湖南省湘潭市2024屆高三年級下冊3月質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題含答案

-LF刖湖南省湘潭市2024屆高三下學(xué)期3月質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題

2024屆高三3月質(zhì)量檢測試題

數(shù)學(xué)

注意事項：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在本試卷和答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)的答案標(biāo)號徐黑，如有改動，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案；回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的.

1.設(shè)集合A=｛充122k4I+3<0),B=｛Z\lg(x-'1X0｝,IjjlJAA.8—

A.{211〈］42}B.{川2V-V3}

C.{a?|D.{xl0<x<2)

2.已知隨機(jī)變量X服從.N(O.5./),若P(X4Q3)=0.3,則P(0.3&X00.7)=

A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5

3.已知之為復(fù)數(shù)，若zi+i為棋數(shù)，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的軌跡方程為

A.笈一、=0B.(J；-I)2+j/2=1

C.j/+l=0D.z+l=0

4.設(shè)'等差數(shù)列｛斯｝的前幾項和為S，若七三853=18,則Ss=

A.34B、35C.36D.38

匚(sin50°+sin70°/小盾4

5-1+cos200-的值丸

A.1B.-yC.jD.2

LJ

6.實驗課上“卜明將一個小球放置在圓柱形燒杯口處固定(燒杯口支撐著小球)，觀察到小球恰好接

觸到燒杯底部.已知燒杯的底面半徑為2,小球的表面積為25兀,若燒杯的厚度忽略不計，則燒杯的

側(cè)面積為

A.7rB.2兀C.37tD.47r

7.已知/(工)是定義域為R的偶函數(shù)，當(dāng)工>0時,f(x)=(z+a)卜一5)2，若f(無)有且僅有3個零

點，則關(guān)于①的不等式『⑴》子信)的解集為

A.(-OO,-2)IJ(2,+^)

c.(―8,—3)U(3,+OO)D.(―8,—4)U(4,+8)

8.已知W|（）的半&為l./i.B.C為上三點.滿足IA由=&.則戈?<AC48d的取值他圉為

A-L1.2]R[1.3]

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.潮汐現(xiàn)象是地球上的海水受月球和太陽的萬有引力作用而引起的周期性漲落現(xiàn)象.某觀測站通過

長時間觀察，發(fā)現(xiàn)某港口的潮汐漲落規(guī)律為y=AcosKz+g）+6（其中4>0,。>0）,其中y（單位:

m）為港口水深,了（單位：h）為時間（0<1<24）,該觀測站觀察到水位最高點和最低點的時間間隔

最少為6h、且中午12點的水深為8m,為保證安全，當(dāng)水深超過8m的，應(yīng)限制船只出入，則下列

說法正確的是

B.最高水位為「12m

C.該港口從上午8點開始首次限制船只出入

D.一天內(nèi)限制船只出人的時長為4h

10.已知圓錐SO的側(cè)面展開圖為一個半圓，AC為底面圓O耨5條直徑,AC=2,B為圓。上的一個

動點（不與A,C重合），記二面角S-AB-0為a,S-火。-。為E，則

A.圓錐30的體積為當(dāng)丁

0

B.三棱錐S-ABC的外接球的半徑為母

乙

C.若0=8,則BOJ_平面SAC

D.若tana=2tan則tana=vT5

已知F,,F2分別為雙曲線C：z2—/=an>0）的左、右焦點，點乂（1,西）滿足端-AM=0,

N為雙曲線C的右支上的一個動點，0為坐標(biāo)原點，則

A.雙曲線C的焦距為4

B,直線MF2與雙曲線C的左、右兩支各有一個交點

C.AN0M的面積的最小值為1

3.ZONM<J

U

【高三數(shù)學(xué)試題第2頁（共5頁）】

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.在(2+丁)3(1—n)的展開式中。的一次項的系數(shù)為(用數(shù)字作答).

13.已知F為拋物線C：丁=2/c(力>0)的焦點，0為坐標(biāo)原點，過F且斜率為1的直線交拋物線C

于兩點，直線AO,BO分別交拋物線C的準(zhǔn)線于P,Q兩點，若雙5=4赤，前=幺質(zhì)，則

/+〃=.

14.已知函數(shù)，殳)=工一小!x(a>0),記函數(shù)，，=/(工)，y=f(f(z))的值域分別為M,N,若N呈M,

則a的取值范圍是.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.

15.(本小題滿分13分)

2023年8月8日是我國第15個“全民健身日”，設(shè)立全民健身日(FitnessDay)是適應(yīng)人民群眾體

育的需求，促進(jìn)全民健身運動開展的需要.某學(xué)校為了提高學(xué)生的身體素質(zhì)，舉行了跑步競賽活

動，活動分為長跑、短跑兩類項目，且該班級所有同學(xué)均參加活動，每位同學(xué)選擇一項活動參加.

