《第八章 立體幾何初步》知識(shí)梳理、考點(diǎn)專練和單元檢測試卷

《第八章立體幾何初步》知識(shí)梳理【知識(shí)構(gòu)建】【知識(shí)梳理】一、常見幾何體的面積多面體的表面積就是圍成多面體各個(gè)面的面積的和.圓柱的側(cè)面積S側(cè)=2πrl,表面積S=2πr(r+l).圓錐的側(cè)面積S側(cè)=πrl,表面積S=πr(r+l).圓臺(tái)的側(cè)面積S側(cè)=π(r'+r)l,表面積S=π(r'2+r2+r'l+rl).球的表面積S=4πR2.其中r',r分別為上、下底面半徑,l為母線長,R為球的半徑.二、常見幾何體的體積柱體的體積V=Sh;錐體的體積V=13臺(tái)體的體積V=13(S'+S球的體積V=43πR3其中S',S分別為上、下底面面積,h為高,R為球的半徑.三、平面的基本事實(shí)基本事實(shí)1:過不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn),有且只有一個(gè)平面.基本事實(shí)2:如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi).推論1:經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn),有且只有一個(gè)平面.推論2:經(jīng)過兩條相交直線,有且只有一個(gè)平面.推論3:經(jīng)過兩條平行直線,有且只有一個(gè)平面.基本事實(shí)3:如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線.基本事實(shí)4:平行于同一條直線的兩條直線平行.四、空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系1.空間中直線與直線的位置關(guān)系共面直線2.空間中直線與平面的位置關(guān)系(1)直線在平面內(nèi)——有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn);(2)直線與平面相交——有且只有一個(gè)公共點(diǎn);(3)直線與平面平行——沒有公共點(diǎn).當(dāng)直線與平面相交或平行時(shí),直線不在平面內(nèi),也稱為直線在平面外.3.空間中平面與平面的位置關(guān)系(1)兩個(gè)平面平行——沒有公共點(diǎn);(2)兩個(gè)平面相交——有一條公共直線.五、空間平行關(guān)系的判定及性質(zhì)1.直線與平面平行的判定定理:如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,那么該直線與此平面平行.2.直線與平面平行的性質(zhì)定理:一條直線與一個(gè)平面平行,如果過該直線的平面與此平面相交,那么該直線與交線平行.3.平面與平面平行的判定定理:如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行,那么這兩個(gè)平面平行.4.平面與平面平行的性質(zhì)定理:兩個(gè)平面平行,如果另一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交,那么兩條交線平行.六、空間垂直關(guān)系的判定及性質(zhì)1.直線與平面垂直的判定定理:如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直,那么該直線與此平面垂直.2.直線與平面垂直的性質(zhì)定理:垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.3.平面與平面垂直的判定定理:如果一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線,那么這兩個(gè)平面垂直.4.平面與平面垂直的性質(zhì)定理:兩個(gè)平面垂直,如果一個(gè)平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個(gè)平面的交線,那么這條直線與另一個(gè)平面垂直.《第八章立體幾何初步》考點(diǎn)專項(xiàng)訓(xùn)練考點(diǎn)一基本立體圖形解決空間基本立體圖形結(jié)構(gòu)特征問題的三個(gè)策略(1)把握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，提高空間想象力．(2)構(gòu)建幾何模型、變換模型中的線面關(guān)系．(3)通過反例對結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行辨析．一．選擇題1．將一個(gè)等腰梯形繞著它的較長的底邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所得的幾何體包括A．一個(gè)圓臺(tái)、兩個(gè)圓錐 B．一個(gè)圓柱、兩個(gè)圓錐 C．兩個(gè)圓臺(tái)、一個(gè)圓柱 D．兩個(gè)圓臺(tái)、一個(gè)圓錐【答案】B【解析】設(shè)等腰梯形，較長的底邊為，則繞著底邊旋轉(zhuǎn)一周可得一個(gè)圓柱和兩個(gè)圓錐，（如右軸截面圖）故選B．2．某人用如圖所示的紙片沿折痕折后粘成一個(gè)四棱錐形的“走馬燈“，正方形做燈底，且有一個(gè)三角形面上寫上了“年”字，當(dāng)燈旋轉(zhuǎn)時(shí)，正好看到“新年快樂”的字樣，則在①、②、③處可依次寫上A．樂、新、快 B．快、新、樂 C．新、樂、快 D．樂、快、新【答案】B【解析】根據(jù)四棱錐圖形，正好看到“新年快樂”的字樣，可知順序?yàn)棰谀辎佗?，故選B．3．以下空間幾何體是旋轉(zhuǎn)體的是A．圓臺(tái) B．棱臺(tái) C．正方體 D．三棱錐【答案】A【解析】一條平面曲線繞著它所在的平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面叫作旋轉(zhuǎn)面；該定直線叫做旋轉(zhuǎn)體的軸；封閉的旋轉(zhuǎn)面圍成的幾何體叫作旋轉(zhuǎn)體．所以選項(xiàng)正確．故選A．4．一個(gè)圓錐的母線與其軸所成的角為，則該圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖所示，設(shè)圓錐的母線為，底面圓半徑為，因?yàn)?，所以，解得，所以底面圓的周長為，所以該圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為．故選D．5．用一個(gè)平面去截一個(gè)幾何體，截面的形狀是三角形，那么這個(gè)幾何體不可能是A．圓錐 B．圓柱 C．三棱錐 D．正方體【答案】B【解析】用一個(gè)平面去截一個(gè)圓錐時(shí)，軸截面的形狀是一個(gè)等腰三角形，所以滿足條件；用一個(gè)平面去截一個(gè)圓柱時(shí)，截面的形狀不可能是一個(gè)三角形，所以不滿足條件；用一個(gè)平面去截一個(gè)三棱錐時(shí)，截面的形狀是一個(gè)三角形，所以滿足條件；用一個(gè)平面去截一個(gè)正方體時(shí)，截面的形狀可以是一個(gè)三角形，所以滿足條件．故選B．6．用一個(gè)平面去截一個(gè)幾何體，得到的截面是一個(gè)圓面，這個(gè)幾何體可能是A．圓錐 B．圓柱 C．球體 D．以上都有可能【答案】D【解析】用一個(gè)平面去截一個(gè)幾何體，得到的截面是一個(gè)圓面，則這個(gè)幾何體可能是圓錐，也可能是圓柱，也可能是球體．故選D．7．下列說法正確的是A．通過圓臺(tái)側(cè)面一點(diǎn)，有無數(shù)條母線 B．棱柱的底面一定是平行四邊形 C．圓錐的軸截面是等腰三角形 D．用一個(gè)平面去截棱錐，原棱錐底面和截面之間的部分是棱臺(tái)【答案】C【解析】對于，通過圓臺(tái)側(cè)面一點(diǎn)，有且僅有一條母線，所以選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于，棱柱的底面不一定是平行四邊形，所以選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于，圓錐的軸截面是腰長等于母線的等腰三角形，所以選項(xiàng)正確；對于，用一個(gè)平行于底面的平面去截棱錐，原棱錐底面和截面之間的部分是棱臺(tái)，所以選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選C．