｝的前n項(xiàng)和C,,,

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、A

【解題分析】

根據(jù)焦點(diǎn)到漸近線的距離，可得〃，然后根據(jù)。2=。2-。2"=￡,可得結(jié)果.

a

【題目詳解】

由題可知：雙曲線的漸近線方程為云士ay=0

取右焦點(diǎn)尸(c,0),一條漸近線/：法一ay=0

則點(diǎn)/到/的距離為一=近,由y+/=。2

y/b2+a2

所以b=6,，則c?！猘?=2

cc22c2

又v一=3n—v=Q9=>a-=——

aa~9

2

r3

所以c?---=2=>c=—

92

所以焦距為：2c=3

故選：A

【題目點(diǎn)撥】

本題考查雙曲線漸近線方程，以及a,4c,e之間的關(guān)系，識(shí)記常用的結(jié)論：焦點(diǎn)到漸近線的距離為〃，屬基礎(chǔ)題.

2、C

【解題分析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡得答案.

【題目詳解】

由----=a+2i,得1+2i=a+2i,解得a=l.

l-2i

故選:C.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.

3、A

【解題分析】

則從下往上第二層正方體的棱長為：行不二4上，從下往上第三層正方體的棱長為：42何+(2廚=4,

從下往上第四層正方體的棱長為：亞7萬=2啦，以此類推，能求出改形塔的最上層正方體的邊長小于1時(shí)該塔形

中正方體的個(gè)數(shù)的最小值的求法.

【題目詳解】

最底層正方體的棱長為8,

則從下往上第二層正方體的棱長為："+42=472，

從下往上第三層正方體的棱長為：J(2忘了+(2夜了=4，

從下往上第四層正方體的棱長為：萬=2血，

從下往上第五層正方體的棱長為:

從下往上第六層正方體的棱長為:Jf+F=0,

從下往上第七層正方體的棱長為:

從下往上第八層正方體的棱長為:

???改形塔的最上層正方體的邊長小于1,那么該塔形中正方體的個(gè)數(shù)至少是8.

故選：A.

【題目點(diǎn)撥】

本小題主要考查正方體有關(guān)計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

4、B

【解題分析】

首先將五天進(jìn)行分組，再對(duì)名著進(jìn)行分配，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理求得結(jié)果.

【題目詳解】

^^=10種分組方法;

將周一至周五分為4組，每組至少1天，共有:

將四大名著安排到4組中，每組1種名著，共有：父=24種分配方法；

由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得不同的閱讀計(jì)劃共有：10x24=240種

本題正確選項(xiàng)：B

【題目點(diǎn)撥】

本題考查排列組合中的分組分配問題，涉及到分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，易錯(cuò)點(diǎn)是忽略分組中涉及到的平均分組問題.

5、B

【解題分析】

根據(jù)程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)的運(yùn)算，直至滿足條件退出循環(huán)體，即可得出結(jié)果.

【題目詳解】

執(zhí)行程序框f=3,i=0；f=8,i=l；f=23,i=3；

t~68,z=7；f=203,i=15；t=608,Z=31,

滿足。＞606,退出循環(huán)，因此輸出i=31,

故選:B.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查循環(huán)結(jié)構(gòu)輸出結(jié)果，模擬程序運(yùn)行是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

6、A

【解題分析】

根據(jù)三視圖，還原空間幾何體，即可得該幾何體的體積.

【題目詳解】

由該幾何體的三視圖，還原空間幾何體如下圖所示：

可知該幾何體是底面在左側(cè)的四棱錐，其底面是邊長為4的正方形，高為4,

故V=；X（4X4）X4=F.

故選：A

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了三視圖的簡單應(yīng)用，由三視圖還原空間幾何體，棱錐體積的求法，屬于基礎(chǔ)題.

7、C

【解題分析】

利用復(fù)數(shù)的除法，以及復(fù)數(shù)的基本概念求解即可.

【題目詳解】

z=l-bi=2-b-（2b+｝）i又z的實(shí)部與虛部相等，

2+z5

:.b-2=2b+l,解得力=—3.

