廣東省茂名市2024屆高三一模數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

廣東省茂名市2024屆高三一模數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.已知集合力={0,1,2,3},5-{-1,0,1},C=A^\B,則集合。的子集個(gè)數(shù)為（）

A.2B.3C.4D.8

2."％＜1”是。2_4工+3＞0”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

3.從6名女生3名男生中選出2名女生1名男生，則不同的選取方法種數(shù)為（）

A.33B.45C.84D.90

4.曲線/（'）=/+"在點(diǎn)（0,1）處的切線與直線＞=2%平行，貝!]〃=（）

A.-2B.-1C.1D.2

22

5.橢圓C：=+A=1（a＞力＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為片，F(xiàn)2,過片作垂直于x軸

ab

的直線/,交C于/,B兩點(diǎn)，若|/刈=|為用，則C的離心率為（）

A.B.V2-1C.在一1D.2-V2

22

6.函數(shù)了=/（尤）和了=/（x-2）均為R上的奇函數(shù)，若/（1）=2,則/（2023）=（）

B.-1D.2

6tan—+a則sin2a=()

12

B.—

25

8.數(shù)列｛氏｝滿足q=8,a?+1=77GN*),若數(shù)列也}是遞

減數(shù)列，則實(shí)數(shù)2的取值范圍是（）

A.（一*B.7

D.—,+oo

8

二、多選題

9.若/（X）=-$3+；X2+2X+I是區(qū)間（切_1,用+4）上的單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)加的值可以

是（）

A.-4B.-3C.3D.4

試卷第1頁，共4頁

10.過拋物線C：/=4x的焦點(diǎn)尸作直線/交c于48兩點(diǎn)，貝！I()

A.C的準(zhǔn)線方程為x=-2

B.以為直徑的圓與C的準(zhǔn)線相切

a

C.若［43|=5,則線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為:

D.若|AB|=4,則直線/有且只有一條

11.在棱長(zhǎng)為2的正方體/BCD中，E,尸分別為棱8C的中點(diǎn)，則()

A.直線E尸與3G所成的角為60。

B.過空間中一點(diǎn)有且僅有兩條直線與44,42所成的角都是60。

C.過4，E,尸三點(diǎn)的平面截該正方體，所得截面圖形的周長(zhǎng)為3亞+2囪

D.過直線E廠的平面截正方體，所得截面圖形可以是五邊形

12.從標(biāo)有1,2,3,…，10的10張卡片中，有放回地抽取兩張，依次得到數(shù)字。，b,

記點(diǎn)4(。/),3(1,-1),0(0,0),則()

99

A.449B是銳角的概率為三B.2胡。是銳角的概率為前

99

C.”08是銳角三角形的概率為二D.的面積不大于5的概率為二

三、填空題

2

13.已知復(fù)數(shù)z=「，其中i為虛數(shù)單位，則胃=____.

1+1

14.如圖，茂名的城市雕像“希望之泉”是茂名人為了實(shí)現(xiàn)四個(gè)現(xiàn)代化而努力奮斗的真實(shí)

寫照.被托舉的四個(gè)球堆砌兩層放在平臺(tái)上，下層3個(gè)，上層1個(gè)，兩兩相切.若球的半

徑都為〃，則上層的最高點(diǎn)離平臺(tái)的距離為.

15.動(dòng)點(diǎn)尸與兩個(gè)定點(diǎn)0(0,0),4(0,3)滿足|尸旬=2|尸O|,則點(diǎn)P到直線/：

"ZX—y+4-=0的距離的最大值為.

試卷第2頁，共4頁

[H]上有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，則。的取

16.函數(shù)/(x)=2siini。龍+?(tw>0)在區(qū)間

值范圍是.

四、解答題

17.在Ay48c中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為b,c,已知acosB-bcos/-a+c=0.

(1)求3的值；

⑵若M為/C的中點(diǎn)，且a+c=4,求的的最小值.