統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：

長跑短跑

男同學(xué)3010

女同學(xué)a10

若采用分層抽樣按性別從該班級中抽取6名同學(xué)，其中有男同學(xué)4名，女同學(xué)2名.

(1)求。的值以及該班同學(xué)選擇長跑的概率；

(2)依據(jù)小概率值a=0.01的獨立性檢驗，能否推斷選擇跑步項目的類別與學(xué)生性別有關(guān)?

n(ad-be)2

附：/其中n=a~\~b-\~c-\-d.

(a+6)(c+d)(a+c)(6+d)

a0.050.010.001

3.8416.63510.828

16,（本小題滿分15分）

設(shè)各項都不為。的數(shù)列皿J的前”項積為T,,二=2號"?a,，m=2.

（D求數(shù)列的通項公式；

（2）保持?jǐn)?shù)列中的各項順序不變，在每兩項g與。*+1之間插入一項2（帆+1—■&&）（其中k—\,

2、3、…）.組成新的數(shù)列也），記數(shù)列也］的前上項和為S“，若S〃>2023,求n的最小值.

17.（本小題滿分15分）

如圖，在三棱臺ABC-ABC中，△ABC為等邊三角形,AB=2AiBi=2,AAJ_平面ABC,M,

N分別為AB,AC的中點.

（1）證明：平面BCCBi〃平面AIMN；

（2）若小瓦LAG，設(shè)。為線段BC上的動點，求AD與平面BCGBi所成的角的正弦值的最

大值.

B

18.(本小題滿分17分)

已知橢圓常+方=">6>0)的離心率為?,°為坐標(biāo)原點㈤㈤分別為橢圓。的左、右焦

點，點P在橢圓C上(不包括端點)，當(dāng)PFZJ_BF2B^,APF,F2的面積為爭.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)點A(O,1),B(O,—1),直線PA,PB分別與橢圓C交于異于點P的M,N兩點，記直線

PO,MN的斜率分別為M,k2，求的值.

19.(本小題滿分17分)

已知函數(shù)/(x)=zlnx—^-x2—1,aGR.

(1)當(dāng)a=l時，求/(z)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)aVO時，記戶z)的極小值點為々，證明：f(x)存在唯一零點久1,且q〉4x0.

(參考數(shù)據(jù)：e3六20.85)

【高三數(shù)學(xué)試題第5頁(共5頁)】

2024屆高三3月質(zhì)量檢測-數(shù)學(xué)

參考答案、提示及評分細(xì)則

題號12345678

答案AcDBcDAB

題號91011

答案ACACDACD

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.【答案】A

【解析】由/一4才+3<0,解得1VJTV3,所以A=(H|1VHV3).因為0V才一1V1,所以B={z|1VhV2).故

AClB={*lVx<2).故選A.

2.【答案】C

【解析】由題意.P(0.3&X&0.5)=0.5-0.3=0.2.所以P(0.3&X40.7)=2P(0.3&X40.5)=0.4.故選C.

3.【答案】D

【解析】設(shè)N=工+yiQ.ySR).則？i+i=(“+?i)i+i=(H+l)i—?.因為？i+i為實數(shù),所以工+1=0.故選D.

4.【答案】B

【解析】53=。|+3+。3=3%=18.解得。2=6.設(shè){。11}的公差為4.0,一八=24=2.解得d=1,所以牝=9.S$=

S3+a?+as=18+8+9=35,故選B.

5.【答案】C

r做好I(sin50°十sin70°尸_[sin(600-10°)+sin(600+100)了_3cos。10°_3_燉*,

【解所】-1+cos20°1+2cos2100-]2cos210°-7，K3S

6.【答案】D

【解析】設(shè)小球的底面半徑為八則S=4k-=25k,解得r=1?，設(shè)圓柱的席為人.由勾股定理可得產(chǎn)=2'+

(/?一人/.解得人=1或人=4(舍去).所以燒杯的側(cè)面積為2Kx2X1=4K.故選D.

7.【答案】A

【解析】因為/⑺為偶函數(shù).有且僅有3個零點,所以/(0)=0.解得a=0.此時當(dāng)60時,八工)=工卜一打.

/(1r)的零點為一■當(dāng)工》0時,/\外>/(十).即Xs—3。+-1-x—1-=(彳一十)(工一2)>0.解得工>2,

所以八口〉/(右)的解集為(一8,一2)11(2.+8).故選A.