故選:c

【題目點(diǎn)撥】

本題主要考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，復(fù)數(shù)的概念運(yùn)用.

8、D

【解題分析】

A項(xiàng)用平行于平面ABC的平面與平面MDN相交，則交線與平面ABC平行；

B項(xiàng)利用線面垂直的判定定理；

C項(xiàng)三棱錐A-DMN的體積與三棱錐N-A.DM體積相等，三棱錐N-AtDM的底面積是定值，高也是定值，則

體積是定值；

D項(xiàng)用反證法說明三角形DMN不可能是直角三角形.

【題目詳解】

A項(xiàng)，用平行于平面ABC的平面截平面MND,則交線平行于平面ABC,故正確；

B項(xiàng)，如圖：

當(dāng)M、N分別在BBi、CG上運(yùn)動(dòng)時(shí),若滿足BM=CN,則線段MN必過正方形BCCiB,的中心O,由DO垂直于平面BCCiBi

可得平面平面8?！昶收_；

C項(xiàng)，當(dāng)M、N分別在BBi、CCi上運(yùn)動(dòng)時(shí),△AiDM的面積不變,N到平面AiDM的距離不變，所以棱錐N-AiDM的體積

不變，即三棱錐A「DMN的體積為定值，故正確；

D項(xiàng)，若△DMN為直角三角形，則必是以NMDN為直角的直角三角形，但MN的最大值為BG,而此時(shí)DM,DN的長大于

BBi,所以△DMN不可能為直角三角形，故錯(cuò)誤.

故選D

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了命題真假判斷、棱柱的結(jié)構(gòu)特征、空間想象力和思維能力，意在考查對(duì)線面、面面平行、垂直的判定和性

質(zhì)的應(yīng)用，是中檔題.

9、D

【解題分析】

設(shè)出"的坐標(biāo)為(x,y),依據(jù)題目條件，求出點(diǎn)”的軌跡方程V+(y—2f=8,

寫出點(diǎn)M的參數(shù)方程，貝iJ0M-0N=2及cos。，根據(jù)余弦函數(shù)自身的范圍，可求得OMON結(jié)果.

【題目詳解】

設(shè)例(x,y),則

愣MA（°，—2）

vx7（＞，+2）2-^

舊+y2

...f+（y+2）2=2,+y2）

:.x2+(y-2)2=8為點(diǎn)M的軌跡方程

x=2無cos。

...點(diǎn)"的參數(shù)方程為廠(。為參數(shù))

y-2+242sin0

則由向量的坐標(biāo)表達(dá)式有：

OM-ON=242cos0

又?.?cosee[—l,l]

AOMON=2V2cos6e[-2夜,242]

故選：D

【題目點(diǎn)撥】

考查學(xué)生依據(jù)條件求解各種軌跡方程的能力，熟練掌握代數(shù)式轉(zhuǎn)換，能夠利用三角換元的思想處理軌跡中的向量乘積,

屬于中檔題.求解軌跡方程的方法有：①直接法；②定義法；③相關(guān)點(diǎn)法；④參數(shù)法；⑤待定系數(shù)法

10、A

【解題分析】

5萬

根據(jù)尸Acos(ox+0)的圖象變換規(guī)律，求得g(x)的解析式，根據(jù)定義域求出0犬-丁的范圍，再利用余弦函數(shù)的

圖象和性質(zhì)，求得”的取值范圍.

【題目詳解】

函數(shù)/(X)=COSX的圖象先向右平移!■7個(gè)單位長度，

54

可得y=cos|x-的圖象,

6

再將圖象上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?(^>0)倍(縱坐標(biāo)不變),

0)

5萬

得到函數(shù)g(x)=cos|cox的圖象,

6

…2萬

，周期7=——,

CD

TT37r

若函數(shù)g(x)在(y,y)上沒有零點(diǎn),

CO715萬5萬?)a)7r5萬

--------<CDX---------<

26626

3(0715萬0)7157T7T

<—

26262co

<1>解得0<。41,

n,,CD7T5萬

-------\-K71<---------~6

22解得一]_

又?4"/

71,、3(0715不3

—+k7T>

[2~6

28

當(dāng)k=0時(shí)，解一4①4—,

39

2

當(dāng)《=-1時(shí)，可得0<<y?—,

故答案為：A.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查函數(shù)產(chǎn)Acos(?zr+0)的圖象變換及零點(diǎn)問題，此類問題通常采用數(shù)形結(jié)合思想，構(gòu)建不等關(guān)系式，求解可

得，屬于較難題.

