2024屆重慶南開中學高一數(shù)學第二學期期末復習檢測模擬試題含解析

2024屆重慶南開中學高一數(shù)學第二學期期末復習檢測模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知函數(shù)，那么下列式子：①；②；③；④；其中恒成立的是（）A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④2．若是等差數(shù)列，首項，，，則使前n項和成立的最大正整數(shù)n=（）A．2017 B．2018 C．4035 D．40343．已知實數(shù)列-1,x,y,z,-2成等比數(shù)列,則xyz等于A．-4 B． C． D．4．已知等比數(shù)列中，若，且成等差數(shù)列，則（）A．2 B．2或32 C．2或-32 D．-15．已知，則的值構(gòu)成的集合為（）A． B． C． D．6．已知在中，，那么的值為（）A． B． C． D．7．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，則在方向上的投影為（）A．1 B．2 C．3 D．48．下圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名工人某日的產(chǎn)量數(shù)據(jù)（單位：件）若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，且平均值也相等，則和的值分別為A．5，5 B．3，5 C．3，7 D．5，79．在中，內(nèi)角所對的邊分別為，且，則（）A． B． C． D．10．棱長為2的正方體的內(nèi)切球的體積為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在上，滿足的的取值范圍是______.12．在數(shù)列中，按此規(guī)律，是該數(shù)列的第______項13．在中，角所對的邊分別為.若,，則角的大小為____________________.14．在公差為的等差數(shù)列中，有性質(zhì)：，根據(jù)上述性質(zhì)，相應地在公比為等比數(shù)列中，有性質(zhì)：____________.15．函數(shù)的值域是________．16．如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各五名學生在一次英語聽力測試中的成績（單位：分），已知甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為17，則x的值為_________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在平面直角坐標系xOy中，曲線與x軸交于不同的兩點A，B，曲線Γ與y軸交于點C．（1）是否存在以AB為直徑的圓過點C？若存在，求出該圓的方程;若不存在，請說明理由；（2）求證:過A，B，C三點的圓過定點，并求出該定點的坐標．18．已知圓心在軸的正半軸上，且半徑為2的圓被直線截得的弦長為.（1）求圓的方程；（2）設動直線與圓交于兩點，則在軸正半軸上是否存在定點，使得直線與直線關(guān)于軸對稱？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由.19．(1)已知，且為第三象限角，求的值(2)已知，計算的值.20．如圖，在直三棱柱中，，為的中點，為的中點.(1)求證：平面；(2)求證：.21．已知函數(shù)(1)解關(guān)于的不等式；(2)若，令，求函數(shù)的最小值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】

根據(jù)正弦函數(shù)的周期性及對稱性，逐項判斷，即可得到本題答案.【詳解】由，得，所以的最小正周期為，即，故①正確；由，令，得的對稱軸為，所以是的對稱軸，不是的對稱軸，故②正確，③不正確；由，令，得的對稱中心為，所以不是的對稱中心，故④不正確.故選：A【點睛】本題主要考查正弦函數(shù)的周期性以及對稱性.2、D【解析】

由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，，由等差數(shù)列前項和公式可得則，，得解.【詳解】解：由是等差數(shù)列，又，所以，又首項，，則，，則，，即使前n項和成立的最大正整數(shù)，故選：D.【點睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，重點考查了等差數(shù)列前項和公式，屬中檔題.3、C【解析】.4、B【解析】

根據(jù)等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及性質(zhì)，列出方程可得q的值，可得的值.【詳解】解：設等比數(shù)列的公比為q（），成等差數(shù)列，，，，解得：，，，故選B.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義及性質(zhì)，熟悉其性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.5、B【解析】

根據(jù)的奇偶分類討論．【詳解】為偶數(shù)時，，為奇數(shù)時，設，則．∴的值構(gòu)成的集合是．故選：B．【點睛】本題考查誘導公式，掌握誘導公式是解題基礎．注意誘導公式的十字口訣：奇變偶不變，符號看象限．6、A【解析】

，不妨設，,則，選A.7、A【解析】

根據(jù)正弦定理，將已知條件進行轉(zhuǎn)化化簡，結(jié)合兩角和差的正弦公式可求，根據(jù)在方向上的投影為，代入數(shù)值，即可求解．【詳解】因為，所以，即，即，因為，所以，所以，所以在方向上的投影為：．故選：A．【點睛】本題主要考查正弦定理和平面向量投影的應用，根據(jù)正弦定理結(jié)合兩角和差的正弦公式是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．8、B【解析】

利用莖葉圖、中位數(shù)、平均數(shù)的性質(zhì)直接求解．【詳解】由莖葉圖得：∵甲、乙兩組各5名工人某日的產(chǎn)量數(shù)據(jù)（單位：件）若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，∴65＝60+y，解得y＝5，∵平均值也相等，∴，解得x＝1．故選B．【點睛】本題考查實數(shù)值的求法，考查莖葉圖、中位數(shù)、平均數(shù)的性質(zhì)等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．9、C【解析】

根據(jù)題目條件結(jié)合三角形的正弦定理以及三角形內(nèi)角和定理可得sinA，進而利用二倍角余弦公式得到結(jié)果.【詳解】∵．∴sinAcosB＝4sinCcosA﹣sinBcosA即sinAcosB+sinBcosA＝4cosAsinC∴sinC＝4cosAsinC∵1＜C＜π，sinC≠1．∴1＝4cosA，即cosA，那么．故選C【點睛】本題考查了正弦定理及二倍角余弦公式的靈活運用，考查計算能力，屬于基礎題．10、C【解析】