8.【答案】B

【解析】取AB的中點為D,則|而=十.6"(AC+BC)=2OC-DC=2OC?(OC-OD)=2OC2-2OC-OD

=2—205.歷,因為比.方右[一十,].所以2—2比?故選B.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6

分,部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.【答案】AC(全部選對得6分.選對1個得3分，有選錯的得0分)

【解析】依題意看=三=6,所以s=會.A選項正確；

4(1)0

當(dāng)工=12時，kAcos傳X12+給+6=8,解得A=4,所以最高水位為10m.B選項錯誤；

由上可知y=4cos(去r+^)+6.令y>8.解得8-412或20/424,所以從上午8點開始首次限制船只出

人.一天內(nèi)限制船只出入時長為8h.C選項正確.D選項錯誤.故選AC.

10.【答案】ACD(全部選對得6分.選對1個得2分.選對2個得4分,有選錯的得0分)

【解析】設(shè)圓錐母線長為/，已知圓錐底面圓半徑r=l，則K/=2“T?.解得/=2,所以圓錐的高h(yuǎn)=;席、

網(wǎng)錐體積為:芯，/A選項正確;

設(shè)三棱錐S-ABC的外接球半徑為R，則（7T—R）2+12=R\解得R=^.B選項錯誤；

分別作OD.OE垂直BA,BC于D,E.則NSDO=a.NSEO=j9.若a=f,則OD=OE,此時

OBJ_AC,又OBJ_SO.所以BOJ_平面SAC,C選項正確；

若tana=2tan￡.則2OD=OE,即2BC=BA,又BC2+BA?=4.解得BC=%.OD=年

方所以tan。=5=K，D選項正確，故選ACD.

11.【答案】ACD（全部選對得6分.選對1個得2分，選對2個得4分,有選錯的得0分）

【解析】設(shè)O為坐標(biāo)原點，依題意|乂0|=|061=|0尸21=2,所以‘=2.雙曲線。每一*=1的焦距2c=4.A

選項正確；

由A知#2（2.0）,雙曲線漸近線方程為y=±工,則直線MF2的斜率為空抖=一有〈一1.所以直線MF2與

X乙

雙曲線的右支有兩個交點，B選項錯誤；

設(shè)直線l：y=^x+m與雙曲線右支相切,聯(lián)立可得2三+2"〃吹+2+川=（），△=（2萬切）2—8（2+。）=0,解得

m=-2或者m=2（舍）.直線OM與/之間的距離為d='=Z￡l=1,所以△NOM的面積最小值為J|OM|d=

A/3+T2

1.C選項正確；

由C可知，直線lc=底工一?與雙曲線右支的切點為（瘋.1）.直線OM與/兩平行線之間的距離為1,且|OM|

=2.N到OM中點的距離大于1.所以NONMV手,D選項正確,故選ACD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.【答案】4

【解析】Q2?十（-1）023=12—8=4.

13.【答案】6

【解析】設(shè)4（4，“），3（三.”），則尸9=孕.同理//=華.設(shè)直線AB：H=、+等.

2PpL

2

將直線AB與拋物線方程聯(lián)立可得于一2力、一/=0,則V+”=26V“=—",

2（垣十里）.,,

2

Cem_2（xj_\2p2pI_y]+_（y!+j2）—21ylyc

14.【答案】（0.D

【解析】，（-=1-3=二?2,當(dāng)HS（O.a）時.，（Z）V0，/（H）單調(diào)遞減，當(dāng)HS（a,+8）時，，（工）>0,/（工）單

調(diào)遞增，當(dāng)x—a時,/（1）取得極小值/（a）=。-alna?所以M={y\y^a-a\na},當(dāng)a-alna<0時，M=N,

不符合題意?當(dāng)a-aIna》0.即OVaVe時?設(shè)=—alna,若N&M.則a—aIna>a,解得OVaVl.

所以a的取值范圍是3,1）.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.

15.【答案】（Ha410.該班同學(xué)選擇長跑的概率為（2）選擇跑步項目的類別與學(xué)生性別無關(guān)

【解析】（1）依題意男女同學(xué)的比例為2：1.

所以=...................................................................................3分

a十10

故a=10,...................................................................................................................................................................4分

該班同學(xué)選擇長跑的概率為亦骷%而了梟...................................................6分

JUT1UI1U:八J

（2）零假設(shè)H。：選擇跑步項目的類別與學(xué)生性別無關(guān)，

（30+10+10+10）X（30X^0-10X10）2_15_.