18.已知某種業(yè)公司培育了新品種的軟籽石榴，從收獲的果實(shí)中隨機(jī)抽取了50個(gè)軟籽

石榴，按質(zhì)量(單位：g)將它們分成5組：[360,380),[380,400),[400,420),[420,440),

[440,460]得到如下頻率分布直方圖.

(1)用樣本估計(jì)總體，求該品種石榴的平均質(zhì)量；(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值

作代表)

⑵按分層隨機(jī)抽樣，在樣本中，從質(zhì)量在區(qū)間[380,400),[400,420),[420,440)內(nèi)的

石榴中抽取7個(gè)石榴進(jìn)行檢測(cè)，再從中抽取3個(gè)石榴作進(jìn)一步檢測(cè).

(i)已知抽取的3個(gè)石榴不完全來自同一區(qū)間，求這3個(gè)石榴恰好來自不同區(qū)間的概

率；

(ii)記這3個(gè)石榴中質(zhì)量在區(qū)間[420,440)內(nèi)的個(gè)數(shù)為x,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

19.設(shè)E,為數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，已知-7^不是首項(xiàng)為:、公差為:的等差數(shù)歹U.

〃(川+1〃23

(1)求｛?！保耐?xiàng)公式；

⑵令勿=(27)％,4為數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)積，證明：

3〃曰5

20.如圖，在四棱錐尸-/BCD中，平面尸CD_L平面ABHCD,AB1BC,

PD=AB=2CD=2,BC=y/2^ZPDC=120°.

試卷第3頁，共4頁

(1)證明：PB1AD；

⑵點(diǎn)E在線段尸C上，當(dāng)直線/E與平面/BCD所成角的正弦值為g時(shí)，求平面/8E與

平面尸8C的夾角的余弦值.

21.已知雙曲線E：1-匕=1(。>0)的左焦點(diǎn)為尸，A,8分別為雙曲線的左、

a23

右頂點(diǎn)，頂點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為也.

2

(1)求E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過點(diǎn)8的直線與雙曲線左支交于點(diǎn)P(異于點(diǎn)A),直線2尸與直線/：x=-l交于點(diǎn)W,

/尸E4的角平分線交直線/于點(diǎn)N,證明：N是血4的中點(diǎn).

22.若函數(shù)“X)在［a,目上有定義，且對(duì)于任意不同的占廣2?。,可，都有

|/(xi)-/(x2)|<^ki-x2l>則稱/(x)為［a,句上的“后類函數(shù)”.

⑴若〃x)=］+x,判斷是否為［1,2］上的“3類函數(shù)”；

丫2

⑵若/■(力=°(了-1戶-1-1111》為［1,6］上的“2類函數(shù)”，求實(shí)數(shù)”的取值范圍；

⑶若“X)為［1,2］上的“2類函數(shù)”，且/⑴=〃2),證明：氣，尤2?1,2］,|/(占)-/(“<1.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

1.c

【分析】根據(jù)給定條件，求出集合。即可得解.

【詳解】集合/={0,1,2,3},5={-1,0,1},則。=/口8={0,1},

所以集合C的子集個(gè)數(shù)為22=4.

故選：C

2.A

【分析】先解一元二次不等式，然后根據(jù)集合的包含關(guān)系可得.

【詳解】解不等式--4尤+3>0得x>3或x<l,

記/=(_8,1)U(3,+8),B=(_S,1),

因?yàn)?B,所以“x<l”是中-4x+3>0”的充分不必要條件.

故選：A

3.B

【分析】利用組合數(shù)公式直接計(jì)算.

【詳解】*；=45.

故選:B

4.C

【分析】確定曲線/(x)=e'+存在點(diǎn)(0,1)處的切線的斜率，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的

幾何意義，即可求得答案.

【詳解】因?yàn)榍€f(x)=e'+◎在點(diǎn)(0,1)處的切線與直線y=2x平行，

故曲線/(x)=e'+"在點(diǎn)(0,1)處的切線的斜率為2,

因?yàn)?'(x)=e*+a,所以/⑼=e°+a=l+a=2,

所以“=1,

故選：C.