8．下列說法正確的是A．有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱 B．一個(gè)直角三角形繞其一邊旋轉(zhuǎn)一周所形成的封閉圖形叫圓錐 C．棱錐的所有側(cè)面都是三角形 D．用一個(gè)平面去截棱錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺(tái)【答案】C【解析】對于，棱臺(tái)的上下底面互相平行，側(cè)面都是四邊形，但棱臺(tái)不是棱柱，故錯(cuò)誤；對于，當(dāng)旋轉(zhuǎn)軸為直角邊時(shí)，所得幾何體為圓錐，當(dāng)旋轉(zhuǎn)軸為斜邊時(shí)，所得幾何體為兩個(gè)圓錐的組合體，故錯(cuò)誤；對于，由于棱錐的所有側(cè)棱都交于一點(diǎn)，故棱錐的側(cè)面都是三角形，故正確；對于，當(dāng)平面與棱錐的底面不平行時(shí)，截面與棱錐底面間的幾何體不是棱臺(tái)，故錯(cuò)誤．故選C．二．填空題9．圓錐底面半徑為，母線長為，則其側(cè)面展開圖扇形的圓心角．【答案】【解析】圓錐底面半徑為，母線長為，則它的側(cè)面展開圖扇形的圓心角所對的弧長為；所以扇形的圓心角為．故答案為：．10．一圓臺(tái)的母線長為，母線與軸的夾角為，上底面半徑為，則下底面半徑為，圓臺(tái)的高為．【答案】，．【解析】如圖所示，圓臺(tái)的母線長為，母線與軸的夾角為，上底面的半徑為，所以圓臺(tái)的高為，則，所以底面圓的半徑為．故答案為：，．三．解答題11．已知正四棱錐的高為，側(cè)棱長為，求它的斜高．【答案】【解析】如圖所示，在正四棱錐中，連結(jié)，交于點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)檎睦忮F的高為，側(cè)棱長為，所以，，在中，，所以，作于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，連結(jié)，則為該正四棱錐的斜高，在中，因?yàn)?，所以?2．一個(gè)正四棱臺(tái)的高是，上、下底面邊長分別為和．求這個(gè)棱臺(tái)的側(cè)棱長和斜高．【答案】側(cè)棱長為，斜高為【解析】如圖所示，設(shè)棱臺(tái)的兩底面的中心分別是、，和的中點(diǎn)分別是和，連接、、、、、，則四邊形和都是直角梯形．，，，，，，，，，．這個(gè)棱臺(tái)的側(cè)棱長為，斜高為．考點(diǎn)三立體圖形的直觀圖斜二測畫法的步驟:(1)在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸相交于點(diǎn)O.畫直觀圖時(shí)，把它們畫成x軸和y軸，兩軸相交于點(diǎn)O,且使∠xOy=45°(或135°)，它們確定的平面表示水平面。(2)已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x軸或y軸的線段。(3)已知圖形中平行于x軸的線段,在直觀圖中保持原長度不變,平行于y軸的線段,在直觀圖中長度變?yōu)樵瓉淼囊话?橫不變,縱減半)。規(guī)律:兩變半(坐標(biāo)軸夾角，平行于y軸的線段)兩不變(平行于x軸的線段，平行關(guān)系不改變)按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形的面積的關(guān)系：S直觀圖＝eq\f(\r(2),4)S原圖形．一．選擇題1．如圖，△是水平放置的的斜二測直觀圖，其中，則以下說法正確的是A．是鈍角三角形 B．是等腰三角形，但不是直角三角形 C．是等腰直角三角形 D．是等邊三角形【答案】C【解析】由斜二測畫法的直觀圖知，，所以原圖形中，，所以點(diǎn)在以為直徑的圓上，所以是等腰直角三角形．故選C．2．如圖，△A'B'C'是的直觀圖，其中，軸，軸，那么是A．等腰三角形 B．鈍角三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形【答案】D【解析】根據(jù)斜二測畫法中平行與坐標(biāo)軸的直線，平行關(guān)系不變，且平行于軸的線段，長度不變，平行于軸的線段，長度變?yōu)樵瓉淼囊话?，直觀圖△的原來圖形是直角三角形，且，不是等腰直角三角形．故選D．3．如圖所示，正方形的邊長為1，它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，則原圖形的周長是A．6 B．8 C． D．【答案】B【解析】作出該直觀圖的原圖形，因?yàn)橹庇^圖中的線段軸，所以在原圖形中對應(yīng)的線段平行于軸且長度不變，點(diǎn)和在原圖形中對應(yīng)的點(diǎn)和的縱坐標(biāo)是的2倍，則，所以，則四邊形的長度為8．故選B．4．如圖，正方形O'A'B'C'的邊長為1cm，它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，則原圖的周長是A． B． C． D．【答案】A【解析】由斜二測畫法的規(guī)則知與軸平行的線段其長度不變以及與橫軸平行的性質(zhì)不變，正方形的對角線在軸上，可求得其長度為，故在平面圖中其在軸上，且其長度變?yōu)樵瓉淼?倍，長度為2，其原來的圖形如圖所示，則原圖形的周長是：8觀察四個(gè)選項(xiàng)，選項(xiàng)符合題意．故選A．5．如圖所示為一平面圖形的直觀圖，則此平面圖形可能是A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)直觀圖中與軸和軸的交點(diǎn)分別為和，根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則在直角坐標(biāo)系中先做出對應(yīng)的和點(diǎn)，再由平行與軸的線在原圖中平行于軸，且長度不變，作出原圖可知選故選C．6．用斜二測畫法畫一個(gè)水平放置的邊長為的等邊得到的直觀圖△A'B'C'，則△A'B'C'的面積為A． B． C． D．【答案】C【解析】由直觀圖與原圖形的面積之比為可得，；而，所以△的面積為．故選C．7．一水平放置的平面四邊形OABC用斜二測畫法繪制的直觀圖如圖所示，其中，，，四邊形OABC的面積為A． B． C．3 D．【答案】B【解析】平面四邊形的直觀圖是直角梯形，其面積為；根據(jù)平面圖形與它的直觀圖面積比為，計(jì)算四邊形的面積為，故選B．8．已知水平放置的是按“斜二測畫法”得到如圖所示的直觀圖，其中，，那么原的面積是A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，且若△的面積為，那么的面積為．故選A．二．填空題9．一個(gè)三角形的斜二測畫法的直觀圖是一個(gè)邊長為的正三角形，則原三角形的面積等于．【答案】【解析】三角形在其直觀圖中對應(yīng)一個(gè)邊長為正三角形，直觀圖的面積是；由斜二測畫法中直觀圖和原圖的面積的關(guān)系：，原三角形的面積為：．故答案為：．10．如圖所示，△為水平放置的的直觀圖，其中，，則的面積是．【答案】【解析】把直觀圖還原為原圖形，如圖所示：由題意知，，，所以的面積是．故答案為：．三．解答題11．如圖，矩形是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中，，則原圖形的形狀是什么？面積是多少？【答案】原圖形是平行四邊形，如圖所示，.【解析】在直觀圖中，設(shè)與交于點(diǎn)，則，，，在原圖形中，，，，因?yàn)?，，所以原圖形是平行四邊形，如圖所示，其面積為．12．如圖，正方形的邊長為，它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖．請畫出原來的平面圖形的形狀，并求原圖形的周長與面積．【答案】，．【解析】正方形的邊長為，它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，則原圖是平行四邊形，相鄰邊長為：1和，原圖的周長是：8．故周長為：8，面積為；故答案為：，．考點(diǎn)四簡單幾何體的表面積與體積(1)幾何體的側(cè)面積是指(各個(gè))側(cè)面面積之和，而表面積是側(cè)面積與所有底面面積之和．(2)對側(cè)面積公式的記憶，最好結(jié)合幾何體的側(cè)面展開圖來進(jìn)行，要特別留意根據(jù)幾何體側(cè)面展開圖的平面圖形的特點(diǎn)來求解相關(guān)問題．