數(shù)與式綜合復(fù)習(xí)（基礎(chǔ)鞏固）-2021年中考數(shù)學(xué)一輪基礎(chǔ)知識(shí)復(fù)習(xí)和鞏固提升訓(xùn)練

考向04數(shù)與式綜合復(fù)習(xí)一基礎(chǔ)鞏固

【知識(shí)梳理】

考點(diǎn)一、實(shí)數(shù)的有關(guān)概念、性質(zhì)

1.實(shí)數(shù)及其分類(lèi)

實(shí)數(shù)可以按照下面的方法分類(lèi):

/正整數(shù)

整數(shù)零

有理數(shù)I負(fù)整數(shù)

分?jǐn)?shù)［正分?jǐn)?shù)

實(shí)數(shù)W負(fù)分?jǐn)?shù)

正無(wú)理數(shù)

無(wú)理數(shù)

負(fù)無(wú)理數(shù)

實(shí)數(shù)還可以按照下面的方法分類(lèi):

正整數(shù)

正有理數(shù)J

i定分?jǐn)?shù)

正無(wú)理數(shù)

實(shí)數(shù)，零

負(fù)整數(shù)

負(fù)有理數(shù)｛

負(fù)分?jǐn)?shù)

負(fù)無(wú)理數(shù)

方法指導(dǎo)：

整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱(chēng)有理數(shù).無(wú)限不循環(huán)小數(shù)叫做無(wú)理數(shù).有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱(chēng)實(shí)數(shù).

2.數(shù)軸

規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線(xiàn)叫做數(shù)軸.每一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)

來(lái)表示；反過(guò)來(lái)，數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)都表示一個(gè)實(shí)數(shù).實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.

方法指導(dǎo)：

實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)的這種一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系是數(shù)學(xué)中把數(shù)和形結(jié)合起來(lái)的重要基礎(chǔ).

3.相反數(shù)

實(shí)數(shù)a和-a叫做互為相反數(shù).零的相反數(shù)是零.

一般地，數(shù)軸上表示互為相反數(shù)的兩個(gè)點(diǎn)，分別在原點(diǎn)的兩旁，并且離原點(diǎn)的距離相等.

方法指導(dǎo)：

兩個(gè)互為相反數(shù)的數(shù)的運(yùn)算特征是它們的和等于零，即如果a和b互為相反數(shù)，那么

a+b=0；反過(guò)來(lái)，如果a+b=0,那么a和b互為相反數(shù).

4.絕對(duì)值

一個(gè)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值就是數(shù)軸上表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離.

一個(gè)正實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；零的絕對(duì)值是零,

即：如果a>0,那么|a|=a；

如果a<0,那么|a|=-a；

如果a=0,那么|a|=0.

方法指導(dǎo)：

從絕對(duì)值的定義可以知道，一個(gè)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是一個(gè)非負(fù)數(shù).

5.實(shí)數(shù)大小的比較

在數(shù)軸上表示兩個(gè)數(shù)的點(diǎn)，右邊的點(diǎn)所表示的數(shù)較大.

6.有理數(shù)的運(yùn)算

(1)運(yùn)算法貝M略).

(2)運(yùn)算律:

加法交換律a+b=b+a；

加法結(jié)合律(a+b)+c=a+(b+c)；

乘法交換律ab=ba；

乘法結(jié)合律(ab)c=a(bc)；

分配律a(b+c)=ab+ac.

(3)運(yùn)算順序：在加、減、乘、除、乘方、開(kāi)方這六種運(yùn)算中，力口、減是第一級(jí)運(yùn)算，

乘、除是第二級(jí)運(yùn)算，乘方、開(kāi)方是第三級(jí)運(yùn)算.在沒(méi)有括號(hào)的算式中，首先進(jìn)行第三級(jí)運(yùn)

算，然后進(jìn)行第二級(jí)運(yùn)算，最后進(jìn)行第一級(jí)運(yùn)算，也就是先算乘方、開(kāi)方，再算乘、除，最

后算加、減.

算式里如果有括號(hào)，先進(jìn)行括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算.

如果只有同一級(jí)運(yùn)算，從左到右依次運(yùn)算.

7.平方根

如果x?=a,那么x就叫做a的平方根(也叫做二次方根).

方法指導(dǎo)：

正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)；零的平方根是零；負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根.

8.算術(shù)平方根

正數(shù)a的正的平方根，叫做a的算術(shù)平方根.零的算術(shù)平方根是零.

方法指導(dǎo)：

從算術(shù)平方根的概念可以知道，算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù).