5.A

【分析】根據(jù)題意可知直線/：x=-c,結(jié)合方程可得|/用=生，進(jìn)而求離心率.

a

【詳解】因?yàn)镋(-c,0),且直線/垂直于X軸，可知直線/：x=-c,

答案第1頁，共17頁

將x=-c代入橢圓方程可得M+E=1，解得y=±貴，所以=更，

01b2a11a

又因?yàn)閨/用=寓閭，則更=2c,即Ui=c,

aa

可得c2+qc-〃2=0,貝?。?+e-l=O,解得e=--.

222

故選：A.

6.A

【分析】由奇函數(shù)性質(zhì)推導(dǎo)出'=/(')的周期為4,利用周期性、奇偶性求函數(shù)值.

【詳解】因?yàn)?gt;=/('—2)為奇函數(shù)，所以>=/(%)關(guān)于(-2,0)對(duì)稱，即/(—x)+/(x—4)=0,

又歹二/(%)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，貝！l/(r)=-〃x),有/(x)=/(x—4)n/(x+4)=/(x),

所以3=/(%)的周期為4,故/(2023)=/(-1+2024)=止1)=-/(1)=-2.

故選：A

7.C

【分析】合理換元，求出關(guān)鍵數(shù)值，結(jié)合誘導(dǎo)公式處理即可.

【詳解】令/=：+*得戊=，一：，貝lJ6tan￡+4cos］|■-4=，

即6tan,+4sin￡=5sin2%=10sin%cos/,^SW(5cosZ+3)(cosZ-l)=0,且cos/<0,

那么cost=~—,貝!Jsin2a=sin|2z--|=-cos2z=l-2cos21=—.

5I2J25

故選：C.

8.D

【分析】將a向=Cr取倒數(shù)結(jié)合累加法求得‘=>“一］，再利用數(shù)列單調(diào)遞減列不等式

"。"+1an8

并分離參數(shù)，求出新數(shù)列的最大值即可求得答案

【詳解】由題意，％“=弋7,兩邊取倒數(shù)可化為'=理由=’+"，所以'-上=1,

〃%,+1an+xanana2%

--=2,-------="-1,由累力口法可得，---1+2+---+(?-1)=,因?yàn)椋?8,

a""1"

42%??-i??ax2

所以J_=〃（〃T）+L（2"1『

288

答案第2頁，共17頁

所以2=（2"J）?2,因?yàn)閿?shù)列也｝是遞減數(shù)列，故“<〃1，即

因?yàn)椤?2,〃￡N*,所以

8

/max

故選:D.

9.CD

【分析】求導(dǎo)，分析導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到原函數(shù)的單調(diào)性，再由已知建立關(guān)于加的不等式組,

解出即可.

【詳解】由題意，f,(x)=-x2+x+2=-(x-2)(x+l),

令/'（x）>0,解得一1cx<2,令/''（丁卜。，解得尤<-1或x>2,

所以/（x）在（T,2）上單調(diào)遞減,在（-8,-1）,（2,+8）上單調(diào)遞減,

若函數(shù)/（尤）=-；苫3+；/+2式+1在區(qū)間（加-1,機(jī)+4）上單調(diào)，

、f777—1—1、、_

則冽+44-1或加一122或1,解得加《-5或加>3或加￡0,

[m+4<2

即加（一5或冽23.

故選：CD.

10.BCD

【分析】對(duì)于選項(xiàng)A:計(jì)算出準(zhǔn)線即可判斷；對(duì)于選項(xiàng)B:驗(yàn)證|兒〃17[=呼是否成立；對(duì)于選

項(xiàng)C,D:借助焦點(diǎn)弦及通徑的相關(guān)公式計(jì)算即可.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A:由拋物線C：y2=4x,可得2p=4,解得p=2,故準(zhǔn)線方程為

x=-^-=-l,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B:設(shè)的中點(diǎn)為“，且M在準(zhǔn)線上的投影為,

由拋物線的定義可知:\AA'\=\AF\,\BB'\=\BF\,

答案第3頁，共17頁

易知四邊形/R4Z為直角梯形，所以=W忸0」"月+1即=四,

11222

故以為直徑的圓與C的準(zhǔn)線相切，故選項(xiàng)B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C：設(shè)/（國(guó),必）,川工2，%），