(3)組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理.(4)求一些不規(guī)則幾何體的體積常用割補(bǔ)的方法將幾何體轉(zhuǎn)化成已知體積公式的幾何體進(jìn)行解決．5根據(jù)幾何體常規(guī)幾何體、組合體或旋轉(zhuǎn)體的特征求表面積：①求多面體的側(cè)面積時(shí)，應(yīng)對每一個(gè)側(cè)面分別求解后再相加；求旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積時(shí)，一般要將旋轉(zhuǎn)體展開為平面圖形后再求面積.②對于組合體，要弄清它是由哪些簡單幾何體組成的，要注意“表面和外界直接接觸的面”的定義，以確保不重復(fù)、不遺漏.一．選擇題1．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐．現(xiàn)已知該四棱錐的高與斜高的比值為，則該四棱錐的底面面積與側(cè)面面積的比值是A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)該正四棱錐底面的邊長為，高為，斜高為，則有，解得，所以該正四棱錐的底面面積為，側(cè)面面積為，故該正四棱錐的底面面積與側(cè)面面積的比值是．故選B．2．現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為4，高為3的圓錐一個(gè)．若將它重新制作成一個(gè)底面半徑為，高為的圓柱（橡皮泥沒有浪費(fèi)），則該圓柱表面積的最小值為A． B． C． D．【答案】B【解析】橡皮泥制作的底面半徑為4，高為3的圓錐一個(gè)，將它重新制作成一個(gè)底面半徑為，高為的圓柱（橡皮泥沒有浪費(fèi)），則，解得，該圓柱表面積．當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，取等號．該圓柱表面積的最小值為．故選B．3．圓錐的底面直徑和母線長都等于球的直徑，則圓錐與球的表面積之比是A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)球的直徑為，則圓錐的底面半徑為，母線長為，因?yàn)閳A錐的側(cè)面展開圖是扇形，故扇形的半徑為母線長，扇形的弧長就是圓錐的底面周長為，故扇形的面積為，即圓錐的側(cè)面積為，所以圓錐的表面積為，球的表面積為，所以圓錐與球的表面積之比是．故選C．4．棱長為2的正四面體的表面積是A． B． C． D．【答案】D【解析】棱長為2的正四面體的表面積是四個(gè)邊長為2的正三角形面積之和，所以表面積為．故選D．5．如圖，長方體中，，，三棱錐的體積為A．1 B．2 C．3 D．6【答案】B【解析】長方體中，平面，．故選B．6．在三棱錐中，，，為AC中點(diǎn)．，則三棱錐體積最大值為A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖，為中點(diǎn)，，，又，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)上式取等號，，且，，可得，，又，，平面，平面，又，三棱錐體積最大值為．故選C．7．如圖，已知底面邊長為的正四棱錐的側(cè)棱長為2a，若截面PAC的面積為，則正四棱錐的體積等于A． B． C． D．【答案】B【解析】作底面于點(diǎn)，則是中點(diǎn)，，，截面的面積為，，解得，正四棱錐的體積為：．故選B．8．在棱長為2的正方體中，為正方形的中心，，，分別為，AB，BC的中點(diǎn)，則四面體OPMN的體積為A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，在棱長為2的正方體中，求得，，，，取的中點(diǎn)，連接，，可得，，，，在中，由余弦定理可得，，，則到平面的距離．．故選B．二．填空題9．已知三棱錐中，，側(cè)棱與底面所成的角為，則該三棱錐的體積為．【答案】【解析】如圖，三棱錐中，，側(cè)棱與底面所成的角為，射影在底面上的射影在的平分線上，可得棱錐的高為：，所以，與底面所成角也是，在底面的射影是底面三角形的外心，外接圓的半徑為2，所以射影點(diǎn)為，是的中點(diǎn)，則是等腰直角三角形，所以該三棱錐的體積為：．故答案為：．10．直三棱柱內(nèi)有一個(gè)體積為的球，若是兩直角邊長分別為6，8的直角三角形，側(cè)棱，則的最大值為．【答案】【解析】若是兩直角邊長分別為6，8的直角三角形，不妨設(shè)，，，則，三角形的內(nèi)切圓的半徑為，因?yàn)?，所以，所以球與直三棱柱側(cè)面相切時(shí)，直三棱柱的內(nèi)切球半徑最大取2，則的最大值為．故答案為：．三．解答題11．如圖，已知點(diǎn)為正方形所在平面外一點(diǎn)，是邊長為2的等邊三角形，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，平面平面．（1）證明：平面；（2）求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）證明：連接，設(shè)，連接，因?yàn)榈酌媸蔷匦?，所以為的中點(diǎn)，又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以為的中位線，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面；?）解：在正方形中，，又因?yàn)槠矫嫫矫妫移矫嫫矫?，所以平面，因?yàn)闉榈冗吶切?，且為線段的中點(diǎn)，所以，所以．12．在四棱錐中，四邊形為平行四邊形，三角形為等腰直角三角形，，已知，，，．（1）求證：；（2）求四棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）證明：設(shè)的中點(diǎn)為，連接，，是等腰三角形，，，又，，平面，則，，，是等腰直角三角形，且；（2）解：由（1）可知平面，而平面，平面平面，又，，，得．又，為正三角形，設(shè)的中點(diǎn)為，則平面，且，，四棱錐的體積．考點(diǎn)五空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系證明線共面或點(diǎn)共面的三種常用方法(1)直接法：證明直線平行或相交，從而證明線共面．(2)納入平面法：先確定一個(gè)平面，再證明有關(guān)點(diǎn)、線在此平面內(nèi)．(3)輔助平面法：先證明有關(guān)的點(diǎn)、線確定平面α，再證明其余元素確定平面β，最后證明平面α、β重合．判斷空間兩直線位置關(guān)系的三種策略(1)對于異面直線，可采用直接法或反證法進(jìn)行判定．(2)對于平行直線，可利用三角形(梯形)中位線的性質(zhì)、公理4及線面平行與面面平行的性質(zhì)定理來判斷．(3)對于線線垂直，往往利用線面垂直的定義，由線面垂直得到線線垂直．一．選擇題1．已知平面與互相垂直，與交于，和分別是平面，上的直線．若，均與既不平行．也不垂直，則與的位置關(guān)系是A．可能垂直，但不可能平行 B．可能平行，但不可能垂直 C．可能垂直，也可能平行 D．既不可能垂直，也不可能平行【答案】D【解析】①假設(shè)，因?yàn)榕c既不垂直，也不平行，所以，過在內(nèi)作直線，如圖所示，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，，所以，，所以，這與與既不垂直，也不平行矛盾，故假設(shè)不成立，所以與不垂直，同理與也不垂直；②假設(shè)，則，，，所以，這與和與既不垂直，也不平行矛盾，故假設(shè)不成立，所以與不平行．綜上所述，與的位置關(guān)系是既不可能垂直，也不可能平行．故選D．2．設(shè)，是兩個(gè)不同平面，，是兩條直線，下列命題中正確的是A．如果，，，那么 B．如果，，，那么 C．如果，，，那么 D．如果，與所成的角和與所成的角相等，那么【答案】C【解析】由，是兩個(gè)不同平面，，是兩條直線，知：對于，如果，，，那么與相交或平行，故錯(cuò)誤；對于，如果，，，那么與相交或平行，故錯(cuò)誤；對于，如果，，，那么由面面平行的判定定理得，故正確；對于，如果，與所成的角和與所成的角相等，那么與相交、平行或異面，故錯(cuò)誤．故選C．3．平行于同一個(gè)平面的兩條直線的位置關(guān)系是A．平行或相交或異面 B．相交 C．異面 D．