Z-（3O+lO）X（lO+lO）X（；?On-J0->X（lO+lO）-_4"川’...........................................11

根據(jù)小概率值a=〃01的獨立性檢驗.沒有充分證據(jù)推斷出H,Q成立,因此可以認(rèn)為Ho成立,即認(rèn)為選擇跑

步項目的類別與學(xué)生性別無關(guān)....................................................................13分

16.【答案】（l）a.=2"（2）17

【解析】（1）當(dāng)時.。T=2T~^?a.T.因為兀"2一??..................................3分

兩式相除可得小=空泛...........................................................................5分

a?一】

因為%W0,所以。。-1=2?7?又訊=2?所以a.=21.................................................................................7分

（2）依題意，

S?,=m+2（4一。1）十。.十2（如-a2）+-+aM+2（a.4,I-as）

=a[+牝+…十。。十2沁…+%一田+田一）

=。1+。2+???十?！?2（。0十】一a】）=?！?a2+???+??+a?+2—02

="--H2“+'-4=3?2"|-6?.......................................................................................................11分

1—2

(S3遞增?當(dāng)n=8時.$6=153(X2023.

當(dāng)”=9時.Si8=3O66>2O23.

S17=SI6=Sg+a>=153O+512=2O42>2O23.，

綜上.”的最小值為17..............................................................................................................................15分

17.【答案】（1）略（2）穹

14

【解析】（1）證明：因為AiG=CN.且AG〃CN.所以四邊形4GCN為平行四邊形..................2分

因為CG〃AiN.ANU平面ANM.CGQ：平面A,NM.

所以GC〃平面AiNM.又BC〃MN.MNU平面AiNM.BCO平面AiNM.所以BC〃平面AiNM.

因為BCU平面BCGB-CCU平面BCGB-CBnCG=C.所以平面BCGBi〃平面AiMN；..............5分

（2）連接BN,因為AA】_L平面ABC.且AA】U平面AACC.所以平面ABCJ_平面AA,C,C.

又平面ABCn平面AAiaC=AC.BNJ_AC.BNU平面ABC.

所以BNJ_平面AAGC,所以BNJ_AG.................................................................................................7分

又AiBj_AG.BAiDBN=B.BAi.BNU平面BNAi所以AG_L平面BNAi.AGJ_A】N.

故四邊形AiANG為正方形.AAi=l........................................................................................................8分

建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.

則A1(O.O.1).C1(1.O.1).C(2.O.O).B(1.V3.O).

不妨設(shè)比=2就ae[0.門).

D(2-A,</3A,0),ATD=(2-A.V3A.-1)............................................10分

設(shè)平面BCGBi的一個法向fit為"=(z.y.z).

由我?=(-1.0.1).荏=(一1.四.0).

in?CCi=0.(—x+z=0.「「

令《一得V令y=l.可得再).........12分

1n?CB=O.x+v3j=0<

則Icos<n.A?D>|=J>(2T)+屈一'I=_瘋g穹(當(dāng)且僅當(dāng)；I=J時取"=”)?

s/7Xy(2-A);+3A-+l#X，⑵一D；+414'2'

所以AD與平面BCGB所成角的正弦值的最大值為穹.........................................15分

14

18.【答案】⑴毛+乎=1⑵一十

【解析】（1）當(dāng)PBLBF?時.將H=C代入橢網(wǎng)方程可得J+g=l.解得|y|=￡.................................2分

aoa

由題IT意?得一解得a=2四.6=點.

192「心蜉.

所以C的方程為得+4=1;......................................................................................................................5分

JLJ

（2）設(shè)M（工i3N（q?y；）?P（工。,“）?由于P在橢圓C上.所以京+4工=12?....................................6分

直線PA：y=&二L+1,與桶網(wǎng)C的方程聯(lián)立.消去》整理可得(2—％++才。(y。一1)才一焉=0.

Xo

/。

由韋達(dá)定理可得?故xi9分

2一%jo—2*Ji

直線PB：y=泡土L—1.與橢網(wǎng)C的方程聯(lián)立,消去y整理可得(仙+2)三一才。(仙+1)才一焉=o.

To

右,▼一一元右■-一才?！?gt;。+1XZ才。1一2》。+3z/1。2%+3\

有不花一RTT有八一K5一%X斤較1-戈鉉,N(左加量力.......13分

2y￡>-3T2%+3

故4=21^=SFL一/.................................................16分

X1-x2Xo.JoZyoJToZyu

Jo-2jo+2

又及=弛?所以及燈=--1-?..........................................................................................................17分

JToJT0\乙》0'乙

19?【答案】(1)詳解見解析(2)略

【解析】(1)當(dāng)a=l時■/(工)=jrln1一號一1.f(o-)=In1一1+1.

設(shè)g(?r)=lnx-?r+l,則1(幻=+一］=1才..................................................................................................2分

當(dāng)工￡(0?1)時?/(I)>()?g(i)單調(diào)遞增;

當(dāng)/￡(1,+8)時./(/〈0喑(/單調(diào)遞減.

當(dāng)x=l時.g(i)取得極大值g(1)=0.所以g(i)&0,即，(工)40,

所以/(―在(0?+8)上單調(diào)遞減,無單調(diào)遞增區(qū)間；...............................