因?yàn)閨48|=|/刊+忸下|=|44[+忸8[=X]+孑+%+及=再+'2+2=5,

所以玉+無2=3,所以線段48中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為土芋=：,故選項(xiàng)c正確；

對(duì)于選項(xiàng)D:結(jié)合拋物線的焦點(diǎn)弦中通徑最短，可得以422。=4,要使|AB|=4,

則線段N3為拋物線的通徑，則這樣的直線有且只有一條，故選項(xiàng)D正確.

故選：BCD.

11.ACD

【分析】根據(jù)線線角和截面的相關(guān)知識(shí)逐一判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.

【詳解】對(duì)于A,如圖所示，連接/C，4C”48,

AEB

因?yàn)镋,尸分別為棱8c的中點(diǎn)，所以跖〃/C,

由/4//CG，/4=CG可知，四邊形是平行四邊形,

答案第4頁，共17頁

所以NC//4C],所以EF//&G，

所以E尸與3G所成的角即為4。與BG所成的角，即乙4?B或其補(bǔ)角,

因?yàn)閂48G是等邊三角形，所以440d=60。，

所以E尸與2G所成的角為60。，故A正確；

對(duì)于B,因?yàn)橹本€44，42所成角是90。，且兩條直線相交于4，

所以過點(diǎn)4與兩直線所成角為60。的直線有4條，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,易知平面4瓦。為過4，E,尸三點(diǎn)的截面，該截面為梯形，

顯然4G=2V2,A'E=GF=Vl2+22=S/5,EF=42,

所以截面圖形的周長(zhǎng)為4￡+4E+￡b+G尸=2亞+石+亞+6=3亞+2石，故C正確;

對(duì)于D,如圖所示，分別取/4，CG的靠近A,C的三等分點(diǎn)G,H,

連接G2，GE,HD1,HF,易知GEUHD\,HF//GDt,

答案第5頁，共17頁

故點(diǎn)2，G,E,F,"共面，該截面圖形為五邊形，故D正確.

故選：ACD

12.ACD

【分析】根據(jù)向量數(shù)量積為正結(jié)合古典概型公式判斷A,B選項(xiàng)，根據(jù)數(shù)量積為正得出銳角

判斷C選項(xiàng)，結(jié)合面積公式判斷D選項(xiàng).

【詳解】易知勿，彷不共線，若N493是銳角，OA-OB={a,b)(\,-\)=a-b>Q,易知

4(。,共有100種情況，其中。=6共有10種，與有相同種情況，即45種，所以

459

是銳角的概率為麗=兀，A正確；

若/氏4。是銳角，石.而=/一.+62+6>0恒成立，所以/胡。是銳角的概率為1,B錯(cuò)

誤；

OAOB>0

若一。是銳角三角形，則?麗?曲>0,

AO-AB>0

=a-b>0,

即<(-1,-1,b+1)=Q-6<2,

(_Q,_-a,-1-b)—/_q++Z)>0,

9

所以6=1,共有9種情況，所以“05是銳角三角形的概率為前，C正確；

若

=|OA|^OB|-\/l—COS2AAOB=y/a2+b2x:]=+，a+b<10,

iQxOQ

該不等式共有C：o=7二=45組正整數(shù)解，所以“05的面積不大于5的概率為:D正確.

1x220

故選：ACD.

13.1+i

【分析】應(yīng)用復(fù)數(shù)除法化簡(jiǎn)，結(jié)合共軟復(fù)數(shù)的概念即可得答案.

【詳解…詒2（1）=一

（l+i）（「i）

答案第6頁，共17頁

??Z=1+1?

故答案為：1+i

2V6+6

14.------a

3

【分析】根據(jù)給定條件，求出四個(gè)球的球心構(gòu)成的正四面體的高即可得解.