平行【答案】A【解析】如圖，正方體中，、分別是棱、的中點(diǎn)，平面，平面，，由此得到平行于同一平面的兩條直線可能平行；平面，平面，，由此得到平行于同一平面的兩條直線可能相交；平面，平面，與是異面直線，由此得到平行于同一平面的兩條直線可能異面．綜上：平行于同一個(gè)平面的兩條直線的位置關(guān)系是平行或相交或異面．故選A．4．若直線與平面不平行，且直線也不在平面內(nèi)，則A．內(nèi)不存在與異面的直線 B．內(nèi)存在與平行的直線 C．內(nèi)存在唯一的直線與相交 D．內(nèi)存在無數(shù)條與垂直的直線【答案】D【解析】由直線與平面不平行，且直線也不在平面內(nèi)，可得直線與平面相交，設(shè)交點(diǎn)為，則內(nèi)不過的直線都有直線異面，故錯(cuò)誤；若內(nèi)存在與平行的直線，由直線與平面平行的判定，可得，與已知矛盾，故錯(cuò)誤；內(nèi)所有過的直線都有直線相交，故錯(cuò)誤；若，則內(nèi)的所有直線都與垂直，若與不存在，則內(nèi)所有與在內(nèi)的射影垂直的直線都與垂直，故正確．故選D．5．平面平面，，，則直線和的位置關(guān)系A(chǔ)．平行 B．平行或異面 C．平行或相交 D．平行或相交或異面【答案】B【解析】平面平面，平面與平面無公共點(diǎn)，，，直線和的位置關(guān)系是平行或異面，故選B．6．在空間四邊形ABCD各邊AB、BC、CD、DA上分別取點(diǎn)、、、，若直線EF、GH相交于點(diǎn)，則A．點(diǎn)必在直線上 B．點(diǎn)必在直線上 C．點(diǎn)必在平面內(nèi) D．點(diǎn)必在平面內(nèi)【答案】A【解析】作圖如下：因?yàn)閷儆谝粋€(gè)面，而屬于另一個(gè)面，且和能相交于點(diǎn)，所以在兩面的交線上，因?yàn)槭莾善矫娴慕痪€，所以點(diǎn)必在直線上．故選A．7．下列命題中正確的是A．三點(diǎn)確定一個(gè)平面 B．垂直于同一直線的兩條直線平行 C．若直線與平面上的無數(shù)條直線都垂直，則直線 D．若、、是三條直線，且與都相交，則直線、、共面【答案】D【解析】對于選項(xiàng)：不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，故錯(cuò)誤，對于選項(xiàng)：由墻角模型可知，顯然錯(cuò)誤，對于選項(xiàng)：根據(jù)線面垂直的判定定理，若直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則直線與平面垂直，若直線與平面內(nèi)的無數(shù)條平行直線垂直，則直線與平面不垂直，故錯(cuò)誤，對于選項(xiàng)：因?yàn)?，所以與唯一確定一個(gè)平面，設(shè)為平面，又與和都相交，所以也在平面內(nèi)，即直線、、共面，故選項(xiàng)D正確，故選D．8．設(shè)，是不同的直線，，是不同的平面，則A．若，，則B．若，，，則C．若，，，則D．若，，，則【答案】D【解析】由，是不同的直線，，是不同的平面，知：在中，若，，則與平行或異面，故錯(cuò)誤；在中，若，，，則與相交但不一定垂直，故錯(cuò)誤；在中，若，，，則與相交或平行，故錯(cuò)誤；在中，若，，，則由面面垂直的判定理得，故正確．故選D．二．填空題9．在正方體中，下列說法正確的是．①平面；②與相交；③點(diǎn)、到平面的距離相等；④與平行的面只有一個(gè)，與垂直的面有兩個(gè)．【答案】①③【解析】對于①，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面，所以平面，故①正確；對于②，與是異面直線，故②錯(cuò)誤；對于③，因?yàn)橹本€平面，所以點(diǎn)、到平面的距離相等，故③正確；對于④，與平行的面有兩個(gè)，分別為平面，平面．故正確的是①③．故答案為：①③．10．已知，，是空間中的三條相互不重合的直線，下列命題中：①若與相交，與相交，則與相交；②若，，則；③若平面，平面，則，一定是異面直線；④若，與成等角，則．真命題是（填序號）【答案】②【解析】由，，是空間中的三條相互不重合的直線，知：對于①，在正方體中，，，，，，與是異面直線，，，，與相交，與相交，則與相交、平行或異面，故①錯(cuò)誤；對于②，若，，則由平行公理得，故②正確；對于③，若平面，平面，則，有可能是共面直線，故③錯(cuò)誤；對于④，若，與成等角，則與相交、平行或異面，故④錯(cuò)誤．故答案為：②．三．解答題11．如圖，空間四邊形中，、分別是、的中點(diǎn)，、分別在、上，且．（1）求證：、、、四點(diǎn)共面；（2）設(shè)與交于點(diǎn)，求證：、、三點(diǎn)共線．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】證明：（1）中，、為、中點(diǎn)，．中，，，（平行線公理），、、、四點(diǎn)共面．（2），，，平面，平面，又平面平面，直線．、、三點(diǎn)共線．12．如圖，空間四邊形中，、分別是、的中點(diǎn)，、分別在、上，且．（1）求證：、、、四點(diǎn)共面；（2）設(shè)與交于點(diǎn)，求證：、、三點(diǎn)共線．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】證明：（1），、分別是、的中點(diǎn)、、、四點(diǎn)共面．（2）與交于點(diǎn)面在面內(nèi)，同理在面又面面在直線上、、三點(diǎn)共線．考點(diǎn)六直線與平面平行的判定與性質(zhì)判斷或證明線面平行的常用三種方法(1)利用線面平行的定義(常用反證法)．(2)利用線面平行的判定定理：關(guān)鍵是找平面內(nèi)與已知直線平行的直線．可先直觀判斷平面內(nèi)是否已有，若沒有，則需作出該直線，?？紤]三角形的中位線、平行四邊形的對邊或過已知直線作一平面與已知平面相交找它們的交線．(3)利用面面平行的性質(zhì)定理：當(dāng)兩平面平行時(shí)，其中一個(gè)平面內(nèi)的任一直線平行于另一個(gè)平面．一．選擇題1．如圖所示，在空間四邊形ABCD中，，分別為AB，AD上的點(diǎn)，且，又，分別為BC，CD的中點(diǎn)，則A．平面，且四邊形是矩形 B．平面，且四邊形是梯形 C．平面，且四邊形是菱形 D．平面，且四邊形是平行四邊形【答案】B【解析】在平面內(nèi)，，．又平面，平面，平面．又在平面內(nèi)，，分別是，的中點(diǎn)，．．又，，．在四邊形中，且，四邊形為梯形．故選B．2．一個(gè)正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖如圖所示，在正方體中，設(shè)BC的中點(diǎn)為，GH的中點(diǎn)為，下列結(jié)論正確的是A．平面 B．平面 C．平面 D．平面【答案】C【解析】連結(jié)，設(shè)為的中點(diǎn)，連結(jié)，，，，，因?yàn)?，是，的中點(diǎn)，所以，且，，且，所以且，則四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面．故選C．3．已知正方體中，，分別是它們所在線段的中點(diǎn)，則滿足平面的圖形個(gè)數(shù)為A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】①中，平移至，可知與面只有一個(gè)交點(diǎn)，則與平面不平行；②中，由于，而平面，平面，故平面；③中，平移至，可知與面只有一個(gè)交點(diǎn)，則與平面不平行；故選B．4．設(shè)，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，則的一個(gè)充分條件是A．存在一條直線，， B．存在一條直線，， C．存在兩條平行直線、，，，， D．存在兩條異面直線、，，，，【答案】D【解析】對于，一條直線與兩個(gè)平面都平行，兩個(gè)平面不一定平行．故不對；對于，一個(gè)平面中的一條直線平行于另一個(gè)平面，兩個(gè)平面不一定平行，故不對；對于，兩個(gè)平面中的兩條直線平行，不能保證兩個(gè)平面平行，故不對；對于，兩個(gè)平面中的兩條互相異面的直線分別平行于另一個(gè)平面，可以保證兩個(gè)平面平行，故正確．故選D．5．有下列四個(gè)條件：①，，；②，；③，，；④、是異面直線，，，．其中能保證直線平面的條件是A．①② B．①③ C．①④ D．②④【答案】C【解析】①若，，，則直線平面，故符合題意；②若，時(shí)，則或直線平面，故不符合題意；③若，，時(shí)，則或直線平面，故不符合題意；④、是異面直線，，，，則直線平面，故符合題意．