2024年高考第二次模擬考試數(shù)學試題（廣東專用新題型）全解全析

2024年高考第二次模擬考試

三數(shù)學

全解全析

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的.

1.已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛4｝中，若%=9,貝！)1083%+1嗚4=()

A.2B.3C.4D.9

【答案】C

【分析】利用對數(shù)運算性質結合等比中項求解即可.

【詳解】由題意得log3a4+log3a6=log3(a4a6)，由等比中項性質得知%=a；=8L

故log3a4+log3a6=log3(a4a6)=log381=4.

故選：C

l,x>0

2.已知符號函數(shù)sgn(x)=<0,x=0,貝「sgn(a)xsgne)>0”是的()

—1,x<0

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】根據(jù)題目所給的符號函數(shù)直接得到sgn(?)xsgn㈤>0等價于必>0即可.

【詳解】若sgn(a)xsgn(Z?)>0,則sgn(a),sgn0)同號,

sgn⑷=］卜gn⑷

所以sgn(b)=1或［sgn(b)=-1?

a>0.a<0"

即b>0或6<0,即必>0,

所以“sgn(a)xsgn(b)>0”是“曲>0”的充要條件.

故選：A

3.設。=,b=log030.2,c=log030.4,貝Ij。，b,c的大小關系為()

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a

【答案】D

【分析】首先將對數(shù)式和指數(shù)式與臨界值比較，再判斷大小關系.

【詳解】a=<|,即0<a<g,&=log030.2>l,即11,

因為0.42<0.3,所以logojM?>log（）,3Q3=l,即log。.304>；,

且log030.4<log030.3=1,則g<c<1,

所以》>c>a.

故選：D

4.若拋物線d=2py（p>0）上一點M（〃,6）到焦點的距離是4p,則P的值為（）

?12「7-6

A.—B.—C.-D.一

71276

【答案】A

【分析】根據(jù)題意結合拋物線的定義分析求解.

【詳解】因為拋物線V=2py（p>0）的準線為，=/,

n]2

由題意可得：6+片4夕，解得〃=了.

故選：A.

5.若將函數(shù)'=5畝（。X+?）。>0）的圖像向右平移三個單位長度后，與函數(shù)y=cos（ox+胃的圖像重合，

則。的最小值是（）

21019小17「15

AA.—B.—C.—D.—

4444

【答案】B

【分析】先得到平移后的解析式，再由題中條件，列出等式，求出。，即可得出結果.

【詳解】將函數(shù)y=sin[0x+?[（0>O）的圖像向右平移3個單位長度后得到函數(shù)、=5也10,-1^+?）的

圖像，

即y=cos^a）x-^（o-^,與函數(shù)y=cos"+f的圖像重合

）L，兒，兒

即CDXco=COXH-----F2k兀,kGZ

346

,,TCTCTC_T7

故co=——F2kn,kGZ

346

co——6k—,kGZ

4

19

所以。的最小值為

4

故選：B.

6.某小組兩名男生和兩名女生邀請一名老師排成一排合影留念，要求兩名男生不相鄰，兩名女生也不相鄰,

老師不站在兩端，則不同的排法共有()

A.48種B.32種C.24種D.16種

【答案】B

【分析】由排列組合以及分類分步計數(shù)原理即可得解.

【詳解】當老師從左到右排在第二或第四位時，共有C；C；A；=16種排法，

當老師從左到右排在第三位時，共有C：C；A；=16種排法，于是共有16+16=32種排法.

故選：B.

7.已知為不共線的平面向量，|6|=|c|,若a+6+c=0，則6在d方向上的投影向量為()

A.—aB.—ciC.—aD.—U

4422

【答案】D

【分析】根據(jù)向量的加法法則，結合投影向量的求解即可求解.

【詳解】由a+b+c=0可得Q=—僅+c),

又|。|=京1，如圖所示，由平行四邊形法則可得四邊形ABCD為菱形，

故即,AC互相垂直平分，所以6在4方向上的投影向量為-ga,

8.已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足：當04x41時，/(%)=-X3+3X-1,</(%+1)=/(x-1),則方程

/(%)=lOg5(N+l)實根個數(shù)為()

A.6B.8C.9D.10

【答案】B

【分析】由題知函數(shù)〃尤)為周期函數(shù)，周期為2,在［0,1］上單調遞增，再令ga)=log5(|x|+l),易得g(x)

在R上為偶函數(shù)，進而作出函數(shù)〃尤)與g(x)的圖象，數(shù)形結合求解即可.