【詳解】依次連接四個(gè)球的球心。］,。2，。3，。4，則四面體。1-。2。3。4為正四面體，且邊長(zhǎng)為2。,

正AO03O4外接圓半徑r=：。2°3$M60。=/a,則。到底面。2。3。4的距離

h=yj(2a)2-r2=2fq,

所以最高點(diǎn)到平臺(tái)的距離為地“+2a=24+6”.

33

故答案為：2顯6a

3

15.2+A/34

【分析】利用兩點(diǎn)距離公式及已知求得尸的軌跡是圓心為(0,-1),半徑為2的圓上，再確定

直線所過的定點(diǎn)并判斷其與圓的位置關(guān)系，要使圓上點(diǎn)到直線距離最大，有圓心與定點(diǎn)所在

直線與直線/垂直，進(jìn)而求最大值.

【詳解】令P(x,y),則在+(尸3)2=2&+y,整理得x2+(y+l)2=4,

所以尸的軌跡是圓心為(0,-1),半徑為2的圓上，

又直線/：機(jī)》一y+4-3”?=0可化為切(x-3)-(y-4)=0,易知過定點(diǎn)(3,4),

由3?+(4+1)?>4,故點(diǎn)(3,4)在圓/+(夕+=4外，

則圓心與定點(diǎn)所在直線與直線/垂直，圓心與直線/距離最大，

所以點(diǎn)尸到直線/距離的最大值為J3?+(4+1)2+2=2+后.

故答案為：2+國(guó)

答案第7頁，共17頁

11

16.

【詳解】利用三角函數(shù)的性質(zhì)分析求解即可.

由于/(%)在區(qū)間兀71上有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，所以3

15

即巴〈四〈型=3＜。＜9,由/(x)=0得,兀7

OX-----=aJl,左￡Z,

G)3CD6

717171兀G兀713兀

CDX~\---G

5

6267"+不萬+]

兀G71兀G71八

——+—<7171<--------F—<2兀

6666111723

或＜解得U</<5或

c716971ccTICD71,333

2兀<------1<371371<--------F—<471

2626

1723]

所以。的取值范圍是

故答案為:與11J鳴用

7T兀①兀兀①兀)工口由H

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用整體法得到—+b再根據(jù)零點(diǎn)

06626;

個(gè)數(shù)得到不等式組，解出即可.

17.（嗚

⑵百

【分析】(1)利用正弦定理邊化角以及利用兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)〃cosB-6cos%-〃+°=0,

可得cos5的值，即可求得答案.

——＞1—?1—.

(2)由題意可得9=7切+二5。，平方后結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算以及基本不等式，即可求得

22

答案.

【詳解】(1)由正弦定理及acosB—bcos/—a+c=0,

得sinAcosB—sinBcos4-sin4+sinC=0,

又sinC=sin(+5)=sinAcosB+cosAsinB,

所以2sinZcosB-sin4=0,

又/￡(0,兀)，sin^40,2cos5-l=0,即cos5=；,

又Bc(O,兀)，???B忖.

(2)由M為/C的中點(diǎn)，^BM^~BA+~BC,而a+c=4,

22

答案第8頁，共17頁

A

M

____?2(1—?1—>12i_k21_1_.

所以=-BA+-BC=-BA+-BCk2+-BAkBC

u2J442

121211\21

——CHdHCICCOSJDJ——(〃+。)—CLC

442心)」

1/2(4+C、23/<2

N；("+c)X，

\a=c

當(dāng)且僅當(dāng)/即a=c=2時(shí)等號(hào)成立，

所以的最小值為VL

18.(l)416g

69

⑵(i)—,(ii)分布列見解析，￡(x)=]

【分析】(1)根據(jù)題意，用每組的頻率乘以該組區(qū)間的中點(diǎn)值再求和得解；

(2)根據(jù)條件概率計(jì)算公式運(yùn)算，求出X的所有可能取值及對(duì)應(yīng)的概率得解.

【詳解】(1)該品種石榴的平均質(zhì)量為

x=20x[370x0.005+(390+410+450>0.010+430x0.015]=416,

所以該品種石榴的平均質(zhì)量為416g.