綜上所述，符合題意的條件是①④．故選C．6．如圖，在三棱錐中，，分別為AB，AD的中點(diǎn)，過EF的平面截三棱錐得到的截面為EFHG．則下列結(jié)論中不一定成立的是A． B． C．平面 D．平面【答案】D【解析】對于，，分別為，的中點(diǎn)，，過的平面截三棱錐得到的截面為，平面平面，，，故正確；對于，過的平面截三棱錐得到的截面為，平面平面，，故正確；對于，，平面，平面，平面，故正確；對于，的位置不確定，與平面有可能相交，故錯(cuò)誤．故選D．7．如圖所示，在棱長為的正方體中，是棱的中點(diǎn)，是側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn)，且面，則在側(cè)面上的軌跡的長度是A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)，，分別為、、邊上的中點(diǎn)則四點(diǎn)共面，且平面平面又面，落在線段上，正方體中的棱長為，．即在側(cè)面上的軌跡的長度是．故選D．8．如圖，四棱錐中，，分別為AC，PC上的點(diǎn)，且平面PAD，則A． B． C． D．以上均有可能【答案】B【解析】四棱錐中，，分別為，上的點(diǎn)，且平面，平面，平面平面，由直線與平面平行的性質(zhì)定理可得：．故選B．二．填空題9．如圖，在四面體中，若截面是正方形，則在下列命題中，正確的有．（填上所有正確命題的序號）①；②；③截面．【答案】①③【解析】因?yàn)榻孛媸钦叫?，所以，又平面，平面，所以平面，又平面，平面平面，所以，故①正確；又截面，截面，所以截面，故③正確；由．，可得，所以，同理可證，所以，，但與不一定相等，所以與不一定相等，故②錯(cuò)誤．故①③正確．故答案為：①③．10．正四棱柱中，，為中點(diǎn)，若點(diǎn)滿足，且平面，則．【答案】1【解析】如圖所示，分別取、的中點(diǎn)、，連接、，此點(diǎn)即為所求．理由如下：、分別為、的中點(diǎn)，，，為中點(diǎn)，，又，，，四邊形為平行四邊形，，平面，平面，平面．由于為的中點(diǎn)，所以．故答案為：1．三．解答題11．如圖所示，在四棱錐中，平面，，是的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）求證：平面．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】證明：（1）在四棱錐中，平面，平面，平面平面，．（2）取的中點(diǎn)，連接，，是的中點(diǎn)，，，又由（1）可得，且，，，四邊形是平行四邊形，，平面，平面，平面．12．在如圖所示的幾何體中，四邊形是菱形，，平面，．（1）求證：平面；（2）若，求該幾何體的表面積．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）證明：因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所以，由于平面，所以平面，又，所以平面平面，又平面，所以平面．?）由，知，，，四點(diǎn)共面，連接，于是該幾何體是由兩個(gè)相同的四棱錐，構(gòu)成的，由題意知，，，，在中，，，，，所以該幾何體的表面積為．考點(diǎn)七面面平行的判定與性質(zhì)證明面面平行的五種常用方法(1)利用面面平行的定義．(2)利用面面平行的判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行．(3)利用垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行．(4)兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行．(5)利用“線線平行”“線面平行”“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化．一．選擇題1．平面與平面平行的條件可以是A．內(nèi)有無窮多條直線與平行 B．直線， C．直線，直線，且， D．內(nèi)的任何直線都與平行【答案】D【解析】當(dāng)內(nèi)有無窮多條直線與平行時(shí)，與可能平行，也可能相交，故不選．當(dāng)直線，時(shí)，與可能平行，也可能相交，故不選．當(dāng)直線，直線，且時(shí)，直線和直線可能平行，也可能是異面直線，故不選．當(dāng)內(nèi)的任何直線都與平行時(shí)，由兩個(gè)平面平行的定義可得，這兩個(gè)平面平行，故選D．2．下列條件中，能判斷平面與平面平行的是A．內(nèi)有無窮多條直線都與平行 B．與同時(shí)平行于同一條直線 C．與同時(shí)要垂直于同一條直線 D．與同時(shí)垂直于同一個(gè)平面【答案】C【解析】對于，若內(nèi)有無窮多條平行的直線與平行，則不能說明平行；對于，平行于同一條直線的兩個(gè)平面可能不平行，還可以相交；對于，垂直于同一條直線的兩平面平行；對于，垂直于同一平面的兩個(gè)平面不一定平行，還可以垂直．綜上，選項(xiàng)正確．故選C．3．設(shè)、、為平面，、為直線，給出下列條件：①、，，；②，；③，；④，，．其中能使成立的條件是A．①② B．②③ C．②④ D．③④【答案】C【解析】①若、，，，由面面平行的判斷定理與定義可得：可能或者與相交．所以①錯(cuò)誤．②若，，由平面與平面平行的傳遞性可得：．所以②正確．③若，，則由平面與平面的位置關(guān)系可得：可能或者與相交．所以③錯(cuò)誤．④若，，由線面垂直的定義可得：，又因?yàn)?，所以．所以④正確．故選C．4．設(shè)，為兩個(gè)不重合的平面，能使成立的是A．內(nèi)有無數(shù)條直線與平行 B．內(nèi)有兩條相交直線與平行 C．內(nèi)有無數(shù)個(gè)點(diǎn)到的距離相等 D．，垂直于同一平面【答案】B【解析】對于，內(nèi)有無數(shù)條直線與平行，如兩個(gè)相交平面，可以找出無數(shù)條平行于交線的直線，所以錯(cuò)誤；對于，內(nèi)有兩條相交直線與平行，根據(jù)兩平面平行的判定定理知，，所以正確；對于，內(nèi)有無數(shù)個(gè)點(diǎn)到的距離相等，如兩個(gè)相交平面，可以找出無數(shù)條直線平行于平面，所以也能得出無數(shù)個(gè)點(diǎn)到平面的距離相等，錯(cuò)誤；對于，當(dāng)、垂直于同一個(gè)平面時(shí)，與也可以相交，所以錯(cuò)誤．故選B．5．平面與平面平行的條件可以是A．內(nèi)有無數(shù)多條直線都與平行 B．直線，，且， C．直線，，且直線不在內(nèi)，也不在內(nèi) D．一個(gè)平面內(nèi)兩條不平行的直線都平行于另一個(gè)平面【答案】D【解析】一個(gè)平面內(nèi)兩條不平行的直線必相交，根據(jù)平面與平面平行的判定定理可知選．故選D．6．設(shè)，為兩個(gè)平面，則的充要條件是A．內(nèi)有無數(shù)條直線與平行 B．，平行于同一條直線 C．內(nèi)有兩條相交直線與平行 D．，垂直于同一平面【答案】C【解析】對于選項(xiàng)：當(dāng)與相交時(shí)，內(nèi)也有無數(shù)條直線與平行，所以選項(xiàng)不正確；對于選項(xiàng)：當(dāng)、平行于同一條直線時(shí)，與可能相交，所以選項(xiàng)不正確；對于選項(xiàng)：根據(jù)面面平行的判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行．可知正確；對于選項(xiàng)：當(dāng)、垂直于同一平面，則與可能垂直，例如墻角的三個(gè)面，所以選項(xiàng)不正確；故選C．7．在正方體中，下列四對截面彼此平行的是A．平面與平面 B．平面與平面 C．平面與平面 D．平面與平面【答案】A【解析】對于，，，，，根據(jù)面面平行的判定定理得：面與平面彼此平行，故正確；對于，與相交，平面與平面相交，故錯(cuò)誤；對于，與相交，平面與平面相交，故錯(cuò)誤；對于，與相交，平面與平面相交，故錯(cuò)誤．故選A．8．設(shè)，為兩個(gè)平面，則能斷定的條件是A．內(nèi)有無數(shù)條直線與平行 B．，平行于同一條直線 C．，垂直于同一條直線 D．，垂直于同一平面【答案】【解析】對于，內(nèi)有無數(shù)條直線與平行，或；對于，，平行于同一條直線，或；對于，，垂直于同一條直線，；對于，，垂直于同一平面，或．故選C．二．填空題9．設(shè)平面，、，、，直線與交于，若，，，則．