【詳解】解：因為函數(shù)〃尤)滿足〃x+l)=〃x—1),

所以，〃x+2)=/(x),即函數(shù)/(尤)為周期函數(shù)，周期為2,

因為當OVxVl時，/(x)=—爐+3x-1,

所以，當OWxWl時，/("=一3犬+3=3(1—x/l+x)“恒成立，

所以,函數(shù)〃尤)在［05上單調遞增，

因為〃尤)為定義在R上的偶函數(shù)，

令g(x)=log5(|x|+l)，則定義域為R，g(-X)=log5(|-x|+1)=log5(|x|+1)=g(x),

所以函數(shù)g(x)=log5(|x|+l)為定義在R上的偶函數(shù)，

/、flogs(x+l),x>0

因為gX=15n

［log5(-X+1),J;<0

因為/(5)=〃3)=〃1)=1⑨3)=1隰4<1送(5)=1幅6>1,

所以g(5)>/(5),〃3)>g(3)

所以,作出函數(shù)〃x),g(x)圖象如圖，

由圖象可知，當xNO時，函數(shù)〃尤)與g(x)圖象有4個交點，

所以，由偶函數(shù)的對稱性可知，當x<。時，函數(shù)“元)與g(x)圖象有4個交點,

所以，方程〃彳)=1。85(國+1)實根個數(shù)為8個.

故選：B

【點睛】關鍵點點睛：本題解題的關鍵在于結合題意，利用導數(shù)研究函數(shù)的性質，得到函數(shù)/（X）是周期為

2的周期函數(shù)，且在［0』上單調遞增，進而作出函數(shù)圖象，數(shù)形結合求解.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分.

9.已知zeC,5是z的共輾復數(shù)，則（）

什l+3i_-4-3i

A.^rz=——,n貝l!|z=--—

l-3i5

B.若z為純虛數(shù)，則z2<0

C.若z-（2+i）>0,則z>2+i

D.若“={2||2+即43）,則集合"所構成區(qū)域的面積為6兀

【答案】AB

【分析】根據(jù)共輾復數(shù)的定義以及復數(shù)四則運算可判斷A；z為純虛數(shù)，可設z=6i（6w0）,根據(jù)復數(shù)的四

則運算可判斷B；由z-（2+i）>0結合數(shù)大小比較只能在實數(shù)范圍內可判斷C；設復數(shù)z=a+歷，根據(jù)復數(shù)

模長定義計算可判斷D.

l+3i_(l+3i)2_-4+3i-4-3i

【詳解】，所以彳=故A正確;

]—3i-—+一二-

由z為純虛數(shù)，可設z=bi（beR,/?H0）,

所以z2=〃i2,因為i2=_l且6工0,

所以z2<0,故B正確；

由z—（2+i）>0,得2=。+1（。>2）,

因為z=a+i（a>2）與2+i均為虛數(shù)，

所以二者之間不能比較大小，故C錯誤；

設復數(shù)z=。+歷,。,6eR,所以a+（b+3）i

由|z+3i|<3得°2+僅+3)2<9,

所以集合“所構成區(qū)域是以（0,-3）為圓心3為半徑的圓,

所以面積為9無，故D錯誤.

故選：AB.

10.關于下列命題中，說法正確的是（）

A.若事件A、B相互獨立，則一（A|B）=P（A）

B.數(shù)據(jù)63,67,69,70,74,78,85,89,90,95的第45百分位數(shù)為78

C.己知尸網(wǎng)=0.65,P（AB）=0.32,則尸（A可=0.33

D.已知4~N（0,l）,若PC41）=p,則P（T4j40）=（_p

【答案】AC

【分析】根據(jù)獨立事件的乘法公式以及條件概率的概率公式可判斷A；根據(jù)百分位數(shù)的定義求出第45百分

位數(shù)判斷B；根據(jù)對立事件的概率公式以及條件概率的概率公式可判斷C；根據(jù)正態(tài)分布的對稱性可判斷

D.