9.近似數(shù)及有效數(shù)字

近似地表示某一個(gè)量準(zhǔn)確值的數(shù)，叫做這個(gè)量準(zhǔn)確值的近似數(shù).一個(gè)近似數(shù)，四舍五入

到哪一位，就說(shuō)這個(gè)近似數(shù)精確到哪一位.這時(shí)，從左邊第一個(gè)不是0的數(shù)字起，到精確到

的數(shù)位止，所有的數(shù)字都叫這個(gè)數(shù)的有效數(shù)字.

10.科學(xué)記數(shù)法

把一個(gè)數(shù)記成土ax10"的形式(其中n是整數(shù)，a是大于或等于1而小于10的數(shù))，稱(chēng)

為用科學(xué)記數(shù)法表示這個(gè)數(shù).

考點(diǎn)二、二次根式、分式的相關(guān)概念及性質(zhì)

1.二次根式的概念

形如J^(a20)的式子叫做二次根式.

2.最簡(jiǎn)二次根式和同類(lèi)二次根式的概念

最簡(jiǎn)二次根式是指滿(mǎn)足下列條件的二次根式：

(1)被開(kāi)方數(shù)不含分母；

(2)被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式.

幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式以后，如果被開(kāi)方數(shù)相同，這幾個(gè)二次根式就叫做同類(lèi)

二次根式.

方法指導(dǎo)：

把分母中的根號(hào)化去，分式的值不變，叫做分母有理化.兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相

乘，若它們的積不含二次根式，則這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式.

常用的二次根式的有理化因式：

(1)與互為有理化因式；

(2)a+痛與痛互為有理化因式；一般地a+與a-c斯互為有理化因式；

(3)&+揚(yáng)與?"一振互為有理化因式；一般地cG+dJB與揚(yáng)互為有

理化因式.

3.二次根式的主要性質(zhì)

(1)&>0(a>0)；

(2)(y)-a(a>0)；

a(a>0)

(3)=\a\=<

-a(a<0)

(4)積的算術(shù)平方根的性質(zhì)：瓢=五,瓜aNO,b>Q)；

^|=^(a>0,b>0).

(5)商的算術(shù)平方根的性質(zhì):

4.二次根式的運(yùn)算

(1)二次根式的加減

二次根式相加減，先把各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再把同類(lèi)二次根式分別合并.

(2)二次根式的乘除

二次根式相乘除，把被開(kāi)方數(shù)相乘除，根指數(shù)不變.

方法指導(dǎo)：

二次根式的混合運(yùn)算：

L明確運(yùn)算順序，先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號(hào)先算括號(hào)里面的；

2.在二次根式的混合運(yùn)算中，原來(lái)學(xué)過(guò)的運(yùn)算律、運(yùn)算法則及乘法公式仍然適用；

3.在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)

的解題途徑，往往能收到事半功倍的效果.

5.代數(shù)式的有關(guān)概念

(1)代數(shù)式：用運(yùn)算符號(hào)(加、減、乘、除、乘方、開(kāi)方)把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成

的式子，叫做代數(shù)式.

用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，計(jì)算后所得的結(jié)果，叫做代數(shù)式的值.

代數(shù)式的分類(lèi)：

整式胃項(xiàng)式

聲理式多項(xiàng)式

代數(shù)式L分式

I無(wú)理式

(2)有理式：只含有加、減、乘、除、乘方運(yùn)算(包含數(shù)字開(kāi)方運(yùn)算)的代數(shù)式，叫做有

理式.

(3)整式：沒(méi)有除法運(yùn)算或者雖有除法運(yùn)算但除式里不含字母的有理式叫做整式.

整式包括單項(xiàng)式和多項(xiàng)式.

(4)分式：除式中含有字母的有理式，叫做分式.分式的分母取值如果為零，分式?jīng)]有

意義.

6.整式的運(yùn)算

(1)整式的加減：整式的加減運(yùn)算，實(shí)際上就是合并同類(lèi)項(xiàng).在運(yùn)算時(shí)，如果遇到括號(hào),

根據(jù)去括號(hào)法則，先去括號(hào)，再合并同類(lèi)項(xiàng).

(2)整式的乘法：

①正整數(shù)基的運(yùn)算性質(zhì)：

0m.an-am+n；

(a"')"=a'nn；

(ab)",=am.bm；

am^an=am-n(a^O,m>n).

其中m、n都是正整數(shù).

②整式的乘法：?jiǎn)雾?xiàng)式乘單項(xiàng)式，用它們的系數(shù)的積作為積的系數(shù)，對(duì)于相同字母，用

它們的指數(shù)的和作為積里這個(gè)字母的指數(shù)，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，連同它的指

數(shù)作為積的一個(gè)因式.

單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.

多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相

加.

③乘法公式：

(a+人)(a—b)=a?一b~；

(a+—a2+lab+b7.