【答案】68或【解析】如圖（1），由可知，，即，．如圖（2），由知，，即．故答案為：68或10．已知，是兩個(gè)不同的平面，，是兩條不同直線，給出條件：①；②，；③，，．上述條件中能推出平面平面的是．（填寫序號）．【答案】①②【解析】若，則平面與平面無公共點(diǎn)，由面面平行的定義可得平面平面，故①正確；若，，根據(jù)垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行，可得平面平面，故②正確；若，，則平面與平面可能平行也可能相交，且與條件無關(guān)，故③錯(cuò)誤故答案為：①②三．解答題11．在正方體中，、、分別是、和的中點(diǎn)，求證：（1）平面；（2）平面平面．【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析.【解析】證明：（1）連接，，是正方形，是中點(diǎn)，是中點(diǎn)，又是中點(diǎn)，，平面，平面，平面；（2）連接，，是正方形，是的中點(diǎn)，是中點(diǎn)，又是中點(diǎn)，，平面，平面，平面，由（1）得平面，且，平面平面．12．如圖，在四棱錐中，平面，，，，，分別是和的中點(diǎn)，（1）證明：；（2）證明：平面平面．【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析.【解析】證明：（1）平面，平面，，又，，平面，平面，．（2），為的中點(diǎn)，，又，四邊形為平行四邊形，．在中，，分別是和的中點(diǎn)，，，，平面平面．考點(diǎn)八直線與平面垂直的判定與性質(zhì)證明直線和平面垂直的常用方法(1)利用判定定理．(2)利用平行線垂直于平面的傳遞性(a∥b，a⊥α?b⊥α)．(3)利用面面平行的性質(zhì)(a⊥α，α∥β?a⊥β)．(4)利用面面垂直的性質(zhì)．一．選擇題1．設(shè)，是兩個(gè)不同的平面，l，是兩條不同的直線，且，，則A．若，則 B．若，則 C．若，則 D．若，則【答案】C【解析】對于，由已知條件，若，且，，可得出兩直線，沒有公共點(diǎn)，所以它們可能平行或那異面，故不正確；對于，由條件，，可得出，或，相交，故不正確；對于，由，，結(jié)合面面垂直的判定定理知，，故正確；對于，若，且，，可得出，的位置可能是相交，平行或異面，故不正確．故選C．2．如圖所示，平面ABC，，在圖中與AC垂直的直線有A．5條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】D【解析】平面，平面，，又，，平面，因此，平面中的4條直線、、、都與垂直．故選D．3．在如圖，在以下四個(gè)正方體中，直線AB與平面CDE垂直的有A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【解析】對于①，由，且與成的角，不垂直，則直線與平面不垂直；對于②，由于，，由線面垂直的判定定理可得平面；對于③，與成的角，不垂直，則直線與平面不垂直；對于④，連接，由正方形的性質(zhì)可得，而平面，可得，則平面，即有，同理可得，所以平面．綜上，②④滿足題意．故選B．4．如圖，在直三棱柱中，，若，則A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖，連結(jié)，，直三棱柱的側(cè)面為正方形，，，，平面，，，，側(cè)面，，，，．故選C．5．在正四面體中，，，側(cè)棱AB，BC，CA的中點(diǎn)，下列說法不正確的是A．面 B．面面 C．面面 D．面【答案】B【解析】由，可得平面，故正確．由平面可得，，且垂直與交點(diǎn)和點(diǎn)邊線，從而平面平面，平面平面，故錯(cuò)誤．由平面可得，平面平面，故正確．若平面，垂足為，則在上，則，又故平面，故正確．故選B．6．在正方體中，下列判斷正確的是A．面 B．面 C．面 D．【答案】A【解析】在正方體中，，又，且，平面，則，同理，則平面，故正確，不正確；連接，，則為與所成角，為，故、不正確．故選A．7．如圖，四棱錐的底面為正方形，底面ABCD，則下列結(jié)論中不正確的是A． B． C．平面平面 D．【答案】D【解析】由四棱錐的底面為正方形，底面，知：在中，底面，，四棱錐的底面為正方形，，，平面，平面，，故正確；在中，四棱錐的底面為正方形，底面，，，，平面，平面，，故正確；在中，底面，，四棱錐的底面為正方形，，，平面，平面，平面平面，故正確；在中，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則，0，，，，，，0，，，0，，，，，，0，，，與不垂直，故錯(cuò)誤．故選D．8．三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，則頂點(diǎn)在底面ABC的射影為的A．內(nèi)心 B．外心 C．重心 D．垂心【答案】D【解析】由三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，可得三條側(cè)棱兩兩垂直，由，，、平面，，平面，又平面．．設(shè)點(diǎn)在底面的射影是，則平面，平面，．又、為平面內(nèi)兩條相交直線，平面，在平面內(nèi)，則；同理可證，，故為的垂心．故選D．二．填空題9．如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，則四個(gè)側(cè)面，，，中，有個(gè)直角三角形．【答案】4【解析】平面，，為直角三角形事實(shí)上，，平面為直角三角形同理為直角三角形四個(gè)側(cè)面三角形均為直角三角形．10．已知平面，和直線，給出條件：①；②：③；④；⑤．當(dāng)滿足條件時(shí)，．【答案】②④【解析】由于當(dāng)一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)時(shí)，此直線也垂直于另一個(gè)平面，結(jié)合所給的選項(xiàng)，故由②④可推出．即②④是的充分條件，故當(dāng)時(shí)，應(yīng)滿足的條件是②④，故答案是：②④．三．解答題11．在如圖所示的多面體中，是正方形，，，，四點(diǎn)共面，面．（1）求證：面；（2）若，，，求證：平面．【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析.【解析】證明：（1）因?yàn)槭钦叫?，所以，又面，面，所以面，因?yàn)槊?，，，平面，所以面面，又面，所以面．?）在平面中，作交于點(diǎn)，因?yàn)槊?，平面，平面平面，所以，又，所以四邊形為平行四邊形，所以，，，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，又，，，平面，所以平面?2．如圖，在正方體中．（1）求證：平面平面；（2）求證：平面．【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析.【解析】證明：（1）因?yàn)?，所以為平行四邊形，故，又平面，平面，所以平面，同理平面，又，所以平面平面，?）連接，，由正方形性質(zhì)得，底面，底面，所以，又，所以平面又平面，所以，同理平面，故，又，所以平面考點(diǎn)九平面與平面垂直的判定與性質(zhì)證明面面垂直的主要方法①利用判定定理．在審題時(shí)要注意直觀判斷哪條直線可能是垂線，充分利用等腰三角形底邊上的中線垂直于底邊，勾股定理的逆定理等．②用定義證明．只需判定兩平面所成二面角為直二面角．③客觀題中，也可應(yīng)用：兩個(gè)平行平面中的一個(gè)垂直于第三個(gè)平面，則另一個(gè)也垂直于第三個(gè)平面．一．選擇題1．在三棱錐中，若，，那么必有A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面【答案】A【解析】在三棱錐中，若，，且，可得平面，由平面，可得平面平面，由平面，可得平面平面，故正確；若平面平面，又平面平面，平面平面，可得平面，，與矛盾，故錯(cuò)誤；若平面平面，又平面平面，可得平面，，不一定成立，故錯(cuò)誤；若平面平面，又平面平面，可得平面，則，不一定成立，故錯(cuò)誤．故選A．2．如圖，點(diǎn)在正方體的面對角線上運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論不總成立的是A．三棱錐的體積不變 B．平面 C．平面平面 D．