【詳解】對于A,若事件A、8相互獨立，則P（AB）=P（A）P?）,

P(AB)P(A)產⑻

而于（4忸）==尸⑷,A正確;

尸⑻P(B)

對于B,數(shù)據(jù)63,67,69,70,74,78,85,89,90,95已為從小到大排列，共10個數(shù),

又45%xl0=4.5,故第45百分位數(shù)為第5個數(shù)74,B錯誤;

對于C,由于尸（A）=0.65,P（AB）=0.32,

故尸⑻A)=今黑=蕊嗜，則尸⑻&=1一2(例4)=1一||=||

產(A)U.o?oj6565

-33

故尸（疝）=尸例A）=P(B|A)P(A)=—x0.65=0.33,C正確;

65

對于D,由于P(^<l)=p,

故尸C>D=i_p,故尸尸

^P(-l<^<0)=1-P(^<-l)=1-(l-jp)=p-1,D錯誤,

故選：AC

11.如圖，在棱長為2的正方體ABC。-43GA中，M,N,尸分別是AA,CC,,C.Z）,的中點，。是線段RA

上的動點，則（）

A.存在點。，使8,N,P,。四點共面

B.存在點。，使尸。//平面M8N

C.過。，M,N三點的平面截正方體所得截面面積的取值范圍為［2前,3百］

QTT

D.經(jīng)過C,M,B,N四點的球的表面積為了

【答案】AB

【分析】作出過反N,尸的截面判斷選項A；取AR中點為。，證明其滿足選項B；當。在4R運動時，確

定截面的形狀，引入?yún)?shù)（如4。=彳）計算出面積后可得取值范圍，判斷選項C,過MN與底面平行的平面

截正方體得出的下半部分為長方體，其外接球也是過C,M,B,N四點的球，由此求得球半徑，得表面積,

判斷選項D.

【詳解】選項A,連接4民4尸，CDlt正方體中易知C2/M.8,

RN分別是CQCC中點，貝|PN〃CR,所以尸N〃AB,即A，P,N,B四點共面，當。與A重合時滿足S

N,P,。四點共面，A正確;

選項B,如圖，取4A中點為。，連接PQ,QM，AC，

因為M,N分別是AVCG中點，則AM與GN平行且相等，AGM0是平行四邊形,

所以MN//AG，又P是G2中點，所以尸?！ˋC，所以PQUMN,

AWu平面3AW,尸。?平面所以尸?！ㄆ矫鍮正確;

選項C,正方體中，M,N分別是M，CG中點，則MN//AG//AC,

。在AR上，如圖，作。E〃AG交G2于E,連接EN,延長交DC延長線于點K,連接QM延長交DA延

長線于點T,連接7X交AB于點G,交BC于點、F,。近為所過M,N,Q三點的截面，

由正方體的對稱性可知梯形QENM與梯形PGMN全等，

由面面平行的性質定理，TK//QE,從而有7X〃AC,由正方體性質，

設2Q=x,0<x<2,則。[E=￡)[Q=x,CtE=2-x,

N是CG中點，C、N"CK,則CK=GE=2-x,所以CF=CK=2-x,同理AG=2-無,BG=3尸=x,

QE=y/2x,MN=2五,EN=yj^+^-x)2=7%2-4x+5,

梯形QENM是等腰梯形，高為h=河一(/雪=卜一2x+3,

截面面積S=2xg(QE+MN)h=6f+8x+24，

設」(x)=Jx」-6x「+8x+24，尤e[0,2],f'(x)=4x3—12x+8=4(x—l)_(x+2)>0,

/(X)在[0,2]上遞增，/(x)max=/(2)=32,/(x)mn=/(0)=24,

所以Se[2#,40],C錯;

選項D,

取B片中點U,中點V,連接MKMUNKNU,則ABQ是正四棱柱（也是長方體），它的

外接球就是過2，C，M，N四點的球，所以球直徑為萬百7=3,半徑為夫二耳，表面積為5=4萬笈=9萬,

D錯.

故選：AB.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知集合&={(*h)卜7=1},B={(x,y)|(x-2)2+(y+3)2=9},則Ac3的子集個數(shù)為.

【答案】4

【分析】根據(jù)直線與圓的位置關系求出集合AcB的元素個數(shù)，再求解子集個數(shù)即可.

【詳解】集合A表示直線*7=1上點的集合，集合8表示圓(x-2y+(y+3)2=9上點的集合.

圓(x-2)2+(y+3)2=9的圓心坐標為(2,-3),半徑為3,

12+3-11廠

點(2,-3)到直線尤-y=1的距離為再由=2J2<3,

所以直線x-y=l與圓(x-2y+(y+3)2=9相交，

所以AcB共有2個元素，所以Ac3的子集個數(shù)為級=4.