(2)由題可知，這7個(gè)石榴中，質(zhì)量在[380,400),[400,420),[420,440)上的頻率比為

0.010:0.010:0.015=2:2:3,

所以抽取質(zhì)量在[380,400),[400,420),[420,440)上的石榴個(gè)數(shù)分別為2,2,3.

(i)記/="抽取的3個(gè)石榴不完全來自同一區(qū)間”，5=“這3個(gè)石榴恰好來自不同區(qū)間”,

青尸(皿=等12

則尸(4)=

c；35

答案第9頁，共17頁

12

所以網(wǎng)間")=記35一6

3417

35

即這3個(gè)石榴恰好來自不同區(qū)間的概率為2.

(ii)由題意X的所有可能取值為0,1,2,3,

3

c40C2/rl18

貝"(X=0)=d1=房，尸(X=1)=亨

35

「5=2)=皆C\C=￡,尸(X=3)=||1

35

所以X的分布列為

X0123

418121

p

35353535

41R1?10

所以￡(X)=0x——+lx——+2x——+3x——=—

v7353535357

19.⑴a”/

(2)證明見解析

【分析】(1)由等差數(shù)列定義可得S,，由S〃與%的關(guān)系即可得知；

(2)由S〃與%可得或，即可得(，由(2〃+1)優(yōu)+1"6,可得7；K6i,借助等比數(shù)列求和

公式計(jì)算即可得證.

■是首項(xiàng)為3、公差為;的等差數(shù)列,

【詳解】(1)由

+1)

s〃n1

故-1)=—+-

〃(〃+1)23v736

n1

即S=—+—

366

當(dāng)〃22時(shí)，Sn_x，

6

故

66

答案第10頁，共17頁

〃（2〃2+3〃+1-2〃2+3〃-1）2

6~n’

當(dāng)〃=1時(shí)，a=S=――=1,符合上式,

x{6

故氏=";

n（2n+1）（〃+1）

（2）由?！?IS'=6'

物〃二（2〃T）%6（2〃-"6（2H-［n

Sn〃（2〃+1）（〃+1）（2〃+1）（n+1

6（2-1）6（4-l）x26（2n-l）n

則北=姑2…2=（2+1）（1+1］（4+1）（2+1）?….（2〃+1）6+1）

6"（2-1）6〃

（2/+1）（/+1）（2〃+］）（〃+］），

由（2〃+l）（〃+l）23x2=6,

故［V多=6"、

0

則為<力".lx（l-6"）_6"-1

~1^6~5

Z=1Z=1

20.（1）證明見解析

_47154

77

【分析】（1）要證/。，可，需要證過四的平面與/。垂直即可，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定

理及線面垂直的判定定理結(jié)合條件即得；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，先根據(jù)條件確定E點(diǎn)的坐標(biāo)，再求二面角.

【詳解】（1）如圖：

答案第11頁，共17頁

由于平面PDC_L平面ABCD，平面PDCH平面ABCD=CD，

過點(diǎn)P作CD的垂線交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)O,則尸O工平面ABCD.

連接03交AD于。，連接。4,

PD=2,ZPDC=\20°,

/.OD=1,：.OC=AB=2,

又ABMCD,AABC=90°,

.??四邊形N8CO為矩形,

.ODOA也

：.OA=BC=C，-

OAAB2

RSOD/sRg/OB,:.NOAD=NABO,

又ZOAD+NDAB=90°,

ZAQB=90°,即/D_L08,

又尸。工平面/8C。，4Du平面NBC。,

PO1AD,y.POr>BO=O,PO,BO^^POB,

AD,平面FOB,又「PBu平面尸08,

AD1PB.