11、C

【解題分析】

根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程即可得出該雙曲線的漸近線方程.

【題目詳解】

1*2X

由題意可知，雙曲線、-丁2=1的漸近線方程是y=±].

故選：C.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查雙曲線的漸近線方程的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意雙曲線的簡單性質(zhì)的合理運(yùn)用.

12、C

【解題分析】

設(shè)出等差數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)和公差，即可根據(jù)題意列出兩個(gè)方程，求出通項(xiàng)公式，從而求得力。.

【題目詳解】

設(shè)等差數(shù)列｛q｝的首項(xiàng)為年公差為d,則

d=a1+2d=7

?；°,c,解得q=-1,4=4,=4〃-5,即有q。=4x10-5=35.

S3—3a｝+3d=9

故選：C.

【題目點(diǎn)撥】

本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法和應(yīng)用，涉及等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式的應(yīng)用，屬于容易題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、60

【解題分析】

利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式可求f的系數(shù).

【題目詳解】

（2x7）6的展開式的通項(xiàng)公式為加=Cr（2x）6-（_］），?,

令6—r=2,故r=4,故V的系數(shù)為（一1?煤乂2?=60.

故答案為：60.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查二項(xiàng)展開式中指定項(xiàng)的系數(shù)，注意利用通項(xiàng)公式來計(jì)算，本題屬于容易題.

2,H=1

14、??=\2"~'

-------->2

、n

【解題分析】

項(xiàng)和轉(zhuǎn)化可得=2〃-2〃T=2'I（〃N2）,討論〃=1是否滿足，分段表示即得解

【題目詳解】

當(dāng)〃=1時(shí)，由已知，可得％=21二2,

%+2%+3a3+…+=2"9①

故q+2a2+3%+...+(〃—1)%_]=2"?22),②

由①?②得=2"-2"1=21,

n

顯然當(dāng)〃=1時(shí)不滿足上式，

2,〃二1

???%=<2〃7

------,〃22

、n

2,n=1

n-1

故答案為：an=\2、

---，〃22

、n

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了利用S〃求為,考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算，分類討論的能力，屬于中檔題.

15、(-2,0)

【解題分析】

設(shè)g(x)=/(x)+/(—X),判斷g(x)為偶函數(shù)，考慮X>0時(shí)，g(x)的解析式和零點(diǎn)個(gè)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單

調(diào)性，作函數(shù)大致圖象，即可得到。的范圍.

【題目詳解】

設(shè)g(x)=/(x)+/(-x),

則g(x)在(YO,0)50,4W)是偶函數(shù)，

當(dāng)x〉0時(shí)，g(x)=2Inx-6x+3》2----1-1,

由g(x)=。得。=2xlnx—6x2+3尤3+%,

ifi/z(x)=2xlnx-6x2+3x?+x,

2

/2'(x)=21nx—12x+9f+3,^(x)=-+18x-12>0,

故函數(shù)〃(X)在(O,+8)增，而"(1)=0,

所以力⑴在(0,1)減，在(1,田)增,妝1)=一2,

當(dāng)時(shí)，A(x)->+oo,當(dāng)x30”時(shí)，〃(x)r(T,

因此g(x)的圖象為

因此實(shí)數(shù)?的取值范圍是(-2,0).

【題目點(diǎn)撥】

本題主要考查了函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題，涉及構(gòu)造函數(shù)，函數(shù)的奇偶性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，考查了數(shù)形結(jié)合

思想方法，以及化簡運(yùn)算能力和推理能力，屬于難題.