故答案為：4.

13.函數(shù)〃同=辭:，如果尸(x)為奇函數(shù)，則。的取值范圍為

【答案】R

【分析】求出((無)，結合函數(shù)奇偶性的定義判斷可得出結果.

【詳解】由sinx/O可得xxE(左eZ),即函數(shù)f(尤)的定義域為左eZ},

/、asmx-cuecosx

貝1/(x)=-------------，

smx

又因為函數(shù)—(無)為奇函數(shù)，對任意的尤w{x|尤wfat/eZ},

asin(—x)—a(—x)cos(-x)asinx—axcosx

「(一無)==一「(無)，

sin2(-x)sin2x

對任意的實數(shù)a都滿足條件，故實數(shù)〃的取值范圍是R.

故答案為：R

22

14.在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線U0-與=l(a>08>0)的右焦點為F,過。的直線/與C的左、

ab

右兩支分別交于A8兩點，^FBYAB,ZAFB+ZAOF=n,則C的離心率為.

［答案］3\十、

2

【分析】設雙曲線焦距為2c,A(-m,-n),m>0,n>0,利用f8.人8=0，可得加+*=mc,由

ZAFB+ZAOF=n,結合兩角和的正切公式，推出機=￡,“=正',再根據(jù)B點在雙曲線方程上，化簡運算

33

的解.

【詳解】設雙曲線焦距為2c,則在(c,0),A(-m,-n),m>0,n>0,

則FB={m—c,n),AB=(2m,2n),

因為FBJLA6,所以FB-AB=2祖(m-c)+2”2=0,即療+*”七，

因為NAEB+NAOb=7i,所以/AFB=n一NAOF=NBOF,

tanZAFO+tanZBFO

因為tanZAFB=tan(ZAFO+NBFO)=

1-tanZAFO-tanZBFO

nn

m+cc_m____2rLe_____2〃c_2n

RRc2-^m2+n2)c2-mec-m

m+cc-m

nri

因為tanNBO^=—,所以tanNBOb=—,

mm

所以加=￡,〃，

33

因為3點在雙曲線方程上，所以仁―4=1,即:―竺=1,

/b19a29b2

因為82=/—〃2,所以1—12片c?+9.4=0,

兩邊同時除以/,得/—12/+9=0,

解得J=12±6否,

2

【點睛】本題主要考查雙曲線的幾何性質，解題的關鍵是根據(jù)tan/AfB=1必（40尸+/30歹）結合題中已知

條件尸BLAB,ZAFB+ZAOF=兀建立等式求解.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（13分）在四棱錐尸-A5co中，底面ABCD是邊長為2的正方形，PCLPD,二面角A-CD-尸為直

二面角.

(1)求證：PB1.PD；

(2)當PC=PD時，求直線PC與平面上鉆所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析；

⑵當

【分析】(1)根據(jù)面面垂直的性質定理可得BC二平面PC。，進而得出3C_LPD.然后即可根據(jù)線面垂直的

判定定理得出產。,平面PBC,然后即可得出PBLPD；

(2)取CO中點為。，連結尸。.取AB中點為E,連結0E.由已知可證PO人平面ABC。，OELCD.以點。

為坐標原點，建立空間直角坐標系，寫出各點的坐標，求出平面Q旬的一個法向量〃=(0」,2),即可根據(jù)向

量法求出答案.

【詳解】(1)由題意知平面PCD,平面A5CD,

又平面尸8)平面ABCD=CZ),BC1CD,3Cu平面A5CD,

所以人平面PCD

因為PDu平面PCD,所以3C_LPD...............................................4分

又因為尸C_LP￡),BCcPC=C,PCu平面PBC,BCu平面P3C,

所以PD_L平面PBC.

因為PBu平面尸3C,所以PD_LPB...............................................6分

(2)取CD中點為。，連結PO.取AB中點為E,連結OE.

因為PC=P。，點。是CO中點，所以尸OLCD.

又因為平面PCD±平面ABCD,平面PCD1平面ABCD=CD,POu平面PCD,

所以尸平面ABCD...............................................8分

因為點。、E分別是8、A8的中點，所以OE〃A￡>,則OELCD.

貝ljOP=gc￡)=l,OE=AD=2.