(2)以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA,OC,OP所在直線分別為x,y,Z軸，建立如圖所示的空間

直角坐標(biāo)系,

答案第12頁，共17頁

E

則尸（0,0,6）,C（0,2,0）,^（V2,0,0）,S（A/2,2,0）,

,,"、UU1LlUUL

由于￡在PC上，設(shè)PE=%PC，

則E（0,246-屈卜AE=（-V2,2A,y/3-,

又平面ABCD的法向量力=（0,0,1）,設(shè)直線AE與平面ABCD所成角為6,

sin6?=|cos（3l￡,w）|=2日V5

\^2+422+（V3-V32）25，

解得4=1或4（舍去），

22

（_r__

：.E0,1,二，.\53=（0,-2,0）,BE=一板,-1,苗，5C=（-72,0,0）,

設(shè)平面/5E的法向共/=（X］，M，ZJ,平而P3C的法向共為=&,%/2），

-2%=0,-A/2X2=0,

BA?%=0,BC-n2—0,

則即，r百，G

BE-?1=0,BE-M2=0,_72X]一必H—Z[—0,-z?—0,

取再=百，%=百得々=（百,0,2后），%=（0,0,2）,

4A/2

COS（〃1，〃24454

VTTxT?-77

故平面NBE與平面P8C夾角的余弦值為生叵.

77

答案第13頁，共17頁

2

21.（I）/一匕二i

3

（2）證明見解析

【分析】（1）分析條件，求解方程即可.

（2）找到斜率不存在的情況，容易證明，再求證斜率存在的情況即可.

22

【詳解】（1）因?yàn)槿?匕=1,所以b=百,

a3

雙曲線的一條漸近線為百X-砂=0,因?yàn)殡p曲線的右頂點(diǎn)為（。,0）,設(shè)右頂點(diǎn)到浙近線的距

離為d,

\^a\_V3a_G

由題意得=4a^=七=7'解得

tz2+3=c2,

2

則E的標(biāo)準(zhǔn)方程為，-匕=1.

3

①當(dāng)NPFA=90。,即P尸，N尸時(shí)，設(shè)點(diǎn)P（-2,%），

2

代入雙曲線方程得，（一2）2-￡=1,解得乙=±3,取第二象限的點(diǎn)，則P（-2,3）,

因?yàn)?（1,0）,所以直線5P的斜率為砧,=事=-1,

—2—1

所以直線社的方程為了=X+1,令X=-1,解得k2,即M（T2）,

因?yàn)橹本€W是/PE4的角平分線，S..ZPFA=90°,所以直線W的斜率為Gv=l,

直線MV的方程為y=x+2,令X=-1,解得y=l,即N（-1,1）,

此時(shí)MN|=；|4Wj,即N是的中點(diǎn)；

②當(dāng)NPE4片90。時(shí)，設(shè)直線BP的斜率為左，則直線AP的方程為了=左（》-1）,

答案第14頁，共17頁

y^k{x-\),

消去了得（3-公卜2+242》一/2+3）=0,

聯(lián)立方程仔一」

由韋達(dá)定理得，xx=-.......，

Bpk-3

又因?yàn)榫?1,所以巧,=?!，yp=k（Xp-\）=^!^,

點(diǎn)尸〔胃'41'又因?yàn)槭ㄒ?，0），

\K—JK—J）

6k

甘6k2k

所以原尸=-3

r+3+2-3左2—3一M—l，

/一3

由題意可知，直線NF的斜率存在，設(shè)為左'，則直線NF：y=〃（x+2）,

因?yàn)镕V是NPE4的角平分線，所以NPFB=2NNFB,ffrWtanZ.PFB=tan2ZNFB,

2k2tanNNFB2K

又因?yàn)閠an/PFB=k,tan2NNFB=

PFk2-11-tan2ZNFB~1-k'2，

2k2k‘

所以

即（左+無'）（減'_l）=o,得左=一乂或/=4

k'

由題意知上和《異號(hào)，所以左=-1,所以直線m的方程為y=i（x+2）,

令x=-i,可得y=一左，即N（-I,-左），所以札

直線尸B的方程為了=后卜-1）,令x=-l,可得y=-2后，

即W（T,-2左），所以（叫=卜2札

所以\AN/\=高\(yùn)-k\=51,即N是小的中點(diǎn)?

綜上，N是的中點(diǎn).

22.⑴/（尤）=、+》是［1,2］上的“3類函數(shù)”，理由見詳解.

/、14+e

（2）-7