16、4信

【解題分析】

可證NABC=90°,則E為A4BC的外心，又Q4=PB=P。則PEL平面4BC

即可求出m，PE的值，再由勾股定理求出外接球的半徑，最后根據(jù)體積公式計(jì)算可得.

【題目詳解】

解：AB=2,BC=y/^，AC=3

AB2+BC2=AC2

；.ZABC=90。,因?yàn)镋為AC的中點(diǎn)，所以E為AABC的外心，

13

:.BE=-AC=-

22

B

因?yàn)镻A=PB=PC,所以點(diǎn)P在AABC內(nèi)的投影為AA8C的外心E,

所以尸E_L平面ABC,

BEu平面ABC

:.PE上BE,

所以PB=2EF=3,

所以PE=y/PB2-BE2=二百，

2

(a八Y,a、24

又球心。在PE上，設(shè)PO=r,貝!I*—r+=/，所以r=有，所以球0體積，V=q兀戶=44＞兀.

故答案為：46兀

【題目點(diǎn)撥】

本題考查多面體外接球體積的求法，考查空間想象能力與思維能力，考查計(jì)算能力，屬于中檔題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

一，、c儂mS「ccmS

17、(1)X=20sH---,%-10SH----＞y-,-50sH----.

160120600

(2)當(dāng)機(jī)＜6000時(shí)，此時(shí)選擇火車運(yùn)輸費(fèi)最?。?/p>

當(dāng)機(jī)＞6000時(shí)，此時(shí)選擇飛機(jī)運(yùn)輸費(fèi)用最省；

當(dāng)m=6(XX)時(shí)，此時(shí)選擇火車或飛機(jī)運(yùn)輸費(fèi)用最省.

【解題分析】

(1)將運(yùn)費(fèi)和損耗費(fèi)相加得出總費(fèi)用的表達(dá)式.

(2)作差比較為、%的大小關(guān)系得出結(jié)論?

【題目詳解】

(1)弘=205+器，

%=1。5+魯，必=505+怒.

(2)m>0,5>0,

故須＞］。喏嚙,

.?.X＞力恒成立，故只需比較為與%的大小關(guān)系即可，

令/"(5)=%_%=405--^-=|40--^-[5,

v73-150I150J

Hl

故當(dāng)40——->0,即加<6000時(shí)，

150

/(S)>0,即當(dāng)<為，此時(shí)選擇火車運(yùn)輸費(fèi)最省,

當(dāng)40-1<0,即加>6000時(shí)，

/(S)<0,即%>%，此時(shí)選擇飛機(jī)運(yùn)輸費(fèi)用最省.

當(dāng)40-布=0,即加=6000時(shí)，

f(s)=0,%=%，

此時(shí)選擇火車或飛機(jī)運(yùn)輸費(fèi)用最省.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了常見函數(shù)的模型，考查了分類討論的思想，屬于基礎(chǔ)題.

18、⑺詳見解析；(〃)2&

【解題分析】

⑺求導(dǎo)得到片切=/-°，討論aS麗a>。兩種情況，得到答案.

(〃)監(jiān))=&-夕-備之。，故“+/S2&，取"斗，“當(dāng)，求導(dǎo)得到單調(diào)性，得到危)min=Xj)=0,得到答案.

【題目詳解】

(/)f(x)=e-axff(x)=e-Q，

當(dāng)QWO時(shí)，/7短=/一盤演成立，函數(shù)單調(diào)遞增；

當(dāng)a>0時(shí)，f(x)=ex-a=0,x=Ina,當(dāng)x*-oojna)時(shí),/&)<0函數(shù)單調(diào)遞減；

當(dāng)x￡(Ina,+8)時(shí)，fix)>。函數(shù)單調(diào)遞增.

綜上所述：aS0時(shí)，&)在R上單調(diào)遞增；時(shí)，心)在(-8,Ina)上單調(diào)遞減，在(lna,+8)上單調(diào)遞增.

(II)f(x)=e-ax-by/x2+1>磕xE\-0,+oo)上恒成立；

a=也-^a-yb>0,故a+

現(xiàn)在證明存在qb,a+?=2&，使/G)的最小值為0.