以點。為坐標原點，O2OEOP所在直線分別為x，y，z軸，如圖建立空間直角坐標系。-孫Z,

則。（0,0,0）,?（1,0,0）,C（-l,0,0）,B（-l,2,0）,尸（0,0,1）,E（0,2,0）,A。,2,0）,AP=（—1,-2,1）,

AB=(-2,0,0),PC=(-l,0,-l)..............................................9分

設〃=(x,y,z)是平面的一個法向量，

則｛,取y=l,貝Uz=2

n-AB——2x=0

所以〃=（0,1,2）是平面PAB的一個法向量.

設直線PC與平面X4B所成的角為凡則

/?PCI_1_2_

sin。=cos(n,PC

H|PC|一舊X0■一5.............................................12分

所以直線PC與平面R鉆所成的角的正弦值為強.

..............................................13分

5

16.（15分）2023年11月，世界首屆人工智能峰會在英國舉行，我國因為在該領域取得的巨大成就受邀進

行大會發(fā)言.為了研究不同性別的學生對人工智能的了解情況，我市某著名高中進行了一次抽樣調查，分別

抽取男、女生各50人作為樣本.設事件4=“了解人工智能”，3="學生為男生”，據(jù)統(tǒng)計

_34

尸(A|B)=-,P(B\A)=~.

（1）根據(jù)已知條件，填寫下列2x2列聯(lián)表，是否有99%把握推斷該校學生對人工智能的了解情況與性別有關?

了解人工智能不了解人工智能合計

男生

女生

合計

（2）①現(xiàn)從所抽取的女生中利用分層抽樣的方法抽取20人，再從這20人中隨機選取3人贈送科普材料，求

選取的3人中至少有2人了解人工智能的概率；

②將頻率視為概率，從我市所有參與調查的學生中隨機抽取20人科普材料，記其中了解人工智能的人數(shù)為

X,求隨機變量X的數(shù)學期望和方差.

參考公式：*許?常用的小概率值和對應的臨界值如下表:

a0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001

Xa2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

【答案】(1)列聯(lián)表見解析；沒有

⑵①黑；②E（X）=14,O（X）=F

ZOJD

【分析】(1)根據(jù)兩個條件概率值求出2x2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，利用卡方公式計算/的值，再與對應的小概

率值比較即得結論；

(2)①先利用分層抽樣確定所抽取的20名女市民中了解和不了解人工智能的人數(shù)，再利用古典概率模型概

率公式計算即得；

②根據(jù)2x2列聯(lián)表推理得到從我市高中生中任意抽取一人，恰好抽到了解人工智能學生的概率為木，每次

抽的結果僅有“了解”與“不了解”兩種，隨機抽取20人，相當于完成20次伯努利試驗，故利用二項分布期望

與方差公式即可求得.

_34

【詳解】(1)因為尸(4B)=-,P(B\A)=-,

330=70

所以了解人工智能的女生為50X?=30,了解人工智能的總人數(shù)為?42,

5

則了解人工智能的男生有70—30=40人，.......................3分

結合男生和女生各有50人，填寫2x2列聯(lián)表為:

了解人工智能不了解人工智能合計

男生401050

女生302050

合計7030100

100（40x20-10x30）2

因/圖。4.762<6.635,

50x50x30x7021

故沒有99%把握推斷該校學生對人工智能的了解情況與性別有關........................7分

（2）①由題意可知，所抽取的20名女市民中，了解人工智能的有20x為=12人，

不了解人工智能的有20'蘇20=8人，.......................9分

「2pl,131

所以，選取的3人中至少有2人了解人工智能的概率為尸二上為上二工；

.......................11分

②由2x2列聯(lián)表可知，抽到了解人工智能的學生的頻率為7赤0=57,

7

將頻率視為概率，所以，從我市高中生中任意抽取一人，恰好抽到了解人工智能學生的概率為正,

（77391

由題意可知，X~B|20,—1\I,所以，￡（X）=20x—=14,D（X）=20x—x—.

.......................15分

1□

17.（15分）設/（x）=alnx+A-:龍+1曲線y=/（x）在點處取得極值.

（1）求。的值；

（2）求函數(shù)“X）的單調區(qū)間和極值.

【答案】（1）2；⑵“X）在區(qū)間（。電和（1,轉）單調遞減，在區(qū)間單調遞增；/（x）的極大值為"1）=0；

的極小值為H=2-2加3.