【答案】D【解析】由三棱錐的體積即為三棱錐的體積,而底面的面積為定值，到平面的距離為正方體的棱長，故三棱錐的體積為定值，則正確；由,,由面面平行的判定定理可得平面平面,而平面,所以平面,則正確；由,,可得平面,則,同理可得,則平面,而面,即平面平面,則正確；當(dāng)與重合時(shí)，與成的角，則不正確．故選D．3．如圖，在正方體中，為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則下列結(jié)論不正確的為A．平面平面 B．平面 C． D．平面【答案】B【解析】對于，因?yàn)?，，，所以平面，又平面，平面平面，所以正確；對于，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，，，且，所以平面，否則，與平面不垂直，所以錯(cuò)誤；對于，因?yàn)?，，且，所以平面，又平面，所以，選項(xiàng)正確；對于，平面，平面，所以平面，選項(xiàng)正確．故選B．4．在空間四邊形ABCD中，，，那么必有A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面【答案】C【解析】由，，平面，平面，平面平面．故選C．5．已知AB是圓柱上底面的一條直徑，是上底面圓周上異于，的一點(diǎn)，為下底面圓周上一點(diǎn)，且圓柱的底面，則必有A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面【答案】B【解析】因?yàn)槭菆A柱上底面的一條直徑，所以，又垂直圓柱的底面，所以，因?yàn)?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面．故選B．6．如圖，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，則圖中與平面PCD垂直的平面是A．平面 B．平面 C．平面 D．平面【答案】C【解析】由平面，得，由四邊形為矩形得，從而有平面，平面，所以平面平面．故選C．7．如圖所示，在四棱錐中，底面ABCD，且底面ABCD為菱形，是PC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若要使得平面平面PCD，則應(yīng)補(bǔ)充的一個(gè)條件可以是A． B． C． D．是棱的中點(diǎn)【答案】B【解析】在四棱錐中，底面，且底面各邊都相等，是上的一動(dòng)點(diǎn)，，，，平面，．當(dāng)（或時(shí)，即有平面．而屬于平面，平面平面．故選B．8．空間四邊形ABCD中，若，，那么有A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面【答案】D【解析】，，平面又在平面內(nèi)，平面平面故選D．二．填空題9．把邊長為4的正方形沿對角線折成空間四邊形，使得平面平面．則空間四邊形的對角線的長為．【答案】4【解析】取中點(diǎn)，連接，，把邊長為4的正方形沿對角線折成空間四邊形，使得平面平面．，，是平面與平面所成角的二面角，平面平面，，，空間四邊形的對角線的長為：．故答案為：4．10．已知是平面的垂線，是平面的斜線，平面，，則面面垂直的有．【答案】平面平面【解析】連結(jié)，，得到平面包含于平面中，因?yàn)榇怪庇?，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，又因?yàn)?，，所以平面，又因?yàn)榘谄矫?，得出結(jié)論：平面平面．故答案為：平面平面．三．解答題11．如圖所示的五面體中，四邊形是正方形，平面平面，，．（1）證明：平面平面；（2）求三棱錐的體積．【答案】（1）答案見解析；（2）.【解析】（1）證明：由，，可得為等邊三角形，取的中點(diǎn)，連接，可得，由平面平面，平面平面，可得平面，則，由四邊形是正方形，可得，由，可得平面，而平面，所以平面平面；（2）由，平面，平面，可得平面，又平面平面，可得，平面，平面，可得平面，所以到平面的距離為到平面的距離．取的中點(diǎn)，連接，可得，由平面平面，可得平面，由邊長為2的等邊三角形，可得，所以三棱錐的體積為．12．如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，側(cè)面底面，且，設(shè)，分別為，的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求證：平面平面．【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析.【解析】（Ⅰ）證明：連結(jié)，底面為正方形，分別為的中點(diǎn)，為中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，，又平面，平面，平面．（Ⅱ）證明：面面，平面面，又為正方形，，平面，平面，，又，是等腰直角三角形，且，平面，平面，且，平面，又平面，平面平面，《第八章立體幾何初步》單元檢測試卷本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．第Ⅰ卷(選擇題，共60分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．如圖所示，不是正四面體(各棱長都相等的三棱錐)的展開圖的是()A．①③ B．②④C．③④ D．①②答案C解析可選擇陰影三角形作為底面進(jìn)行折疊，發(fā)現(xiàn)①②可折成正四面體，③④不論選哪一個(gè)三角形作底面折疊，都不能折成正四面體．2．在棱長為1的正方體上，分別用過共頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)的平面截該正方體，則截去8個(gè)三棱錐后，剩下的幾何體的體積是()A.eq\f(2,3)B.eq\f(7,6)C.eq\f(4,5)D.eq\f(5,6)答案D解析棱長為1的正方體的體積為1,8個(gè)三棱錐的體積為8×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6)，所以剩下的幾何體的體積為1－eq\f(1,6)＝eq\f(5,6).3.已知水平放置的△ABC，按“斜二測畫法”得到如圖所示的直觀圖，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝eq\f(\r(3),2)，那么原△ABC的面積是()A.eq\r(3) B．2eq\r(2)C.eq\f(\r(3),2) D.eq\f(\r(3),4)答案A解析由斜二測畫法的原則可得，BC＝B′C′＝2，AO＝2A′O′＝2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，由圖易得AO⊥BC，∴S△ABC＝eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＝eq\r(3)，故選A.4．若l1，l2，l3是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是()A．l1⊥l2，l2⊥l3?l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3C．l1∥l2∥l3?l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共點(diǎn)?l1，l2，l3共面答案B解析當(dāng)l1⊥l2，l2⊥l3時(shí)，l1也可能與l3相交或異面，故A不正確；l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3，故B正確；當(dāng)l1∥l2∥l3時(shí)，l1，l2，l3未必共面，如三棱柱的三條側(cè)棱，故C不正確；l1，l2，l3共點(diǎn)時(shí)，l1，l2，l3未必共面，如正方體中從同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱，故D不正確．5．如圖所示，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB與兩平面α，β所成的角分別為eq\f(π,4)和eq\f(π,6).過A，B分別作兩平面交線的垂線，垂足分別為A′，B′，則AB∶A′B′等于()A．2∶1 B．3∶1C．3∶2 D．4∶3答案A解析如圖，由已知得AA′⊥面β，∠ABA′＝eq\f(π,6)，BB′⊥面α，∠BAB′＝eq\f(π,4).設(shè)AB＝a，則BA′＝eq\f(\r(3),2)a，BB′＝eq\f(\r(2),2)a，在Rt△BA′B′中，A′B′＝eq\f(1,2)a，∴AB∶A′B′＝2∶1.6．