取a=￥，b=與,(此時(shí)可使/,Q=。)，

44

「㈤=e、-a-是#x)=e、(八￡?+/,b=^<l,

故當(dāng)x可0,+8)上時(shí)，(？+/)&2+/>l,e>1,故『(x)>0,

小)在x可。,+8)上單調(diào)遞增，rg)=4

故心)在I。，9上單調(diào)遞減，在&+8)上單調(diào)遞增，故&)min=/(9=Q

綜上所述：a+的最大值為24?

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了函數(shù)單調(diào)性，函數(shù)的最值問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.

19、(1)證明見解析；(2)

2

【解題分析】

(1)由平面幾何知識(shí)可得出四邊形ABCM是平行四邊形，可得CM//48nCW〃面加5,再由面面平行的判定

可證得面面平行；

(2)由(1)可知，兩兩垂直，故建立空間直角坐標(biāo)系，可求得面的法向量，再運(yùn)用線面角的向

量求法，可求得直線NE與平面R鉆所成角的余弦值.

【題目詳解】

(1)NB4O=NABC=90，..AD//6C,又NAOC=45。，AB=BC=1,:.AD=2,

而"、N分別是A。、PD的中點(diǎn)，,MN//PA,故MN//面PAB,

又AM//BC且AM=8C,故四邊形ABCM是平行四邊形,.,.。0///30。0//面245,

又MN,CM是面CMN內(nèi)的兩條相交直線，故面CMN//面

(2)由(1)可知，兩兩垂直，故建系如圖所示，則

A(0,-1,0),B(l,-l,0),C(l,0,0),D(0,l,0),P(0,0,石),N(0,；0,

AB=(1,0,0),PA=(0,—1L6),CE=]CP,:.E),0,平，NE=

3(33)326

x=0

設(shè)〃=(x,y,z)是平面PAB的法向量,.J

-y-yf3z=0

令z=l,則〃=(0,-6,1),.二cos(NE,〃)旦,

了‘

?,?直線NE與平面抬6所成角的余弦值為

B

X

【題目點(diǎn)撥】

本題考查空間的面面平行的判定，以及線面角的空間向量的求解方法，屬于中檔題.

20、(1)(x+2)2+(y+l)2=l,x2=4y；(2)證明見解析.

【解題分析】

分析：(D設(shè)廠的標(biāo)準(zhǔn)方程為f=2py,由題意可設(shè)E(2a,a).結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式計(jì)算可得「的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2=4y.半徑r=時(shí)=1,則￡的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+2『+(y+l)2=l.

(2)設(shè)/的斜率為左，則其方程為y=Z(x+l),由弦長公式可得=聯(lián)立直線與拋物線的方程有

x2-4kx-4k=0.設(shè)。(%,,),。(々，必)，利用韋達(dá)定理結(jié)合弦長公式可得|。＞|=而］1%一到

=4尿不.尿F貝！1里=2(爐+1|(F+。〉華=？.即|3＞0|鉆|.

\AB\'kk

2tz+0

=-1,

因?yàn)镋,尸關(guān)于M(—1,O)對(duì)稱，所以，

—+a

2_=0,

2

所以『的標(biāo)準(zhǔn)方程為f=4y.

因?yàn)椤昱cx軸相切，故半徑「=時(shí)=1,所以E的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+2)2+(y+l『=l.

(2)設(shè)/的斜率為那么其方程為＞=左(》+1),

/、bt-1

貝UE（-2,-1）至！|/的距離d=1,所以IA8|=2JT彳=2、償-

A/K+1V+1

x2=4y,

由，工碎+1）消去3并整理得T-4&4%=。.

設(shè)0（4，）1）,￡）（%2，%），則百+4=4%,王馬=_44，

那勾C￡>|=收+11%!-x2\=jG+l-Ja+zf-4X/2=4〃2+I.正+卜.

\CDf16（k2+l）（k2+k）2（公+1『儼+%）2k_

所以麗=一三—=%>三.

k2+