【分析】（1）根據(jù)廣（1）=0,即可容易求得。；

（2）根據(jù)（1）中所求，求得了'（X）,即可容易求得單調區(qū)間和極值.

【詳解】（1）因為/（x）=aln尤+?一;x+1,故可得廣（對二烏一土一；，

又因為⑴=0,故可得。-2=0,解得。=2,經(jīng)檢驗符合題意...............................6分

（2）由（1）可知，

〃x）=2fax+（j+l,〃x）=_（x1）,

令/'（x）=。，解得玉=；,%=1,

又因為函數(shù)定義域為（0,內），

故可得f（X）在區(qū)間（。，?和（1,+8）單調遞減，在區(qū)間Q，11單調遞增.

故〃元）的極大值為了⑴=0;/（X）的極小值為巾=2-2/?3...............................15分

【點睛】本題考查利用極值點求參數(shù)值，以及利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間和極值，屬綜合基礎題.

22

18.（17分）已知等軸雙曲線N的頂點分別是橢圓C:二+匕=1的左、右焦點耳、F2.

62

（1）求等軸雙曲線N的方程；

（2）。為該雙曲線N上異于頂點的任意一點，直線償和。B與橢圓C的交點分別為E,尸和G,H,求

|EF|+41GHi的最小值.

【答案】（1）--^=1：（2）巫.

442

【分析】（1）直接由橢圓的焦點得雙曲線的定點，再根據(jù)。=〃可得解;

(2)設E(x”%),F(x2,y2),G(X3,%),"(匕,為),設直線。耳的方程為x=my-2,直線QF?的方程為x=ny+2,

分別與橢圓聯(lián)立得韋達定理，進而可表示弦長，聯(lián)立直線物和。尸2可得焦點，代入雙曲線化簡得加=1，

12222

進而得但川+4|G*=:■m+131zm+1m+1m+3學:）展開利用基

+4x---------)=2V6x-x(—―+4x----鼠x>(z1-+

m+3l+3m24m2+31+3m2m2+1m+1

本不等式求解即可.

22______

【詳解】（1）由橢圓。:上+乙=1可得c=而與=2,

62

所以等軸雙曲線N的頂點為（？20）,

22

設等軸雙曲線N為之一當=1,所以。=匕=2,

ab

所以等軸雙曲線N的方程為三-3=1；

..............................................6分

44

(2)設石(西，必)，/(X2，%),G(x3,y3),H(x4,y4),

設直線例的方程為1=沖-2,直線。鳥的方程為了=行+2,

x=my—2

由,尤2)2得:(m2+3)y2—4my—2=0,..............................................8分

162

4Hz2

所以A>0顯然成立，所以％+%=「一——~~-

m+3m+3

4n2

同理可得為+M=--％=---，..............................................10分

n+3n+3

26(療+1)

所以但日=J(1+病)[5+%)2-分通]=(1+療)T+

m2+3

2n(1+1)

―_n2+3-

2m+2n

x=----------

x=my-2m-n

聯(lián)立直線死和。fl,解得

4

y=

m-n

所以。（生土生,」一）,

13分

m-nm—n

(2m+2ri)216

因為。在雙曲線上，所以=1,解得mn=l,

4(m-n)24(m-n)2

所以|E司+4|GH|=2幾+4x+4x

m+3n+3m+31

一十

m23

,/_m2+1.m2+11,m2+1.m2+1^2+31+3m2

2J6(z――+4x--------)x=2V6X-X(――+4x--------x)(z——+——x),

m2+31+3m24m2+31+3m72m2+1m2+1

222

A/6,_1+3/.m+3,A/6Z__/l+3m~~~m+3.9瓜

—(5+——+4x-------)>—(5+2J——x4x-------)=-^-

2m2+31+3療72Vm2+3l+3m722

當且僅當匕近=4*左主與，即療=5時，取得最小值2恒..........................17分

m-+31+3川2

【點睛】關鍵點點睛：本題解題的關鍵有兩個，一個是聯(lián)立直線。青和。居得。（烏2H7+2/74代入雙曲

m—nm—n

線得mn=l,另一個是處理最值時用到了基本不等式，由

22

?-ri八-I-二，”r+1,m+1-r-1，〃/+i+1+31+3〃/、

EF+4GH=2V6(――+4x--------)x=246x—x(――+4x---m-----)(——+——),展開利用基本不等

1111m2+3l+3m24m2+3l+3m2m2+lm2+1

式