用m，n表示兩條不同的直線，α表示平面，則下列命題正確的是()A．若m∥n，n?α，則m∥αB．若m∥α，n?α，則m∥nC．若m⊥n，n?α，則m⊥αD．若m⊥α，n?α，則m⊥n答案D解析若m∥n，n?α，則m∥α或m?α，故排除A；若m∥α，n?α，則m∥n或m，n異面，故排除B；若m⊥n，n?α，則不能得出m⊥α，例如，m⊥n，n?α，m?α，則m與α不垂直，故排除C.故選D.7．在正方體ABCD－A1B1C1D1A．A1C1⊥AD B．D1C1C．AC1與DC成45°角 D．A1C1與B1答案D解析如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，異面直線A1C1與AD所成的角為45°；直線D1C1與直線AB平行；異面直線AC1與DC所成的角的大小為∠C1AB的大小，其正切值為eq\f(BC1,AB)＝eq\r(2)≠1，所以異面直線AC1與DC所成的角不是45°；連接A1D，DC1，因?yàn)锳1D∥B1C，所以異面直線A1C1與B1C所成的角就是直線A1C1與直線A1D所成的角．而△A1DC1是等邊三角形，所以∠C1A1D＝60°，即A1C1與8．如圖，正三角形ABC的中線AF與中位線DE相交于點(diǎn)G，已知△A′DE是△ADE繞邊DE旋轉(zhuǎn)過程中的一個(gè)圖形．現(xiàn)給出下列命題：①恒有直線BC∥平面A′DE；②恒有直線DE⊥平面A′FG；③恒有平面A′FG⊥平面A′DE.其中正確命題的個(gè)數(shù)為()A．0 B．1C．2 D．3答案D解析由BC∥DE知，恒有直線BC∥平面A′DE，①正確；由DE⊥A′G，DE⊥FG知，恒有直線DE⊥平面A′FG，②正確；由直線DE⊥平面A′FG，DE?平面A′DE知，恒有平面A′FG⊥平面A′DE，③正確．9．如圖，在三棱錐S－ABC中，△ABC是邊長為6的正三角形，SA＝SB＝SC＝15，平面DEFH分別與AB，BC，SC，SA交于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，H，且D，E分別是AB，BC的中點(diǎn)，如果直線SB∥平面DEFH，那么四邊形DEFH的面積為()A.eq\f(45,2) B.eq\f(45\r(3),2)C．45 D．45eq\r(3)答案A解析取AC的中點(diǎn)G，連接SG，BG.易知SG⊥AC，BG⊥AC，故AC⊥平面SGB，所以AC⊥SB.因?yàn)镾B∥平面DEFH，SB?平面SAB，平面SAB∩平面DEFH＝HD，所以SB∥HD.同理SB∥FE.又D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，則H，F(xiàn)也分別為AS，SC的中點(diǎn)，從而得HF綊eq\f(1,2)AC綊DE，所以四邊形DEFH為平行四邊形．又AC⊥SB，SB∥HD，DE∥AC，所以DE⊥HD，所以四邊形DEFH為矩形，其面積S＝HF·HD＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)AC))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)SB))＝eq\f(45,2).10．PA，PB，PC是從P點(diǎn)出發(fā)的三條射線，每兩條射線的夾角均為60°，那么直線PC與平面PAB所成角的余弦值是()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(\r(6),3)答案C解析構(gòu)造正方體如圖所示，連接AB，過點(diǎn)C作CO⊥平面PAB，垂足為O，易知O是正三角形ABP的中心，連接PO并延長交AB于D，于是∠CPO為直線PC與平面PAB所成的角．設(shè)PC＝a，則PD＝eq\f(\r(3)a,2)，故PO＝eq\f(2,3)PD＝eq\f(\r(3),3)a，故cos∠CPO＝eq\f(PO,PC)＝eq\f(\r(3),3).故選C.11．已知S，A，B，C是球O表面上的不同點(diǎn)，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝1，BC＝eq\r(2)，若球O的表面積為4π，則SA＝()A.eq\f(\r(2),2) B．1C.eq\r(2) D.eq\f(3,2)答案B解析根據(jù)已知把S－ABC補(bǔ)成如圖所示的長方體．因?yàn)榍騉的表面積為4π，所以球O的半徑R＝1,2R＝eq\r(SA2＋1＋2)＝2，解得SA＝1，故選B.12．在梯形ABCD中，∠ABC＝eq\f(π,2)，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為()A.eq\f(2π,3) B.eq\f(4π,3)C.eq\f(5π,3) D．2π答案C解析過點(diǎn)C作CE垂直AD所在直線于點(diǎn)E，梯形ABCD繞AD所在直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的旋轉(zhuǎn)體是由以線段AB的長為底面圓的半徑，線段BC為母線的圓柱挖去以線段CE的長為底面圓的半徑，ED為高的圓錐，如圖所示，該幾何體的體積為V＝V圓柱－V圓錐＝π·AB2·BC－eq\f(1,3)·π·CE2·DE＝π×12×2－eq\f(1,3)π×12×1＝eq\f(5π,3)，故選C.第Ⅱ卷(非選擇題，共90分)二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．將答案填在題中的橫線上)13．一個(gè)正方體紙盒展開后如圖所示，在原正方體紙盒中有如下結(jié)論：①AB⊥EF；②AB與CM所成的角為60°；③EF與MN是異面直線；④MN∥CD.以上結(jié)論中正確結(jié)論的序號為________．答案①③解析把正方體的平面展開圖還原為正方體，如圖所示．因?yàn)锳B∥MC，MC⊥EF，所以AB⊥EF，故①正確，②錯(cuò)誤；EF與MN是異面直線，故③正確；易知MN⊥CD，故④錯(cuò)誤．故填①③.14．如圖所示，等邊三角形ABC的邊長為4，D為BC的中點(diǎn)，沿AD把△ADC折疊到△ADC′處，使二面角B－AD－C′為60°，則折疊后二面角A－BC′－D的正切值為________．答案2解析易知∠BDC′即為二面角B－AD－C′的平面角，則∠BDC′＝60°，所以△BDC′為等邊三角形．取BC′的中點(diǎn)M，連接DM，AM，易知DM⊥BC′，AM⊥BC′，所以二面角A－BC′－D的平面角為∠AMD.在等邊三角形ABC中，易知AD＝2eq\r(3)，在等邊三角形BDC′中，易知DM＝eq\r(3)，所以tan∠AMD＝eq\f(AD,DM)＝2.15．已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝a，若PA⊥平面AC，在BC邊上取點(diǎn)E，使PE⊥DE，則滿足條件的E點(diǎn)有兩個(gè)時(shí)，a的取值范圍是________．答案a>6解析如圖所示，連接AE，要使PE⊥DE，由于DE⊥PA，則需DE⊥AE.要使在矩形ABCD中，∠AED＝90°，滿足條件的E點(diǎn)有兩個(gè)，則需以AD為直徑的圓與BC相割．∴圓心到BC邊的距離d<R，即3<eq\f(a,2)，得a>6.16．如圖(1)所示，一個(gè)裝了水的密封瓶子，其內(nèi)部可以看成是由半徑為1cm和半徑為3cm的兩個(gè)圓柱組成的簡單幾何體．當(dāng)這個(gè)幾何體如圖(2)水平放置時(shí)，液面高度為20cm；當(dāng)這個(gè)幾何體如圖(3)水平放置時(shí)，液面高度為28cm，則這個(gè)簡單幾何體的總高度為________cm.答案29解析設(shè)上、下圓柱的半徑分別是rcm，Rcm，高分別是hcm，Hcm.由水的體積不變得πR2H＋πr2(20－H)＝πr2h＋πR2(28－h(huán))，又r＝1，R＝3，故H＋h＝29.即這個(gè)簡單幾何體的總高度為29cm.三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)有一根長為3πcm，底面半徑為1cm的圓柱形鐵管，用一段鐵絲在鐵管上纏繞2圈，并使鐵絲的兩個(gè)端點(diǎn)落在圓柱的同一母線的兩端，求鐵絲的最短長度．解把圓柱側(cè)面及纏繞其上的鐵絲展開，在平面上得到矩形ABCD(如圖所示)，由題意知BC＝3πcm，AB＝4πcm，點(diǎn)A、點(diǎn)C分別是鐵絲的起、止位置，故線段AC的長度即為鐵絲的最短長度．AC＝eq\r(AB2＋BC2