④零和負(fù)整數(shù)指數(shù)：在(aNO,m,n都是正整數(shù))中，當(dāng)m=n時(shí)，規(guī)定

a°=1；

當(dāng)m<n時(shí)，如m-n=-p(p是正整數(shù))，規(guī)定小。=’.

ap

7.因式分解

(1)因式分解的概念

把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，叫做多項(xiàng)式的因式分解.

在因式分解時(shí)，應(yīng)注意：

①在指定數(shù)(有理數(shù)、實(shí)數(shù))的范圍內(nèi)進(jìn)行因式分解，一定要分解到不能再分解為止,

題目中沒(méi)有指定數(shù)的范圍，一般是指在有理數(shù)范圍內(nèi)分解.

②因式分解以后，如果有相同的因式，應(yīng)寫(xiě)成鼎的形式，并且要把各個(gè)因式化簡(jiǎn).

(2)因式分解的方法

①提公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c).

②運(yùn)用公式法：?2-b1-(a+b^a-b)；a1±2ab+b2-(a+b)2；

③十字相乘法：x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+Z?).

(3)因式分解的步驟

①多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式時(shí)，應(yīng)先提取公因式；

②考慮所給多項(xiàng)式是否能用公式法分解.

方法指導(dǎo)：

因式分解時(shí)應(yīng)注意:①在指定數(shù)(有理數(shù)、實(shí)數(shù))的范圍內(nèi)進(jìn)行因式分解，一定要分解

到不能再分解為止，若題目中沒(méi)有指定數(shù)的范圍，一般是指在有理數(shù)范圍內(nèi)因式分解；②因

式分解后，如果有相同因式，應(yīng)寫(xiě)成幕的形式，并且要把各個(gè)因式化簡(jiǎn)，同時(shí)每個(gè)因式的首

項(xiàng)不含負(fù)號(hào)；③多項(xiàng)式的因式分解是多項(xiàng)式乘法的逆變形.

8.分式

(1)分式的概念

A

形如一的式子叫做分式，其中A和B均為整式，B中含有字母，注意B的值不能為零.

B

(2)分式的基本性質(zhì)

分式的分子與分母都乘(或除以)同一個(gè)不等于零的整式，分式的值不變.

AAxMAA^M

.(其中M是不等于零的整式)

BBxMBB+M

(3)分式的運(yùn)算

?.,,a,ba+ba,cad+bc

①加減法：一土一=----,一土一=

cccbdbd

acac

②乘法:一?一=---.

bdbd

acadad

③除法:

bdbcbe

④乘方：=—(n為正整數(shù)).

[b)b"

方法指導(dǎo)：

解分式方程的注意事項(xiàng)：

(1)去分母化成整式方程時(shí)不要與通分運(yùn)算混淆；

(2)解完分式方程必須進(jìn)行檢驗(yàn)，驗(yàn)根的方法是將所得的根帶入到最簡(jiǎn)公分母中，看

它是否為0,如果為0,即為增根，不為0,就是原方程的解.

列分式方程解應(yīng)用題的基本步驟：

(1)審一一仔細(xì)審題，找出等量關(guān)系；

(2)設(shè)一一合理設(shè)未知數(shù)；

(3)列一一根據(jù)等量關(guān)系列出方程；

(4)解——解出方程；

(5)驗(yàn)一一檢驗(yàn)增根；

(6)答----答題.

【基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練】

一、選擇題

1.下列運(yùn)算中，計(jì)算結(jié)果正確的是()

A.x2-x3=x6B.x2n-%"-2=%"+2

C.(2/)2=4/D./+/=%6

A.1B.-1C.2D.-2

3.已知a+Z?=機(jī),aZ?=T,化簡(jiǎn)(a-2)(/7-2)的結(jié)果是()

A.6B.2m—8C.2mD.-2m

4.當(dāng)X<1時(shí)，化簡(jiǎn)—1)2的結(jié)果為()

A.x-lB.-x-1C.1—xD.x+1

5.計(jì)算（x—yd--）（x+y----2）的正確結(jié)果是（）

x-yx+y

A.y2-x2B.x2-y2C.x2-4y2D.4y2-x2

6.用同樣大小的黑色的小三角形按如圖所示的規(guī)律擺放，則第100個(gè)圖形有（）個(gè)

黑色的小三角形.

第1個(gè)第2個(gè)第3個(gè)第4個(gè)

A.300B.303C.306D.309

二、填空題

7.若單項(xiàng)式2/，與一3/1是同類(lèi)項(xiàng)，則乂=

8.化簡(jiǎn)J（_6）2的結(jié)果是.已知x+|x-l|=l,則化簡(jiǎn)

J（K-1）2+J（2-X）2的結(jié)果是----------

411

9.已知兩個(gè)分式：A=——,B=——+——，其中x#±2.下面有三個(gè)結(jié)論:

x-4x+22-x

①A=B；②A、B互為倒數(shù)；③A、B互為相反數(shù).