根據(jù)正方體的內(nèi)切球的直徑與正方體的棱長相等可得結(jié)果.【詳解】因為棱長為2的正方體的內(nèi)切球的直徑與正方體的棱長相等，所以直徑，內(nèi)切球的體積為，故選：C.【點睛】本題主要考查正方體的內(nèi)切球的體積，利用正方體的內(nèi)切球的直徑與正方體的棱長相等求出半徑是解題的關(guān)鍵.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

由，結(jié)合三角函數(shù)線，即可求解，得到答案.【詳解】如圖所示，因為，所以滿足的的取值范圍為.【點睛】本題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，以及三角函數(shù)線的應用，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.12、【解析】

分別求出，，，結(jié)果構(gòu)成等比數(shù)列，進而推斷數(shù)列是首相為2，公比為2的等比數(shù)列，進而求得數(shù)列的通項公式，再由求得答案．【詳解】，，，依此類推可得，，，即.，解得.故答案為：7.【點睛】本題考查利用數(shù)列的遞推關(guān)系求數(shù)列的通項公式，求解的關(guān)鍵在于推斷是等比數(shù)列，再用累加法求得數(shù)列的通項公式，考查邏輯推理能力和運算求解能力.13、【解析】本題考查了三角恒等變換、已知三角函數(shù)值求角以及正弦定理，考查了同學們解決三角形問題的能力．由得，所以由正弦定理得，所以A=或（舍去）、14、【解析】

根據(jù)題中條件，類比等差數(shù)列的性質(zhì)，可直接得出結(jié)果.【詳解】因為在公差為的等差數(shù)列中，有性質(zhì)：，類比等差數(shù)列的性質(zhì)，可得：在公比為等比數(shù)列中，故答案為：【點睛】本題主要考查類比推理，只需根據(jù)題中條件，結(jié)合等差數(shù)列與等比數(shù)列的特征，即可得出結(jié)果，屬于常考題型.15、【解析】

求出函數(shù)在上的值域，根據(jù)原函數(shù)與反函數(shù)的關(guān)系即可求解.【詳解】因為函數(shù)，當時是單調(diào)減函數(shù)當時，；當時，所以在上的值域為根據(jù)反函數(shù)的定義域就是原函數(shù)的值域可得函數(shù)的值域為故答案為：【點睛】本題求一個反三角函數(shù)的值域，著重考查了余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)和反函數(shù)的性質(zhì)等知識，屬于基礎題.16、【解析】

根據(jù)莖葉圖中數(shù)據(jù)和中位數(shù)的定義可構(gòu)造方程求得.【詳解】甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，解得：故答案為：【點睛】本題考查莖葉圖中中位數(shù)相關(guān)問題的求解，屬于基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）存在，（2）證明見解析，圓方程恒過定點或【解析】

（1）將曲線Γ方程中的y＝1，得x2﹣mx+2m＝1．利用韋達定理求出C，通過坐標化，求出m得到所求圓的方程．（2）設過A，B，C的圓P的方程為（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2列出方程組利用圓系方程，推出圓P方程恒過定點即可．【詳解】由曲線Γ：y＝x2﹣mx+2m（m∈R），令y＝1，得x2﹣mx+2m＝1．設A（x1，1），B（x2，1），則可得△＝m2﹣8m＞1，x1+x2＝m，x1x2＝2m．令x＝1，得y＝2m，即C（1，2m）．（1）若存在以AB為直徑的圓過點C，則，得，即2m+4m2＝1，所以m＝1或．由△＞1，得m＜1或m＞8，所以，此時C（1，﹣1），AB的中點M（，1）即圓心，半徑r＝|CM|故所求圓的方程為．（2）設過A，B，C的圓P的方程為（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2滿足代入P得展開得（﹣x﹣2y+2）m+x2+y2﹣y＝1當，即時方程恒成立，∴圓P方程恒過定點（1，1）或．【點睛】本題考查圓的方程的應用，圓系方程恒過定點的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．18、（1）（2）當點為時，直線與直線關(guān)于軸對稱，詳見解析【解析】

（1）設圓的方程為，由垂徑定理求得弦長，再由弦長為可求得，從而得圓的方程；（2）假設存在定點，使得直線與直線關(guān)于軸對稱，則，同時設，直線方程代入圓方程后用韋達定理得，即為，代入可求得，說明存在．【詳解】（1）設圓的方程為：圓心到直線的距離根據(jù)垂徑定理得，，解得，，故圓的方程為（2）假設存在定點，使得直線與直線關(guān)于軸對稱，那么，設聯(lián)立得：由.故存在，當點為時，直線與直線關(guān)于軸對稱.【點睛】本題考查圓的標準方程，考查直線與圓的位置關(guān)系．在解決存在性命題時，一般都是假設存在，然后根據(jù)已知去推理求解．象本題定點問題，就是假設存在定點，用設而不求法推理求解，解出值，如不能解出值，說明不存在．19、（1）；（2）【解析】

（1）由，結(jié)合為第三象限角，即可得解；（2）由，代入求解即可.【詳解】（1）,∴,又∵是第三象限.∴（2）.【點睛】本題主要考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬于基礎題.20、（1）見解析（2）見解析【解析】

(1)連、相交于點，證明四邊形為平行四邊形，得到，證明平面(2)證明平面推出【詳解】證明：(1)如圖，連、相交于點，，，，，，，∴四邊形為平行四邊形，，平面，平面，平面，…(2)連因為三棱柱是直三棱柱，底面，平面，