正確的是.（填序號(hào)）

10.已知a為實(shí)數(shù)，則代數(shù)式-—8—4a+&7的值為

11.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解——4=.

12.如圖，正方形卡片A類(lèi)、B類(lèi)和長(zhǎng)方形卡片C類(lèi)各若干張，如果要拼一個(gè)長(zhǎng)為（a+

2b）、寬為（a+b）的大長(zhǎng)方形，則需要C類(lèi)卡片張.

三、解答題

13.計(jì)算

（1）——

a2-b2

⑵*x柒

14.觀察下列各式及其驗(yàn)證過(guò)程:

驗(yàn)證:

驗(yàn)證:

驗(yàn)證:

(1)按照上述兩個(gè)等式及其驗(yàn)證過(guò)程的基本思路,猜想4—的變形結(jié)果并進(jìn)行驗(yàn)

15

證；

(2)針對(duì)上述各式反映的規(guī)律,寫(xiě)出用〃仿為任意自然數(shù)，且"22)表示的等式,并給出證

明.

15.分解因式:

(1)-4x2yz-12xy2z+4xyz；

(2)ax"-4ax+4a；

(3)x2-5x+6；

(4)(b-a)2-2a+2b；

(5)(a2+b2)4a2bz.

16.A、B兩地路程為150千米，甲、乙兩車(chē)分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，2

小時(shí)后相遇，相遇后，各以原來(lái)的速度繼續(xù)行駛，甲車(chē)到達(dá)B后，立即沿原路返回，返回時(shí)

的速度是原來(lái)速度的2倍，結(jié)果甲、乙兩車(chē)同時(shí)到達(dá)A地，求甲車(chē)原來(lái)的速度和乙車(chē)的速度.

答案與解析

一、選擇題

1.【答案】B；

【解析】同底數(shù)幕的乘法法則是底數(shù)，不變指數(shù)相加，而除法可能轉(zhuǎn)化為乘法進(jìn)行，幕

的乘方是底數(shù)不變，指數(shù)相乘.A項(xiàng)結(jié)果應(yīng)等于爐，C項(xiàng)結(jié)果應(yīng)等于4爐，而D項(xiàng)無(wú)法運(yùn)算.

2.【答案】C；

【解析】原式=d嚴(yán)%22°ii.2=dx2產(chǎn)工義2=2.

22

3.【答案】選D；

【解析】原式按多項(xiàng)式乘法運(yùn)算后為次?—2(。+切+4,再將。+人=加，次?=—4代入,

可得一2m.

4.【答案】C；

【解析】開(kāi)方的結(jié)果必須為非負(fù)數(shù).

5.【答案】B；

【解析】將括號(hào)內(nèi)的式子分別通分.

6.【答案】B；

【解析】(1)第一個(gè)圖需三角形6個(gè)，第二個(gè)圖需三角形9,第三個(gè)圖需三角形12,

第四個(gè)圖需三角形15,第五個(gè)圖需三角形18,

第n個(gè)圖需三角形3(n+1)枚.

.?.第100個(gè)圖形有3(100+1)=303個(gè)黑色的小三角形.故選：B.

二、填空題

7.【答案】1；

【解析】???2才與—3/1是同類(lèi)項(xiàng)，

2x=3x-l,

解得X=l.

8.【答案】6；-2x+3.

［解析］J(-6)2=6；

*.*x+1x-11=1,

|X-1I=-(X-1),

Ax-1^0,

.?.xWl,

原式二|x-11+12-x|

(x-1)+2-x

=-x+1+2-x

--2x+3.故答案為：6；-2x+3.

9.【答案】③;

1

【解析】因?yàn)椋築=—+

x+22-x

x-2x+2

X2-4~X2-4

-4

~x2-4

=-A故選③.

10.【答案】f

【解析】V-a2>0,Aa2^0,而a?》o,，a=0,

.?.原式=拒—我=—五

2

H.【答案】(X+2)(X+V2)(X-V2)；

【解析】觀察多項(xiàng)式一一4,發(fā)現(xiàn)其有平方差公式特點(diǎn)，所以可以使用平方差公式

進(jìn)行因式分解.

需要注意要將因式分解在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)進(jìn)行到底，且不可半途而廢.

12.【答案】3張；

【解析】本題考查的相關(guān)知識(shí)有整式的乘法，乘法公式，數(shù)形結(jié)合思想.解答思路：可

由面積相等入手，圖形拼合前后面積不變，所以(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2.

三、解答題

13.【答案與解析】

ba+b-a

解：(1)原式二

(a+